2023年河南高三一診考試數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖是一個算法流程圖，則輸出的結(jié)果是()

A.3B.4C.5D.6

2.如圖，長方體ABCO-A4G。中，2A6=3A41=6,率=2再，點T在棱A4上，若平面P8C.則

UliUUU

TPB、B=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.設S“為等差數(shù)列｛為｝的前〃項和，若生=-3,S1=-7,則S”的最小值為()

A.-12B.-15C.-16D.-18

4.如圖所示程序框圖，若判斷框內(nèi)為“i<4"，則輸出S=()

A.2B.10C.34D.98

2x+y-2<0

5.已知xj滿足不等式組<x—2y—lW0,則點P(x,y)所在區(qū)域的面積是()

x>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

6.執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的S是()

A.36B.45

C.-36D.-45

7.已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等,E是SB的中點，則AE,SO所成的角的余弦值為()

1

A.-

3孝4

8.設函數(shù)/(x),g(x)的定義域都為R,且/(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.J'(xbg(x)是偶函數(shù)B.|/(x)|-g(x)是奇函數(shù)

C.⑸是奇函數(shù)D.|/(x>g(x)|是奇函數(shù)

9.等腰直角三角形8C。與等邊三角形A3。中，ZC=90°,BD=6,現(xiàn)將△AB。沿8。折起，則當直線AO與平

面3C。所成角為45。時，直線AC與平面A5O所成角的正弦值為()

出

D.2

~T

10.若復數(shù)Z滿足z=(2+i)(l—i)(i是虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.—B.Vioc.立

D.布

22

’715

11.計算等于()

_332

A.B.-C.——

~223

/(%)一/(%)

12.已知函數(shù)〃x)=(2a+2)lnx+2公2+5.設〃<—i,若對任意不相等的正數(shù)占，/，恒有>8,

X\~~X2

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-3,-1)B.(-2,-1)

C.D.(—oo,-2]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.定義min{a,Z?}=<已知/(x)=e*,^(x)=(x-l)(mx+2w2若

〃(x)=min{/(x),g(x)}恰好有3個零點，則實數(shù)〃?的取值范圍是.

14.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是.

h-----2------Hh—iT

正視圖便視圖

俯柳圖

15.已知復數(shù)z="是純虛數(shù)，則實數(shù),|z|=.

1-1

冗

16.已知AABC內(nèi)角A，B,C的對邊分別為。，b,c.。=4,b=R,A=§則cos2B=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列也｝中，4=0,%=2,4=2"H（〃GN）

（1）求數(shù)列也｝及｛%｝的通項公式；

（2）若c,=ga也,,求數(shù)列｛%｝的前〃項和S”.

18.（12分）已知/（X）=|2X+3|T2X-1|.

（1）求不等式〃x）＜2的解集；

（2）若存在xeR,使得〃x）＞|3a—2|成立，求實數(shù)”的取值范圍

19.（12分）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線上隨機抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計其質(zhì)量指標值并繪制頻率分布直方圖（如

圖1）：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標值在［65,85）的為劣質(zhì)品，在［85,1（）5）的為優(yōu)等品，在［105,1閭的為特優(yōu)品，銷售時劣

質(zhì)品每件虧損0.8元，優(yōu)等品每件盈利4元，特優(yōu)品每件盈利6元，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于各區(qū)間的頻率代

替產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于該區(qū)間的概率.

(|40

e120

K100

T80

窿60

比4()

加2()

0.

?■

10203()40-50-60

年營的費用”(萬元)

圖2

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤;

（2）該企業(yè)主管部門為了解企業(yè)年營銷費用X（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，對該企業(yè)近5年

的年營銷費用占和年銷售量X，（i=1,2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點圖（如圖2）及一些統(tǒng)計量的值.

55

Ex

1=1i=li=l/=1

16.3523.40.541.62

15_15

表中〃i=lnXj,匕=lny,正=工工吃,玉=三￡4.

5/=15i=i

根據(jù)散點圖判斷，y=o?可以作為年銷售量y（萬件）關(guān)于年營銷費用X（萬元）的回歸方程.

①求y關(guān)于x的回歸方程；

②用所求的回歸方程估計該企業(yè)每年應投入多少營銷費，才能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大？（收益=銷售

利潤一營銷費用，取0359=36）

附：對于一組數(shù)據(jù)（%,K）,（4，彩），…，（”“，匕,），其回歸直線e=4+液〃的斜率和截距的最小二乘估計分別為

P=------------,a=v-fiu.

