排列組合與二項(xiàng)式

一、分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事情，有n類方式,在第1類方式中有m1種不同的方法,在第2類方式中有m2種不同的方法，……，在第n類方式中有mn種不同的方法。那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.第十五章排列、組合與二項(xiàng)式定理要點(diǎn)：（1）分類；（2）相互獨(dú)立；（3）N=m1+m2+…+mn（各類方法之和）2021/10/101分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.

要點(diǎn)：（1）分步；（2）每步缺一不可，依次完成；（3）N=m1×m2×…×mn（各步方法之積）2021/10/102總結(jié)出兩個(gè)原理的聯(lián)系、區(qū)別：分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理聯(lián)系區(qū)別1區(qū)別2完成一件事，共有n類辦法，關(guān)鍵詞“分類”完成一件事，共分n個(gè)步驟，關(guān)鍵詞“分步”每類辦法相互獨(dú)立，每類方法都能獨(dú)立地完成這件事情各步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事都是研究完成一件事的不同方法的種數(shù)的問(wèn)題2021/10/103例1書架的第一層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第二層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？解：從書架上任取一本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類辦法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類辦法是從第3層取一本體育書，有2種方法．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是N=4+3+2=9．答：從書架上任取1本書，有9種不同的取法.2021/10/104例2書架的第一層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第二層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架的第1、2、3層各取一本書，有幾種不同的取法？解:從書架的第1，2，3層各取1本書，可以分成3個(gè)步驟完成：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是

N=4×3×2=24．答：從書架的第1，2，3層各取1本書，有24種不同的取法.

第3個(gè)步驟是從第3層取一本體育書，有2種方法．第2個(gè)步驟是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第1個(gè)步驟是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；2021/10/105課堂練習(xí)書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有6本不同的語(yǔ)文書，下層放有4本不同的英語(yǔ)書，從中任取1本書的不同取法的種數(shù)是（）

A.5+6＋4=15B.1C.6×5×4=120D.3A在上題中,如果從中任取3本,數(shù)學(xué),語(yǔ)文,英語(yǔ)各一本,則不同取法的種數(shù)是()A.1+1+1=3B.5+6+4=15C.5×6×4=120D.1C2021/10/106二、排列的概念：

從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

說(shuō)明：（1）排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列；（2）兩個(gè)排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同；（3）當(dāng)m=n時(shí)，稱為n個(gè)元素的全排列.2021/10/107排列數(shù)的定義：

從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù).用符號(hào)表示:區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：

“一個(gè)排列”是指：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；

“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)，所以符號(hào)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列.2021/10/108排列數(shù)公式

從n個(gè)元素a1,a2,a3,…,an中任取m個(gè)元素填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列，反過(guò)來(lái)，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)．由分步計(jì)數(shù)原理完成上述填空共有種填法.2021/10/109說(shuō)明：

（1）公式特征：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是n-m+1，共有m個(gè)因數(shù)；（2）全排列：當(dāng)m=n時(shí),即n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列.全排列數(shù)：2021/10/1010排列數(shù)公式階乘表示：2021/10/10111、從2，3，5，7，11這五個(gè)數(shù)字中，任取2個(gè)數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？2、5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？3、某年全國(guó)足球中超聯(lián)賽共有16隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場(chǎng)分別比賽1次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？2021/10/1012

一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

說(shuō)明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無(wú)序性；⑶相同組合：元素相同三、組合的概念：2021/10/1013組合數(shù)的概念：

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)表示:2021/10/1014組合數(shù)公式:

一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)可以分如下兩步：①先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)；②求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：2021/10/1015組合數(shù)性質(zhì)1：組合數(shù)性質(zhì)2：2021/10/10161、利用組合數(shù)性質(zhì)計(jì)算：2021/10/10172021/10/10182、5個(gè)男生，3個(gè)女生（1）男女生各選2個(gè)參加會(huì)議，有多少種不同的選法？（2）選4人參加會(huì)議，其中必須有女生，有多少種不同的選法？（3）選4人參加會(huì)議，女生至多1人，有多少種不同的選法？分組問(wèn)題：“含”與“不含”

