2022-2023學(xué)年江蘇省連云港市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江蘇省連云港市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，樣本空間0={1,2,3,4,5,6},事件4={1,3,5},事件B=

{1,2,456},則P（A|B）=（）

A-5B-5JC-5D-5

2.設(shè)隨機(jī)變量X?N（3,36）,且P（X>m）=P（X<^n-2）,則m=（）

A.1B.2C.3D.4

3.某雜交水稻研究小組先培育出第一代雜交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育

出第三代，以此類推，且親代與子代的每穗總粒數(shù)之間的關(guān)系如下表所示：

代數(shù)代碼X1234

總粒數(shù)y197193201209

通過上面四組數(shù)據(jù)得到了％與y之間的線性回歸方程是y=4.4%+a，預(yù)測(cè)第十代雜交水稻每

穗的總粒數(shù)為（）

A.233B,234C.235D.236

4.若一個(gè)正棱臺(tái)，其上、下底面分別是邊長(zhǎng)為C和的正方形，高為|，則該正棱臺(tái)的

外接球的表面積為（）

A105兀g9nQ105TT口史

?441616

5.若4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、計(jì)算機(jī)、航模興趣小組，每人限報(bào)1項(xiàng)，則恰好航模小

組沒人報(bào)的方式有（）

A.18種B.36種C.72種D.144種

6.已知m,n為異面直線，m1平面a,n_L平面若直線21m,11n,I（t-a,190,則（）

A.a〃夕，l//aB.al/?,I1p

C.a與￡的交線與/平行D.a與￡的交線與/垂直

7.39被5除所得的余數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

8.在Rt△力BC中，4B=2,AC=2門,D為斜邊4c上異于4c的動(dòng)點(diǎn)，若將AABC沿折痕BD

翻折，使點(diǎn)4折至4處，且二面角—C的大小為:，則&C的最小值為（）

A.4B.V-14C.20D.2V-2

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

6

9.已知（1-2x）6=劭+%%+H--1.a6x,則（）

A.a。=1B.a2=120

C.|a0|+同+|a2|4-----卜|a6|=729D.?i+a24-----Fa5=0

10.從0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字中取出4個(gè)數(shù)字，則（）

A.可以組成720個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)

B.可以組成300個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為奇數(shù)的四位數(shù)

C.可以組成270個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比3400大的四位數(shù)

D.可以組成36個(gè)無重復(fù)數(shù)字且能被25整除的四位數(shù)

11.袋內(nèi)有除顏色外其它屬性都相同的3個(gè)黑球和2個(gè)白球，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.有放回摸球3次，每次摸1球，則第3次摸到白球的概率是|

B.有放回摸球3次，每次摸1球，則第3次才摸到白球的概率是提

C.不放回摸球3次，每次摸1球，則第3次摸到白球的概率是|

D.不放回摸球3次，每次摸1球,則第3次才摸到白球的概率是《

12.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-Ai/CiDi中，E為2。的中點(diǎn)，點(diǎn)F在正方體的面

含邊界）移動(dòng)，點(diǎn)P為線段DiB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)。/=4。1氏貝人）

A.當(dāng)/1="時(shí)，DP〃平面AB[C

B.為定值

C.PA+PC的最小值為2C

D.當(dāng)直線&F〃平面&BD時(shí)，點(diǎn)F的軌跡被以4為球心，|為半徑的球截得長(zhǎng)度為1

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某廠用甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)相同的零件，它們的產(chǎn)量各占45%,55%,而各自的產(chǎn)品中

廢品率分別為2%,3%,則該廠這種零件的廢品率為

14.為考查某種流感疫苗的效果，某實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)抽取100只健康小鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下列

聯(lián)表：

感染未感染

注射1040

未注射2030

P(K2>k0)0.050.0250.010

ko3.8415.0246.635

則在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過的前提下，可認(rèn)為“注射疫苗”與“感染流感”有關(guān)系.

2

參考公式：吟而崎片兩

15.將邊長(zhǎng)為1的正方形44。1。繞。1。旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，品

長(zhǎng)為處幅長(zhǎng)為Q1與C在平面力4。10的同側(cè)，則異面直線B1C與

所成角的正切值為.

16.如圖，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,

6,4,10,…，記這個(gè)數(shù)列的前律項(xiàng)和為％,貝達(dá)24的值為

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

在△力BC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知sin2C=CsinC.