Z（M/-w）2

1=1

20.（12分）新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，電子購物平臺成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績，某公司設計

了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點.運作一年后，對“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點各

選取了50個，對比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長的百分點分成5組：

[-5,0）,[0,5）,[5,10）,[10,15）,[15,20],分別統(tǒng)計后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長10個百

分點及以上的營銷網(wǎng)點為“精英店”.

“采用促銷”的銷售網(wǎng)點“沒有采用促銷”的銷售網(wǎng)點“

（1）請你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”;

采用促銷沒有采用促銷合計

精英店

非精英店

合計5050100

（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤，通過分析上一年度的售價七（單位：元）和日銷量％（單位：件）（i=l,2,.,10）

的一組數(shù)據(jù)后決定選擇、=。+/2?作為回歸模型進行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的嗎：

10./一\2

2d2(x,.-x)(x-y)

XywZ=1/=1i=\i=l

45.8395.52413.54.621.6-2.3-7.2

①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計算。，匕的值;

②已知該公司成本為10元/件，促銷費用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價x定為多少時日利潤z可以

達到最大.

n(ad-be)"

附①：K?=

(a+0)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.1000.0500.01()0.001

k2.7063.8416.63510.828

附②：對應一組數(shù)據(jù)（%,￥）,（%，彩），（均，匕），…，（〃"，匕），其回歸直線口=二+萬M的斜率和截距的最小二乘法估計分

別為用『匹一Z3-'?=v-°u?

/=!

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=e"sinx.

71

（1）若/（幻在0,-上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍

6

TT

（2）若。=1,對Vxe0,y,恒有/（戲，區(qū)成立，求實數(shù)。的最小值.

2

22.（10分）AA8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,已知AABC的面積為‘一

4sinA

（1）求sin求sinC；

(2)若10cosBcosC=-l,a=y/2>求AABC的周長.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，執(zhí)行上述的程序框圖：

第1次循環(huán)：滿足判斷條件，x=2,y=\t

第2次循環(huán)：滿足判斷條件，x=4,y=2；

第3次循環(huán)：滿足判斷條件，x=8,y=3；

不滿足判斷條件，輸出計算結(jié)果.V=3,

故選A.

【點睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止

循環(huán)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.

2.D

【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知7Plp3;結(jié)合神=2%即可證明APIA三ABPM，進而求得7A?由線段關(guān)系及平

UliUUU

面向量數(shù)量積定義即可求得TP-48.

【詳解】

長方體ABC。—A4G。中，2A6=3A4[=6,

點T在棱A4上，若7P_L平面P8C.

則7y8，范=22瓦

則ZPTAi=NBPB],所以APZ4]MABPB],

則TA]-PB]=1,

utruuiruif||Uiur

所以TP46=7P?'cosZPTA

i------(?、

=722+12X2X=^==-2,

IVF7FJ

故選：D.

【點睛】

本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應用，平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.

3.C

【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列｛4｝的通項公式，判斷出5“最小時〃的值，由此求得S“的最小值.

【詳解】

q+2d=-3Q

依題意」c-「，解得4=一7，"=2,所以?！?2〃-9.由a“=2〃-9W°解得所以前〃項和中，前

7q+21d=-72

4項的和最小，且S4=4q+6Q=-28+12=-16.

故選:C

【點睛】

本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前n項和公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前"項和最值的求法，屬于基礎題.

4.C

【解析】

由題意，逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況，即可得解.

【詳解】

由題意運行程序可得：

z<4?/=1x2=2,s=0+lx2=2,z=1+1=2；

i<4,/=2x2=4,5=2+2x4=10,z=2+l=3；

i<4,/=4x2=8,5=10+3x8=34,i=3+l=4；

i<4不成立，此時輸出s=34.

故選：C.

【點睛】

本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細心計算即可，屬于基礎題.

5.C

【解析】

畫出不等式表示的平面區(qū)域，計算面積即可.

【詳解】

不等式表示的平面區(qū)域如圖：

y

0(0,-；)，C(0,2),忸￡)|=爭忸q=逐所以陰影部分面積男8=；|即-忸q=逐=撩

故選：C.

【點睛】

本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力，屬于?？碱}.

6.A

【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果S的值.

【詳解】

i=l<8滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，S=0+(-l)'xl2=-l,i=l+l=2；

i=2?8成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，S=-1+(-1)2X22=3,Z=2+1=3；

i=3W8成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，S=3+(-1)3X32=-6,i=3+l=4；

i=4W8成立,執(zhí)行第四次循環(huán),S=-6+(-l)4x42=10,j=4+l=5；

i=5W8成立,執(zhí)行第五次循環(huán),S=10+(-1)5X52=-15,i=5+1=6；

62

i=6W8成立,執(zhí)行第六次循環(huán),S=-15+(-l)x6=21,i=6+1=7s

i=7W8成立,執(zhí)行第七次循環(huán),S=21+(-1)7X72=-28,i=7+1=8；

i=8W8成立,執(zhí)行第八次循環(huán),S=—28+(—lpx82=36,i=8+l=9；

i=9W8不成立，跳出循環(huán)體，輸出S的值為36,故選：A.

