2019年廣西玉林市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年廣西玉林市中考數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分.

1.（3分）（2019?玉林）9的倒數(shù)是（）

A.工B.」C.9D.-9

99

【考點】17：倒數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用倒數(shù)的定義得出答案.

【解答】解：9的倒數(shù)是：1.

9

故選：A.

【點評】此題主要考查了倒數(shù)，正確把握倒數(shù)的定義是解題關鍵.

2.（3分）（2019?玉林）下列各數(shù)中，是有理數(shù)的是（）

A.TTB.1.2C.&D.對

【考點】27：實數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】直接利用有理數(shù)的定義分析得出答案.

【解答】解：四個選項中只有L2是有理數(shù).

故選：B.

【點評】此題主要考查了實數(shù)，正確把握有理數(shù)的定義是解題關鍵.

3.（3分）（2019?玉林）如圖，圓柱底面圓半徑為2,高為2,則圓柱的左視圖是（）

A.平行四邊形B.正方形C.矩形D.圓

【考點】U1：簡單幾何體的三視圖.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】根據(jù)圓柱底面圓半徑為2,高為2,即可得到底面直徑為4,進而得出圓柱的左

視圖是長方形.

【解答】解：???圓柱底面圓半徑為2,高為2,

二底面直徑為4,

，圓柱的左視圖是一個長為4,寬為2的長方形，

故選：C.

【點評】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，左視圖是從物體的左面看得到的視圖.

4.（3分）（2019?玉林）南寧到玉林城際鐵路投資約278億元，將數(shù)據(jù)278億用科學記數(shù)法

表示是（）

A.278X108B.27.8X109C.2.78X1。"）D.2.78X108

【考點】II：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【專題】511：實數(shù).

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中間＜10,〃為整數(shù).確定〃

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值＞1時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，正是負數(shù).

【解答】解：278億用科學記數(shù)法表示應為2.78X1O10,

故選：C.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其

中〃為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

5.（3分）（2019?玉林）若a=29°45',則a的余角等于（）

A.60°55'B.60°15'C.150°55'D.150°15'

【考點】II：度分秒的換算；IL：余角和補角.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】根據(jù)互為余角的定義作答.

【解答】解：：a=29°45',

?a的余角等于:90°-29°45'=60°15'.

故選：B.

【點評】本題考查了互為余角的定義：如果兩個角的和為90°,那么這兩個角互為余角.

6.（3分）（2019?玉林）下列運算正確的是（）

A.3a+2a=5a

2

B.3a-2a=a

C.（-a）3*（-J）=-a5

D.（lab1-Aab4）+（-lab1}=2Z＞2-cT

【考點】35：合并同類項；46：同底數(shù)募的乘法；4H：整式的除法.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用合并同類項法則以及整式的乘除運算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：A、3a+2a=5a,故此選項錯誤；

B、3“2-2”，無法計算，故此選項錯誤；

C、（-a）3?（-=/，故此選項錯誤；

D、（2a3/72-4a/?4）4-（-2ab2）—2b1-a,正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了合并同類項以及整式的乘除運算，正確掌握相關運算法則是解

題關鍵.

7.（3分）（2019?玉林）菱形不具備的性質是（）

A.是軸對稱圖形B.是中心對稱圖形

C.對角線互相垂直D.對角線一定相等

【考點】L8：菱形的性質；P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】根據(jù)菱形的性質對各個選項進行分析，從而得到答案.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，故正確；

B、是中心對稱圖形，故正確；

C、對角線互相垂直，故正確；

。、對角線不一定相等，故不正確；

故選：D

【點評】本題考查了菱形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵.

8.（3分）（2019?玉林）若一元二次方程x-x-2=0的兩根為修，皿，則（1+占）+犬2（1

-xi）的值是（）

A.4B.2C.1D.-2

【考點】AB：根與系數(shù)的關系.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到XI+M=1,x"2=-2,然后利用整體代入的方法計算

（1+X|）+%2（I-X］）的值.

