專題13指數(shù)函數(shù)

20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)專題13指數(shù)函數(shù)№考向解讀專題13指數(shù)函數(shù)№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?題型突破?專題精練第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)專題13指數(shù)函數(shù)→?考點(diǎn)精析←1指數(shù)函數(shù)概念一般地，函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x（1）形式上的嚴(yán)格性：只有形如（且）的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)．像，，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)．（2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：①如果，則②如果，則對(duì)于一些函數(shù)，比如，當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在．③如果，則是個(gè)常量，就沒研究的必要了．2圖像與性質(zhì)時(shí)圖象時(shí)圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，時(shí)，⑤時(shí)，時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)3指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時(shí)，（底大冪大）時(shí)，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：【方法技巧與總結(jié)】1、指數(shù)式大小比較方法（1）單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．（2）中間量法（3）分類討論法（4）比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：①若；；；②當(dāng)兩個(gè)式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可．2、簡(jiǎn)單指數(shù)不等式的解法（1）形如的不等式，可借助的單調(diào)性求解；（2）形如的不等式，可將化為為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助的單調(diào)性求解；（3）形如的不等式，可借助兩函數(shù)，的圖象求解．→?題型突破←【題型一】指數(shù)函數(shù)定義的判斷1．（2022·全國·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【解析】①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量，而是的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)，只有規(guī)定且時(shí)，才是指數(shù)函數(shù)；④中前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù).故選：D.2（2021·四川涼山彝族自治州·高三三模（文））函數(shù)，且，則（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，故選：B【題型二】利用指數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)3．（2023·全國·高一單元測(cè)試）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時(shí)，且，所以解得.故選：C4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．a(chǎn)＝1或a＝3 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝3 D．a(chǎn)＞0且a≠1【答案】C【解析】由已知得，即，解得．故選：C【題型三】求指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式5．（2023·全國·高一單元測(cè)試）若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則指數(shù)函數(shù)的解析式為___．【答案】【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.故答案為：.6．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）函數(shù)，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】由，所以，故選：B【題型四】指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題7．（2023·全國·高一單元測(cè)試）函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)過定點(diǎn).故選：B8．（2022·四川內(nèi)江·高一期末）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)且過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以或，又因?yàn)樵搩绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)?，所以函?shù)過定點(diǎn)，故選：D【題型五】指數(shù)函數(shù)的圖象問題9．（2021·吉林長春市·高三其他模擬（文））如圖，①②③④中不屬于函數(shù)，，的一個(gè)是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)函數(shù)與關(guān)于對(duì)稱，可知①④正確，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故③正確.所以②不是已知函數(shù)圖象.故選：B10．（2023·全國·高一單元測(cè)試）函數(shù)的圖象的大致形狀是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，又，∴根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像即可判斷選項(xiàng)C符合.故選：C.【題型六】指數(shù)函數(shù)的定義域、值域11．（2023·全國·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開______【答案】【解析】由條件可知，函數(shù)的定義域需滿足，解得：，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：12.（黑龍江省大慶四中高一月考（文））已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，（1）求值；（2）求函數(shù)的值域；【答案】（1）（2）【解析】（1）函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2）由（1）可知在上單調(diào)遞減，則在時(shí)有最大值又函數(shù)的值域?yàn)椤绢}型七】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用13．已知，且，設(shè)，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作差，對(duì)分類討論，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，，所以，所以；?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，，，所以，所?綜上所述：故選：A14．（2023·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，則是（

）A．奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減 B．偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減C．奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減 D．偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減【答案】D【解析】依題意，得，且，所以是偶函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增．故選：D.【題型九】解指數(shù)型不等式15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以不等式即為，在坐標(biāo)系中作出的圖象，如下圖所示，都經(jīng)過，即的圖象在圖象的下方，由圖象知：不等式的解集是.故答案為：16．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】因函數(shù)，則不等式化為：或，解得：，解，無解，于是得，所以不等式的解集為.故答案為：【題型十】判斷函數(shù)的奇偶性17．（2022·北京五十五中高一期中）如果函數(shù)是奇函數(shù)，則的值是__________.【答案】1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，并且函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，解得；經(jīng)檢驗(yàn)符合題意故答案為：1.18.（2022·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則________.【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，，即，則

