（高中數(shù)學(xué)）空間向量與立體幾何單元專項(xiàng)訓(xùn)練試題（含答案解析）

（高中數(shù)學(xué)）空間向量與立體幾何單元專項(xiàng)訓(xùn)練

試題（含答案解析）

一、單選題

1.在空間直角坐標(biāo)系。孫Z中，與點(diǎn)關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)為（）

A.（―1,—2,1）B.（—1,2,1）C.（―1,—2,—1）D.（1,—2,—1）

2.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面。經(jīng)過三點(diǎn)人（1,0,2）,8（0,1,0）〈（-2,1,1）,向量”=（1,4//）

是平面a的一個(gè)法向量，則/+〃=（）

A.-7B.-5C.5D.7

3.已知點(diǎn)A（3,—l,0）,若向量A8=（2,5,-3）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)是（）.

A.（1,-6,3）B.（5,4,-3）C.（-1,6,-3）D.（2,5,-3）

4.如圖，△O'A'B'是水平放置的Q48的直觀圖，A'0'=6,B'O'=2,則。48的面

積是（）

5.平面a的一個(gè)法向量是"=平面夕的一個(gè)法向量是加=（-3,6,-2）,則平

面a與平面夕的關(guān)系是（）

A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直

6.已知某圓柱的內(nèi)切球半徑為］,則該圓柱的側(cè)面積為（）

A49乃一81萬

A.----B.497rC.----D.814

22

7.。、A、8、C為空間四點(diǎn)，且向量04、OB、0C不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下

列說法正確的是（）

A.。4、OB、0C共線B.。4、。8共線

C.OB、0C共線D.。、A、B、C四點(diǎn)共面

8.在正方體ABCO-AAGR中，E為線段A片的中點(diǎn)，則異面直線。E與BG所成角

的余弦值為（）

A石nM「后n2亞

A?D.k_x?\-）.

5555

9.已知△ABC是面積為亞的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若球。的表

4

面積為16萬，則。到平面ABC的距離為()

A.&B.-C.1D.3

22

10.在正方體ABC。-A4G。中，P，Q分別為AB,CD的中點(diǎn)，則()

A.ABJ平面ABGB.異面直線4片與4a所成的角為30。

C.平面平面BCQD.平面80，平面

二、填空題

11.己知角a和角尸的兩邊分別平行且一組邊方向相同，另一組邊的方向相反，若。=

45°,貝［|￡=.

12.若直線/的方向向量機(jī)=(x,T,2),平面a的法向量〃=(-2,-2,4),且直線以平面a,

則實(shí)數(shù)x的值是.

13.詞語(yǔ)“塹堵”、“陽(yáng)馬”、“鱉席”等出現(xiàn)自中國(guó)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》，是古代人

對(duì)一些特殊錐體的稱呼.在《九章算術(shù)?商功》中，把四個(gè)面都是直角三角形的四面體

稱為“鱉腌現(xiàn)有如圖所示的“鱉膈”四面體以8C,其中平面ABC,PA=AC^2,

BC=26,則四面體以BC的外接球的表面積為.

14.設(shè)空間向量/,，，&是一組單位正交基底，若空間向量a滿足對(duì)任意的x，y，|“-x”力］的

最小值是2,則卜+3囚的最小值是.

三、解答題

15.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn).

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

(1)求證：AG〃平面COB一

⑵若44,J?平面ABC,AC=BC,求證：C￡>J_平面A881A.

16.如圖，空間四邊形ABCQ中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、D4的中點(diǎn).

求證：(1)E”〃平面BCD；

(2)〃平面EFGH.

17.如圖，在四棱錐P-A5C。中，PO_L平面ABC。，底面ABC。是正方形，4c與3。

交于點(diǎn)0,E為P8的中點(diǎn).

0

(1)求證：EO平面P￡>C；

(2)求證：平面PAC_L平面尸8力.

18.如圖，在三棱錐A—BCD中，平面A8￡>_L平面BCD,AB=AD,。為8。的中點(diǎn).