【解答】解：根據(jù)題意得用+%2=1，乃尤2=-2,

所以(l+X\)+X2(1-X])—1+X1+X2-X\X2=1+1-(-2)=4.

故選：A.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若切，X2是一元二次方程以2+^+c=0（a#0）的

兩根時，X\+X2=~—，X\X2=--

aa

9.（3分）（2019?玉林）如圖，AB//EF//DC,AD//BC,EF與AC交于點G,則是相似三

角形共有（）

C.6對D.8對

【考點】S8：相似三角形的判定.

【專題】55D：圖形的相似.

【分析】圖中三角形有：XAEG、△AOC,CFG,△C8A,因為AB〃EF〃OC,AD//BC,

所以△AEGS/\A￡>CSCFGSZ\CBA,有6種組合

【解答】解：圖中三角形有：△AEG,△AOC,CFG,△CBA,

'：AB//EF//DC,AD//BC

：.△AEGs△AOCsCFGs△CBA

共有6個組合分別為：:.XAEGSXADC,△AEGSCFG,/XAEG^^CBA,△AOCS

CFG,AADC^ACBA,CFG^/XCBA

故選：c.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定.

R(q>0)

qo

10.（3分）（2019?玉林）定義新運算：P@q=',例如：3十5=2,3?(-5)

上(q<0)5

Q

【考點】E6：函數(shù)的圖象.

【專題】53：函數(shù)及其圖象.

【分析】根據(jù)題目中的新定義，可以寫出y=2十x函數(shù)解析式，從而可以得到相應的函

數(shù)圖象，本題得以解決.

2(q>0)

【解答】解：十〃=,

上（q<0）

2(X>0)

X

工(x<0)

X

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質解

答.

11.（3分）（2019?玉林）如圖，在中，NC=90°,AC=4,8c=3,點。是AB

的三等分點，半圓。與4c相切，M,N分別是8c與半圓弧上的動點，則A/N的最小值

和最大值之和是（）

【考點】MC：切線的性質.

【專題】559：圓的有關概念及性質.

【分析】設。。與AC相切于點。，連接OD作OPLBC垂足為P交。。于F,此時垂

線段OP最短，MN最小值為OP-OF=?,當N在AB邊上時，M與8重合時，MN最

大值=旦1=11,由此不難解決問題.

33

【解答】解：如圖，設。。與AC相切于點。，連接。力，作OPLBC垂足為P交O。于

F,

此時垂線段0P最短，PF最小值為OP-OF,

；AC=4,BC=3,

：.AB=5

：NOPB=90°,

：.OP//AC

?.?點。是AB的三等分點，

?0B=Zx5=W,OP=OB=2

r~3VACABS-；

OP=g,

3

與AC相切于點O,

：.OD1AC,

：.OD//BC,

.OD_OQ_1

BCAB3

OD=1,

最小值為OP-OF=&-1=5,

33

如圖，當N在AB邊上時，歷與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長,

MN最大值=迥+1=衛(wèi)，

33

.?.MN長的最大值與最小值的和是6.

【點評】本題考查切線的性質、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是正確找到點MN

取得最大值、最小值時的位置，屬于中考?？碱}型.

12.（3分）（2019?玉林）已知拋物線C：y=L（x-l）2-1,頂點為￡>,將C沿水平方向

2

向右（或向左）平移，"個單位，得到拋物線G，頂點為Oi，C與G相交于點。若/

DQD\=60Q,則，"等于（)

C.-2或2yD.-4或4我

【考點】H3：二次函數(shù)的性質.

【專題】535：二次函數(shù)圖象及其性質.

【分析】根據(jù)平移的性質求得交點Q的橫坐標，代入C求得縱坐標，然后根據(jù)題意和勾

2

股定理得到，（空2-1）2+（2-1+1）2=謂，解方程即可求得.

28

【解答】解：拋物線CC>=工（無-1）2-1沿水平方向向右（或向左）平移加個單位

2

得到y(tǒng)=—Cx-m-1）2-1,

2

：.D（1,-1）,D（m+1,-1）,

???Q點的橫坐標為：空2,

2

2

代入y=L（x-1）2-1求得Q（m2.,1）,

228

若/。。5=60°,則△。。功是等邊三角形，

I.QD=DD=\m\\9

2

由勾股定理得，（過2-1）2+（2L-1+1）2=總

28

解得機=±4，§,

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，平移的性質，求得。的坐標是解題的關鍵.

