2022年遼寧省本溪市普通高校對(duì)口單招數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2022年遼寧省本溪市普通高校對(duì)口單招數(shù)

學(xué)自考真題(含答案)

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(10題)

1.

若函數(shù)f(x)=0^+1圖象上點(diǎn)(1,/(I))處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)y=2r+l,則。=

A.-lB,0C,2D.1

c若函數(shù)y=GL則其定義域?yàn)?/p>

2..

A[-1，+8)

[1，+8)

B.

c(-刊

3.在空間中垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)一定是()

A.平行B.相交C.異面D.前三種情況都有可能

4.一元二次不等式x2+x-6<0的解集為

A.(32)B.(2,3)C.(-oo,-3)U(2,+oo)D.(-oo,2)U(3,+oo)

5.函數(shù)‘，一的定義域?yàn)?)

A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+oo)D.[2,+oo)

6.tan960°的值是()

A忑

下

C.-

D.T

7.已知a是第四象限角，sin(5;i/2+a)=l/5,那么tana等于()

A.

B.

C.

D.

8.設(shè)a>b,c>d則()

A.ac>bdB.a+c>b+cC.a+d>b+cD.ad>be

9.命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(-x)是奇函數(shù)”的否命題是()

A.f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)是偶函數(shù)

B.若f(x)不是奇函數(shù)，則f(-x)不是奇函數(shù)

C.若f(-x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù)

D.若f(-x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù)

10.若實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a+b=2,則3a+3b的最小值是()

A.18

B.6

C.2<3

D.1

二、填空題(10題)

小)=產(chǎn)+3,-0].

已知[-2*,X6(0,400),則/[/(OJ-

ll.

⑵-與’

12.A-展開(kāi)式中，X，的二項(xiàng)式系數(shù)是___.

13.設(shè)平面向量a=(2,sina),b=(cosa,1/6),且a//b,則sin2a的值是

14.己知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，他們的和為18,平方和是116,則這三個(gè)

數(shù)從小到大依次是.

]5若(2]+1)3=40+0/+4/'+%/,則與+與+用=

16.長(zhǎng)方體工耳G4中，具有公共頂點(diǎn)A的三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分

別是2,4,6,那么這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)是.

17.i為虛數(shù)單位，1八+1序+1序+1八7.

18.到x軸的距離等于3的點(diǎn)的軌跡方程是.

19.若x<2,則&-〃+4-k-3|=

20.在等比數(shù)列｛an｝中,as=4,a7=6,則a9=_。

三、計(jì)算題(5題)

1

f(x)+3f(—)=x.

21.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋鹸"0｝,且滿(mǎn)足x

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

22.甲、乙兩人進(jìn)行投籃訓(xùn)練，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球

命中的概率是3/5,且兩人投球命中與否相互之間沒(méi)有影響.

(1)若兩人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若兩人各投球2次，求這4次投球中至少有1次命中的概率.

23.設(shè)函數(shù)f(x)既是R上的減函數(shù)，也是R上的奇函數(shù)，且f(l)=2.

(1)求f(-l)的值；

(2)若f(t2-3t+l)>-2,求t的取值范圍.

24.近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類(lèi)處理，將生活垃圾分為“廚余

垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四類(lèi)，并分別垛置

了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾的正確分類(lèi)投放情況，現(xiàn)隨機(jī)

抽取了該市四類(lèi)垃圾箱總計(jì)100噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位：

噸)：

“廚余垃圾”箱“可回收垃圾''箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾24412

可回收垃圾41923

有害垃圾22141

其他垃圾15313

(1)試估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率;

(2)試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率。

25.解不等式4<|l-3x|<7

四、簡(jiǎn)答題(10題)

26.求過(guò)點(diǎn)P(2,3)且被兩條直線(xiàn)'：：3x+4y-7=0,4:3x+4y+8=0所截

得的線(xiàn)段長(zhǎng)為3、E的直線(xiàn)方程。

,______區(qū)力、L+U]

.已知cos=：＞,,—八求cos'"'的值

7171

;/，(xi、=st-n—7.$ncos—

28.已知函數(shù)-23

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最值

g(x)=/(x+—)

(2)令3.判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由

29.等比數(shù)列｛aQ的前n項(xiàng)和Sn,已知Si,S3,S2成等差數(shù)列

(1)求數(shù)列｛an｝的公比q

(2)當(dāng)ai—a3=3時(shí)，求Sn

30.三個(gè)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，公差為3,又a,b+1,c+6成等比數(shù)

列，求a,b,Co

c，二替弓尸+（025）2-+卜3|x（：）3+（V2+3）°

31.計(jì)算21127

32.設(shè)等差數(shù)列工；的前n項(xiàng)數(shù)和為Sn,已知

4=工且地=Ls】+S]=2],求同

fJ的通項(xiàng)公式及它的前n項(xiàng)和Tn.