(1)證明：0A1CD；

(2)若.OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AO上，DE=2EA,且二面角

E-8C-。的大小為45。，求三棱錐A-BCD的體積.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

（高中數(shù)學(xué)）空間向量與立體幾何單元專項(xiàng)訓(xùn)練

試題（含答案解析）

I.A

【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)直接求解即可.

【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)（-1,2,1）,則其關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)為（T-2,1）.

故選：A.

2.D

【解析】求出A8=（-l,l,-2）,BC=（-2,0,1）,利用與〃=數(shù)量積為0,求解即可.

【詳解】AB=（-l,l,-2）,BC=（-2,0,1）

"-A8=-l+/l-2〃=0

“?BC=-2+〃=0

可得〃=2,2=5,%+〃=7

故選：D

3.B

【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得8的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)。為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，

OB=OA+A3=（3,—l,0）+（2,5,—3）=（5,4,—3）.

故選：B

4.B

【分析】由直觀圖和原圖的之間的關(guān)系，和直觀圖畫法規(guī)則，還原,048是一個(gè)直角三角形，

其中直角邊。4=6,08=4,直接求解其面積即可.

【詳解】解：由直觀圖畫法規(guī)則，可得是一個(gè)直角三角形，其中直角邊OA=6,08=4,

.-.SOAB=1OAOB=1X6X4=12.

故選：B.

5.C

【分析】由題設(shè)知機(jī)根據(jù)空間向量共線定理，即可判斷平面。與平面夕的位置關(guān)系.

答案第1頁(yè)，共11頁(yè)

【詳解】平面a的一個(gè)法向量是力=(；,-1,；)，平面夕的一個(gè)法向量是，"=(-3,6,-2),

m=-6〃,

平面a與平面夕的關(guān)系是平行或重合.

故選：C.

6.D

9

【分析】由題意可得該圓柱底面圓的半徑為圓柱的高為9,從而可求出其側(cè)面積

g

【詳解】由題意得，該圓柱底面圓的半徑為圓柱的高為9,

9

所以該圓柱的側(cè)面積為2萬=、9=81%.

故選：D

7.D

【解析】根據(jù)向量。4、08、0C不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底知向量共面，即可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?、A、B、C為空間四點(diǎn)，且向量0A、OB、0C不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，

所以O(shè)B、0C共面，

所以。、A、B、C四點(diǎn)共面，

故選：D

8.B

【分析】連接AR,AE,得到AR//8C；,把異面直線與BQ所成角轉(zhuǎn)化為直線RE與

A。所成角，取4。的中點(diǎn)尸，在直角VAE/中，即可求解.

【詳解】在正方體ABC。-A,4GA中，連接AR,AE,可得AR//BC；,

所以異面直線AE與BQ所成角即為直線RE與AD,所成角,

即NAQE為異面直線D.E與8G所成角，

不妨設(shè)AA,=2,則A￡>]=2a,D、E=AE=舊,

取AR的中點(diǎn)F,因?yàn)?。E=AE,所以EFLAR,

可得COSZARE=4^=W=?

在直角VAEF中,

D、E加5

故選：B.

答案第2頁(yè)，共11頁(yè)

9.C

【分析】根據(jù)球。的表面積和A8C的面積可求得球。的半徑R和―45C外接圓半徑r,由

球的性質(zhì)可知所求距離”=VF=7.

【詳解】

設(shè)球。的半徑為R,則4乃我2=16萬，解得：R=2.

設(shè).ABC外接圓半徑為廣，邊長(zhǎng)為。，

&ABC是面積為唯的等邊三角形，

4

,_1/、蟲=還，解得：，=3,"==M晝=6,

2243V43V4

球心。到平面ABC的距離d=依-尸=74-3=1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用;

解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.