【點睛】

本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據(jù)算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等

題.

7.C

【解析】

試題分析：設AC、3。的交點為。，連接E。，則NAEO為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為。，

則A八爭⑷所以必加。=空益近

+(：。)2-

=與,故C為正確答案.

0.73..1.

2X(^-Q)?(/Q)

考點：異面直線所成的角.

8.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：???/(x)是奇函數(shù)，g5)是偶函數(shù),

=-/(x),g(-X)=g(X),

/(-x).g(-x)=-/(x)?g(x),故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤,

I./(-x)|.^(-x)H/(x)M(x)為偶函數(shù)，故8錯誤,

/(-x)dg(-x)|=-/(x)dg(x)|是奇函數(shù)，故C正確.

|/(-x).g(-x)H/(x).g(x)|為偶函數(shù)，故。錯誤,

故選：c.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵.

9.A

【解析】

設E為50中點，連接AE、CE,過A作AOLCE于點0,連接。。，得到NADO即為直線AZ)與平面5CD所成角

的平面角，根據(jù)題中條件求得相應的量，分析得到NC4E即為直線AC與平面480所成角，進而求得其正弦值，得

到結(jié)果.

【詳解】

設E為80中點，連接4E、CE,

由題可知AE_L8￡>,CEA.BD,所以6O_L平面AEC,

過A作AO_LCE于點0,連接。0,則A0J_平面BDC,

所以ZADO即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，

所以sinNAOO=^=型，可得AO=3右，

2AD

在"OE中可得?！?3,

又0C=4BD=3,即點。與點C重合，此時有AC,平面BCD,

2

過C作CE_LA￡與點尸，

又BZ)_L平面AEC,所以所以CF,平面A3D,

從而角NCAE即為直線AC與平面ABD所成角，sinZCAE=—=^==—,

AE3G3

故選：A.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問題，涉及到的知識點有線面角的正弦值的求解，在解題的過程中，注意空間角的平

面角的定義，屬于中檔題目.

10.B

【解析】

利用復數(shù)乘法運算化簡z,由此求得回.

【詳解】

依題意z=2+i-2，一/=3-j,所以目=JI6.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)模的計算，屬于基礎題.

11.A

【解析】

利用誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對數(shù)運算，求得所求表達式的值.

【詳解】

72(%rV2(%Yi「夜1-23

2

原式=log2—xcosI71--=log2—xcos-=log2—X-=1鳴2=---

乙\\)乙\Jy乙乙

故選：A

【點睛】

本小題主要考查誘導公式，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.

12.D

【解析】

求解/(X)的導函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)斗尤2,構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.

【詳解】

“X)的定義域為(0,+力)，〃尤)=2+4奴=2(2蘇+a+l),

XX

當"T時，r(x)<0,故“X)在((),+“)單調(diào)遞減;

不妨設王<工2，而知/(X)在(0,+8)單調(diào)遞減，

從而對任意花、X2G(0,+8),恒有"')一"』)>8,

M-9

即|/(%)一〃%2)之8上|一切,

/(XI)-/(X2)>8(X!-^)>/(5)+8石>f(^)+8^,

令g(x)=〃x)+8x,貝！jg，(x)=W2+4or+8,原不等式等價于g(x)在(0,+。)單調(diào)遞減，即

1+2<zx+4?0,

從而。＜￡11=@二1一2,因為色＞1—22—2，

2尤2+12X2+12X2+1

所以實數(shù)”的取值范圍是(-*-2]

故選：D.

