2022-2023學(xué)年福建省三明市高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.若復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)（）A. B.3 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因為復(fù)數(shù)，，即，故，故選：B2.若，則z（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故選：C3.如圖，平面平面，，，，直線（點不同于），過三點確定的平面為，則平面，的交線必過（）A.點A B.點BC.點C，但不過點D D.點C和點D〖答案〗D〖解析〗對于AB，假設(shè)，又，則，又，所以，又，所以，與矛盾，則，即平面，的交線不過點A，故A錯誤，同理，B錯誤；對于CD，因為，所以，即點在與的交線上，故C錯誤，D正確.故選：D.4.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，∴，又∵向量，∴向量在的投影為，所以，向量在方向上的投影向量為.故選：A.5.已知向量，，，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為向量，，，即故選：A6.已知，，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，,又，所以，解得，所以.故選：D.7.在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，，為使此三角形有兩個，則滿足的條件是（）A. B.C. D.或〖答案〗A〖解析〗如下圖所示：因為有兩解，且，，則，即.故選：A.8.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，而，在中，設(shè)，則，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．部分選對的得2分．9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題，其中為真命題的是（）A. B.C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.z是關(guān)于x的方程的一個根〖答案〗BD〖解析〗由題意得，故，A錯誤；，B正確；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯誤；，即z是關(guān)于x的方程的一個根，D正確，故選：BD10.如圖是一個正方體的側(cè)面展開圖，在原立方體中，以下關(guān)系判斷正確的是（）A. B.與相交 C. D.與異面〖答案〗BCD〖解析〗畫出原正方體如圖所示，不平行，所以A錯；與相交，所以B正確；由正方體的性質(zhì)知，所以C正確；與即不平行也不相交，所以與是異面直線，所以D正確.故選：BCD.11.設(shè)非零向量的夾角為為任意非零向量，定義運算，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.C. D.若，則的最大值為1〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，并且，所以，解得或，所以，故選項A正確；對于B，不妨取，設(shè)與的夾角，與的夾角為，與的夾角為，則，，此時，故選項B錯誤；對于C，，故選項C正確；對于D，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故選項D正確；故選：ACD.12.在銳角中，角，，所對邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（）A.B.C.的最大值為3D.的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗由題設(shè)，外接圓直徑為，故，A正確；銳角中，則，故，B錯誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；由C分析知：，而，又且，則，而，所以，則，所以，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）的虛部是__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故〖答案〗為：.14.已知點，，是直線上的一點，且，那么點的坐標(biāo)為_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點的坐標(biāo)為，則，又，即，解得；所以點的坐標(biāo)為.故〖答案〗為：15.如圖，已知A，B，C共線，且向量，，則________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，則，因為，不共線，故,所以.故〖答案〗為：16.在平面四邊形中，是等邊三角形，，，，則________；的面積是________．〖答案〗①.②.〖解析〗由為等邊三角形，可得，在中，，，，由余弦定理可得，整理得，解得（負值舍去），設(shè)，則，易知，則，所以，則的面積為．故〖答案〗為：；．四、解答題：本小題共6小題，共70分．17.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，.（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；（2）z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求m的取值范圍.解：（1）因為z是純虛數(shù)，所以，解得.（2）因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，所以，解得，所以m的取值范圍為.18.已知，，且與夾角為，求：（1）；（2）與的夾角．解：（1）由已知可得，.所以有，所以.（2）因為，所以.又，所以，所以與的夾角為．19.如圖，長方體的底面是正方形，E，F(xiàn)分別是，上的點，且，．（1）證明：點F在平面內(nèi)；（2）若，求三棱錐的體積．（1）證明：如圖，連接，，在長方體中，，且，所以四邊形是平行四邊形，則．因為，，所以，所以，所以，所以，所以四點共面，即點在平面內(nèi)．（2）解：在長方體中，點到平面的距離即為點到平面的距離，即為；所以．20.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．（1）求A；（2）若，點在邊上，，求．解：（1）方法一：因為，由余弦定理得，，整理得，所以，因為，所以方法二：因為，所以，由正弦定理得，，因為，所以，所以，整理得因為，所以，所以，又，所以.（2）因為，由余弦定理得：，整理得，又，所以方法一：所以.因為點在邊上，，所以為邊上靠近的三等分點，所以.在中，，又，所以.方法二：，又，所以.21.從以下三個條件中選一個，補充到下面問題中，并解答．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足________（填寫序號即可）．①，②，③（1）求B；（2）若，求的取值范圍．解：（1）選①：因為，所以由正弦定理得，因為，所以，又因為，所以.選②：因為，所以由正弦定理得，即，故由余弦定理得，又因為，所以.選③：因為，所以，則，又因為，所以.