10.D

【分析】A項(xiàng)反證法可得；

B項(xiàng)由平移法計(jì)算異面直線所成角；

C項(xiàng)由面面平行的判斷和性質(zhì)可得結(jié)果；

答案第3頁(yè)，共11頁(yè)

D項(xiàng)建立空間直角坐標(biāo)系可得結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,假設(shè)Ag_L面A8G,則A/^AG，這與已知AB「與A?不垂直相

矛盾，所以假設(shè)不成立.

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,連接。G，DAt,

因?yàn)锳4〃DQ,所以NDGA為異面直線AS與AG所成的角或補(bǔ)角，

又因?yàn)椤鰽￡O為等邊三角形，所以NZ)GA=60°，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C,

因?yàn)槎鶤DJBC，由面面平行的判定定理可得平面A4D〃平面8OG，而平面

與平面8OG相交，所以平面與平面80。也相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,0A所在的直線分別為x,>,z軸，建立空

答案第4頁(yè)，共11頁(yè)

間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為I,則。(0,0,0),^(1,1,1),c(o,i,o),小,g，o｝可得。4=(1,1,1),

DC=(0,1,0),QP=1,g,0),設(shè)平面BQ。的法向量為勺=(x,y,z),

，

n.?DB.=x+y+z=0,、

則■，可取X=l,則y=o,Z=-1,即勺=(l,0,-l),

nx?DC=y=0

G?DB1=a+/?+c=O

設(shè)平面BQP的法向量為〃2=(a,b,c),則＜

nDP=a+-b=0

72

可取a=l,則6=—2,c=\,可得平面與。戶的一個(gè)法向量為“ML-2』),

由/V“ul+O—1=0,所以用，均，即平面與。4_1_平面與。尸，故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

11.135°

【分析】首先根據(jù)題意將圖畫出，然后根據(jù)a=45。，AB//CD,可得/8。=180”-a,進(jìn)

而得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，由題意知a=45。，AB//CD,

ZBCD=180-a=135">

即￡=135°.

答案第5頁(yè)，共11頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，結(jié)合圖會(huì)使問題變得簡(jiǎn)單，屬于基礎(chǔ)題.

12.-1

【分析】利用法向量的定義和向量共線的定理即可.

【詳解】直線/的方向向量〃?=(x,T,2),平面a的法向量〃=(-2,-2,4),直線/上平面a,

必有,〃//〃，即向量加與向量”共線，

x-11

m=An,—=—=解得x=T;

-2—22

故答案為：-1.

13.16萬

【分析】確定外接球球心求得球半徑后可得表面積.

【詳解】由于P4_L平面A8C,因此亂與底面上的直線ACAB,8c都垂直，

從而AC與AB不可能垂直，否則PBC是銳角三角形，由于ACV8C,因此有AC_Z3C,

而以與AC是平面PAC內(nèi)兩相交直線，則8c/平面PAC,PCu平面B4C,所以3C_LPC,

所以心的中點(diǎn)。到P，A,B,C四個(gè)點(diǎn)的距離相等，即為四面體以BC的外接球球心.

PB2=PA2+AB2=PA2+AC2+BC2=22+22+(2>/2)2=\6,PB=4,

PR

所以所求表面積為s=4〃X(三)2=4萬x2?=16/.

故答案為：16萬.

14.1

【分析】以i,j方向?yàn)閄，y軸，垂直于i,/方向?yàn)閆軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得a坐

標(biāo)，由卜+3%|的表達(dá)式即可求得最小值.

【詳解】以方向?yàn)閤，％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則i=(l,O,O),/=(0,1,0),=(0,0,1)

答案第6頁(yè)，共11頁(yè)

設(shè)a=(r,5,Z)則,一Xi-y/卜^(r-x)2+(5-y)2+f2,

當(dāng)r=x，s=V時(shí),-x"yj\的最小值是2,

.-.r=±2

取a=(x,y,2)則a+3Z=(x,y,5)

.,Ja+3囚=y]x2+y2+52

又因?yàn)槭侨我庵?，所以k+3%|的最小值是5.

