2022-2023學年湖北省荊州市部分校高一下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省荊州市部分校2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、選擇題1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A2.若復數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，則.故選：D.3.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，由可得，.因為函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，在上單調遞減，所以，，所以，所以，，，所以.故選：B.4.已知兩個非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為且，可得，解得或，又因為為非零向量，所以，即，故“”是“”的充要條件．故選：C.5.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，所以，得.故選：D6.在正方形中，，分別為的中點，，則（）A.2 B.1 C.10 D.4〖答案〗A〖解析〗由題知，在正方形中，，所以以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題可知，，，則，，所以.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為的圖象關于點對稱，所以，所以.因為，所以，即，則.故選：C.8.在中，為上的中線，為的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點A，B，C），且M，N，G三點共線，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意，設，，則，所以，，得，所以（當且僅當時等號成立）.故選：D二、多選題9.在中，內角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（）A.，，，有兩解B.，，，有兩解C.，，，只有一解D.，，，只有一解〖答案〗CD〖解析〗對于A，因為，，則，由正弦定理，得，顯然有唯一結果，即只有一解，A錯誤；對于B，，，，由正弦定理得，無解，B錯誤；對于C，，，，有，則，由正弦定理得，有唯一解，C正確；對于D，，，，有，則，此時，有唯一解，D正確.故選：CD10.已知復數(shù)，，在復平面內對應的點分別為，且為復平面內的原點，則（）A.的虛部為B.為純虛數(shù)C.D.以為三邊長的三角形為鈍角三角形〖答案〗BCD〖解析〗對于A項，因為，所以的虛部為，所以A錯誤；對于B項，因為，所以為純虛數(shù)，所以B正確；對于C項，因為，，所以，所以，所以C正確；對于D項，由已知可得，，，且，所以，，所以D正確.故選：BCD.11.在中，內角對邊分別為，的角平分線交于，為的中點，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AD〖解析〗對于A項，由可得，，則，所以，.因為，則，即，故A正確；對于B項，由A知，，B項錯誤；對于C項，由題可知，所以.因為，所以，整理可得，所以，故C錯誤；對于D項，由C可知，，故D項正確.故選：AD.12.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結論正確的是（）A.B.在向量上的投影向量為C.若，則為的中點D.若在線段上，且，則的取值范圍為〖答案〗BD〖解析〗如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標系，設，則，整理得到，，，，設，對選項A：，，，錯誤；對選項B：，，，即投影向量為，正確；對選項C：，，，整理得到，即，與正八邊形有兩個交點，錯誤；對選項D：，，，，，整理得到，，故，正確.故選：CD三、填空題13.已知復數(shù)滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，則.故〖答案〗為：.14.若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．〖答案〗①.②.〖解析〗當時，不等式對不恒成立，不符合題意（舍去）；當時，要使得對恒成立，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.因為，可得，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．故〖答案〗為：；.15.如圖，在平行四邊形中，，，，延長交于點，則__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，即為的中點，所以.又，所以.故〖答案〗為：.16.廣州國際金融中心大樓，簡稱“廣州IFC”，又稱“廣州西塔”，位于廣東省廣州市，為地處天河中央商務區(qū)的一棟摩天大樓，東面珠江公園，南鄰珠江和廣州塔，西近廣州大道，北望天河體育中心與白云山.