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文檔簡介
2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項(xiàng):
1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。
3,請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。
4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知向量萬=(加,1),5=(3,加一2),則根=3是£/4的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.既不充分也不必要條件D.充要條件
2.歐拉公式為e*=cosx+isinx,(i虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),
建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,e3表
示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
4z
3.已知復(fù)數(shù)2=]一,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
4.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律:每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積,則
該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近(愴2=0.3)()
2
22
242
2882
21664162
A.IO300B.104MC.IO500D.IO600
1+z
5.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)方一1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()
(17)-
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
6.函數(shù)〃x)=sin(x+。)在[0,句上為增函數(shù),則。的值可以是()
3冗
~2
7.已知,〃為一條直線,a,4為兩個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是()
A.若〃a,a〃夕,則〃4B.若a_La,貝!)加_L£
C.若加〃則〃?_L/?D.若根J_a,a〃尸,則〃?_L〃
+'inx
8.已知函數(shù)/(九)=匚——:——;一為奇函數(shù),則加=()
(l+x)(m-x)+e+e
1
A.-B.1C.2D.3
2
9.《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟.”在這里,我
們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:2《=舊,3,|=同,4昭=足\5后=,耳,則按照以
上規(guī)律,若10,3=1()3具有,,穿墻術(shù)*則〃二()
VnVn
A.48B.63C.99D.120
22
10.已知片、工分別是雙曲線。:二?一馬=1(?!?/〉0)的左、右焦點(diǎn),過F?作雙曲線c的一條漸近線的垂線,
a~b~
分別交兩條漸近線于點(diǎn)A、B,過點(diǎn)3作x軸的垂線,垂足恰為耳,則雙曲線。的離心率為()
A.2B.GC.D.
11.在平面直角坐標(biāo)系X。),中,已知角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合,始邊與X軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在直線y=2x上,
則sinT+2T<)
4433
A.-B.——C.一D.--
5555
12.某市氣象部門根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯(cuò)誤的是()
A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)
B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大
C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有5個(gè)
D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.函數(shù)/。)=6$皿(0X+夕)[。>0,5<。<萬]的圖像如圖所示,則該函數(shù)的最小正周期為.
2
14.過M(—2,0)且斜率為§的直線/交拋物線。:/=2。叱/7>0)于46兩點(diǎn),/為C的焦點(diǎn)若陽的面積等于
△M7弘的面積的2倍,則”的值為.
15.已知平行于x軸的直線/與雙曲線C:£=1(.〉0/>0)的兩條漸近線分別交于P,。兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原
點(diǎn),若AOPQ為等邊三角形,則雙曲線。的離心率為.
16.甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是上,乙獲勝的概率是1,則乙不輸?shù)母怕适莀__.
23
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)設(shè)函數(shù)〃x)=e*-ox-l(aeH).
(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于x的方程ln(or+a+l)=x+l有唯一的實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.
18.(12分)在AABC中,設(shè)“、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊,記AABC的面積為S,且25=福?而.
(1)求角4的大??;
4
(2)若c=7,cosB,求。的值.
19.(12分)已知/(x)=|2x+5]—X-].
(1)求不等式/(1)..1的解集;
44
(2)記/(X)的最小值為機(jī),且正實(shí)數(shù)。/滿足---------------=。+〃.證明:a+b,.2.
a-mbb-ma
X=1+ZCOStt
20.(12分)在直角坐標(biāo)系X。),中,直線/的參數(shù)方程為<,。為參數(shù),.在以。為極點(diǎn),x軸
y=l+fsmtz
正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線C:/=4cos8.
TT
(1)當(dāng)&=一時(shí),求C與/的交點(diǎn)的極坐標(biāo);
4
(2)直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)為求1481的值.
21.(12分)過點(diǎn)P(-4,0)的動(dòng)直線/與拋物線C:f=2py(p>0)相交于0、E兩點(diǎn),已知當(dāng)/的斜率為;時(shí),瓶=4PD?
