吉林省白山市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

吉林省白山市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：12,15,17,0,23,25,27,31,36,37,若該組數(shù)

據(jù)的30%分位數(shù)為19,則"=()

A.19B.20C.21D.22

2.若直線/：x+y=0與圓C:(x-2)2+y2=4交于A,8兩點(diǎn)，則|鉆|=()

A.2A/2C.V2

3.記等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若兒=483,%=12,則｛%｝的公差為()

4.已知/，機(jī)為兩條不同的直線，d￡為兩個(gè)不同的平面，且則下列說(shuō)法

正確的是()

A.“〃/機(jī)”是“戊〃夕的充分不必要條件

B.“/，加”是“。，口”的必要不充分條件

C.若切〃異面，則名夕有公共點(diǎn)

D.若名夕有公共點(diǎn)，則/,〃，有公共點(diǎn)

5.若

6.如圖所示，一種兒童儲(chǔ)蓄罐有6個(gè)密碼格，由購(gòu)買(mǎi)者設(shè)定密碼后方可使用，其中密

碼的數(shù)字只能在0』,2中進(jìn)行選擇，且每個(gè)密碼格都必須設(shè)定數(shù)字，則數(shù)字“1”出現(xiàn)奇數(shù)

次的不同密碼個(gè)數(shù)為()

A.172B.204C.352D.364

7.阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在

化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓傕曲線中，稱圓錐

曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線

4

C：V=8x的焦點(diǎn)為b，頂點(diǎn)為0,斜率為§的直線/過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C交于兩

點(diǎn)，若為阿基米德三角形，則尸卜()

A.VTTB.273C.V13D.714

8.已知四面體ABCD中，ZBAC=ZDAC=ZDAB=90,AB=AD='2.AC=4,點(diǎn)E在

線段A3上，過(guò)點(diǎn)A作AFLDE,垂足為尸，則當(dāng)「.CDF的面積最大時(shí)，四面體ACDE外

接球的表面積與四面體ABCD外接球的表面積之比為()

3r4門(mén)37c13

AA.-B.-C.—D.—

554515

二、多選題

9.已知函數(shù)〃同=02了+爸，則()

A.小一名)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.“X)的圖象關(guān)于直線x堵對(duì)稱

C.“X)在上單調(diào)遞增

D.8(力=2〃力-垃在(0,2兀)上有4個(gè)零點(diǎn)

10.已知z”Z2為復(fù)數(shù),則()

A.若z「Z2=Z-,,則-1a為實(shí)數(shù)

B.忖一平卜團(tuán)憶一二

C.若z；=2,則=

D.若2；=者，則復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上

I.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于(1,2)中心對(duì)稱，若/(“一;&一"=2-x,

則()

A.〃2-3元)+〃3x)=4B./(x)=f(x-4)

20

C.7(2025)=-4046D.±/?)=-340

1=1

三、填空題

12.已知集合4={*|*-2<0},8=卜|丫=3(2%-3)},若AcB=0,則實(shí)數(shù)2的取值

范圍為.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

13.已知ASC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為”,6,c,其中26cosc+2ccos8=〃，則

a=;若2cosAsinBsinC=3sin2A,則當(dāng)，ABC的面積取得最大值時(shí)，

cosA=.

22

14.已知點(diǎn)M,N是橢圓C:j+當(dāng)=1(。>6>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)尸是橢圓

ab

C上異于M,N的一點(diǎn)，且以N尸為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M,點(diǎn)。在y軸上，且P,N,。三點(diǎn)

共線，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若：|0'|,|。。|,|。。|35乙70。成等比數(shù)列，則橢圓C的離心率

為.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=21nx-〃ir+2.

⑴若m=3,求曲線y=〃尤)在x=l處的切線方程；

⑵若Vxe(O,y)J(x)WO,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

16.現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)，A組：1,2,3,4;3組：1,2,3,4,5.先從A組數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，構(gòu)成數(shù)

組。I，再?gòu)腂組數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，構(gòu)成數(shù)組。2,兩組抽取的結(jié)果互不影響.

(1)求數(shù)組居的數(shù)據(jù)之和不大于8且數(shù)組％的數(shù)據(jù)之和大于8的概率；

(2)記X=max%-min。］,其中mind表示數(shù)組口中最小的數(shù)，max5表示數(shù)組。？中

最大的數(shù)，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望E(X).