小勝為測量其高度，在點處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，其中，，三點共線且與廣州國際金融中心大樓底部在同一水平高度，已知米，則廣州國際金融中心大樓的高度為______米.〖答案〗435〖解析〗如圖是塔底，顯然與垂直，，，，設，則，，，由余弦定理得，，因為，，即，所以，即，解得．故〖答案〗為：435.四、解答題17.已知復數(shù)與互為共軛復數(shù).（1）判斷在復平面內對應的點在第幾象限，并說明理由；（2）在復數(shù)范圍內，解關于的一元二次方程.解：（1）因為復數(shù)與互為共軛復數(shù)，所以，，所以在復平面內對應的點為，在第二象限.（2）由（1）可得，，則方程為，即，所以，解得，故關于的方程的根為或.18.設，是不共線的兩個向量，若，，．（1）若，，且，求與的夾角；（2）若A，B，C三點共線，求m值．解：（1）依題意，時，，因為，所以，又，所以，則，而，所以與的夾角為．（2）因為，，且A，B，C三點共線，所以存在，使得，即，則，解得．19.已知函數(shù)，且，當?shù)亩x域是時，此時值域也是.（1）求的值；（2）若，證明為奇函數(shù)，并求不等式的解集.解：（1）當時，函數(shù)單調遞減，且.又在上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上單調遞減，所以，解得；當時，函數(shù)單調遞增，且.又在上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上單調遞增，所以，解得.綜上，，或，.（2）因為，所以，，則，定義域為，且函數(shù)在上單調遞增.因為，所以奇函數(shù).則不等式，可化為.又函數(shù)在上單調遞增，則，即，所以不等式的解集為.20.已知分別為內角所對的邊，，且．（1）求；（2）求的取值范圍．解：（1），由及正弦定理，得，得，代入得，又因為，所以．（2）由（1）知，所以.所以，因為,所以，所以，所以，故的取值范圍是.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且圖中的.（1）求〖解析〗式；（2）判斷函數(shù)在上的零點個數(shù)，并說明理由.解：（1）由圖可知，又圖象的一條對稱軸為直線，由，得，所以，因為，所以，得，又，所以，故.（2）在上有個零點.理由如下：在上的零點個數(shù)等于的圖象與直線在上的交點個數(shù)，令，得，當時，，當時，，，與，的函數(shù)圖象如下所示：由圖可知兩函數(shù)有且只有個交點，故在上有個零點.22.在某郁金香主題公園景區(qū)中，春的氣息熱烈而濃厚，放眼望去各色郁金香讓人心潮澎湃，黑色“夜皇后”低調而奢華；白色“塔克馬山”葉片疊層豐富，姿態(tài)雍容華貴；粉色“香奈兒”微微張開花瓣，自帶芬芳.園區(qū)計劃在如圖所示的區(qū)域內種植櫻花和風信子，讓游客在花的海洋里有不一樣的體驗，其中區(qū)域種植櫻花，區(qū)域種植風信子.為了滿足游客觀賞需要，現(xiàn)欲在射線上分別選一處，修建一條貫穿兩區(qū)域的直路與相交于點，其中每百米的修路費用為萬元.已知，百米，設.（1）試將修路總費用表示為的函數(shù)；（2）求修路總費用的最小值.解：（1）在中，，，，根據(jù)正弦定理得，則.在中，，所以，由正弦定理得，即，所以.所以，.（2）因為.令，因為，所以，所以.又，所以.令，因為函數(shù)在上單調遞增，且，在上單調遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，在上單調遞減，則當，即時，，所以修路總費用的最小值為6萬元.湖北省荊州市部分校2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題一、選擇題1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A2.若復數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，則.故選：D.3.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，由可得，.因為函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，在上單調遞減，所以，，所以，所以，，，所以.故選：B.4.已知兩個非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為且，可得，解得或，又因為為非零向量，所以，即，故“”是“”的充要條件．故選：C.5.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，所以，得.故選：D6.在正方形中，，分別為的中點，，則（）A.2 B.1 C.10 D.4〖答案〗A〖解析〗由題知，在正方形中，，所以以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題可知，，，則，，所以.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為的圖象關于點對稱，所以，所以.因為，所以，即，則.故選：C.8.