江西省九江市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023-2024學(xué)年江西省九江市六校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（北師大版）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的準線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線標準方程求出準線方程.【詳解】解：拋物線的焦點在軸上，且開口向右，所以，，拋物線的準線方程為．故選：B．2.已知隨機變量X～N(2，σ2)，若P(X＜a)＝0.32，則P(a≤X＜4－a)等于()A.0.32 B.0.68 C.0.36 D.0.64【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求解.【詳解】∵a＋(4－a)＝2×2，∴在橫軸上，a和4－a關(guān)于2對稱，如圖，由正態(tài)曲線的對稱性可得.故選：C.3.現(xiàn)有名北京冬奧會志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者隨機從中一次抽出名志愿者參與花樣滑冰項目的志愿服務(wù)則抽出的名都是女志愿者的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)組合計數(shù)可求基本事件總數(shù)和隨機事件中基本事件的個數(shù)，從而可求概率.【詳解】現(xiàn)有名北京冬奧會志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者，隨機從中一次抽出名志愿者參與花樣滑冰項目的志愿服務(wù)，基本事件總數(shù)，抽出的名都是女志愿者包含的基本事件個數(shù)，則抽出的名都是女志愿者的概率是．故選：B．4.若平面外的直線的方向向量為，平面的法向量為，則（）A. B. C. D.與斜交【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分析可得，由直線與平面的位置關(guān)系分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線的方向向量為，平面的法向量為，易得，又由直線在平面外，則有．故選：B．5.已知雙曲線的離心率是，，分別是其左、右焦點，過點且與雙曲線經(jīng)過第一、三象限的漸近線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的離心率，求出，求出漸近線方程，求出焦點坐標，利用點斜式求解直線方程即可．【詳解】解：由得，所以雙曲線的右焦點是，經(jīng)過第一、三象限的漸近線方程是，于是所求的直線方程是，即．故選：C．6.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用二項式的展開式求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)二項式展開式：，；故當時，展開式中的系數(shù)為，故．故選：D．7.對于空間任一點和不共線的三點，，，有，則是，，，四點共面的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共面向量定理判斷點滿足，且，向量，，共面，得到，，，四點共面，可以是充分條件；再通過舉出反例得出反面不成立，即可得出答案．【詳解】解：若，則，即，由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四點共面；反之，若，，，四點共面，當與四個點中的一個比如點重合時，，可取任意值，不一定有，所以是，，，四點共面的充分不必要條件．故選：B．8.已知橢圓的左、右焦點分別為和，點在橢圓上且在軸的上方若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得到垂直平分線段，則，再根據(jù)橢圓的定義式和勾股定理即可求解．【詳解】因為橢圓方程為，所以，，，又線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，所以垂直平分線段，所以，又因為，所以，，在直角三角形中，，于是的面積為．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于將線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上轉(zhuǎn)化為垂直平分線段，再結(jié)合橢圓定義求解.二、多選題：本題共4小題，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.設(shè)，對于直線：，下列說法中正確的是（）A.的斜率為 B.在軸上的截距為C.不可能平行于軸 D.與直線垂直【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率、截距的定義，以及直線垂直的性質(zhì)，即可求解．【詳解】對于A，直線：，則的斜率為，故A錯誤；對于B，令，解得，故在軸上的截距為，故B正確；對于C，當時，直線：，平行于軸，故C錯誤；對于D，當時，直線與直線顯然垂直，當時，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，故D正確．故選：BD．10.在長方體中，，，則（）A.直線與平面所成角的余弦值為B.直線與平面所成角正弦值為C.點到平面的距離為D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】在長方體中，，，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，對于，設(shè)直線與平面所成角為，直線與平面所成角的正弦值為：;直線與平面所成角的余弦值為，故A錯誤；對于B，，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為，故B正確；對于，點到平面的距離為，故C正確；對于，點到平面的距離為，故D正確．故選：BCD．11.一般地，我們把離心率相等的兩個橢圓稱為相似橢圓已知橢圓和橢圓是相似橢圓，則下列結(jié)論中正確的是（）A.橢圓與橢圓相似B.可以取C.可以取D.雙曲線的離心率為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，即可分別求解．【詳解】解：對于A，橢圓與橢圓的離心率分別為，，橢圓與橢圓相似，故A正確；對于B，C，根據(jù)題意可得或，解得或，故B，C選項正確；對于D，因為雙曲線的離心率為或，即雙曲線的離心率為或，故D選項錯誤．故選：ABC．12.由直線：上的一點向圓：引兩條切線，，A，是切點，則（）A.線段長的最小值為B.四邊形面積的最小值為C.最大值是D.當點的坐標為時，切點弦所在的直線方程為【答案】AD【解析】【分析】對于A：根據(jù)題意結(jié)合切線長性質(zhì)分析求解；對于B：根據(jù)面積關(guān)系結(jié)合A中結(jié)論分析判斷；對于C：根據(jù)題意結(jié)合倍角公式分析求解；對于D：分析可知點在以為直徑的圓上，結(jié)合相交弦方程的求法分析運算.【詳解】將化為標準方程：，可知圓的圓心為，半徑為．