33.數(shù)列E；的前n項(xiàng)和Sn,且4=1.%.）=￡；"=L2.3求

（1）a2,a3,二的值及數(shù)列新）的通項(xiàng)公式

（2）az+a4+a6++a2n的值

34.以點(diǎn)（0,3）為頂點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)

3x2.y2+i2=0的一條準(zhǔn)線(xiàn)重合，求拋物線(xiàn)的方程。

35.如圖,四棱錐P-ABCD中，PA_L底面ABCD,AB//CD,

AD=CD=1,BAD=120°,PA=，月，ACB=90°o

(1)求證：BC_L平面PAC。

(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離。

五、解答題(10題)

36.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB_L平面BCD,BC_LBD,BC=3,

BD=4,直線(xiàn)AD與平面BCD所成的角為45。點(diǎn)E,F分別是AC,AD

的中點(diǎn).

⑴求證:EF//平面BCD;

(2)求三棱錐A-BCD的體積.

33

37.若x￡(0,1),求證：log3X<log3X<X.

38.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=(x2+l)(x+a).若f(-l)=0,

求函數(shù)：y=f(x)在［-3/2,1］上的最大值和最小值。

39.已知等比數(shù)列｛an｝的公比q==2,且a2,a3+l,初成等差數(shù)列.

⑴求ai及an；

(2)設(shè)bn=an+n,求數(shù)列｛bn｝前5項(xiàng)和S5.

已知418C,。也c是43c中，/A、ZB、NC的對(duì)邊，b=l,c=JI/C=1

⑴求。的值；

(2)求cosB的值.

40.

41.已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+必6)-1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在區(qū)間上兀/6,兀/4］上的最大值和最小值.

42.在A(yíng)ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC=(3a-c)cosB.

(1)求cosB的值；

(2)若B4,BC=2,b=2求a和c的值.

43.已知函數(shù)f(x)=ax2-61nx在點(diǎn)(1,f(l))處的切線(xiàn)方程為y=l;

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)求f(x)的最小值.

44.已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=l(a>b>0)的兩焦點(diǎn)分別FiR點(diǎn)P在橢圓C

上，5.ZPF2FI=90°,|PFI|=6,|PF2|=2.

(1)求橢圓C的方程；

⑵是否存在直線(xiàn)L與橢圓C相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，且使線(xiàn)段AB的中點(diǎn)

恰為圓M:x2+y2+4x-2y=0的圓心，如果存在，求直線(xiàn)1的方程；如果不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

45.

在平面先生株余xOy中，角a/(0<a<g,g<戶(hù)<￡)的頂點(diǎn)與原點(diǎn)。象合，-HJL

與、軸的正本粘直合,終返分別與單技期文于48兩點(diǎn)，A.6兩點(diǎn)的縱火卷分別為.

II)求〔an0的偵；CIIJ求4108的面依.

六、單選題(0題)

46.過(guò)點(diǎn)C(-3,4)且平行直線(xiàn)2x-y+3=0的直線(xiàn)方程是()

A.2x-y+7=0B.2x+y-10=OC.2x-y+10=0D.2x-y-2=0

參考答案

l.D

2.A

3.D

在空間，垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)，有可

能平行，相交或者異面；如圖長(zhǎng)方體中

直線(xiàn)a,b都與c垂直，a,b相交；

直線(xiàn)a,d都與c垂直，a,d異面；

直線(xiàn)d,&都與c垂直，b,d平行。

故選D.

4.A

5.C

對(duì)數(shù)的性質(zhì).由題意可知X滿(mǎn)足log2X-l>0,即log2X>log22,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)

的性質(zhì)得x>2,即函數(shù)f(x)的定義域是(2,+8).

6.A

tan960°=tan(900°+60°)=tan(5*180°+60°)=tan60°='0

7.B

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)

sin(5?i/2+a)=sin(27i+7i/2+a)=sin(7i/2+a尸cosa=l/5,因a是第四象限角,

V0.則sina=—^1—cos;a=—?空.tana■

SIM「

所以sina'選"

8.B

不等式的性質(zhì)。由不等式性質(zhì)得B正確.

9.B

四種命題的定義.否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論.