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）

13.（3分）（2019?玉林）計算：（-6）-（+4）=-10.

【考點】1A：有理數(shù)的減法.

【專題】511：實數(shù).

【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).

【解答】解：（-6）~（+4）—（-6）+（-4）--10.

故答案為：-10

【點評】本題主要考查了有理數(shù)的加減法，熟練掌握法則是解答本題的關鍵.

14.（3分）（2019?玉林）樣本數(shù)據(jù)-2,0,3,4,7的中位數(shù)是0.

【考點】W4：中位數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義求解.

【解答】解：按從小到大的順序排列是：-2,-1,0,3,4.

中間的是1.則中位數(shù)是：0.

故答案是：0.

【點評】本題考查中位數(shù)的定義，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡?/p>

列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)

的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯.

15.（3分）（2019?玉林）我市博覽館有A,B,C三個入口和。，E兩個出口，小明入館游

覽，他從A口進E口出的概率是

【考點】X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】541：數(shù)據(jù)的收集與整理.

【分析】依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結果，然后根據(jù)概率

公式求出該事件的概率.

【解答】解：根據(jù)題意畫樹形圖：

BC

/\

DEDE

共有6種等情況數(shù)，其中“A口進?？诔觥庇幸环N情況,

從“A口進?？诔觥钡母怕蕿長；

6

故答案為：L.

6

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復不遺漏的列出所

有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解

題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

16.（3分）（2019?玉林）如圖，一次函數(shù)為=（&-5）x+b的圖象在第一象限與反比例函數(shù)

>2='的圖象相交于A，B兩點,當yi>y2時，尤的取值范圍是l<x<4,則k=4.

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

【專題】533：一次函數(shù)及其應用；534：反比例函數(shù)及其應用.

【分析】根據(jù)題意知，將反比例函數(shù)和一次函數(shù)聯(lián)立，A、B的橫坐標分別為1、4,代入

方程求解得到k的值.

【解答】解：由已知得A、8的橫坐標分別為1,4,

fk-5+b=k

所以有《

4(k-5)+b*

解得k=4,

故答案為4.

【點評】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點問題，交點坐標適合兩個解析式是解題

的關鍵.

22

17.（3分）（2019?玉林）設0<也<1,則Yb,則m的取值范圍是-1<切<1

aa2+2ab

【考點】66：約分；C2：不等式的性質.

【專題】513：分式；524：一元一次不等式（組）及應用.

22

【分析】把馬產(chǎn)一的分子、分母分別因式分解，約分后可得11f三組=12，再根據(jù)

a2+2abaa

ovkvi即可確定"?的取值范圍.

a

【解答】解：m="'2=（a+2b）（a-2b）=a-2b口生,

a2+2aba（a+2b）aa

VO<h<L

a

-2<-aVO,

a

-1^1-2b.<i,

a

即-

故答案為：-1<加<1

【點評】本題主要考查了分式的約分以及不等式的基本性質，熟練掌握分解因式的方法

是解答本題的關鍵.

18.（3分）（2019?玉林）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,8c=4,一發(fā)光電子開始置于

A8邊的點P處，并設定此時為發(fā)光電子第一次與矩形的邊碰撞，將發(fā)光電子沿著心?方

向發(fā)射，碰撞到矩形的邊時均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°,若發(fā)光電

子與矩形的邊碰撞次數(shù)經(jīng)過2019次后，則它與AB邊的碰撞次數(shù)是673.

Dr

4pB

【考點】LB：矩形的性質；P1：生活中的軸對稱現(xiàn)象.

【專題】556：矩形菱形正方形.

【分析】根據(jù)反射角與入射角的定義可以在格點中作出圖形，可以發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)過6次反

射后，發(fā)光電子回到起始的位置，即可求解.