17.如圖在四棱錐S-ABCD中，ABCD為菱形2A8C=120,/S￡>C=90,SB=SO.

⑴證明：SC±BD；

(2)若ZASC=90,求平面&4B與平面SBC所成二面角的正弦值.

2

18.已知雙曲線C:f-q=l的右焦點(diǎn)為八點(diǎn)2(%,%)(%工。)在雙曲線C上,

⑴若%=3,且點(diǎn)P在第一象限，點(diǎn)。關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為R,求直線PR與雙曲線C相

交所得的弦長(zhǎng)；

(2)探究：△尸。尸的外心是否落在雙曲線C在點(diǎn)尸處的切線上，若是，請(qǐng)給出證明過(guò)程；

若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為黑，若數(shù)列｛%｝滿足：①數(shù)列｛七｝項(xiàng)數(shù)有限為N；②

N

Sw=。；③￡同=1,則稱數(shù)列｛%｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”.

i=l

(1)若等比數(shù)列｛4｝(l<w<10)為“10階可控?fù)u擺數(shù)列"，求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若等差數(shù)列｛a?｝(l<n<2m,meN*)為“2m階可控?fù)u擺數(shù)歹U”，且>am+1,求數(shù)列｛4｝

的通項(xiàng)公式；

N

(3)已知數(shù)列｛4｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在1W機(jī)WN,使得乞同=2鼠，探究：

Z=1

數(shù)列｛sj能否為"N階可控?fù)u擺數(shù)列"，若能，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.c

【分析】

依據(jù)百分位數(shù)的概念計(jì)算，即可求出。的取值.

【詳解】

這組數(shù)據(jù)有10個(gè)數(shù)，所以10x30%=3,

則該組數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)為故12"=19,解得a=21.

故選：C

2.A

【分析】

根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】

圓心C（2,O）到直線/:x+y=0的距離d=u=3,貝=2x63=20.

故選:A.

3.A

【分析】

由等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式表示耳4,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求得知=57,進(jìn)而求解公差d.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛見(jiàn)｝的公差為d,依題意，百4=（"|+?"4=7（%+%）=483,

得%+%2=69,故/=57,則d=^p^=5.

故選：A.

4.C

【分析】

對(duì)于A,推理說(shuō)明“〃/機(jī)”是“a/力”的必要條件即可判斷;對(duì)于B,推理說(shuō)明“/L〃”是

的充分條件即可判斷；對(duì)于C,通過(guò)反證法易判斷命題正確；對(duì)于D,由d6有公共點(diǎn)和題

設(shè)條件，易得/，機(jī)可相交或異面即可判斷.

【詳解】

對(duì)于A,由a〃4，/La可得/，尸，又機(jī)，尸，故得/〃加，即“〃/機(jī)”是“a〃夕的必要條

件，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

對(duì)于B,由"z_L￡,/_L機(jī)可得/u尸或/〃當(dāng)/u分時(shí)，因/_L&,則夕，/?,

當(dāng)/〃〃時(shí)，經(jīng)過(guò)/和平面用內(nèi)一點(diǎn)可確定平面7,且7c￡=/'，貝I]//〃，由/可得,

同理可得。，口，

即“/，〃z”是B”的充分條件,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C,運(yùn)用反證法說(shuō)明，假設(shè)名夕沒(méi)有公共點(diǎn)，則戊//￡,又由/，/加，萬(wàn)可得〃/加，

這與/,相異面矛盾，故假設(shè)不成立，即C項(xiàng)正確；

對(duì)于D,由名￡有公共點(diǎn)可得相交，因/，/〃，，萬(wàn),則/，相相交或異面，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

5.B

【分析】

根據(jù)兩角和與差的余弦公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tawj然后利用二倍角的

4

正切公式求得tan2a=--,再根據(jù)兩角差的正切公式求解即可.

71

COS---FCC

4cosa-sinal-tana故

【詳解】因?yàn)?3,tana=-L

cosa+sina1+tana2

2x

2tana4

貝Utan2a=

1-tan26z23

1-

tan2。-tan—-4-1

故tan12二-;4

YC兀

1+tanzcr-tan一

43

故選：B.