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)。E的中垂線在)’軸上的截距為。,求。的取值范圍.
fv21
22.(10分)已知橢圓。:/+方=1(。>8>0)的焦距為2月,斜率為萬的直線與橢圓交于A8兩點(diǎn),若線段A3
的中點(diǎn)為。,且直線8的斜率為-
2
(1)求橢圓。的方程;
11
(2)若過左焦點(diǎn)E斜率為%的直線/與橢圓交于點(diǎn)M,N,P為橢圓上一點(diǎn),且滿足OPLMN,問:麗河+西7是
否為定值?若是,求出此定值,若不是,說明理由.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.A
【解析】
向量a=b=(3,一2),allb貝!|3=加利-2),即〃,一2〃z-3=O,m=3或者-1,判斷出即可.
【詳解】
解:向量a=。=(3,加―2),
a/區(qū),則3=加(加一2),即〃,一2〃2-3=0,
機(jī)=3或者-1,
所以機(jī)=3是〃?=3或者加=-1的充分不必要條件,
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量平行的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.
2.A
【解析】
計(jì)算/=cos工+?sin工=2+"3得到答案.
3322
【詳解】
根據(jù)題意*=cosx+isinx,故=cos工+isin工二2+^^,表示的復(fù)數(shù)在第一象限.
3322
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.
3.A
【解析】
利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡z,由此求得z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.
【詳解】
依題意z=(:/(?j)=2i(l_j)=2+2i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(2,2),在第一象限.
故選A.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.
4.A
【解析】
結(jié)合所給數(shù)字特征,我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式,觀察可知,每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布,結(jié)合等比
數(shù)列前〃項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)恒等式即可求解
【詳解】
如圖,將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式,可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”,前10層的指數(shù)之和為
1+2+2?+…+29=*-1=1023,所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為2I023=10W?103,K).
2
2'2,
2'222'
2l232321
212421
故選:A
【點(diǎn)睛】
本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題,邏輯推理,等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式應(yīng)用,屬于中檔題
5.B
【解析】
化簡復(fù)數(shù)為。+方的形式,然后判斷復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限,即可求得答案.
【詳解】
1+Z-_1+i_(l+f)z
■(1-z)2_-2z_-2i-i
------1-+-z___11,.
—2—22
,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為在第二象限
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.
6.D
【解析】
依次將選項(xiàng)中的。代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.
【詳解】
當(dāng)6=0時(shí),〃到=4門在[0,句上不單調(diào),故A不正確;
當(dāng)。時(shí),〃X)=8SX在[0,句上單調(diào)遞減,故B不正確;
當(dāng)8=%時(shí),/(力=一疝》在[0,句上不單調(diào),故C不正確;
4
當(dāng)。=號(hào)7r時(shí),/(x)=-cosx在[(),句上單調(diào)遞增,故D正確.
故選:D
【點(diǎn)睛】
本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是一道容易題.
7.D
【解析】
A.若加//e,a//£,則〃?///?或m<=尸,故A錯(cuò)誤;
B.若a_L/?,〃z_La,則機(jī)///?或機(jī)u/?故B錯(cuò)誤;
C.若m」la,aL/3,則加//£或mu耳,或加與〃相交;
D.若根_La,a///7,則根J_/7,正確.
故選D.
8.B
【解析】
根據(jù)/(x)整體的奇偶性和部分的奇偶性,判斷出加的值.
【詳解】
依題意/(X)是奇函數(shù).而y=d+sinx為奇函數(shù),丁=6*+""為偶函數(shù),所以g(x)=(l+x)(m-x)為偶函數(shù),故
g(x)一g(-x)=O,也即(1+X)(租_%)_(1-祖租+為)=0,化簡得(2旭-2)x=°,所以機(jī)=1.
故選:B
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.
9.C
【解析】
觀察規(guī)律得根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1,從而求出n.
