2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-8 . 3 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

8.3直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

五年高考

考點(diǎn)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1.（2022全國(guó)乙,理7,文9,5分,綜合性）在正方體ABCD-ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，則（）

A.平面BEFJ_平面BDDi

B.平面BIEF_L平面AiBD

C.平面BEF〃平面AM

D.平面BEF〃平面ACD

答案A

2.（2014廣東,7,5分,基礎(chǔ)性）若空間中四條兩兩不同的直線1>,L,13,L,滿足12113,LIL,則下

列結(jié)論一定正確的是（）

A.li.LI4

B.1I/71I

C.L與L既不垂直也不平行

D.L與L的位置關(guān)系不確定

答案D

3.（2021浙江,6,4分,基礎(chǔ)性）如圖,已知正方體ABCD-ABCD,M,N分別是A.D,DB的中點(diǎn),則（）

A.直線A,D與直線D,B垂直,直線MN〃平面ABCD

B.直線ND與直線D.B平行,直線MN_L平面BDD.B,

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C.直線A,D與直線D,B相交,直線MN〃平面ABCD

D.直線A,D與直線D,B異面,直線MN_L平面BDDiB,

答案A

4.（2019課標(biāo)HI,文8,理8,5分,綜合性）如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,AECD為正三角形,平面ECD1

平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則（）

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.BMWEN,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BMHEN,且直線BM,EN是異面直線

答案B

5.（2019北京,文13,理12,5分,基礎(chǔ)性）已知1,m是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①l_Lm;②m〃a;③口a.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命

題:.

答案若11d.a,則m〃a（答案不唯一）

6.（2021新高考I,20,12分,綜合性）如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABD，平面BCD,AB=AD,0為BD的中點(diǎn).

⑴證明：0A_LCD;

（2）若AOCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱

錐A-BCD的體積.

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A

解析⑴證明:在AABD中，：AB=AD,O為BD的中點(diǎn)，,AO_LBD,又\?平面ABDJ_平面BCD,平面ABDn

平面BCD=BD,AOc平面ABD,AAO_L平面BCD,又CDc平面BCD,AO1CD.

⑵在AABD中，過(guò)E作EN〃A0交BD于N,

則由AOJ_平面BCD得EN,平面BCD,AENlBC,

?.?OB=OD=OC=1,，ZBCD=90°,即DC±BC.

在ABCD中，過(guò)N作NM〃CD交BC于M,則NM±BC.

連接EM,VBC1EN,BC1NM,ENnNM=N,

.,.BC,平面EMN,.?.EM_LBC,

AZEMN為二面角E-BC-D的平面角，又知二面角E-BC-D的大小為45°,

工NEMN=45°,ZXEMN為等腰直角三角形，

又由DE=2EA得DN=2NO,.\MN=|cD=|=EN=ND,.-.AO=OD=1,.-.VA-BCD=-A0=1x|x

1x遍x1=g故三棱錐A-BCD的體積為￡

oo

7.(2021全國(guó)乙文,18,12分,綜合性)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD,底面ABCD,M為BC的中點(diǎn),

且PB1AM.

⑴證明:平面PAM_L平面PBD;

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

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...~~

解析(D證明：由于PD，平面ABCD,AMc平面ABCD,則PD±AM,又PB±AM,PBnPD=P,PB、PDu平面PBD,

所以AM_L平面PBD,因?yàn)锳Mu平面PAM,所以平面PAMJ_平面PBD.

⑵由⑴知AM,平面PBD,因?yàn)锽Dc平面PBD,所以AM1BD,所以NMAB+NABD=90°,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為

矩形,所以NDABJABM,所以NMAB+NAMB=90°,所以ZABD=NAMB,則△DABS/XABM,則果=怒又AB=

DC=1,M為BC的中點(diǎn),AD=V2,

S矩形ABCD=AB,AD=V2,V四棱錐PABCD—jgg戒D,PD=—xV2x1=

8.(2019課標(biāo)II文,17,12分,綜合性)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-ABCD的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AAi

上,BElECi.

⑴證明:BE_L平面EBICI；

(2)若AE=A,E,AB=3,求四棱錐E-BB.C.C的體積.

解析⑴證明：由已知得平面ABBA,BEc平面ABBA,故BC」BE.又BE±EC?所以BE」平面EBC.

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（2）由（1）知NBEBi=90°.由題設(shè)知RtAABE^RtAA,B,E,FJflUzAEB=ZAiEB,=45o,故AE=AB=3,AA,=2AE=6.

作EF1BB：,垂足為F,則EF,平面BBCC,且EF=AB=3.所以四棱錐E-BBCC的體積V=1x3X6X3=18.

三年模擬

A組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組

考點(diǎn)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1.（2022廣東湛江二模,4）已知a,B是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,且anB初，則“m_Ln”

是“19”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

2.（2022福建龍巖一模,4）已知互不重合的直線a,b,互不重合的平面a,B,丫，給出下列四個(gè)命題,錯(cuò)

誤的命題是（）

A.若a〃a,a〃B,aCB=b,則a//b

B.若Q_LB,a_La,b_LB，則a±b

C.若a±3,a±y,BGY=a,貝［ja_La

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D.若a〃6,a〃a,貝[]a〃B

答案D

3.（多選）（2022長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)第七次月考,11）如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中,四邊形ABCD為正方

形,AB=2,AA,=V2,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，則（）

A.AiElDF

B.點(diǎn)Ai、E、F、G四點(diǎn)共面

C.直線C.D與平面BB.C.C所成角的正切值為我

D.三棱錐E-3DF的體積為當(dāng)