①，為偶函數(shù)，，即，則

②，由解得．故答案為：19．（2023·全國·高一單元測(cè)試）已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的值，并判斷在上單調(diào)性（只作判斷，不用說明理由）；(2)若，求的范圍.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是為，且函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，所以.所以，則，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意.因?yàn)?，令、、，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，又對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)?，則又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即解得或.→?專題精練←1．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在上的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，是偶函數(shù)，所以在上遞增.注意到，所以B選項(xiàng)符合.故選：B2．設(shè)函數(shù)則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，可化為，所以，解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．3.已知是定義在上的偶函數(shù)，那么的最大值是()A．1 B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，是定義在，上的偶函數(shù)，則有，則，同時(shí)，即，則有，必有，則，其定義域?yàn)椋?，則，設(shè)，若，則有，在區(qū)間，上，且為減函數(shù)，在區(qū)間，上為增函數(shù)，則在，上為減函數(shù)，其最大值為，故選：．4.函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，，又函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：A5．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，因?yàn)?，，故函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為故選：C6.若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】A【解析】令，由于函數(shù)在上是減函數(shù)，外層函數(shù)為上的增函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，，解得.故選：A.7．（2010·浙江·高考真題（文））已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，則當(dāng)時(shí)，在下方，即；當(dāng)時(shí)，在上方，即，故選：B8．已知函數(shù)，若方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的大致圖象如圖所示，對(duì)于方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則在，上各有一個(gè)實(shí)數(shù)解或的一個(gè)解為1，另一個(gè)解在內(nèi)或的一個(gè)解為2，另一個(gè)解在內(nèi).當(dāng)在，上各有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，設(shè)，則解得；當(dāng)?shù)囊粋€(gè)解為1時(shí)，，此時(shí)方程的另一個(gè)解為3，不在內(nèi)，不滿足題意；當(dāng)?shù)囊粋€(gè)解為2時(shí)，，此時(shí)方程的另一個(gè)解為，在內(nèi)，滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：D.9.已知冪函數(shù)的圖象過函數(shù)的圖象所經(jīng)過的定點(diǎn)，則的值等于()A． B． C．2 D．【答案】B【解析】由于為冪函數(shù)，則，解得：，則；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故的圖像所經(jīng)過的定點(diǎn)為，所以，即，解得：,故選：B.10.已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以時(shí)，，則由可得，或或，解得或或，綜上可得，不等式的解集為．故選：C．11．已知，不等式恒成立，實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，即，令，若，，等價(jià)于，令，，，若，，即，①當(dāng)，即時(shí)，不等式在上恒成立；②當(dāng)，即或時(shí)，要使不等式在上恒成立，則有，解得，，綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍是.故選：A.12.設(shè)函數(shù)，則滿足成立的的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】畫出圖象如下圖所示，由于，所以或，這兩個(gè)不等式組無解，所以滿足成立的的取值范圍是空集.故選：D13.已知函數(shù)，則()A．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)D．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)【答案】C【解析】，定義域?yàn)?，為奇函?shù)，故可排除，；又在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，在上是增函數(shù)，符合題意，可排除；故選：．14.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則關(guān)于x的不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，由，得，解得.故選：A.15.(多選題)(2021重慶九龍坡高三期中)已知函數(shù)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則下列選項(xiàng)正確的是()A．點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)B．，，使C．是的極大值點(diǎn)D．的取值范圍是【答案】BC【解析】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，且恒成立，畫出函數(shù)圖象如下：對(duì)A，由函數(shù)圖象可得0是函數(shù)的零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由圖可得，故，，使，故B正確；對(duì)C，由圖可得是的極大值點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，方程等價(jià)于或，由圖可得有1個(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有1個(gè)非零實(shí)根，則由圖可得或，故D錯(cuò)誤.故選BC.16．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過函數(shù)（且）的圖象所過的定點(diǎn)，則冪函數(shù)具有的特性是（

）A．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 B．圖象過點(diǎn)C．是奇函數(shù) D．定義域是【答案】BC【解析】由，即，可得，故函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)，則，解得，則，定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，但在定義域內(nèi)不單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以函?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以選項(xiàng)B、C正確.故選：BC.17（多選）9．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．是增函數(shù)C．不是周期函數(shù) D．的最小值為【答案】AD【解析】選項(xiàng)A，由得，函數(shù)定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，正確；選項(xiàng)B，定義域是，，即是奇函數(shù)，易知是R上的增函數(shù)，函數(shù)值域?yàn)镽，，所以存在，值得，從而，于是，，但，所以不是增函數(shù)，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，定義域是R，，因此是函數(shù)的一個(gè)周期，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，由上推理知是奇函數(shù)，時(shí)，，時(shí)，，易知函數(shù)為增函數(shù)，所以，綜上函數(shù)最小值是1，D正確．故選：AD．18．（2022·湖北武漢·高一期中）下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．

圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C．

的最大值為D．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為【答案】BD【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，由得，則函數(shù)的定義域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，將函數(shù)的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，B正確；對(duì)于C，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且，則，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，無最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得，D正確.故選：BD.19．設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且有零點(diǎn)，所以，解得，故答案為：20.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】原不等式可變形為，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為增函數(shù)，則有，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立.①當(dāng)時(shí)，，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，若二次函數(shù)大于0恒成立，則需且，即且，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：21.已知指數(shù)函數(shù)，則的值是___________.【答案】2.【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為：．22.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意的，均有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】.【解析】∵是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，∴，則，則等價(jià)于，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，則，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，則，解得，又，所以.故答案為：.23、高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，，已知，則函數(shù)的值域?yàn)開_____．【答案】【解析】∵，，∴令，則故函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為?4.求下列函數(shù)的值域；(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?(2)由知，故的定義域?yàn)?；由知，故的值域?yàn)?(3)的定義域?yàn)?；由知，故的值域?yàn)?25.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x?1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，判斷2【解析】f(x)=|2x?1|的圖象可看成f由圖可知，要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，則有c<0且a>0，故必有2c<1且又fc?f(a)>0，即為1?∴2【點(diǎn)撥】涉及指數(shù)函數(shù)型的函數(shù)y=f(x)，往往需要得到其圖象，方法有：①利用要相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、對(duì)稱、翻轉(zhuǎn)變換得其圖象；②利用去掉絕對(duì)值得到分段函數(shù)得其圖象.26.已知，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明.【答案】為上的增函數(shù)，證明見解析.【解析】，函數(shù)為上的嚴(yán)格增函數(shù)，證明如下：任取、，且，，，，，即，因此，函數(shù)為上的增函數(shù).27.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷的單調(diào)性；(3)若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)1；(