【詳解】
解:觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律,根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1
所以〃=1()2-1=99
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了歸納推理,發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.
10.B
【解析】
hh2
設(shè)點(diǎn)8位于第二象限,可求得點(diǎn)B的坐標(biāo),再由直線8人與直線y=-x垂直,轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為-1可得出勺
aa-
的值,進(jìn)而可求得雙曲線C的離心率.
【詳解】
hhe(he
設(shè)點(diǎn)6位于第二象限,由于軸,則點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為4=-。,縱坐標(biāo)為力=一一/=一,即點(diǎn)司-c,一
aa\ci
b-如b2
由題意可知,直線66與直線丁=一彳垂直,kab_a,=2,
a2c2aba
因此,雙曲線的離心率為e瓜
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查雙曲線離心率的計(jì)算,解答的關(guān)鍵就是得出。、〃、c的等量關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中等題.
11.C
【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式,將sin彳+2。化簡為關(guān)于tan6的形式,結(jié)合終邊所在的直線可知tan6的值,從
0+26)的值.
而可求sin
【詳解】
(34sin2^-cos20_tan2<9-1
因?yàn)閟in+2。=-cos26=sin28—cos20=且tan8=2,
sine8+cos20tan20+1
所以曲.[(晝3TC+c2。d卜4不—13
5
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換中的二倍角公式,屬于給角求值類型的問題,難度一般.求解
msin26+〃cos2e值的兩種方法:(1)分別求解出sin,,cos?的值,再求出結(jié)果;(2)將加sin?e+zicos?6變形為
msin2^+ncos26777tan20+n
,利用tan。的值求出結(jié)果.
sin*+cos?0tan2^+l
12.D
【解析】
根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.
【詳解】
由繪制出的折線圖知:
在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān),故A正確;
在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;
在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10C的月份有1月,2月,3月,H月,12月,共5個(gè),故C正確;
在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯(cuò)誤.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.8
【解析】
根據(jù)圖象利用/(0)=當(dāng),先求出夕的值,結(jié)合/(1)=()求出。,然后利用周期公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
解:由/(0)=Gsing=得sin9=■^,
兀34
*.*—<0<兀,(D—----9
24
則fM=73sin(6yx+—),
4
???/(l)=6sin,+弓]=0,
:.co+—=7T9即刃=工,
44
至=也
則函數(shù)的最小正周期一了一丁一,
4
故答案為:8
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角函數(shù)周期的求解,結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.
14.2
【解析】
聯(lián)立直線與拋物線的方程,根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.
【詳解】
如圖,設(shè)4(王,弘),8(々,%),由SWB=2SMA,則%=2y,
2,c、
V——(x+2),116
由『3可得y--3〃>+4〃=0,由/>0,則p>—,
)2=2px9
,16
所以y+%=3。,%乂=2p-=4。,得,=2>丁?
故答案為:2
此題考查了拋物線的性質(zhì),屬于中檔題.
15.2
【解析】
根據(jù)AOPQ為等邊三角形建立a,b的關(guān)系式,從而可求離心率.
【詳解】
據(jù)題設(shè)分析知,ZPOQ=60。,所以2=tan60°,得。=&,
a
所以雙曲線C的離心率e=£==",+3"=2.
aaa
【點(diǎn)睛】
本題主要考查雙曲線的離心率的求解,根據(jù)條件建立a*,c之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素
養(yǎng).
16.-
6
【解析】
乙不輸?shù)母怕蕿?+!=?,填?.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(1)當(dāng)“40時(shí),f(x)遞增區(qū)間時(shí)(一雙+8),無遞減區(qū)間,當(dāng)a>()時(shí),f(x)遞增區(qū)間時(shí)(Ina,+8),遞減區(qū)間
時(shí)(-℃,Ina):(2)a?O或a=l.