【解答】解：如圖

根據(jù)圖形可以得到：每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)

點（6,0）,且每次循環(huán)它與AB邊的碰撞有2次，

V20194-6=336-3,

當點P第2019次碰到矩形的邊時為第337個循環(huán)組的第3次反彈，點P的坐標為（6,4）

它與AB邊的碰撞次數(shù)是=336X2+1=673次

故答案為673

【點評】本題主要考查了矩形的性質，點的坐標的規(guī)律，作出圖形，觀察出每6次反彈

為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵.

三、解答題(共8小題，滿分66分)

19.(6分)(2019?玉林)計算：|點-1|-(-2)3-里(IT-cos60°)

2

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)基；T5：特殊角的三角函數(shù)值.

【專題】11：計算題；511：實數(shù).

【分析】先取絕對值符號、乘方、二次根式和零指數(shù)暴，再計算加減可得.

【解答】解：原式=1+8-J豕l

=8.

【點評】本題主要考查實數(shù)的運算，解題的關鍵是掌握乘方的定義、絕對值性質、算術

平方根的定義及零指數(shù)幕的規(guī)定.

20.(6分)(2019?玉林)解方程：——3----=1.

x-l(x-l)(x+2)

【考點】B3：解分式方程.

【專題】522：分式方程及應用.

【分析】化簡所求方程為產(chǎn)學工=1,將分式方程轉化為整式方程，+2x-3=(x

(x+2)(x-l)

-1)(x+2),解得x=L檢驗方程的根即可求解；

2

【解答】解：x_3=x(x+2)-3=X+2X-3=>

x-l(x-l)(x+2)(x-l)(x+2)(x+2)(x-l)

.,.x+2x-3—(x-l)(x+2),

?.x=1,

經(jīng)檢驗X=1是方程的增根，

...原方程無解；

【點評】本題考查分式方程的解法；熟練掌握分式方程的解法，驗根是關鍵.

21.(6分)(2019?玉林)如圖，已知等腰△4BC頂角/4=36°.

(1)在AC上作一點。，使AQ=B￡>(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和

證明，最后用黑色墨水筆加墨)；

(2)求證：△BCQ是等腰三角形.

；6°

【考點】KJ：等腰三角形的判定與性質；N3：作圖一復雜作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】（1）作AB的垂直平分線交AC于。；

（2）利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出NABC=NC=72°,再利用DA=

得到/A8￡）=/A=36°,所以NB￡?C=72°,從而可判斷△BCD是等腰三角形.

【解答】（1）解：如圖，點。為所作；

：.ZABC=ZC=1.(180°-36°)=72°，

2

,:DA=DB,

：.ZABD=ZA=36°,

：.ZBDC=ZA+ZABD=36°+36°=72°,

:.NBDC=/C,

.?.△BCD是等腰三角形.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，

一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖

形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了

等腰三角形的判定與性質.

22.（8分）（2019?玉林）某校有20名同學參加市舉辦的“文明環(huán)保，從我做起”征文比賽,

成績分別記為60分、70分、80分、90分、100分，為方便獎勵，現(xiàn)統(tǒng)計出80分、90

分、100分的人數(shù)，制成如圖不完整的扇形統(tǒng)計圖，設70分所對扇形圓心角為a.

(1)若從這20份征文中，隨機抽取一份，則抽到試卷的分數(shù)為低于80分的概率是2；

一五一

(2)當a=180°時，求成績是60分的人數(shù)；

(3)設80分為唯一眾數(shù)，求這20名同學的平均成績的最大值.

【考點】VB：扇形統(tǒng)計圖；W5：眾數(shù)；X4：概率公式.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】(1)求出低于80分的征文數(shù)量，再根據(jù)概率公式計算可得；

(2)當a=180°時，成績是70分的人數(shù)為10人，據(jù)此求解可得；

(3)根據(jù)題意得出各組人數(shù)進而求出平均數(shù).

【解答】解：(1)低于80分的征文數(shù)量為20X(1-30%-20%-10%)=8,

則抽到試卷的分數(shù)為低于80分的概率是-§_=2,

205

故答案為：2.

