2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷含解析

2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）．A. B. C. D.3.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）．A. B.5 C. D.104.某三棱柱底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）．A. B. C. D.5.已知半徑為1圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）．A.4 B.5 C.6 D.76.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A. B.C. D.7.設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為．是拋物線(xiàn)上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（）．A.經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.平行于直線(xiàn) D.垂直于直線(xiàn)8.在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)9.已知，則“存在使得”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（）．A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)定義域是____________．12.已知雙曲線(xiàn)，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________；C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離是_________．13.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿(mǎn)足，則_________；_________．14.若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)_______．15.為滿(mǎn)足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．17.在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線(xiàn)的斜率等于的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．20.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓C于點(diǎn),直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于點(diǎn)．求的值．21.已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿(mǎn)足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.絕密★本科目考試啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)，150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考試務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集定義直接得結(jié)果.【詳解】，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）．A. B.5 C. D.10【答案】C【解析】【分析】首先寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合通項(xiàng)公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．4.某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）．

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則其表面積為：.故選：D.【點(diǎn)睛】(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．5.已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）．A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心，則，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)取得等號(hào)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋缘葍r(jià)于，在同一直角坐標(biāo)系中作出和的圖象如圖：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不等式的解為或.所以不等式的解集為：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為．是拋物線(xiàn)上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（）．A.經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.平行于直線(xiàn) D.垂直于直線(xiàn)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意不妨作出焦點(diǎn)在軸上的開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的定義和拋物線(xiàn)的定義可知，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即求解.【詳解】如圖所示：．因?yàn)榫€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，根據(jù)定義可知，，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（）．A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】B【解析】【分析】首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個(gè)項(xiàng)數(shù)的符號(hào)和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng).【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)問(wèn)題，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.9.已知，則“存在使得”是“”的（）．A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導(dǎo)公式分類(lèi)討論即可判斷.【詳解】(1)當(dāng)存在使得時(shí)，若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；(2)當(dāng)時(shí)，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，涉及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（Day）．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長(zhǎng)，利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值可得出結(jié)果.【詳解】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓周角為，每條邊長(zhǎng)為，所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長(zhǎng)為，單位圓的外切正邊形的每條邊長(zhǎng)為，其周長(zhǎng)為，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查圓周率的近似值的計(jì)算，根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12.已知雙曲線(xiàn)，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________；C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離是_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，并求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求得雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離.【詳解】在雙曲線(xiàn)中，，，則，則雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即，所以，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿(mǎn)足，則_________；_________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得以及的值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，，，因此，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi)_______．【答案】（均可）【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得，可得，即可解出.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故可?故答案為：（均可）.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.為滿(mǎn)足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論：①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果【詳解】表示區(qū)間端點(diǎn)連線(xiàn)斜率的負(fù)數(shù)，在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強(qiáng)．④錯(cuò)誤；在時(shí)刻，甲切線(xiàn)的斜率比乙的小，所以甲切線(xiàn)的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查斜率應(yīng)用、切線(xiàn)斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識(shí)別能力，屬中檔題.三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線(xiàn)面平行的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可計(jì)算出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則..因此，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算直線(xiàn)與平面所成角的正弦值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.17.在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【解析】【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.【詳解】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18.某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【答案】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）,（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得結(jié)果；（Ⅱ）先分類(lèi)，再根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及分類(lèi)計(jì)數(shù)加法公式求結(jié)果；（Ⅲ）先求，再根據(jù)頻率估計(jì)概率，即得大小.【詳解】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率估計(jì)概率、獨(dú)立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線(xiàn)的斜率等于的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程，再得到切線(xiàn)在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線(xiàn)方程為：，即.（Ⅱ）顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線(xiàn)方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題.20.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓C于點(diǎn),直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于點(diǎn)．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，然后由直線(xiàn)MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)，將線(xiàn)段長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線(xiàn)段長(zhǎng)度的比值.【詳解】(1)設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)設(shè)，，直線(xiàn)方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線(xiàn)MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且：，注意到：，而：，故.從而.【點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與橢圓綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．21.已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿(mǎn)足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】(Ⅰ)根據(jù)定義驗(yàn)證，即可判斷；(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗(yàn)證，即可判斷；(Ⅲ)解法一：首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，然后證明，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二：首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)，然后證得成等比數(shù)列，之后證得成等比數(shù)列，同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，從而命題得證.【詳解】(Ⅰ)不具有