⑴求C；

（2）若b=4,且△ABC的面積為2，耳，求△4BC的周長(zhǎng).

18.（本小題12.0分）

李平放學(xué)回家途經(jīng)3個(gè)有紅綠燈的路口，交通法規(guī)定：若在路口遇到紅燈，需停車等待；若在

路口沒遇到紅燈，則直接通過.經(jīng)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)：他在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為在第

二、第三個(gè)路口遇到紅燈的概率依次增加，在三個(gè)路口都沒遇到紅燈的概率為上，在三個(gè)路

口都遇到紅燈的概率埠且他在各路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立.

(1)求李平放學(xué)回家途中在第三個(gè)路口首次遇到紅燈的概率;

(2)記X為李平放學(xué)回家途中遇到紅燈的路口個(gè)數(shù)，求數(shù)學(xué)期望E(X).

19.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,ai=l,an+1=1+2，耳.

(1)證明：數(shù)列｛尸；｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)金=(/X+1)2",求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和

20.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2yT2,PA=PC=AC=4,平面ABC1平面PAC.

(1)求異面直線AC與PB間的距離;

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面P4M所成角的正弦值.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：^+^=l(a>b>0)的離心率為?，且點(diǎn)(?,與)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)斜率為正數(shù)k且不過原點(diǎn)的直線，交橢圓C于4B兩點(diǎn)，線段4B的中點(diǎn)為P,射線0P交橢圓

C及直線y=3分別于點(diǎn)G和點(diǎn)D,且需=黑｛.證明：直線I過定點(diǎn).

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=-2x3—2ax—I，g(x)=Inx.

(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=/(x)的切線；

(2)用荏｝表示m,n中的最大值，設(shè)函數(shù)九。)=(%),g(%)｝(%>0),試討論函數(shù)

/i(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

答案和解析

I.【答案】B

【解析】解：由題知，ACB={1,5},P(B)q，P(4B)q=5

所以P(A|B)

故選：B.

先求出4nB={1,5},P(B)和P(AB),然后利用條件概率公式求解即可.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閄?N(3,36),P(X>m)=P(X<m-2),

所以根據(jù)正態(tài)分布曲線特征可得，號(hào)士=3,4.

故選：0.

利用正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

-197+193+201+209?

【解析】解：由題意可知：I=上歲+4=25,y=--------------=20n0n.

因?yàn)榛貧w直線方程經(jīng)過樣本中心，所以200=44x2.5+a，解得a=189，

回歸直線方程為：y=4.4%+189，

當(dāng)x=10時(shí)，y的估計(jì)值為：4.4x10+189=233.

故選：A.

求出樣本中心，然后確定回歸直線方程，即可求解預(yù)測(cè)當(dāng)x=10時(shí)，y的估計(jì)值.

本題考查線性回歸方程相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)條件，作正棱臺(tái)圖像如下,

則其外接球球心在高EiE的延長(zhǎng)線上，

AB=<3,>1151=2dE、=I，

所以4送1=,AE-V-6?

由。A=?！?，

可得、柝+0E2=J4百+3+|)2,

解得0E=p

4

所以外接球半徑即。4=VAE2+0E2=罕，

所以其外接球表面積為47rX(半尸=竽.

故選：A.

根據(jù)條件作圖，利用。4=。4求得0E=],即可求出外接球半徑，求出外接球表面積.

本題考查了正棱臺(tái)外接球的表面積計(jì)算，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：因?yàn)轭}意要求恰好航模小組沒人報(bào)，則將4名學(xué)生中的兩個(gè)“捆綁”分為3組,

則此時(shí)有：Cl=6種情況，

然后選擇三個(gè)小組有：&=6,

故滿足題意的情況數(shù)為：出4g=6x6=36.

故選：B.

由題知先對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組，然后在對(duì)興趣小組進(jìn)行選擇即可.

本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：由于m,n為異面直線，ml平面a,nl平面/?,

則平面a與平面0必相交，但未必垂直，且交線垂直于直線n,故A8錯(cuò)誤；

又直線，滿足11m,lln,/Ca,則交線平行于1故C正確，/)錯(cuò)誤.

故選：C.

利用異面直線的定義、直線與平面的位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查了平面的基本性質(zhì)及推論，考查了線面平行、線面

垂直的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?8=94=(10-1尸

=104-Cl-103+C；?IO?一盤.10+1,

所以39=3(104-Cl-103+Cl-102-Cl-10)+3,

所以39被5除所得的余數(shù)是3.