10.B

不等式求最值守+3"273-?F-J7Fr-iyF-?.aBlk

ll.-l

12.7

13.2/3平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換.因?yàn)閍//b,所以2x1/6-

sinacosa=0即sinacosa=l/3.所以sin2a=2sinacosa=2/3.

14.4、6、8

15.27

16.

2。

17.0.復(fù)數(shù)的運(yùn)算.l/i+l/i3+l/i5+l/i7=-i+i-i+i=0

18.y=±3,點(diǎn)到x軸的距離就是其縱坐標(biāo)，因此軌跡方程為丫=±3。

19.-1,

'：x<2,

原式=J(I—2)2_|3—?jiǎng)?|N—2|—|3—?jiǎng)?/p>

=2—x—(3—/)=—1.

故答案為：-1.

20.

等比數(shù)列｛%,｝中，。5=4，。7=6

=a5'Q2

6=4xg2

23

L?

?,Qg=。7'=GX-^=9

21.

(1)依題意有

/W+3/(l)=x

X

/(l)+3/(x)=l

XX

解方程組可得：

3-x2

8x

(2)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

?1,函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋鹸|xW0｝關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且

3-(-x)23-x2

5-不廠(chǎng)8xT(x)

.??函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

22.

解：記甲投球命中為事件A,甲投球未命中為事件乙投球命中為事件B,乙投球未命中為事件》。則：

1—13—2

P(4)=-;P(4)=-；P(B)=-；P(B)=-

(1)記兩人各投球1次，恰有1人命中為事件C,則

--12131

P(C)=P(⑷?P(5)+P(4)?P(B)=-x-+-x-=-

(2)記兩人各投球2次，4次投球中至少有1次命中為事件D，則.兩人各投球2次，4次投球中全未命中為事

件方

P(D)=l-P(D)=l-P(4)?P(^)?P(B)*PW=l--x-x-x-=l--=—

23.解：

⑴因?yàn)椤陜H)=在R上是奇函數(shù)

所以f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1)=-2

(2)f(t2-3t+1)>-2=f(-1)

因?yàn)楣?=在R上是減函數(shù),t2-3t+1<-1

所以1<t<2

24.

解：⑴依題意得，“可回收垃圾”共有4+19+2+3=28(噸)

其中投放正確的，即投入了“可回收垃圾”箱的有19盹

19_19

所以，可估計(jì)“可回收垃圾”投放正確的概率為：19+4+2+3—28

(2)據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，總共抽取了100盹生活垃圾，其中“廚余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃

圾”,“其他垃圾”投放正確的數(shù)量分別為24噸，19噸，14噸，13噸。故生活垃圾投放正

確的數(shù)量為24+19+14+13=70噸,所以，生活拉圾投放錯(cuò)誤的總量為100-70=30噸,

100-(19+24+14+13)_3

所以生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率：------100-------=10

25.

解：對(duì)不等式進(jìn)行同解變形得:

4<l-3x<7或-7<l-3x<-4

58

解得：一VXV—或-2<XV-1

33

26.x-7y+19=0或7x+y-17=0

27.

/.cos(a+—)=cosacos--sinasin$

666

V3413百+4

------x-=

25210

/(x)=sin—+V5cos—=

28.(1)22

T=—=4/r/(x)最小值=-2/(x)最大值=2

/(x)=2吟鄉(xiāng)

(2)

g(x)*/(x+—)?2fln(-+—)?2cos-

：.3222

一XX

g(-x)=2cos—=2cos-=g(x)

...函數(shù)是偶函數(shù)

29.

(1)由已知得

q+(q+ag)=2(4+axq+qg?)

/.aq2+^=0g=-；q=0()

(2)q-aG》2=3."4

叩一(一；門(mén)

c=b-3

c=6+3

(6+1y=a(u+6)

30.由已知得:

<b=7

由上可解得

31.

原式=(產(chǎn)+(；*+3x(；)2+l=[x2-2+g+l=：

J_J

32.(1)3s324+W=21.*1=1=1

又?.?等差數(shù)列U：

2

.?.”A二產(chǎn)%丁(1廠(chǎng)有1)、

T=2L

(2)”+l

33.

小?11416

⑴.2=5，/=?%=§，&=藥

（it》2）

貝E.i-4即%

343

則數(shù)列從笫二項(xiàng)起的公比是g的等比數(shù)列

出+為++七.='!〔（？）"-U

⑵79

34.由題意可設(shè)所求拋物線(xiàn)的方程為/=3）（pA「）

j?-3=--

準(zhǔn)線(xiàn)方程為

則y=-3代入得：p=12

所求拋物線(xiàn)方程為X2=24（y-3）

35.證明：（1）PA，底面ABCD

PA±BC又NACB=90。，BC_LAC則BC_L平面PAC

（2）設(shè)點(diǎn)B到平面PCD的距離為h

AB//CDAB//平面PCD

又NBAD=120。NADC=60°

又AD=CD=1

則AADC為等邊三角形，且AC=1

PA=".'3PD=PC=2

爭(zhēng)邛"小孚

36.

