第2課時(shí)　單調(diào)性與最值 高一數(shù)學(xué)

5.4.2

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第2課時(shí)

單調(diào)性與最值自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性2.觀察余弦函數(shù)y=cosx,x∈[-π,π]的圖象,余弦函數(shù)在區(qū)間[-π,π]上函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)?推廣到整個(gè)定義域呢?提示:觀察圖象可知,當(dāng)x∈[-π,0]時(shí),曲線逐漸上升,函數(shù)y=cos

x在區(qū)間[-π,0]上單調(diào)遞增,cos

x的值由-1增大到1;當(dāng)x∈[0,π]時(shí),曲線逐漸下降,函數(shù)y=cos

x在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減,cos

x的值由1減小到-1.推廣到整個(gè)定義域可得:當(dāng)x∈[(2k-1)π,2kπ],k∈Z時(shí),余弦函數(shù)y=cos

x單調(diào)遞增,函數(shù)值由-1增大到1;當(dāng)x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z時(shí),余弦函數(shù)y=cos

x單調(diào)遞減,函數(shù)值由1減小到-1.答案:C二、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值1.觀察下圖中的正弦曲線和余弦曲線.正弦曲線:余弦曲線:(1)從正弦曲線、余弦曲線上很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R,值域是什么?提示:[-1,1].(2)當(dāng)x取何值時(shí),正弦函數(shù)y=sinx,x∈R分別取得最大值1和最小值-1?3.函數(shù)y=2-sinx取得最大值時(shí)x的值為

.

【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)在區(qū)間[0,3π]上,函數(shù)y=cosx僅在x=0時(shí)取得最大值1.(×

)(3)余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一求與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間反思感悟用整體替換法求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)或y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),如果式子中x的系數(shù)為負(fù)數(shù),那么先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù),再求其單調(diào)區(qū)間.求單調(diào)區(qū)間時(shí),需將最終結(jié)果寫成區(qū)間形式.探究二利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小反思感悟用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小時(shí),應(yīng)先將異名化同名,把不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間,再利用單調(diào)性來(lái)比較大小.【變式訓(xùn)練2】

cos1,cos2,cos3的大小關(guān)系是

.(用“>”連接)

解析:因?yàn)?<1<2<3<π,且y=cos

x在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減,所以cos

1>cos

2>cos

3.答案:cos1>cos2>cos3探究三求與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(最值)反思感悟求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域(最值)的常見類型有以下幾種(1)形如y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)的函數(shù),令t=ωx+φ,先根據(jù)題中x的取值范圍,求出t的取值范圍,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出y=sin

t或y=cos

t的最值(值域).(2)形如y=asin2x+bsin

x+c(a≠0)的函數(shù),可先設(shè)t=sin

x,將函數(shù)y=asin2x+bsin

x+c(a≠0)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)y=at2+bt+c(a≠0),再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域(最值).(3)形如y=asin

x或y=acos

x的函數(shù)的最值還要注意對(duì)a的討論.答案:C易

錯(cuò)

辨

析求與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的最值時(shí)忽視分類討論致錯(cuò)提示:錯(cuò)解中默認(rèn)a>0,忽視了對(duì)a<0這一情況的討論,導(dǎo)致丟解.防范措施形如y=Asin(ωx