故選：C.

由38=94=(10-1)4利用二項(xiàng)式定理展開即可得出39的二項(xiàng)展開式，進(jìn)而得出結(jié)果.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：如圖，過點(diǎn)兒在平面&BD內(nèi)作J_直線BD,垂足為點(diǎn)M,

過點(diǎn)C在平面BCO內(nèi)作CNJL直線BO,垂足為點(diǎn)N,

???A^C=A^M+MN+NC，-MN=NC-MN=0,

在RtAABC中，AB=2,AC=2/^.所以BC=C3-冊(cè)=4,

記=a=N&BD=a,且a€(0,今，則zJVBC=]-a,

所以141M,i=|A^B\sina=2sina,I近I=|BC|sin(2-a)=4cosa,

因?yàn)槎娼枪?8。一C的大小為亭，即為向量近，砧的夾角為土

v/VC?AyM=|/VC|-|AXM|cos^=Acosa-2sina--=Acosasina,

且|MN|=||BN|—|BM||=14cosc—a)—2cosa\=\4sina—2cosa\,

所以|中『=(A^M+M~N+WC)2=\A^M\2+\MN\2+|A/C|2+2/VC?+24^?W+

2祈?麗

又而晨麗=枇?麗=0，

所以|卡『=\A^M\2+|麗產(chǎn)+|近『+2配?而0

=4sin2a+(4sina—2cosa)2+16cos2a+Bsinacosa

=20sin2a—16sinacosa+20cos2a+Bsinacosa

=20(sinza+cos2a)—Qsinacosa=20—4sin2a,

所以|正|=、20-4sin2a24,當(dāng)且僅當(dāng)sin2a=1時(shí)，即當(dāng)a=今時(shí)，等號(hào)成立，

所以線段&C長(zhǎng)度的最小值為4.

故選：力.

依題意作出相應(yīng)圖形，得到中=孫7+而7+配，記乙4BD=a,ae(0,^),利用空間數(shù)量積

的運(yùn)算性質(zhì)可得出|不『，從而求得|卡|的最小值.

本題考查二面角的概念，三角函數(shù)的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

9.【答案】AC

26

【解析】解：由于(1-2x)6=劭+arx+a2x4---Fa6x,

對(duì)于4：利用x=0時(shí)，a。=1,故A正確：

對(duì)于B：根據(jù)二項(xiàng)式的展開式7；+1=C，(-2x)1當(dāng)r=2時(shí)，盤?(-2)2=60,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由二項(xiàng)展開式得劭，a2,a4,。6均為正數(shù)，的，。3，%均為負(fù)數(shù)，

6

所以|劭+1^1+...+|a6|=劭-%+a2-。3+。4一+。6=(1+2)=729,故C正確；

對(duì)于D：當(dāng)X=1時(shí)，劭++(12+。3+。4+。5+。6=1，且劭=1,。6=琮,(-2)6=64,

故a1+a2+。3++a$=1-1-64=-64,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

直接利用二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)的求法和賦值法的應(yīng)用判斷4、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：二項(xiàng)展開式，賦值法，組合數(shù)的求法，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能

力，屬于中檔題.

10.【答案】ABD

【解析】解：首位不能排0,有犬種排法，后面三位從剩下的6個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)進(jìn)行排列，

所以共有“?鹿=720,

即可以組成720個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，4正確；

個(gè)位從1,3,5選擇一個(gè)，有禺種選法；千位數(shù)字不可選0,從剩下的5個(gè)中選一個(gè)，有廢種選法；

在剩下的5個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)，安排在百位、十位數(shù)字，有房種選法，

則以xC"房=300個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)，8正確；

3400大的四位數(shù)分三類：

第一類千位比3大的數(shù)，其它三位任意排，有質(zhì)煦=360個(gè)，

第二類千位是3,百位比4大的數(shù)，其它兩位任意排，有川?展=40個(gè)，

第三類千位是3,百位是4的數(shù)，其它兩位任意排，有&=20個(gè)，

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得比3400大的四位數(shù)共有360+40+20-420,C不正確；

能被25整除的四位數(shù)分兩類：

第一類：形如口口25,共4例：=16個(gè);

第二類：形如口口50,共有&=20個(gè)；

能被25整除的四位數(shù)共有：16+20=36個(gè)，D正確.

故選：ABD.

