2023-2024學年福建省泉州五中九年級（上）期中數(shù)學試卷（有答案）

2023-2024學年福建省泉州五中九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（單項選擇，每小題3分，共40分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．1．（3分）計算sin30°的值等于（）A． B． C． D．2．（3分）下列圖形中的角是圓心角的是（）A． B． C． D．3．（3分）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 4．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝130°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．50° D．65°5．（3分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，則DE的長為（）A．2 B．3 C．4 D．6．（3分）將拋物線y＝x2向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度，所得拋物線的表達式為（）A．y＝（x+3）2+4 B．y＝（x﹣3）2﹣4 C．y＝（x﹣3）2+4 D．y＝（x+3）2﹣47．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，則tanB的值為（）A． B．2 C． D．8．（3分）在一次炮彈發(fā)射演習中，記錄到一門迫擊炮發(fā)射的炮彈的飛行高度y米與飛行時間x秒的關(guān)系式為，當炮彈落到地面時，經(jīng)過的時間為（）A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒9．（3分）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象可能為（）A． B． C． D．10．（3分）第二十四屆國際數(shù)學家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（）A．5 B．4 C．3 二、填空題（每小題4分，共24分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．11．（4分）已知＝，那么的值為．12．（4分）已知某斜坡AB的坡度i＝1：1，則斜坡AB的坡角α的大小為°．13．（4分）如圖，CD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點，EF＝3，則BD的長為．14．（4分）如圖，在△ABC中，P為邊AB上一點，且∠APC＝∠ACB，若AP＝4，AC＝6，則AB的長為．15．（4分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的直徑為5，，AC＝3，過點A作AD⊥BC，垂足為D．則CD的長為．16．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標為﹣3，點B的橫坐標為2，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是.（只填寫序號）三、解答題（共86分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．17．（8分）計算：．18．（8分）如圖，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D．求證：△ABC∽△ADE．19．（18分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為A（3，1），B（1，2），C（4，3）以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)畫出△ABC的位似圖形△A1B1C1，使它與△ABC20．（8分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3，該函數(shù)圖象經(jīng)過點A（2，﹣3）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式及頂點B的坐標；（2）若這個二次函數(shù)圖象與y軸的交點為C，請直接寫出△ABC的面積．21．（9分）2023年5月30日9點31分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站．如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面O處發(fā)射，當飛船到達A點時，從位于地面C處的雷達站測得AC的距離是8km，仰角為30°；10s后飛船到達B處，此時測得仰角為45°（1）求點A離地面的高度AO；（2）求飛船從A處到B處的平均速度．（結(jié)果精確到0.1km/s，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）22．（9分）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點F．（1）求證：AC＝BD．（2）若OF＝2EF，CD＝8，求⊙O直徑的長．23．（10分）某工廠計劃從現(xiàn)在開始，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬元/件．設(shè)第x個生產(chǎn)周期設(shè)備的售價為z萬元/件，售價z與x之間的函數(shù)解析式是，其中x是正整數(shù)．當x＝16時，z＝14；當x＝20時，z＝13．（1）求m，n的值；（2）設(shè)第x個生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為y件，且y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)＝5x+20．當12＜x≤20時，工廠第幾個生產(chǎn)周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？24．（12分）在平行四邊形ABCD中（頂點A，B，C，D按逆時針方向排列），AB＝24，AD＝20，∠B為銳角，且．（1）如圖1，求AB邊上的高CH的長；（2）P是邊AB上的一動點，C，D點，同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點C′，D′，①如圖2，當C′落在射線CA上時，求BP的長；②當△AC′D′是直角三角形時，請直接寫出BP的長．25．（14分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)，c＞1）的頂點為P，與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，拋物線上的點M的橫坐標為m，且，過點M作MN⊥AC，垂足為N．（1）若b＝﹣2，c＝3．①點P坐標為；點A的坐標為；②點G為拋物線y＝﹣x2+bx+c對稱軸上的一點，則GB+GC的最小值為；③當時，求m的值；（2）若點A的坐標為（﹣c，0），且MP∥AC，當時，求點M的坐標．

2023-2024學年福建省泉州五中九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（單項選擇，每小題3分，共40分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．1．【解答】解：sin30°＝，故選：B．2．【解答】解：由圓心角的定義得到：A、C、D圖形的角不是圓心角，故A、C、D不符合題意；B圖形中的角是圓心角，故B符合題意．故選：B．3．【解答】解：∵兩個相似三角形周長的比為1：4，∴這兩個三角形對應(yīng)邊的比為1：4，故選：B．4．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝130°，∴∠A＝50°，故選：C．5．【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴＝，∴DE＝，故選：D．6．【解答】解：根據(jù)題意可得，拋物線平移后的解析式為：y＝（x+3）2﹣4，故選：D．7．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝1，∴BC＝＝＝2，∴tanB＝＝，故選：A．8．【解答】解：在y＝﹣x2+10x中，令y＝0得：0＝﹣x2+10x，解得x＝0（舍去）或x＝50，∴當炮彈落到地面時，經(jīng)過的時間為50秒；故選：C．9．