5

(2)當a=180°時，成績是70分的人數(shù)為10人，

則成績是60分的人數(shù)20-10-20X(10%+20%+30%)=2(人)；

(3)?；80分的人數(shù)為：20X30%=6(人)，且80分為成績的唯一眾數(shù)，

所以當70分的人數(shù)為5人時，這個班的平均數(shù)最大，

最大值為：(20義10%*100+20X20%義90+20義30%X80+5X70+3X60)+20=78.5

(分).

【點評】此題主要考查了概率公式以及扇形統(tǒng)計圖的應用，正確獲取信息得出各組人數(shù)

是解題關鍵.

23.(9分)(2019?玉林)如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,以4B為直徑作00分

別交于AC,BC于點、D,E,過點E作。。的切線EF交4c于點凡連接BD

(1)求證：EF是△CO8的中位線；

(2)求EF的長.

B^--------C

【考點】KH：等腰三角形的性質：KQ：勾股定理；KX：三角形中位線定理；M5：圓周

角定理；MC：切線的性質.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；559：圓的有關概念及性質；55A：與圓有關的

位置關系.

【分析】（1）連接AE,由圓周角定理得NAO8=NAEB=90°,由等腰三角形的性質得

出BE=CE=3,證出0E是△ABC的中位線，得出OE〃AC,得出即可得出

結論；

（2）由勾股定理得出AA=1AB2_BE2=4,由三角形面積得出BQ=BCX皿=2上,由

三角形中位線定理即可得出EF=LBD=絲.

25

【解答】（1）證明：連接AE,如圖所示：

為。。的直徑，

...NAOB=N4EB=90°,

：.AE±BC,BD1AC,

9：AB=AC,

；.BE=CE=3,

YE/是。。的切線，

:.OE.LEF,

*：OA=OB,

?,.OE是△ABC的中位線，

:.OE//AC,

：.0E1.BD,

:?BD〃EF,

■:BE=CE,

:.CF=DFf

???E尸是△COB的中位線；

(2)解：VZAEB=90°,

22=22=4,

,AE=VAB-BEVS-3

△ABC的面積=LCXBO=LCXAE,

22

.DnBCXAE6X424

AC55

；EF是ACDB的中位線，

：.EF=i-BD=l^.

【點評】本題考查了切線的性質、圓周角定理、等腰三角形的性質、三角形中位線定理、

勾股定理等知識；熟練掌握切線的性質和圓周角定理是解題的關鍵.

24.（9分）（2019?玉林）某養(yǎng)殖場為了響應黨中央的扶貧政策，今年起采用“場內+農(nóng)戶”

養(yǎng)殖模式，同時加強對蛋雞的科學管理，蛋雞的產(chǎn)蛋率不斷提高，三月份和五月份的產(chǎn)

蛋量分別是2.5萬必與3.6萬kg,現(xiàn)假定該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月增長率相同.

（1）求該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率；

（2）假定當月產(chǎn)的雞蛋當月在各銷售點全部銷售出去，且每個銷售點每月平均銷售量最

多為0.32萬依.如果要完成六月份的雞蛋銷售任務，那么該養(yǎng)殖場在五月份已有的銷售

點的基礎上至少再增加多少個銷售點？

【考點】AD：一元二次方程的應用；CE：一元一次不等式組的應用.

【專題】523：一元二次方程及應用；524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】（1）設該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率為x,根據(jù)題意列方程即可得到結論;

（2）設至少再增加y個銷售點，根據(jù)題意列不等式即可得到結論.

【解答】解：（1）設該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率為X,

根據(jù)題意得，2.5（1+x）2=3.6,

解得：x—0.2,X--2.2（不合題意舍去），

答：該養(yǎng)殖場蛋雞產(chǎn)蛋量的月平均增長率為20%；

（2）設至少再增加y個銷售點，

根據(jù)題意得,3.6+0.32y23.6X（1+20%）,

解得：后與，

4

答：至少再增加3個銷售點.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次不等式的應用，正確的理解題意是

解題的關鍵.