【點睛】

此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

fl上、」夜J

13.——U--,1

2JI2J

【解析】

根據(jù)題意，分類討論求解，當〃2＜0時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)/(力=爐-’無零點，不合題意；當相＞0時,

m

令/(x)=e*__-=0,得x=_Inm,令g(x)=(x-l)(mx+2m2=得x=l或

m'/

?物2__11]1

X=__=上+]_2〃?,再分當一+1-2〃?＞1,一+1-2祖＜1兩種情況討論求解.

mmmm

【詳解】

由題意得：當〃2＜0時，f(x)=ex-'在x軸上方，且為增函數(shù)，無零點，

m

g(x)=(x-l)(/nx+2/”2-加一1)至多有兩個零點，不合題意；

當機＞0時，令/(x)=e*-=0,得x=-lnm,令g(x)=(x-l)(mx+2rrr-m-l)=0,得x=]或

tn

2m2-m-11..

x=----------=—F1-2m9

mm

如圖所示:

當，+1-2m＞1時，即o＜加＜變時，要有3個零點，則一lnm＜l,解得［＜/＜理.

m22，

1/n1

當一+1-2初＜1時，即機＞在時，要有3個零點，則一In根＜一+1-2根,

m2m

令f(m)=——I-1-2m+Inm,

m

J1Y7

r(M=-3-2+'2"-一幺但<0，

m~mm"m

所以/(間在(￥，+?是減函數(shù)，又/⑴=0,

要使/(m)>()，則須加<1,所以與〈加<1.

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，利用

導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.

14.6兀

【解析】

先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖，再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.

【詳解】

由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，如圖所示

長方體對角線長為，22+F+尸所以三棱錐外接球半徑「為在，故所求外接球的

表面積S-4乃/-6乃.

故答案為：6兀.

【點睛】

本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積，考查學生空間想象能力以及基本計算能力，是一道基礎題.

15.11

【解析】

根據(jù)復數(shù)運算法則計算復數(shù)Z=￡zl+￡±lz,根據(jù)復數(shù)的概念和模長公式計算得解.

22

【詳解】

a+i++(a—+a—\a+\,

復數(shù)+—+

222

a-1

0

2

?.?復數(shù)z是純虛數(shù)，?，解得。

2?*()

2

：.z=i,/.|z|=L

故答案為：1,L

【點睛】

此題考查復數(shù)的概念和模長計算，根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解，計算模長，關(guān)鍵在于熟練掌握復數(shù)的運算法則.

7

16.—

16

【解析】

利用正弦定理求得角B,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.

【詳解】

4_V6

由正弦定理得百一sin3，

T

sinB——~~—fcos2B=1—2x—=—.

86416

7

故答案為：—.

Io

【點睛】

本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

n

17.(1)an=n-\9bn=2(2)S〃=2+(〃-2)x2"

【解析】

⑴根據(jù)4=0與4=2可求得e=2,a=2'=8再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.

⑵由⑴可得cn=(〃-1)x2"T,再利用錯位相減求和即可.

【詳解】

解：

(1)依題意4=2,4=23=8,

+1

設數(shù)列出｝的公比為%由bn=2°?>0,可知4>0,

由4=4?/=2x/=8,得=4,又q>0,則q=2,

故b“=bqi=2x2"T=2",

又由于小=2",得4=〃-1.

(2)依題意q,=(〃—1)X2"T.

S?=0x2°+1x2'+2x22+...+(/?-2)x2n-2+(?-!)x2n-1,?

貝!|2S“=0x2l+lx22+2x23+…+(〃-2)x2"T+5—l)x2",②

2-2"

①-②得-S=2'+22+-+2,,-'-(n-l)x2〃=一("1)x2",

n1-2

即—S“=-2+(2-〃)x2",故S“=2+(〃-2)x2".

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯位相減求和等.屬于中檔題.

18.(1)(-oo,0).

2

(2)(--,2).

【解析】

試題分析：(I)通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可;

(II)求出f(x)的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可.

試題解析：

331

x<————<%<—

(1)不等式/(力＜2等價于＜2或*22

(2x+3)+(2x-l)<2(2x+3)+(2x-l)<2

1

X>-33

或｛2,解得“<一三或—±<x<0,

(2x+3)-(2x-l)<222

所以不等式〃x)<2的解集是(-8,0)；

⑵???/(x)<|(2%+3)-(2x-l)|=4,.-./(x)mix=4,

.?.|3?-2|<4,解得實數(shù)”的取值范圍是(一|,2)

點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是

運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函

數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向.

19.(1)3元.(2)①y=36xg②216萬元

【解析】

(1)每件產(chǎn)品的銷售利潤為X,由已知可得X的取值，由頻率分布直方圖可得劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率，從

而可得X的概率分布列，依期望公式計算出期望即為平均銷售利潤；

(2)①對y=取自然對數(shù)，得Iny=ln(a.x")=lna+blnx,

令“=lnx,v=lny,c=ln"，貝!|n=c+機/,這就是線性回歸方程，由所給公式數(shù)據(jù)計算出系數(shù)，得線性回歸方程,

從而可求得y=

②求出收益z=3y_x=3x36)—x=l()8W_x，可設仁j換元后用導數(shù)求出最大值?