6.D

【分析】

分?jǐn)?shù)字“1”出現(xiàn)1次,3次和5次,三種情況下結(jié)合組合知識(shí)求出答案.

【詳解】

若數(shù)字“1”出現(xiàn)1次,則有C；x25=192種可能;

若數(shù)字“1”出現(xiàn)3次,有或x23=160種可能;

若數(shù)字“1”出現(xiàn)5次,則有C：x2=12種可能,

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

故數(shù)字“1”出現(xiàn)奇數(shù)次的不同密碼個(gè)數(shù)為192+160+12=364.

故選：D.

7.C

【分析】

求出直線/的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出過(guò)點(diǎn)的切線方程，聯(lián)

立后得到尸（-2,3）,得到答案.

【詳解】

依題意，F(xiàn)（2,0）,設(shè)直線/:y=9（x-2）,聯(lián)立〃=耳（”一2），，

3〔丁=阮

貝口2-6尸16=0,解得y=8或尸一2,不妨設(shè)M（8,8）,N■，-2）,

設(shè)直線PM方程為＞-8=%（x-8）,聯(lián)立C:/=8》得，

［左（工一8）+8T=8x,左2了2+06左一16左2一8）x+6442—128左+64=0,

△=（16左一169」一8『一4k°（64左2-1281+64）=0,

解得《=；，

故直線PM的斜率A=1,故直線PM:y=；x+4,

同理可得直線PN的斜率k'=-2,故直線PN:y=-2x-l,

f1，

聯(lián)立〈一2''，解得x=-2,y=3,

y=-2x-l,

即尸（一2,3）,則|OP|=拒.

故選：C.

8.C

【分析】

由題意可知，四面體ABCD中ASLACLAZ）,為長(zhǎng)方體的一角，T^AE=X,勾股定理計(jì)算

CF,的長(zhǎng)，由均值不等式可計(jì)算加的面積取最大值時(shí)》的值，由此可計(jì)算四面體

ACDE外接球的半徑與四面體ABCD外接球的半徑，從而求出結(jié)果.

【詳解】

由題意可知，四面體ABCD中ABLACLAD,

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

4x

設(shè)AE=x,則。石=再百，由等面積法可知，義八南了.

由已知得AC_L平面MD,故AC_LAF,CF=j+；

因?yàn)?。尸，A尸,ACcA尸=A,故￡>?上平面AFC.

故AC_LAF,CF=J4+；?2，

222

痂《1DF°+CF，CD%日內(nèi)*fT16x［16xBn

olS=-.DFCF<------------------==5,當(dāng)且僅當(dāng)J16-----------=J4+即

,CDF2224V16+x2V16+尤2

/=三4R時(shí)取等號(hào)，

148

此時(shí)四面體ACDE外接球的半徑R滿足（2R）2=AD2+AC2+AE2=—,而四面體ABCD^

接球的半徑R滿足（2R『0=AB2+AC2+AD2=36,故所求比值為14丹8=夫37.

故選：C.

9.AD

【分析】對(duì)于A,由已知可得/合卜-sin2x,且為奇函數(shù)，即可判斷；對(duì)于B,通過(guò)

求函數(shù)“X）的對(duì)稱軸即可判斷；對(duì)于C,求函數(shù)“X）的單調(diào)遞增區(qū)間可知“X）在

上先增后減；對(duì)于D,把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，通過(guò)換元法求解方程的根即可判斷.

［詳解］/（x一4］=cos—方+普）=-Sin2x,

令方（1）=-sin2x,貝?。軫（—x）=-sin（-2A:）=sin2x=-F（x）,

故/卜—/I為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；

當(dāng)2X+N=E,左eZ時(shí)，即％=—乂+包，k^Z,

12242

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

所以函數(shù)的對(duì)稱軸為X=-勺+”,keZ,當(dāng)裝=一卓+2時(shí)，k=3,

242122424

JT

所以不存在整數(shù)上使得》=毒，故B錯(cuò)誤；

7兀10jr7兀

當(dāng)一71+2EV2%+丘V2fal時(shí)，即---+fai<x<--+fai,

iQjr77r

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為一方+也,-五+E,keZ,

57?177r297r41TE

當(dāng)左=1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為—,當(dāng)左=2時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為,

44+乙什NT"乙4

所以“X)在單調(diào)遞增，在[*,兀]單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

\J」L/

令g(x)=2〃x)-亞=0,所以〃x)="令f=2x+),

212

,小個(gè)\EI,0兀55兀[、[/7兀9兀15TI1771lJ1

由“?0,2兀)，貝[石■'五J'當(dāng)仁彳'Y'~4~'丁n時(shí),COSf=y

則g(x)在(0,2可上有4個(gè)零點(diǎn)，分別是二，學(xué)，粵，孚，故D正確.