25.(10分)(2019?玉林)如圖，在正方形ABCD中，分別過頂點B,。作BE〃。尸交對角

線AC所在直線于E,F點,并分別延長EB,尸。到點從G,使BH=DG,連接EG,

FH.

(1)求證：四邊形EHFG是平行四邊形；

(2)已知：AB=2近,EB=4,tanNGEH=2如,求四邊形E//FG的周長.

【考點】KD：全等三角形的判定與性質；L7：平行四邊形的判定與性質：LE：正方形

的性質；T7：解直角三角形.

【專題】11：計算題；14：證明題；556：矩形菱形正方形.

【分析】(1)證明△ABE絲△CCF(A4S),得BE=DF,根據(jù)一組對邊平行且相等的四

邊形是平行四邊形可得結論；

(2)如圖，連接BO,交EF于O,計算EO和8。的長，得NOE8=30°,根據(jù)三角函

數(shù)可得HM的長，從而得EM和EH的長，利用勾股定理計算FH的長，最后根據(jù)四邊的

和計算結論.

【解答】解：(1)?.?四邊形A2CD是正方形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZDCA=ZBAC,

'：DF//BE,

：.ZCFD^ZBEA,

"：NBAC=NBEA+NABE,ZDCA=ZCFD+ZCDF,

：.NABE=NCDF,

在△ABE和△CQF中,

'/ABE=NCDF

NAEB=/CFD，

AB=CD

AAABE^ACDF(AAS),

：.BE=DF,

?：BH=DG,

：.BE+BH=DF+DG,

即EH=GF,

'JEH//GF,

...四邊形EHFG是平行四邊形；

(2)如圖，連接B。，交EF于O,

:四邊形ABC。是正方形，

J.BDVAC,

...NAOB=90°,

,:AB=2瓜

；.OA=OB=2,

RtZ\8OE中，EB=4,

:.NOEB=30°,

：.EO=2-/3,

'：OD=OB,NEOB=/DOF,

'：DF//EB,

：.ZDFC=ZBEA,

：./\DOF^/\BOE(A4S),

OF=OE=2y/3,

.\EF=473，

:.FM=2M，EM=6,

過尸作FM_LE”于M,交E”的延長線于M,

'：EG//FH,

：.ZFHM=ZGEH,

VtanZGEH=tanZFHM=n=2-Js，

HM

?.MEM-HM=6-1=5,加布西諾炳齊聲工,

二四邊形EHFG的周長=2EH+2FH=2X5+2413=10+2713.

【點評】此題主要考查了正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角函數(shù)和全等三

角形的判定等知識.充分利用正方形的特殊性質來找到全等的條件從而判定全等后利用

全等三角形的性質解題，第二問有難度，恰當?shù)刈鞒鲚o助線是關鍵.

26.（12分）（2019?玉林）已知二次函數(shù)：y=ax+（2a+l）x+2（a<0）.

（1）求證：二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；

（2）當二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且。為負整數(shù)時，求。的

值及二次函數(shù)的解析式并畫出二次函數(shù)的圖象（不用列表，只要求用其與x軸的兩個交

點4,B（A在B的左側），與y軸的交點C及其頂點。這四點畫出二次函數(shù)的大致圖象,

同時標出A,B,C,。的位置）；

（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在一點尸使/PC4=75°?如果存在,

求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】151：代數(shù)綜合題；537：函數(shù)的綜合應用.

【分析】（1）將解析式右邊因式分解得拋物線與x軸的交點為（-2,0）、（-1,0）,

結合a<0即可得證;

(2)結合(1)中一個交點坐標(-工，0)及橫坐標均為整數(shù)，且〃為負整數(shù)可得〃的

值，從而得出拋物線解析式，繼而求出點C、。坐標，從而畫出函數(shù)圖象；

(3)分點P在AC上方和下方兩種情況，結合NACO=45°得出直線PC與x軸所夾銳

角度數(shù)，從而求出直線PC解析式，繼而聯(lián)立方程組，解之可得答案.