根據(jù)0不能排在首位，利用分步計(jì)數(shù)原理可判斷4先排個(gè)位，再排千位，然后排十位與百位可判

斷B；分三類，千位比3大的數(shù)，千位是3且百位比4大的數(shù)，千位是3且百位是4的數(shù)，進(jìn)而可判斷

C；對(duì)個(gè)位與十位分兩種情況討論判斷D.

本題考查排列組合，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)槭怯蟹呕兀悦看蚊桨浊虻母怕识际且粯拥?，為￡A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,因?yàn)槭怯蟹呕?，所以每次摸到黑球的概率?，白球?yàn)閨,第三次才摸到白球的事件為“黑

黑白”,概率為|x|x|=^,B正確;

對(duì)于C,不放回摸球3次，每次摸1球，則第3次摸到白球的事件為“白黑白”，“黑白白”，“黑

黑白”

++=C正確;

5435435435

1

對(duì)于D,不放回摸球3次,每次摸1球，則第3次才摸到白球的事件為“黑黑白”，概率為|x3x|-

5

D正確.

故選：BCD.

對(duì)各選項(xiàng)分別計(jì)算即可.

本題主要考查古典概率相關(guān)計(jì)算，屬中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4，以。為原點(diǎn)，以ZM,DC,所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示,

因?yàn)檎襟w4BC。-4B1GD1的棱長(zhǎng)為2,所以4(2,0,0),D(0,0,0).C(0,2,0),

Bi(2,2,2),￡>i(0,0,2),B(2,2,0),

貝碣>=(0,2,2)，AC=(-2,2,0)，

設(shè)平面4BiC的一個(gè)法向量為記=（x,y,z）,

則g%=2y+2z=0,取“

1,則元=(LL-1)，

(九-AC=2x-2y=0

因?yàn)樵?4布=5（2.2,-2）=（|,|,一|），所以P（|,|g），

所以而=（|,|工），??.而?元=|+,-g=0.

因?yàn)镈PC平面所以O(shè)P〃平面4B1C,故A正確;

對(duì)于B,設(shè)點(diǎn)尸到平面48名的距離為九，

1

=,

則所以%-AB/=^F-BAB1j'h，

因?yàn)辄c(diǎn)尸在正方體的面CGDiD內(nèi)(含邊界)移動(dòng)，

又因?yàn)槠矫鍰CCiD//平面48a，所以點(diǎn)F到平面4B名的距離九為定值，

又因?yàn)镾ABA&為定值，所以三棱錐B-ABiF的體積為定值，故B正確；

對(duì)于C,設(shè)P(x,y,z),D^P=XDB=2(2,2,-2)=(2A,2Z,-2A).(0<A<1),

所以(x,y,z-2)=(22,2A.-2A),所以P(24,2A,-2A+2),

所以方=(2-22,-2A,24—2)，PC=(-22,2-22,24-2)，

則|網(wǎng)+|畫=2J(—2；1)2+(2—24)2+(22-21=2V12A2-16A+8=

3("|)2+裊亨,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,連接BiC,8/1，由正方體的性質(zhì)知，D、C“A\B,Z\CC平面&BD,u平面&BD,

所以。1C〃平面&B。,B\C〃A[D,平面4/0,&Du平面&BD,

所以BiC〃平面A1BC,DiCnBiC=C,所以平面。避也〃平面&BC,

因?yàn)辄c(diǎn)F在正方體的面CGD1D內(nèi)(含邊界)移動(dòng)，當(dāng)F6CD1，則8/u平面1當(dāng)。，

則8/〃平面&BD,則F點(diǎn)軌跡為線段

取C￡)i中點(diǎn)H,連接AH,而△4C/\為等邊三角形，則AH=J皿一HD：=V8-2=

以4為球心，|為半徑的球截CD】的長(zhǎng)度為2J(|)2—(C=1，故。正確；

H

故選：ABD.

以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AB1。的法向量和直線DP的方向向量可判斷4利用

等體積法即可判斷B；由兩點(diǎn)間的距離公式求出|P*+|PC|,由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)面

面平行的判定定理知F點(diǎn)軌跡為線段CD1即可求出尸的軌跡被以A為球心，|為半徑的球截得長(zhǎng)度即

可判斷D.

本題考查空間幾何體的體積，考查體積問題，考查長(zhǎng)度和的最小值問題，屬中檔題.

13.【答案】0.0255

【解析】解：由已知得，

這種零件的廢品率為45%x2%+55%x3%=0.0255.

故答案為：0.0255.