126126

故選：AD.

10.ABD

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算法則、共軌復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)、復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則

逐一判斷即可.

【詳解】設(shè)

Zj=a+l>i,z2=c+di^a,b,c,deR),Z[-z2=z1-z2-z1=z2-z2<=>2bi=2di<=>b=d,故

Z]-Z2=a-c為實(shí)數(shù)，故A正確；[Z；-Z]Z2]=[Z](Z]-Z2)=|ZJHZ]-Z2|=|Z]HZ2-Z1|,故B正

確；

令Z[=l-i,Zz=2i,故z；=^,但故C錯(cuò)誤；

若Z：=42,貝(|(。+歷)2=(。-歷)2,故必=0,即<2=0或6=0,故D正確.

故選：ABD

11.ACD

【分析】

根據(jù)對(duì)稱性即可判斷A,根據(jù)"1)=2,/(3)=-2,f(T)=6的值即可排除B,根據(jù)

/(x+4)-/⑺=一8可求解C,根據(jù)/(D+/(2)+/(3)+/(4)=T,即可求解D.

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

【詳解】因?yàn)?(力的圖象關(guān)于(1,2)中心對(duì)稱,則〃2-力+/(力=4,故A正確；

由)(X)一;(4一尤)=2—尤，可得“X)—/(4—x)=8—4x,貝|“2—x)-〃2+x)=4x,取x=l

得/(1)-/(3)=4,

在/(2r)+/(x)=4中取》=1可得/⑴=2,則〃3)=-2,

由/(一1)+〃3)=4,得〃T)=6H〃3),故B錯(cuò)誤；

由〃2-力-〃2+x)=4x,得4-/(力-〃2+x)=4x,

/./(X)+/(J:+2)=4-4J;(1).'./(X+2)+/(X+4)=^1-4X(2),

?-?W/(x+4)-/(x)=-8,又

2025=l+4x506,:.f(2025)=/(1)一8x506=2-8x506=-4046,故C正確；

又由①/(2)+/(4)=-4,.-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=-4,

2054

^/(z)=-4x5+—x(-32)=-340,故D正確.

z=i2

故選：ACD.

12.］一吟

【分析】

根據(jù)題意求集合A,2,根據(jù)Ac3=0分析求解.

【詳解】由題意可知：A={x|x<2),B={x|2x-3>0}=1x|x>|j,

,3

因?yàn)锳c3=0,則幾(一，

2

所以實(shí)數(shù)幾的取值范圍為(-.

故答案為：,

3

13.2-/0.75

4

【分析】

由正弦定理進(jìn)行邊化角運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可求出。的值；由正弦定理進(jìn)行角化邊運(yùn)算，然后余弦

定理進(jìn)行角化邊運(yùn)算，結(jié)合平行四邊形四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和可求解出中線的長(zhǎng)

度為定值，當(dāng)中線為高時(shí)三角形面積最大，余弦定理可求出此時(shí)/A的余弦值.

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

【詳解】

由正弦定理，2sinBcosC+2cosBsinC=2sin+C)=2sinA=asinA,因?yàn)閟inAwO,故〃=2；

而2cosAsinBsinC=Bsin?A,由正弦定理，2Z?ccosA=3",

7.22_2

由余弦定理，26c.=3/,得/+c、4/,

2bc

取線段BC的中點(diǎn)為。，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)E,使AE=2AO,連結(jié)8E,CE,

貝UBC2=AC2+AB2-2ACABCOSZCAB,AE2=BE2+AB2-2BE-ABcosZABE，

因?yàn)?5/046=-85^^46￡\_1LBE-AC,CE=AB,

所以8c2+止=8爐+AB?+AC?+為2

即平行四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和可得，

則有2僅2+°?)=41AO/+儲(chǔ)，則|A0|=J7,

則當(dāng)AO為5c邊上的高時(shí)，ABC的面積取得最大值，此時(shí)b=c=2后，由余弦定理,

,(2同+(2揚(yáng)2-2?3

cosA=------------7=-----；=----=—.