【解答】解：(1)Vy=ar2+(2a+l)x+2=(x+2)(ar+1),且“<0,

.?.拋物線與x軸的交點為(-2,0)、(-1,0),

則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點;

(2)?..兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且.為負整數(shù),

則拋物線與x軸的交點4的坐標為(-2,0)、B的坐標為(1,0),

.?.拋物線解析式為y=(x+2)(-x+1)

--x1-x+2

=-(x+_L)

24

當x=0時，y=2,即C(0,2),

函數(shù)圖象如圖1所示：

圖1

（3）存在這樣的點P,

'：OA=OC=2,

；./ACO=45°,

如圖2,當點P在直線AC上方時，記直線PC與x軸的交點為E,

???NPCO=120°,NOC8=60°,

則NOEC=30°,

OE=——~■=1=273，

tanZOECV3_

3

則E（2A/3，0）,

求得直線CE解析式為＞=-亞a:+2,

聯(lián)立I(尸Jix+2

9

y=-x-x+2

_V3~3

x=3

解得

行5’

如圖3,當點P在直線AC下方時，記直線PC與x軸的交點為R

VZACP=15°,ZACO=45°,

：.ZOCF=30°,

則0F=OCtanN0CF=2乂叵=

_33

：.F（包1,0）,

3

求得直線PC解析式為y=-VSv+2,

底"產(chǎn)二Bx+2

聯(lián)叫，

^y=-x2-x+2

解得：卜=0或卜呼T,

I尸2[y=V3-l

:.p（后i,Vs-1）.

綜上，點尸的坐標為（魚受，返至）或（愿-1,V3-D.

33

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合問題，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二

次函數(shù)的圖象和性質、直線與拋物線相交的問題等.

考點卡片

1.倒數(shù)

(1)倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

一般地，a*—=1就說a的倒數(shù)是L.

aa

(2)方法指引：

①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉化為加法及相反數(shù)一

樣，非常重要.倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的.

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“-”即可

求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一

求一個分數(shù)的倒數(shù)，就是調換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數(shù).

2.有理數(shù)的減法

(1)有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即：?-b=a+3)

(2)方法指引：

①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；

②將有理數(shù)轉化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號(減號變加號)；二是減

數(shù)的性質符號(減數(shù)變相反數(shù))；

【注意】：在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律.

減法法則不能與加法法則類比,0加任何數(shù)都不變,0減任何數(shù)應依法則進行計算.

3.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成aX10"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：aXIO",其中

〃為正整數(shù).)

(2)規(guī)律方法總結：

①科學記數(shù)法中?的要求和10的指數(shù)〃的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)

位數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)%

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

4.實數(shù)

（1）實數(shù)的定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

（2）實數(shù)的分類：

'正有理數(shù)

有理數(shù)0（正實數(shù)

.負有理數(shù)或實數(shù)：|0

實數(shù):

（正無理數(shù)I負實數(shù)

無理數(shù)

負無理數(shù)

5.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、累的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

6.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)

會減少，達到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字

母和字母的指數(shù)不變.

7.同底數(shù)募的乘法

（1）同底數(shù)幕的乘法法則：同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

/./=/"+"（加，〃是正整數(shù)）

（2）推廣：am-an-ap=am+n+p（,〃，”，p都是正整數(shù)）

在應用同底數(shù)基的乘法法則時，應注意：①底數(shù)必須相同，如23與2$,（//）3與（/射）

4,（x-y）2與（彳-〉）3等；②?？梢允菃雾検?，也可以是多項式；③按照運算性質，只

有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加.

（3）概括整合：同底數(shù)幕的乘法，是學習整式乘除運算的基礎，是學好整式運算的關鍵.在

運用時要抓住“同底數(shù)”這一關鍵點，同時注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時可以適當變

形為同底數(shù)累.

8.整式的除法

整式的除法：

（1）單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)塞分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式

里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式.

關注：從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟：①系數(shù)相除；②同底數(shù)基相除;

③對被除式里含有的字母直接作為商的一個因式.

（2）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.

說明：多項式除以單項式實質就是轉化為單項式除以單項式.多項式除以單項式的結果仍是

一個多項式.