【解析】
(1)求出了‘(X),對(duì)。分類討論,先考慮了'(x)20(或/'*)<())恒成立a的范圍,并以此作為。的分類標(biāo)準(zhǔn),若
不恒成立,求解了'(X)>,/'(%)<0,即可得出結(jié)論;
(2)ln(ar+a+l)=x+l有解,即e"1-a(x+1)-]=0,令/=x+l,/(f)=0,轉(zhuǎn)化求函數(shù).f(x)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,
根據(jù)(1)中的結(jié)論,即可求解.
【詳解】
(1)f^x)-ex-ax-1,f\x)-ex-a,
當(dāng)aMO時(shí),r(x)>0恒成立,
當(dāng)a>0時(shí),f\x)>0,x>Inf\x)<0,x<Ina,
綜上,當(dāng)aWO時(shí),/(x)遞增區(qū)間時(shí)(-8,+8),無遞減區(qū)間,
當(dāng)。>0時(shí),f(x)遞增區(qū)間時(shí)(Ina,+8),遞減區(qū)間時(shí)(-8,Ina);
(2)ln(ar+a+1)=x+1=ex+l=a(x+1)+1>0,
=ex+,-a(x+1)-1=0
令無+l=f,原方程只有一個(gè)解,只需/(f)=0只有一個(gè)解,
即求/(》)=爐一3-1只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),。的取值范圍,
由(1)得當(dāng)時(shí),/(x)在(-8,+?>)單調(diào)遞增,
且f(0)=0,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),原方程只有一個(gè)解-1,
當(dāng)a>0時(shí),由(1)得Ax)在x=Ina出取得極小值,也是最小值,
當(dāng)a=l時(shí),/(x)mM=0,此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),
原方程只有一個(gè)解-1,
當(dāng)。>()且
遞增區(qū)間時(shí)(Ina,+。。),遞減區(qū)間時(shí)(-8,Ina);
/(Ina)</(O)=0,當(dāng)x--ooJ(x)―>+<x>,
x->+8J(x)->-HX>,/(X)有兩個(gè)零點(diǎn),
即原方程有兩個(gè)解,不合題意,
所以a的取值范圍是a40或a=l.
【點(diǎn)睛】
本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到單調(diào)性、零點(diǎn)、極值最值,考查分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
兀
18.(1)-;(2)a=5
4
【解析】
(1)由三角形面積公式,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得兒sin4=bccosA,結(jié)合范圍Ae(O,?),可求tanA=l,進(jìn)而
可求A的值.
3
(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin3=m,利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,由正弦定理可求得“
的值.
【詳解】
解:(1)由2S=A反AC,得Z?csinA=bccosA,
因?yàn)锳c(0,%),
所以tanA=l,
可得:A=f.
4
4
(2)AABC中,cosB=-,
3
所以sin8=g.
所以:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin8=,
a_1
由正弦定理上7=一J,得正二同方,解得。=5,
sinAsinC---r-
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了三角形面積公式,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦函數(shù)公式,正弦
定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.
137
19.(1)蒼,一5~或“…一不卜0)見解析
【解析】
(1)根據(jù)/(x)=|2x+5|-x-g,利用零點(diǎn)分段法解不等式,或作出函數(shù)/(x)的圖像,利用函數(shù)的圖像解不等式;
44
(2)由(1)作出的函數(shù)圖像求出f(x)的最小值為-3,可知m=一3,代入------+------=4+6中,然后給等式
a-mbb-ma
兩邊同乘以G+6,再將4a+4b寫成3+3加+(3a+0)后,化簡變形,再用均值不等式可證明.
【詳解】
(1)解法一:1。用,—37時(shí),/(*)?/,即—x—工..1,解得用,--彳;
222
51971
2°—<x<—時(shí),f(x)..1,即3xd—..1>解得—,,x<—;
22262
3°X..:—時(shí),/(犬)..1,即XH..1>解得X...—.