由全概率公式求解即可.

本題主要考查了全概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】0.05

【解析】解：補(bǔ)充2x2列聯(lián)表可得，

感染未感染合計(jì)

注射104050

未注冊(cè)203050

合計(jì)3070100

所以心鳴黑*=*女762>3.841.

所以在犯錯(cuò)誤的概率最多不超過0.05的前提下，可認(rèn)為“注射疫苗”與“感染流感”有關(guān)系.

故答案為：0.05.

補(bǔ)充2x2列聯(lián)表，計(jì)算可得依“4.762>3.841,即可得出答案.

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1

【解析】解：如圖，過當(dāng)作交圓。于D,連接CD,則4(7當(dāng)。為異面直線&C與所

成角，根據(jù)條件知乙COD=pOD=OC=1,

CD=1>且為。=1,BrD±CD,

??tanzCBjD=1.

故答案為：L

可作當(dāng)?！?41，交圓。于D,然后得出NC&O為異面直線/C與44］所成角，并連接CD,在Rt△

中，可求出CD=1,然后即可求出tan/CBi。的值.

本題考查了異面直線所成角的定義及求法，正切函數(shù)的定義，弧長(zhǎng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

16.【答案】454

【解析】解：根據(jù)組合知識(shí)可得524=廢+6+廢+0+C+盤+…+%+盤3

=?+C"盤+…+盤3)+(廢+廢+廢+…+…+叱3)

=(2+3+4+…+13)+(C3+C3+++…+C：3)

=12X(|±13)+(C3+C2+...+C23)

=90+C；4=454.

故答案為:454.

分組求和，結(jié)合組合數(shù)公式，計(jì)算出答案.

本題考查了分組求和，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由si?i2C=V"耳sinC,得2sinCcosC=y/~^stnC，

在ZkABC中，sinC^0,cosC=

在△ABC中，CG(0,7T),-??C=^.

(2)SAABC=^absinC=gxax4xg=2>/-3,

???a=2V-3>

由余弦定理得c?=a2+b2-2abcosC=12+16—2x2\/~3x4x=4>

c=2，，Q+b+c=2V3+4+2=6+2。3>

ABC的周長(zhǎng)為6+2<3.

【解析】(1)利用二倍角公式化簡(jiǎn)即可求得.

(2)利用面積公式和余弦定理即可求解.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)設(shè)第二、三個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為Pi,P2,p2>Pi>

依題意可得佇嗎

匕P1P2=W，

r2Z3

lp1--Ip1=-

解得

3或K4

u32

I(舍去)，

P-P-

x2=4I2=3

所以李平放學(xué)回家途中在第三個(gè)路口首次遇到紅燈的概率:=A

2348

(2)由已知可得，X的可能值為0,1,2,3,

P(X=0)=%

P(X=l)=i1x(l-|2)X(l-J3)+(l-i1)x|2x(l-J3)+(l-i1)X(l-|2)xJ3=i1,

,c、12“3、，1〃2、3,〃1、2311

nv=2)=-X-X(1--X(1--)X-+(1--)X-X-=

P(X=3)=

所以X分布列為：

所以E(X)=0X/+1X；+2X^+3XR||.

【解析】(1)設(shè)第二、三個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為Pi，P2,由已知列出方程組，求解得出Pi，

P2的值，即可得出答案；

(2)X的可能值為0,1,2,3,根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，分別求出

X取不同值的概率，列出分布列，然后根據(jù)期望公式，即可得出答案.

本題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：因?yàn)?+1=Sn+i-S”，an+1=1+2/X-

Sn+i—Sn=1+2fJSn>HPSn+i=S；,+2JS”+1=(J+1)2,

JSn+i=-JSn+1,即JSn+i—JSn=1,

??.J■耳是1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

(2)由(1)知，yjSn=JSi+(n-1)x1=n?

n

cn=(n+l)2,

故7；=2x2+3x22+4x234--+(n4-1)-271①，

27；=2x22+3x23+4x24+-+(n+1)-2n+1@,

兩式相減得，一〃=2?2】+22+23+…+271-(n+1)2n+i=24--(n+l)2n+1.

1—2

所以%=展2"+匕

【解析】(1)根據(jù)%+1=Sn+1-Sn,變形得到Sn+1=(/X+1)2,從而得到/耳二-/耳=1.

得到答案；

(2)先在(1)的基礎(chǔ)上求出cn=(n+1)2%利用錯(cuò)位相減法求出答案.