9.約分

（1）約分的定義：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫

做分式的約分.

（2）確定公因式要分為系數(shù)、字母、字母的指數(shù)來分別確定.

①分式約分的結果可能是最簡分式，也可能是整式.

②當分子與分母含有負號時，一般把負號提到分式本身的前面.

③約分時，分子與分母都必須是乘積式，如果是多項式的，必須先分解因式.

(3)規(guī)律方法總結：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉化為乘積的形式，再找出

分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分.

10.零指數(shù)幕

零指數(shù)塞：a°=l(a#0)

由丁"=1,/""=/，”=J可推出a°=lSO)

注意：0°片1.

11.根與系數(shù)的關系

(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關系：X|,X2是方程/+px+q=O的兩根時，X|+X2=-P，

x\X2=qy反過來可得p=-(X1+X2)，q=xiX2,前者是已知系數(shù)確定根的相關問題，后者是

已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關系：XI，X2是一元二次方程Qf+〃_r+c=O(〃W0)

的兩根時，％[+尤2=衛(wèi)，XiX2=—f反過來也成立，即旦=-(X1+X2)，—=X\X2-

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求

另一個根及未知數(shù).③不解方程求關于根的式子的值，如求，x/+x22等等.④判斷兩根的

符號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合,

解題時除了利用根與系數(shù)的關系，同時還要考慮“去0,△》()這兩個前提條件.

12.一元二次方程的應用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應用題中常見問題：

(1)數(shù)字問題：個位數(shù)為“，十位數(shù)是"則這個兩位數(shù)表示為

(2)增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是a,每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為a(1+x)；第二次增長后為a(1+x)2,即原數(shù)X(1+增長百分率)

2=后來數(shù).

(3)形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程.③利用

相似三角形的對應比例關系，列比例式，通過兩內項之積等于兩外項之積，得到一元二次方

程.

（4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構成直角三角形，可運用直角三角形的性質列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關系.

2.設：根據(jù)題意，可以直接設未知數(shù)，也可以間接設未知數(shù).

3.歹IJ：根據(jù)題中的等量關系，用含所設未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

13.解分式方程

（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗；④得出結論.

（2）解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0,所以應如

下檢驗：

①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式

方程的解.

②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0,則整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程時，一定要檢驗.

14.不等式的性質

（1）不等式的基本性質

①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不

變,即：

若a>b,那么a±m(xù)>b±m(xù)；

②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：

若且m>0,那么加?或且Ak;

mm

③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：

若a>b,且m<0f那么am<bm或且〈旦；

mm

（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不

變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才

改變.

【規(guī)律方法】

1.應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一

定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母

是否大于0進行分類討論.

2.不等式的傳遞性：若a>b,b>c,則a>c.

15.一元一次不等式組的應用

對具有多種不等關系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解.

一元一次不等式組的應用主要是列一元一次不等式組解應用題，其一般步驟：

（1）分析題意，找出不等關系；

（2）設未知數(shù)，列出不等式組；

（3）解不等式組；

（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；

（5）作答.

16.函數(shù)的圖象

函數(shù)的圖象定義

對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每一對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平

面內由這些點組成的圖形就是這個函數(shù)的圖象.

注意：①函數(shù)圖形上的任意點（x,y）都滿足其函數(shù)的解析式；②滿足解析式的任意一對X、

y的值，所對應的點一定在函數(shù)圖象上；③判斷點尸（x,y）是否在函數(shù)圖象上的方法是：

將點P（x,y）的x、y的值代入函數(shù)的解析式，若能滿足函數(shù)的解析式，這個點就在函數(shù)

的圖象上：如果不滿足函數(shù)的解析式，這個點就不在函數(shù)的圖象上..

17.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程

組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.

（2）判斷正比例函數(shù)y=kix和反比例函數(shù)y=絲在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結

X

為:

①當ki與h同號時，正比例函數(shù)y=k\x和反比例函數(shù)y="在同一直角坐標系中有2個

X

交點；

②當心與幻異號時，正比例函數(shù))，=扃