“至多”與“至少”2021/10/1019特殊元素先排1、a、b、c、d、e五個(gè)人排成一排，依下列條件有多少種不同的排法？（1）共有多少種排法？（2）a必須在中間（3）a必須在兩端（4）a不在首，b不在尾四、排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用2021/10/1020（10）a在b的前面集團(tuán)式排除法插空法按序1、a、b、c、d、e五個(gè)人排成一排，依下列條件有多少種不同的排法？（5）a、b、c必須相連（7）a、b、c恰有兩個(gè)相連（8）a、b、c中至多有兩個(gè)相連（9）a、b、c中至少有兩個(gè)相連（6）a、b、c不相連2021/10/1021（10）a在b的前面按序1、a、b、c、d、e五個(gè)人排成一排，依下列條件有多少種不同的排法？a在第1位a在第2位a在第3位a在第4位分類討論所以共有24+18+12+6=60種不同的排法2021/10/10222、3名男生和2名女生站成一排，其中2名女生恰好站在兩端的概率是()3、書架上陳列了4本科技雜志和4本文藝雜志。一位學(xué)生從中任取一本閱讀，那么他閱讀文藝雜志的概率等于（）（A）1（B）0.25（C）0.5（D）0.1254、某學(xué)生從5門課程中任選3門，其中甲、乙兩門課程至少選一門，則不同的選課方案共有（）種。（A）11（B）10（C）9（D）8Cc2021/10/10235、8名選手在8條跑道的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)進(jìn)行百米賽跑，其中有2名中國(guó)選手，按隨機(jī)抽簽方式?jīng)Q定選手的跑道，2名中國(guó)選手在相鄰的跑道的概率為（）。6、4個(gè)人排成一行，其中甲、乙二人總排在一起，則不同的排法共有（）。

(A)3種(B)6種(C)12種(D)24種7、兩個(gè)盒子內(nèi)各有3個(gè)同樣的小球，每個(gè)盒子中的小球上分別標(biāo)有1，2，3三個(gè)數(shù)字，從兩個(gè)盒子中分別任意取出一個(gè)球，則取出的兩個(gè)球上所標(biāo)數(shù)字的和為3的概率是（）。C2021/10/10248、某學(xué)生從6門課程中選修3門，其中甲課程一定要選修，則不同的選課方案共有（）。

(A)4種(B)8種(C)10種(D)20種9、5個(gè)人排成一行，則甲排在正中間的概率是（）。10、某學(xué)生從6門課程中選修3門，其中甲、乙兩門課程至少選一門，則不同的選課方案共有（）。

(A)4種(B)12種(C)16種(D)20種11、正六邊形中，由任意三個(gè)頂點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形的個(gè)數(shù)為（）。（A）6（B）20（C）120（D）720C2021/10/1025例3、6本不同的書，按下列要求處理，各有幾種分法？（1）一堆1本，一堆2本，一堆3本（2）甲得1本，乙得2本，丙得3本（3）一人得1本，一人得2本，一人得3本（4）平均分給甲、乙、丙三人（5）平均分成三堆非均勻不定向分配（有序）非均勻定向分配（有序）均勻分組問(wèn)題（無(wú)序）均勻定向分配（有序）非均勻分組（無(wú)序）2021/10/1026例4（1）將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜至少有1個(gè)球的方法有多少種？（2）將9本相同的練習(xí)本分給5個(gè)人，每人至少1本，有多少種不同的分法？（3）某城市一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)約用電又不影響正常照明，可以熄滅其中的3盞燈，但路的兩端燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，共有多少種熄滅的方法？相同元素分組問(wèn)題：插空法（隔板法）2021/10/1027例5、從5雙不同的鞋子中取出4只，按下列條件有多少種不同的取法？（1）取出4只鞋恰好配成2雙（2）取出4只鞋至少配成1雙（3）任何2只都不能配成1雙分組問(wèn)題：配對(duì)2021/10/1028五、二項(xiàng)式定理(a+b)4＝C40a4

＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44

b42021/10/1029(a+b)2＝

(a+b)(a+b)展開(kāi)后其項(xiàng)的形式為：a2

，ab，b2這三項(xiàng)的系數(shù)為各項(xiàng)在展開(kāi)式中出現(xiàn)的次數(shù)?？紤]b恰有1個(gè)取b的情況有C21種，則ab前的系數(shù)為C21恰有2個(gè)取b的情況有C22

種，則b2前的系數(shù)為C22每個(gè)都不取b的情況有1種，即C20,則a2前的系數(shù)為C20(a+b)2=a2+2ab+b2

＝C20

a2+C21

ab+C22b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3單三步2021/10/1030二項(xiàng)展開(kāi)式定理:一般地，對(duì)于nN*，有：

這個(gè)公式表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做

，

叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tr+1

表示，該項(xiàng)是指展開(kāi)式的第

項(xiàng)，展開(kāi)式共有_____個(gè)項(xiàng).展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)r+1n+1單三步2021/10/10312.二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律：3.指數(shù)規(guī)律：（1）各項(xiàng)的次數(shù)和均為n；（2）二項(xiàng)和的第一項(xiàng)a的次數(shù)由n逐次降到0，

第二項(xiàng)b的次數(shù)由0逐次升到n.1.項(xiàng)數(shù)規(guī)律：展開(kāi)式共有n+1個(gè)項(xiàng)二項(xiàng)展開(kāi)式定理:單三步2021/10/1032特別地:2、令a=1，b=x1、把b用-b代替(a-b)n=Cnan-Cnan-1b+…+(-1)rCnan-rbr

+…