取a=(x,y,-2)則4+3A=(x,y,l)

」.卜+3%卜yjx2+y2+12

又因?yàn)閄，y是任意值，所以卜+3&|的最小值是1.

故答案為：1.

15.(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)連接BC一交B、C于點(diǎn)、E,連接EZ),用中位線證明匹〃AG即可；

(2)證明CD14A即可.

【詳解】(1)連接8G，交BC于點(diǎn)E,連接ED

?.?A8C-44￡是三棱柱，.?.四邊形8CC內(nèi)為平行四邊形，是8G的中點(diǎn)

???點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，ED是:.ABC的中位線，ED//AQ,

又即u平面CQg,AG<2平面CO與，AG〃平面COB-

答案第7頁(yè)，共11頁(yè)

(2)；例，平面ABC,ABu平面ABC,AAA.1.AB,

VAC=BC,AD=BD,：.CD1AB,

A4,AB=A,A4”ABu平面,

...CO1平面AB4A.

16.(1)見解析(2)見解析

【分析】(1)推導(dǎo)出EH〃8。，由此能證明EH〃平面BCD；

(2)由BD〃EH,由此能證明8?！ㄆ矫鍱FGH.

【詳解】(1)；￡：”為AABD的中位線，

C.EH//BD.

,"http://<￡平面BCD,8Ou平面BCD,

.?.EH〃平面BCD；

(2)；只7為AC8D的中位線，

J.FG//BD,

J.FG//EH,

，E、F、G、，四點(diǎn)共面，

'：BD//EH,EFGH,EHcTffiEFGH,

〃平面EFGH.

【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCZ)為正方形，二。為8。的中點(diǎn)，

為尸8的中點(diǎn)，：.OE//PD,

又平面POC,尸。u平面PDC,0E平面P￡)C；

(2)證明：?.?四邊形43CD為正方形，...ACIBO,

：P￡>J_平面ABC。，且ACu平面ABC￡>,所以PD_LAC,

又；PD,BDu平面PBD,且P￡)c3Z)=D,AC_L平面

又?；ACu平面PAC,二平面PAC,平面PZM.

答案第8頁(yè)，共11頁(yè)

18.（1）證明見解析；（2）包.

6

【分析】（1）由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；

（2）方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體

積即可.

【詳解】（1）因?yàn)锳3=AE>,。是BD中點(diǎn)，所以。4,83,

因?yàn)镺Au平面A8￡）,平面平面BCD,

且平面ABDc平面3c0=%）,所以。4,平面58.

因?yàn)镾u平面88,所以。4LCD.

（2）［方法一］:通性通法一坐標(biāo)法

如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為z軸，0。為了軸，垂直0。且過。的直線為x軸，建立

空間直角坐標(biāo)系。一個(gè)z,

則（7（立2,0）,。（0』,0）,次0,-1,0）,設(shè)4（0,0,，"）,E（0，!，?!；?）,

2233

所以如（0,一*一|,〃）屎=（怖|,0）,

設(shè)。=（x,y,Z）為平面EBC的法向量，

則由黑工可求得平面反c的一個(gè)法向量為"苒』，言

又平面BCD的一個(gè)法向量為OA=（0,0,m）,

所以cos（〃,O4）=|—j4?=，解得加=1.

又點(diǎn)C到平面A8D的距離為丑，所以匕Bcn=VcABl）=-x-x2xlx^-=^,

2n-nl^iJC-nttlJ3226

所以三棱錐A-BCD的體積為?.

6

［方法二］【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角

答案第9頁(yè)，共11頁(yè)

如圖所示，作EG_LBD,垂足為點(diǎn)G.

作Gb_L8C,垂足為點(diǎn)尸，連結(jié)EF,則。4〃￡G.

因?yàn)镺A_L平面BCD,所以EG_L平面8c。，

/EFG為二面角E-BC-。的平面角.

因?yàn)镹EFG=45。，所以EG=^G.

由已知得03=8=1