2x2^x2V24

3

故答案為：2；-

14.受

2

【分析】由題意得跖VLPW,首先設(shè)直線"N:y=履，聯(lián)立橢圓方程得M,N坐標(biāo)，進(jìn)一

步由g|ON|,|OQ|,|oQ|cosNNO。成等比數(shù)列，可得。的坐標(biāo)，從而可得PN斜率，注意到

因?yàn)橐訬P為直徑的圓過(guò)點(diǎn)M,所以

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

由題意設(shè)直線=（斜率顯然存在，否則點(diǎn)尸就不存在了），不妨設(shè)點(diǎn)M,N分

別在第一象限、第三象限，

則直線的斜率=-1；

k

y=kx,b

聯(lián)立解得x=±舟7聲

[a2b1

i'ababk、?/ababk

則M,N--/,.

22

+b2^Ic^k+b）IJ//+。21ak2+/

而；IONI,|OQ|,|。4cosNN。。成等比數(shù)列,

則|°Q『=JON||ogcosNNOQ=^ON-OQ,

設(shè)即），則。。=（。村"[譚k/

21abk

從而％=-y而不重合，也就是丫尸0,

xk2+匕2,

abkabk

解得y=一,則Qo,-

ly]a2k2+b22yJa2k2+b2

abkabk

故直線NP的斜率kpN=kNQ=2』〃2/+]2J〃2.2+/:1,

0+.2

y]a2k2+b2

設(shè)月（馬,%）,〃（％,y）,N（一%,—y）,

所以%y一%

x-x2

L一匕，故所求離心率e=、1X=且.

所以%

2a2ya22

故答案為：

2

1k1h1

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是分別表示出原M，怎N，由此結(jié)合七

k22a

可順利得解.

15.⑴x+y=。

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

(2)[2,+oo)

【分析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可；

(2)對(duì)不等式進(jìn)行常變量分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.

9

【詳解】⑴〃%)=21nx-3%+2=>/<%)=——3,

因此/")=T,而"1)=—1,

故所求切線方程為y+l=-即%+y=0；

(2)依題意，21nx-mx+2<0,故一221nx對(duì)任意工￡((),出)恒成立.

令g(x)=也±2(x>o),貝小，(x)=鄴，

X

令/(尤)=0,解得x=l.

故當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?L+°o)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取到極大值，也是最大值2.

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為［2,m).

9

16.(1)—

20

13

(2)分布列見(jiàn)解析，E(X)=z

【分析】

(1)根據(jù)古典概型運(yùn)算公式，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式、概率的乘法公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)古典概型運(yùn)算公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)記“數(shù)組招的數(shù)據(jù)之和不大于8”為事件“數(shù)組％的數(shù)據(jù)之和大于8”為事

件N,

13

則尸(町=1-W="

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

事件N包含的數(shù)組有：(1,3,5)、(1,4,5)、(2,3,4)、(2,3,5)、(2,4,5)、(3,4,5),共6組,

尸(N)=R=1，故所求概率P=P(M)尸(N)=^.

^5。2U

(2)依題意，X的可能取值為L(zhǎng)2,3,4；

(2

(親11c11C?3

PX=1)==，尸(X=2)=^-----H1—--------Z-=—,

7

5C40'C：CC：C20

22222

小=3)=圣C1C+*1亮c亮3尸—4)爺C母C9

20

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵當(dāng)

【分析】

(1)根據(jù)菱形的對(duì)角線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)進(jìn)行

證明即可；

(2)根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)、結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)建立空間直角坐

標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)記。B交AC于點(diǎn)0,連接SO.

因?yàn)锳BC。是菱形，所以BO_LAC,且0為m的中點(diǎn).

因?yàn)镾B=S￡>,所以SO_LBZ),

又因?yàn)锳C,SOu平面A5C,且AC|'SO=O,所以由平面ASC,

因?yàn)镾Cu平面ASC,所以SCL3D.

(2)取A3的中點(diǎn)尸，連接。尸交AC于點(diǎn)E,連接SE.