（2）由（1）知，又，所以由正弦定理，得，，則，由銳角得且，所以，則，所以，從而，故取值范圍為.22.在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直（滿足），燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬．設(shè)燈柱高，．（1）當(dāng)時，求四邊形的面積；（2）求燈柱的高（用表示）；（3）若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出的最小值．解：（1）當(dāng)時，，所以，又所以是等邊三角形，所以，所以中，，即，所以；（2），，，在中，由正弦定理得，所以所以在中，由正弦定理得，所以，所以，所以；（3）在中，由正弦定理得，所以，所以所以，因為，所以，所以當(dāng)，即時，S取最小值，故S關(guān)于的函數(shù)表達式為，S最小值為.福建省三明市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.若復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)（）A. B.3 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因為復(fù)數(shù)，，即，故，故選：B2.若，則z（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，故選：C3.如圖，平面平面，，，，直線（點不同于），過三點確定的平面為，則平面，的交線必過（）A.點A B.點BC.點C，但不過點D D.點C和點D〖答案〗D〖解析〗對于AB，假設(shè)，又，則，又，所以，又，所以，與矛盾，則，即平面，的交線不過點A，故A錯誤，同理，B錯誤；對于CD，因為，所以，即點在與的交線上，故C錯誤，D正確.故選：D.4.已知向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，∴，又∵向量，∴向量在的投影為，所以，向量在方向上的投影向量為.故選：A.5.已知向量，，，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為向量，，，即故選：A6.已知，，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，,又，所以，解得，所以.故選：D.7.在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，，為使此三角形有兩個，則滿足的條件是（）A. B.C. D.或〖答案〗A〖解析〗如下圖所示：因為有兩解，且，，則，即.故選：A.8.東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，而，在中，設(shè)，則，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．部分選對的得2分．9.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題，其中為真命題的是（）A. B.C.z的共軛復(fù)數(shù)為 D.z是關(guān)于x的方程的一個根〖答案〗BD〖解析〗由題意得，故，A錯誤；，B正確；的共軛復(fù)數(shù)為，C錯誤；，即z是關(guān)于x的方程的一個根，D正確，故選：BD10.如圖是一個正方體的側(cè)面展開圖，在原立方體中，以下關(guān)系判斷正確的是（）A. B.與相交 C. D.與異面〖答案〗BCD〖解析〗畫出原正方體如圖所示，不平行，所以A錯；與相交，所以B正確；由正方體的性質(zhì)知，所以C正確；與即不平行也不相交，所以與是異面直線，所以D正確.故選：BCD.11.設(shè)非零向量的夾角為為任意非零向量，定義運算，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.C. D.若，則的最大值為1〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，并且，所以，解得或，所以，故選項A正確；對于B，不妨取，設(shè)與的夾角，與的夾角為，與的夾角為，則，，此時，故選項B錯誤；對于C，，故選項C正確；對于D，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故選項D正確；故選：ACD.12.在銳角中，角，，所對邊分別為，，，外接圓半徑為，若，，則（）A.B.C.的最大值為3D.的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗由題設(shè)，外接圓直徑為，故，A正確；銳角中，則，故，B錯誤；，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；由C分析知：，而，又且，則，而，所以，則，所以，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）的虛部是__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故〖答案〗為：.14.已知點，，是直線上的一點，且，那么點的坐標(biāo)為_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點的坐標(biāo)為，則，又，即，解得；所以點的坐標(biāo)為.故〖答案〗為：15.如圖，已知A，B，C共線，且向量，，則________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，則，因為，不共線，故,所以.故〖答案〗為：16.在平面四邊形中，是等邊三角形，，，，則________；的面積是________．〖答案〗①.②.〖解析〗由為等邊三角形，可得，在中，，，，由余弦定理可得，整理得，解得（負值舍去），設(shè)，則，易知，則，所以，則的面積為．故〖答案〗為：；．四、解答題：本小題共6小題，共70分．17.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，.（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；（2）z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，求m的取值范圍.解：（1）因為z是純虛數(shù)，所以，解得.（2）因為z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，所以，解得，所以m的取值范圍為.18.已知，，且與夾角為，求：（1）；（2）與的夾角．解：（1）由已知可得，.所以有，所以.（2）因為，所以.又，所以，所以與的夾角為．19.如圖，長方體的底面是正方形，E，F(xiàn)分別是，上的點，且，．（1）證明：點F在平面內(nèi)；（2）若，求三棱錐的體積．（1）證明：如圖，連接，，在長方體中，，且，所以四邊形是平行四邊形，則．因為，，所以，所以，所以，所以，所以四點共面，即點在平面內(nèi)．（2）解：在長方體中，點到平面的距離即為點到平面的距離，即為；所以．20.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．（1）求A；（2）若，點在邊上，，求．解：（1）方法一：因為，由余弦定理得，，整理得，所以，因為，所以方法二：因為，所以，由正弦定理得，，因為，所以，