【詳解】

解：(1)設每件產(chǎn)品的銷售利潤為X,則X的可能取值為-0.8,4,6.由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品為劣質(zhì)品、優(yōu)

等品、特優(yōu)品的概率分別為0.25、0.65、0.1.

所以P(X=—().8)=0.25；尸(X=4)=0.65；P(X=6)=0.1.所以X的分布列為

X-0.846

p0.250.650.1

所以E(X)=(-0.8)x0.25+4x0.65+6x0.1=3(元).

即每件產(chǎn)品的平均銷售利潤為3元.

(2)①由y=〃?x",得Iny=ln(a?x")=lna+》lnx,

令〃=lnx,v=In,c=\na,貝！Ju=c+仇,4

22(M,.-H)(V,.-V)

0.54_1

由表中數(shù)據(jù)可得------------

L62-3

E(w，-?)2

1=1

八23411635

則3=0—匕萬=^——x-^=4.68-1.09=3.59,

535

11(I'1

所以￡=3.59+—〃，即ln5=3.59+—ln-=lne359-x3,

331，

因為取e339=36,所以g=36)，故所求的回歸方程為),=36》七

②設年收益為~萬兀，則z=3y—x=3x36--x=108x^—x

令”，>0,貝！lz=108f-/，/=108-3/=一3卜2_36),當0<。<6時，z'>0,

當r>6時，z'<0,所以當f=6,即x=216時，z有最大值432.

即該企業(yè)每年應該投入216萬元營銷費，能使得該企業(yè)的年收益的預報值達到最大，最大收益為432萬元.

【點睛】

本題考查頻率分布直方圖，考查隨機變量概率分布列與期望，考查求線性回歸直線方程，及回歸方程的應用.在求指

數(shù)型回歸方程時，可通過取對數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為求線性回歸直線方程，然后再求出指數(shù)型回歸方程.

20.(1)列聯(lián)表見解析，有把握；(2)①a=1200/=—L②x=40元時

3

【解析】

(1)直接由題意列出列聯(lián)表，通過計算R2,可判斷精英店與采用促銷活動是否有關(guān).

(2)①代入表中數(shù)據(jù)，結(jié)合公式求出力；②由①中所得的線性回歸方程，若售價為x,單價利潤為x-15,日銷售

量為9=一;V+1200,進而可求出日利潤z=1-；/+12001工-15),結(jié)合導數(shù)可求最值.

【詳解】

解：(1)由題意知，采用促銷中精英店的數(shù)量為50x(0.12+0.02)x5=35,

采用促銷中非精英店的數(shù)量為50-35=15；沒有采用促銷中精英店的數(shù)量為50x(0.06+0.02)x5=20,沒有采用

促銷中非精英店的數(shù)量為50-20=30,列聯(lián)表為

采用促銷沒有采用促銷合計

精英店352055

非精英店153045

合計5050100

2100(1050-300)2

因為K2=—---------L?9.09>6.635

50x50x55x45

，有99%的把握認為“精英店與采用促銷活動有關(guān)”.

-721-—1

(2)①由公式可得：b=-=——,a=y-匕w=395.5+-x2413.5=1200

21.633

所以回歸方程為y=-1X2+1200

②若售價為x,單件利潤為x-15,日銷售為^=一:一+1200,

故日利潤z=(—；x2+1200)(x—15),z'=—a+30)(x—40)=0,解得x=40.

當xe(0,40)時，z=(—；/+]20()｝》_15)單調(diào)遞增；

當xe(40,—)時，2=(-!》2+1200卜％-15)單調(diào)遞減.

故當售價x=40元時，日利潤達到最大為迎她元.

3

【點睛】

本題考查了獨立性檢驗，考查了線性回歸方程的求法，考查了函數(shù)最值的求解.在求函數(shù)的最值時，常用的方法有：函

數(shù)圖像法、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最值、基本不等式法、導數(shù)法.其中最常用的還是導數(shù)法.

21.(1)[—百,+00)(2)2”

71

【解析】

JTJT

(D求得/‘(X)，根據(jù)已知條件得到/'(x)20在0,-恒成立，由此得至(Jasinx+cosxNO在0,-恒成立，利用

L6」L6_

分離常數(shù)法求得4的取值范圍.

(2)構(gòu)造函數(shù)設g(x)=/(x)-灰，利用求二階導數(shù)的方法，結(jié)合g(x)40恒成立，求得匕的取值范圍，由此求得匕

的最小值.

【詳解】

(1)f\x)=ae(lxsinx+*cosx=ea\asinx+cosx)

Tl77

因為/(X)在0,-上單調(diào)遞增，所以