222
f137
綜上可得,不等式/(元)?.1的解集為卜1及,一二或"?一5
26
1o5i
解法二:由/(x)=|2x+5|-x--=?3工+5,-2<》<5,作出/(為圖象如下:
137
由圖象可得不等式的解集為x|-彳或x…-二.
115
一九一不",毛,一大
22
51
(2)由/(x)=12x+5|—~=<3x4—,一—vx<一,
222
111
X+—,X.??一,
22
所以/(x)在1-8,一|上單調(diào)遞減,在國,+8)上單調(diào)遞增,
所以Znin*)=m=/(一^)=一3,
正實(shí)數(shù)四滿足4青+瑟4了…,則((不4獷方4舅、(段)=3+小、
口"11Yzc,、“c、ic。+3〃h+3a_,『a+31、"+3a).
即-----+------[(。+3勿+3+3。)]=2+-----+-----..2+2/------------=4,
\a+3bb-\-3a)b+3aa+3b\\b-b3aJ\a+3b)
(當(dāng)且僅當(dāng)震=篙即T時(shí)取等號(hào))
故a+b22,得證.
【點(diǎn)睛】
此題考查了絕對(duì)值不等式的解法,絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運(yùn)用,考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于
中檔題.
20.(1)(0,0),(2&孑}(2)2夜
【解析】
TT
(1)依題意可知,直線/的極坐標(biāo)方程為。=7(psR),再對(duì)。分三種情況考慮;
(2)利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義,求弦長即可得到答案.
【詳解】
TT
(1)依題意可知,直線/的極坐標(biāo)方程為。=一(oeR),
4
6=生(r-7t\
當(dāng)「〉0時(shí),聯(lián)立彳4'解得交點(diǎn)2夜,“,
X7=4cos6,
當(dāng)夕=0時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)(0,0)滿足兩方程,(易漏解之處忽略夕=0的情況)
當(dāng)「<0時(shí),無交點(diǎn);
綜上,曲線C與直線/的點(diǎn)極坐標(biāo)為(0,0),
(2)把直線/的參數(shù)方程代入曲線C,得/+2(sina-cosa2=(),
可知乙+/2=0,t\?=-2,
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、
分類討論思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.
2
21.(1)x=4yt⑵。>2
【解析】
(1)根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合PE=44,即可求出拋物線C的方程;
(2)設(shè)/:y=Z(x+4),OE的中點(diǎn)為(工,%),把直線I方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求出k的取值范圍,利用
韋達(dá)定理求出進(jìn)而求出的中垂線方程,即可求得在>軸上的截距。的表達(dá)式,然后根據(jù)A的取值范圍求解即可.
【詳解】
(1)由題意可知,直線/的方程為y=;(x+4),
與拋物線方程C:/=2py(p>0)方程聯(lián)立可得,
2/一(8+〃)y+8=0,
設(shè)。(5,X),E(X2,%),由韋達(dá)定理可得,
因?yàn)辂?44,PEulw+a%bPDnlxi+ax),
所以必=4yl,解得M=1,%=4〃=2,
所以拋物線。的方程為f=4y;
(2)設(shè)/:y=Z(x+4),£>E的中點(diǎn)為(%,先),
X2=4y
由.八,消去)'可得/_4代—164=0,
y=&(工+4)
所以判別式A=16Z2+64比>0,解得左或%>0,
由韋達(dá)定理可得,%=:%=2k,%=左(玉)+4)=2公+4左,
所以O(shè)E的中垂線方程為y—2公一4攵=一:(%一2%),
K
令x=0則人=丁=2公+4&+2=2(k+1)2,
因?yàn)樽螅?4或左>0,所以人>2即為所求.
【點(diǎn)睛】
本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用;考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運(yùn)
算求解能力;屬于中檔題.
v-2
22.(1)—+/=1.
4-
115
⑵麗+所為定值]過程見解析.
【解析】
分析:(1)焦距說明c=6,用點(diǎn)差法可得的B?&“=-與=-:1■.這樣可解得4力,得橢圓方程;
a4
11
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