因?yàn)镹A3C=120,所以△ABD是等邊三角形，所以

又因?yàn)镹SOC=90,故5。_1_48,5。門(mén)。/=￡>,5￡),￡)尸<=平面5/)產(chǎn)，

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

所以AB2平面SDF.又SEu平面尸，所以AB_LSE.

由（1）知BDJ_SE,且ABBD=B,所以SE_L平面ABCD

不妨設(shè)AB=2,則AE=AF=￡1,AO=4B.COS30=唐.

cos303

在，ASC中，由AS_LSC,得SE?=4￡；.￡。=氈＞＜拽=§,所以SE=3&.

3333

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。氏。。所在直線分別為x軸、＞軸，過(guò)點(diǎn)。作垂直平面A5CD的直線為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

Sz木

則A（0,一百,0）,2（1,0,0）,。（0,百,0）,5

所以A3=(1,也,Q),CB=(1,-"0),BS=

設(shè)平面的法向量為％=a，y”zj,

m2屈八

n?BS=0,-亍4=。,

所以x

?

勺AB=0%+石”=0,

令y=1得%=一6'---

I/

設(shè)平面跖C的法向量為％=（吃,%*2）,

答案第11頁(yè)，共14頁(yè)

-73x73+1x1-—

故cos〈4,叼〉=?2---------------------------------------------

J(-A/3)2+12+-(x7(V3)2+l2+(^)2

Vk27

所以平面&LB與平面SBC所成二面角的正弦值為逅.

3

18.⑴Q

13

(2)是，證明見(jiàn)解析

【分析】（1）先求出直線網(wǎng)方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求解即可；

（2）先利用直線與拋物線的位置關(guān)系求切線方程，再利用圓中弦的性質(zhì)求出外心坐標(biāo)，即

可證明.

【詳解】⑴依題意，尸（2,3）,嗎,3）心,-3）則直線尸尺的斜率為T(mén)1［上

則直線尸尺：，—3=4（彳一2）,即y=4x—5；

f—匕=114

聯(lián)立彳3,得13/_40X+28=0,解得％=2或%=百，

y=4x-53

故所求弦長(zhǎng)為4T不x2--=經(jīng)典.

1313

（2）△PQF的外心落在雙曲線C在點(diǎn)尸的切線上，證明過(guò)程如下，

設(shè)雙曲線C在點(diǎn)尸的切線斜率為3則在點(diǎn)尸處的切線方程為

y-y0=k(x-x0),

2

聯(lián)立12y得(3—左~)彳2_2兀(%—Ax。)x—(%—)—3=0,

x2-2-=l,

3

其中％2/3,貝|A=4/(%-a)2+4(3-%2)[(%-1bo『+3]=0,

2

而其-號(hào)=1,故火+3=3%，代入上式可得，ky^-6kxoyo+9xl=O,

解得/=3'，故雙曲線C在點(diǎn)尸處的切線方程為y-%=

X-X。），即—

y0

直線尸。的斜率為⑥2=-個(gè)，線段人2的中點(diǎn)為E1：,

答案第12頁(yè)，共14頁(yè)

故直線尸。的中垂線方程為y-普=、-(尤一1],

22%I4J

聯(lián)立22%〔.可得y=3x°[2y；-6,故外心坐標(biāo)為[當(dāng)±1,豈苧亙],

_2%+14%(44y0)

彳-4，

其滿足無(wú)胚-專(zhuān)=1,故△P。尸的外心落在雙曲線C在點(diǎn)尸處的切線上.

19.(1)??=士-(-I)"-1(14〃W10)或?(-1)"(1<?<10)

,7-2n+2m+1-*\

(2)a=------z---(l<H<2m,mGNWT)

n2m')

(3)不能，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)4=1和4*1討論，利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和結(jié)合數(shù)列新定義求解即可；

(2)結(jié)合數(shù)列定義，利用等差數(shù)列的前“項(xiàng)和及通項(xiàng)公式求解即可；

(3)根據(jù)數(shù)列｛4｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)歹廣求得⑶花；，再利用數(shù)列6｝的前〃項(xiàng)和得

5]=邑=5==Se=。，然后推得W+S2+S3++又=0與|引+閭+國(guó)++卬=1不

能同時(shí)成立，即可判斷.

10

【詳解】(I)若4=1,