（D【證明】E、F分別為AC.AD中點(diǎn):?EF

//CDVCDU平面BCD.EFU平面BCD.

:?EF〃平面BCD.

（2）【斜】直線(xiàn)AD與平面BCD的夾角為45,又

?:在△ABD中.ABJ_BD,；?NBDA=NBAD

-45>>AH=BD=4■又VS△aco=3X4X——

6????V4an）=6X4X——8.

37.

證明：先證明IOg3X3<log3X,

因?yàn)楫?dāng)X€（O,1）,x>x3

又因?yàn)閥=log3X,在X€（0,1）內(nèi)是增函數(shù)

3

所以log3X<log3X

再證明log3X<X3,

3

當(dāng)X€（0,l）時(shí)，log3x<0,X>0

3

所以log3x<log3X.

38.

/'(-1)=0?.*.3-2a+1=0,即a—

2.，r(.T)=3J：2+4工+1=3(x++1).

o

由，(:c)>0.得1V—1或彳>-1；由/(.］)v

0,得-1<才<--.因此，函數(shù)在［_之，

1］上的單調(diào)遞增區(qū)間為L(zhǎng)一

單調(diào)遞減區(qū)間為1—1,—^」.：?f(.r)在H=—1

處取得極大值為/(，在jr="處

取得極小值為"一)二*.又

J4/La

/(1)=6,且排??,—在二一上的最

6<o4

大值/⑴=6,最小值為/(-1)=邛.

2O

39.(1)由題可得2a3+2=a2+a4,所以2xaix22+2=aix2+aix23LU

n+1nl

ai=l,an=lx2=2

nl

(2)bn=2+n,S5=1+2+3+4+5+1+2+4+8+16=46.

40.

(I)Q〃=I,C=V5,COS/C=三

,??由余弦定理得

2-即

cosZC

2ab

n/+『-西

cos-=----------J

32x1-4?

1標(biāo)+1一3

2la

解得：a=T(含去)或a=2

:.a=2

(2)由(I)知〃=2

又Q〃=1.C=6

.-.由余弦定理得

c°s"+j卜(9-『_673

2〃c2x2-73--473~~

41.

(1)因?yàn)?(x)HB4eoaxMn(x+二)一1

6

4,1、?/-

=4roKr(-sior+—cow)-1?6sin2x+

2c8，jr-l,V5sm2*4-cosi2x*2sm<2jr+-).

6

所以八”的最小正周期為*.

⑵因?yàn)橐凰砸?

o<o63

于是?與2r+搟即上?5時(shí)./《工)敢網(wǎng)最

o4o

大值2,與21+：?——，即*—一三時(shí),，《1)

006

取得最小值-1.

42.

解：

一,abc

⑴在A(yíng)ABC中設(shè)-----=-----=-----=2R

sinAsin5sinC

貝！J：a=2RsinA,b=2RsinB?c=2RsinC

■:bcosC=(3a-c)cosB

2RsinBcosC=(3,2RsinA-2RsinC)c|osB

BP：sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB

sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB

sin(B+C)=3sinAcosB

sin(180°-A)=3sinAcosB

sinA=3sinAcosB

sinA1

:.cosB=----------=—

3sin/3

(2)依題意如右圖所示

?：BA?BC=cosB==2

/.ac=6---------------(1)

22222

中1,a+c-ba+c-8

又二=cosB=--------------=------------

32ac12

：.a2+c2=12------------(2)

聯(lián)立(1)②解得

a=c=>/6

43.

MMX>0?r(x)-1(1)

?llN

-1|a-1

(2)ll](I>10./(x)-2livr./'(jr)-2jr-

?9一|

一*曲)?,2x------2?---------、±

*XX

1(負(fù)值?去)?為xW(0.))Wt/(^X0?/(x)

?W(1?+8)N./'(x>>o?/<x>

*i-/(n-h

44.

(1)由桶網(wǎng)的定義得.2a=|PF,|+

PFt=6+2=8.a=4又/PF.F,=90°.

.,.(2c)'=!PF,|'一|PF,|J=32,C2-8,.\6J=

a1—c2=16