在中，為上的中線，為的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點A，B，C），且M，N，G三點共線，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意，設，，則，所以，，得，所以（當且僅當時等號成立）.故選：D二、多選題9.在中，內角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（）A.，，，有兩解B.，，，有兩解C.，，，只有一解D.，，，只有一解〖答案〗CD〖解析〗對于A，因為，，則，由正弦定理，得，顯然有唯一結果，即只有一解，A錯誤；對于B，，，，由正弦定理得，無解，B錯誤；對于C，，，，有，則，由正弦定理得，有唯一解，C正確；對于D，，，，有，則，此時，有唯一解，D正確.故選：CD10.已知復數(shù)，，在復平面內對應的點分別為，且為復平面內的原點，則（）A.的虛部為B.為純虛數(shù)C.D.以為三邊長的三角形為鈍角三角形〖答案〗BCD〖解析〗對于A項，因為，所以的虛部為，所以A錯誤；對于B項，因為，所以為純虛數(shù)，所以B正確；對于C項，因為，，所以，所以，所以C正確；對于D項，由已知可得，，，且，所以，，所以D正確.故選：BCD.11.在中，內角對邊分別為，的角平分線交于，為的中點，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AD〖解析〗對于A項，由可得，，則，所以，.因為，則，即，故A正確；對于B項，由A知，，B項錯誤；對于C項，由題可知，所以.因為，所以，整理可得，所以，故C錯誤；對于D項，由C可知，，故D項正確.故選：AD.12.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列結論正確的是（）A.B.在向量上的投影向量為C.若，則為的中點D.若在線段上，且，則的取值范圍為〖答案〗BD〖解析〗如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標系，設，則，整理得到，，，，設，對選項A：，，，錯誤；對選項B：，，，即投影向量為，正確；對選項C：，，，整理得到，即，與正八邊形有兩個交點，錯誤；對選項D：，，，，，整理得到，，故，正確.故選：CD三、填空題13.已知復數(shù)滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因為，則.故〖答案〗為：.14.若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．〖答案〗①.②.〖解析〗當時，不等式對不恒成立，不符合題意（舍去）；當時，要使得對恒成立，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.因為，可得，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為．故〖答案〗為：；.15.如圖，在平行四邊形中，，，，延長交于點，則__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，即為的中點，所以.又，所以.故〖答案〗為：.16.廣州國際金融中心大樓，簡稱“廣州IFC”，又稱“廣州西塔”，位于廣東省廣州市，為地處天河中央商務區(qū)的一棟摩天大樓，東面珠江公園，南鄰珠江和廣州塔，西近廣州大道，北望天河體育中心與白云山.小勝為測量其高度，在點處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，其中，，三點共線且與廣州國際金融中心大樓底部在同一水平高度，已知米，則廣州國際金融中心大樓的高度為______米.〖答案〗435〖解析〗如圖是塔底，顯然與垂直，，，，設，則，，，由余弦定理得，，因為，，即，所以，即，解得．故〖答案〗為：435.四、解答題17.已知復數(shù)與互為共軛復數(shù).（1）判斷在復平面內對應的點在第幾象限，并說明理由；（2）在復數(shù)范圍內，解關于的一元二次方程.解：（1）因為復數(shù)與互為共軛復數(shù)，所以，，所以在復平面內對應的點為，在第二象限.（2）由（1）可得，，則方程為，即，所以，解得，故關于的方程的根為或.18.設，是不共線的兩個向量，若，，．（1）若，，且，求與的夾角；（2）若A，B，C三點共線，求m值．解：（1）依題意，時，，因為，所以，又，所以，則，而，所以與的夾角為．（2）因為，，且A，B，C三點共線，所以存在，使得，即，則，解得．19.已知函數(shù)，且，當?shù)亩x域是時，此時值域也是.（1）求的值；（2）若，證明為奇函數(shù)，并求不等式的解集.解：（1）當時，函數(shù)單調遞減，且.又在上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上單調遞減，所以，解得；當時，函數(shù)單調遞增，且.又在上單調遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上單調遞增，所以，解得.綜上，，或，.（2）因為，所以，，則，定義域為，且函數(shù)在上單調遞增.因為，所以奇函數(shù).則不等式，可化為.又函數(shù)在上單調遞增，則，