答案BCD

4.（多選）（2022福建4月百校聯(lián)合測(cè)評(píng),11）已知三棱錐P-ABC外接球的球心為0,外接球的半徑為

4,AB=AC=4,PB=PC,BC=m（m為正數(shù)），則下列命題是真命題的是（）

A.若m=4V^,則三棱錐P-ABC的體積的最大值為絲警

B.若P,0,A不共線，則平面P0A,平面ABC

C.存在唯一一點(diǎn)P,使得0P,平面ABC

D.m的最大值為4V2

答案AB

5.（2020湘贛皖十五校第二次聯(lián)考,3）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-ABCD中,P為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且總有PC_LBD,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積為（）

A.V3B.3V2C.yD.1

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答案c

6.（2021重慶一模，16）在四棱柱ABCD-ABCD中,AA」平面ABCD,AB〃CD,AB=4,BC=CD=DA=AAI=2,以CD的

中點(diǎn)0為球心,0D的長(zhǎng)為半徑的球0截側(cè)面ABBA所得圖形的面積為.

答案”

B組綜合應(yīng)用題組

時(shí)間：40分鐘分值50分

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共15分）

1.（2022重慶一中3月月考,2）已知m,n為兩條不同的直線，a,B為兩個(gè)不同的平面,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.若a〃B,m〃a,則m〃B

B.若m_La,nJ.8,a〃B,則m〃n

C.若aB,mua,貝m±B

D.若mJ.a,nu0,m_Ln,貝!Jaj.B

答案B

2.（2022黑龍江哈爾濱三中二模,H）如圖,直四棱柱ABCD-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)

為4,E,F分別在AB,BC上,且版=^AB,CF=jcB,過(guò)D?E,F的平面記為a，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)

是（）

①DF與平面ABCD所成角的正切值為學(xué);

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②平面a截直四棱柱ABCD-ABCD所得截面的形狀為四邊形；

③平面a將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積之比為3：1;

④平面a截直四棱柱ABCD-ABCD所得截面的面積為7V3.

A.1B.2C.3D.4

答案B

3.（2021江蘇南通期末,3）已知直線mu平面a,則直線1，平面a是直線的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分又不必要條件

答案B

二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共10分）

4.（2022湖北八市聯(lián)考,11）我們把經(jīng)過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直的三棱錐，稱作直角三棱錐.在直角

三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直,設(shè)SA=a,SB=b,SC=c,點(diǎn)S在底面ABC的射影為點(diǎn)D,三條側(cè)

棱SA、SB、SC與底面所成的角分別為a、B、丫，下列結(jié)論正確的有（）

A.D為4ABC的外心

B.AABC為銳角三角形

C.若a>b>c,則a<p<y

D.sin2a+sin2B+sin2y=1

答案BCD

5.（2022湖南三湘名校聯(lián)盟聯(lián)考,12）在三棱柱ABC-ABG中,平面AC3A」平面ABC,A,A=A,C.E,F分別是

線段AC,AB上的點(diǎn).下列結(jié)論成立的是（）

A.若AA產(chǎn)AC,則存在唯一直線EF,使得EF1A.C

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B.若AAFAC,則存在唯一線段EF,使得四邊形ACCA的面積為竽EF，

C.若AB^BC,則存在無(wú)數(shù)條直線EF,使得EF1BC

D.若AB^BC,則存在線段EF,使得四邊形BB.C.C的面積為BC?EF

答案BCD

三、填空題（每小題5分，共10分）

6.（2022山東棗莊一模,14）如圖,等腰RtAPAD與矩形ABCD所在平面垂直,且PA=PD=AB=2,則四棱錐

P-ABCD的外接球的表面積為.

答案12"

7.（2022海南文昌中學(xué)4月段考,16）已知正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M,N分別是棱BC,C.D,的中

點(diǎn)點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)，點(diǎn)Q在線段A,N上,若P.M=V5,則PQ長(zhǎng)度的最小值為.

答案等1

四、解答題（共15分）

8.（2022重慶第七次質(zhì)檢,20）如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB1平面PAD,APAD是正三角

形，DC//AB,DA=DC=2AB=4.

（1）求證:平面PBC,平面PCD;

（2）求平面PAC與平面PBD所成二面角的正弦值.

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解析⑴證明:取PC的中點(diǎn)E,PD的中點(diǎn)F,連接BE,AF,EF,VAPAD是正三角形，，AFUD.

丁ABJ_平面PAD,DC〃AB,AFu平面PAD,

.*.AF±DC,又PDnDC=D,AF_L平面PDC.

VE,F分別是PC,PD的中點(diǎn)，.?.EF〃DC,EF瓢,

又AB〃DC,AB=|DC,AB〃EF,AB=EF,

.??四邊形EFAB為平行四邊形，...BE//AF,

；.BE，平面PCD,...BEu平面PBC,

，平面PBC_L平面PCD.

⑵取AD的中點(diǎn)0,取BC的中點(diǎn)M,連接0M,0P,易知OP,0A,0M兩兩垂直，以0為原點(diǎn)分別以a,OM,OP

的方向?yàn)閤,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系則A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,4,0),D(-2,0,0),P(0,0,2次),

則方=(2,0,-2V3),PC=(-2,4,-273).

設(shè)平面PAC的法向量為『區(qū),y?z),由[上,叫=。，得產(chǎn)「2低1=G

[PC?%=0,1-2X1+4丫1-2債1=0,

令則yl=>/3,zl=1,則nl=(V3,V3,1).

易知麗=(2,2,-2V3),PD=(-2,0,-273).