對于選項A：因為圓心到直線：的距離，可知，可得，所以線段長的最小值為，故A正確；對于選項B：因為四邊形面積，由選項A可知：四邊形面積的最小值為，故B錯誤；對于選項C：因，所以的最小值為，故C錯誤；對于選項D：因為，可知點在以為直徑的圓上，當點的坐標為時，則的中點為，且，即點在圓，即上，將與作差可得，所以切點弦所在的直線方程，故D正確．故選：AD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如圖所示，在四面體中，，，，為的中點，為的中點，則______用，，表示．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量線性運算結(jié)合條件可以直接得到結(jié)果．【詳解】為的中點，，又為中點，，．故答案為：．14.從集合中任取個元素分別作為直線方程中的、、，所得的經(jīng)過坐標原點的直線有______條用數(shù)值表示【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件知道，再根據(jù)計算原理計算即可．【詳解】解：若直線方程經(jīng)過坐標原點，則，那么，任意取兩個即可，有.故答案為：．15.如圖，已知圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.圓C的標準方程為________；【答案】(x－1)2＋(y－)2＝2【解析】【詳解】由題意,圓的半徑為,圓心坐標為(1,)，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－)2＝2.16.過點作斜率為k的直線l交雙曲線于，兩點，線段的中點在直線上，則實數(shù)k的值為______．【答案】##【解析】【分析】聯(lián)立得到韋達定理，解方程，再檢驗即得解.【詳解】由題意可設(shè)l的方程為．聯(lián)立消去y得，．顯然．設(shè)，，則，解得．由得，顯然不適合，適合．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.直線與圓交于、兩點，、兩點的坐標分別為，，且是方程的兩根．（1）求弦的長；（2）若圓的圓心為，求圓的一般方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用兩點間距離公式計算即得.（2）利用點到直線的距離公式求出圓的半徑，再確定圓的方程．【小問1詳解】依題意，，，，則，所以弦的長為.【小問2詳解】圓心到直線的距離，設(shè)圓的半徑為，則，因此圓的半徑長為，所以圓的方程是，即．18.如圖，已知四邊形是邊長為的正方形，底面，，設(shè)是的重心，是上的一點，且．（1）試用基底表示向量；（2）求線段的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接，延長，交于，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)與該四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，算出用基底表示向量的式子；（2）根據(jù)題意，、、兩兩垂直，可用向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)算出線段的長．【小問1詳解】連接，延長，交于，由為的重心，得是邊上的中線，且，結(jié)合，得，因為，所以，整理得，因此，；【小問2詳解】因為底面，，底面是邊長為的正方形，所以，，，可得，所以，即線段的長為．19.已知動圓過定點，且在軸上截得的弦的長為．（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）過軌跡上一個定點引它的兩條弦，，若直線，的斜率存在，且直線的斜率為證明：直線，的傾斜角互補．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)動圓圓心的坐標為，由題意可得，化簡整理即可求得動圓圓心的軌跡的方程；（2）由兩點的斜率公式，結(jié)合已知條件計算，即可得證．【小問1詳解】設(shè)動圓圓心的坐標為，則，整理得，，故所求動圓圓心的軌跡的方程為．【小問2詳解】證明：設(shè)，，則有，，，直線的斜率為，所以，于是.故直線，的傾斜角互補．20.如圖，在中，，于現(xiàn)將沿折疊，使為直二面角如圖，是棱的中點，連接、、．（1）證明：平面平面；（2）若，且棱上有一點滿足，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，，通過底面，證明，然后推出平面，即可證明平面平面；（2）以、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值即可求出正弦值．【小問1詳解】證明：在圖中，，是的中點，，而，，故為二面角的平面角，又為直二面角，，而平面，故平面，而平面，，且，平面，因此平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】以、、所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，因，所以，那么，設(shè)平面的法向量，由且，得，取，則，設(shè)平面的一個法向量，，則，即，令，則，所以，于是，所以二面角的正弦值為．21.在過去三年防疫攻堅戰(zhàn)中，我國的中醫(yī)中藥起到了舉世矚目的作用．某公司收到國家藥品監(jiān)督管理局簽發(fā)的散寒化濕顆?！端幤纷宰C書》，散寒化濕顆粒是依據(jù)第六版至第九版《新型冠狀病毒肺炎診療方案》中的“寒濕疫方”研制的中藥新藥．初期為試驗這種新藥對新冠病毒的有效率，把該藥分發(fā)給患有相關(guān)疾病的志愿者服用．（1）若10位志愿者中恰有6人服藥后有效，從這10位患者中選取3人，以表示選取的人中服藥后有效的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若有3組志愿者參加試驗，甲，乙，丙組志愿者人數(shù)分別占總數(shù)的40%，32%，28%，服藥后，甲組的有效率為64%，乙組的有效率為75%，丙組的有效率為80%，從中任意選取一人，發(fā)現(xiàn)新藥對其有效，計算他來自乙組的概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）由題意可知的可能取值有0、1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，進而求解；（2）由全概率公式即可求解.【小問1詳解】由題意可知的可能取值有0、1、2、3，，，，，所以隨機變量的分布列如下表所示：0123P所以，.【小問2詳解】設(shè)“任取一人新藥對其有效”，“患者來自第i組”（，2，3，分別對應(yīng)甲，乙，丙），則，且，，兩兩互斥，根據(jù)題意得：，，，，，，由全概率公式，得，任意選取一人，發(fā)現(xiàn)新藥對其有效，計算他來自于乙組的概率，所以，任意選取一人，發(fā)現(xiàn)新藥對其有效，則他來自乙組的概率為.22.設(shè)，為橢圓的左、右兩個焦點，為橢圓上一點，且，．（1）求的值；（2）若直線：與橢圓交于，兩點，線段的垂直平分線經(jīng)過點，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由，可得點的橫坐標，代入橢圓的方程，可得點的縱坐標的絕對值，求出，的表達式，由題意可得的值；（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，兩個兩根之和，求出的中點的坐標，由題意可得，由斜率之積為，整理可證得為定值．【小