本題考查數(shù)列遞推關(guān)系以及錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）法一：取AC中點(diǎn)。，連接PO,

PA=PC,PO1AC,

又平面4BC_L平面P4C,平面力BCD平面PAC=AC,故P。1平面力BC,

連接BO,則Z_POB=90。，

XvAB=BC,。為AC中點(diǎn)，故BOI力C,

BO,「。￡2平面28。，BOCtPO=0,故ACL平面PB。，

在平面PB。中，作。。1PB,則由。。14c知。。為異面直線4c與PB間的距離,

由PO=0B=2,PB=4，POXOB=PBXOB知。D=S，

即異面直線AC與PB間的距離為「：

法二：取AC中點(diǎn)0,連接P。，由24=PC知P。14C,

又平面ABC1平面PAC,平面ABCn平面P4C=AC,故P0_L平面ABC

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,0C,0P所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,—2,0),8(2,0,0),。(0,2,0),「(0,0,2<1'),而=(2,0,-27-3),IC=(0,4,0)，

設(shè)元=(x,y,z),且元?近=0,元?而=0,

則仁-2「z=?！顉"則記=30,0，

又近=(2,2,0),則異面直線AC與PB間的距離為d=|皆|=1=C；

(2)由(1)知P0J?平面4BC,又POu平面P4C,.?.平面PAC_L平面ABC,

如圖，在平面ZBC內(nèi)作MN14C,垂足為N,則MN1平面P4C,

B

在平面P4C內(nèi)作FN_L4P,垂足為F,連接MF,

P4u平面P4C,MN_LPA,且MNC1FN=N,

二P4J_平面MFN,?"(=平面”~2,???PA1FM

故ZMFN為二面角M-P4-C的平面角，即NMFN=30°,

設(shè)MN=a,則NC=a,AN=4-a,在RtZkAFN中，F(xiàn)N=^(4-a).

在RtAMFN中，由4MFN=30。知尸N=CMN,得a=方

法一：設(shè)點(diǎn)C到平面PAM的距離為八，由HM-APC=%-4PM，得gs-pcM/VM^SAAPW/I,

即京1x1/4CxMNxPO=與1x/1P4xMFx八,

又4c=PA=4,MF=2MN,PO=2?^,

解得h=「，貝UPC與平面P4M所成角的正弦值為??；

4

法二：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、0P所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則做0,—2,0),5(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2<^),M(|,|,0),

PC=(0,2,—2「),布=(0,2,2/^),W=G，|,0)，

設(shè)五=(%y,z)為平面P4M的法向量，

元?4P=2y+2y/~3z=0

則n-~AM=±x+?y=0令z=q，則元=(6,—3,q)，

則正與元所成角的余弦值為cos"器=一?’

則PC與平面PAM所成角的正弦值sina=|cosg|=?.

【解析】(1)法一：根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得P0垂直力C,BO1AC,根據(jù)線面垂直的判定定理得4C，

面PBO,在面PB。中，作。。1PB,知0D為異面直線4C與PB間的距離可得答案；法二：以。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,0P所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)元=(x,y,z),

且五?左=0,五?而=0可得元，由異面直線4C與PB間的距離向量求法可得答案；

(2)方法一：在平面力BC內(nèi)作MN1AC,則MN_L平面PAC,在平面PAC內(nèi)作NF1AP,則MF1AP,

得NMFN為二面角M—PA—C的平面角，法一：設(shè)點(diǎn)C到平面P4M的距離為八，利用VMYPC=

VCTPM得八可得答案；法二：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、0P所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建

空間直角坐標(biāo)系，求出平面P4M的法向量，由線面角的向量求法可得答案.

本題主要考查異面直線之間距離的求法，直線與平面所成角的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中

檔題.

￡_￡6

a=~

21.【答案】解:(1)由題知，1，解得:a2=3,b2=1,

4a24b2

2=b2+c2

所以橢圓C：y+%2=1；

(2)設(shè)直線/的方程為：y=kx+t,k>0,

彷:丫2=1

由,3一,得(Y+3)/+2ktx+/—3=o,

y=kx+t

A=(2kt)2-4(k2+3)(t2-3)>02Wfc2+3>t2,

設(shè)B(x2,y2),則/+x2=一=kg+x2)+2t=",

所以kop=年=等射線。P的方程為、=一江,

y4-X2=1,2o"3

由一_3'得位=再？九=再？由_