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，則b＞0，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過第一、三象限，則k＞0，∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝＞0，由圖象可知，反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象有兩個交點（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k，∴k﹣b＝﹣1，∴b＝k+1，∴對于函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1，當x＝1時，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象過點（1，﹣1），∵反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象有兩個交點，∴方程＝﹣x+b有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴k﹣1≠0，∴當x＝0時，y＝k﹣1≠0，∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象不過原點，∴符合以上條件的只有A選項．故選：A．10．【解答】解：設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，∴，∴（b﹣a）2＝ab，∴a2+b2＝3ab，∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，∴n＝3．故選：C．二、填空題（每小題4分，共24分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．11．【解答】解：∵＝，∴＝+1＝+1＝，故答案為：．12．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：1，坡角為α，∴tanα＝1，∴α＝45°，故答案為：45．13．【解答】解：∵點E，F(xiàn)分別是AC、DC的中點，∴EF是△ACD的中位線，∴AD＝2EF＝6，∵CD是△ABC的中線，∴BD＝AD＝6；故答案為：6．14．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，∴＝，∵AP＝4，AC＝6，∴62＝4AB，∴AB＝9，故答案為：9．15．【解答】解：作直徑AE，連接BE，如圖，∵AE為⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，∵∠C＝∠E，∴△ACD∽△AEB，∴＝，即＝解得CD＝．故答案為：．16．【解答】解：由圖象可得，a＞0，c＜0，又﹣＝﹣1，∴b＞0．∴abc＜0．∴①正確．由題意，令ax2+bx+c＝kx，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．又二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標為﹣3，點B的橫坐標為2，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的兩根之和為﹣3+2＝﹣1，兩根之積為﹣3×2＝﹣6．∴﹣＝﹣1，＝﹣6．∴6a+c又b＝2a∴3b+c＝0．∴3b+2c＝c∴②錯誤，③正確．∵﹣＝﹣1，b＝2a，∴k＝a．∴④錯誤．故答案為：①③．三、解答題（共86分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．17．【解答】解：＝1+﹣×＝1+﹣1＝．18．【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠D＝∠B，∴△ABC∽△ADE．19．【解答】解：如圖所示，△A1B1C120．【解答】解：（1）∵該二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A（2，﹣3），∴﹣3＝22﹣（m﹣2）×2﹣3，解得：m＝4．∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣2x﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴二次函數(shù)頂點B點坐標為（1，﹣4）；（2）由拋物線的表達式知，點C（0，﹣3），則AC∥x軸，如下圖；則△ABC的面積＝AC×（yA﹣yB）＝2×（﹣3+4）＝1．21．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km∴AO＝AC＝（km），（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km∴OC＝AC＝4（km），在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，∴∠BCO＝∠OBC＝45°，∴OB＝OC＝4（km），∴AB＝OB﹣OA＝（4）km，∴飛船從A處到B處的平均速度＝≈0.3（km/s）．22．【解答】（1）證明：∵OE⊥AB，且OE過圓心O∴CF＝DF，∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AF＝BF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD（2）解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑是r，∵OF＝2EF，OF+EF＝OE＝r，∴，∵CD＝8，∴，∴，∴或（舍去），∴⊙O的直徑是．23．【解答】解：（1）根據(jù)題意，把x＝16時，z＝14；x＝20時，z＝13代入y＝mx+n得：，解得m＝﹣，n＝18；（2）設(shè)第x個生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤為w萬元，當12＜x≤20時，z＝﹣x+18，∴w＝（﹣x+18﹣10）（5x+20）＝﹣x2+35x+160＝﹣（x﹣14）2+405，∵﹣＜0，12＜x≤20，∴當x＝14時，w取得最大值，最大值為405，∴工廠第14個生產(chǎn)周期獲得的利潤最大，最大的利潤是405萬元．24．【解答】解：（1）在?ABCD中，BC＝AD＝20，在Rt△BCH中，sinB＝＝，∴CH＝BC?sinB＝16；（2）①如圖2，作CH⊥BA于點H，由（1）得，BH＝＝＝12，作C'Q⊥BA交BA延長線于點Q，則∠CHP＝∠PQC'＝90°，∴∠C'PQ+∠PC'Q＝90°，∵∠C'PQ+∠CPH＝90°，∴∠PC'Q＝∠CPH，由旋轉(zhuǎn)知，PC'＝PC，∴△PQC′≌△CHP（AAS），∴PQ＝CH＝16，設(shè)BP＝x，C′Q＝PH＝12﹣x，QA＝PQ﹣PA＝x﹣8，∵C′Q⊥AB，CH⊥AB，∴C′Q∥CH，∴△AQC′∽△AHC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴BP＝；②∵點C、D同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點C、D'，∴△PCD≌△PC′D′，CD＝C'D'，CD⊥CD'，∵AB∥CD，∴C'D'⊥AB，情況一：當以C′為直角頂點時，如圖．∵C'D'⊥AB，∴C′落在線段BA延長線上，∵PC⊥PC'，∴PC⊥AB，由（1）知，PC＝16，BP＝12．情況二：當以A為直角頂點時，如圖，設(shè)C'D'與射線BA的交點為T，作CH⊥AB于點H．∵PC⊥PC'，∴∠CPH+∠TPC'＝90°，∵點C，D同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得點C'，D'，∴∠CPD＝∠C'PD'＝90°，PC＝PD，PC'＝PD'，∴∠CPD＝∠C'PD'，∴△PCD≌△PC'D'（SAS），∴∠PCD＝∠PC'D'，∵AB∥CD，∴∠BPC＝∠PCD＝∠PC'D'，∵∠C'PT+∠CPB＝90°，∴∠C'PT+∠PC'T＝90°，∴∠PTC'＝90°＝∠CHP，∴△CPH≌△PC′T（AAS），∴C′T＝PH，PT＝CH＝16，設(shè)C′T＝PH＝t，則AP＝12﹣t，∴AT＝PT﹣PA＝4+t，∵∠C'AD'＝90°，C'D'⊥AB，∴△ATD′∽△C′TA，∴＝，∴AT2＝C'T?TD'，∴（4+t）2＝t（24﹣t），化簡得t2﹣8t+8＝0，解得，t＝4±2，∴BP＝BH+HP＝12±2，情況三：當以D'為直角頂點時，點P落在BA的延長線上，不符合題意．綜上所述，BP＝12或16±2．25．【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），當y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵點A在點B的左側(cè)，∴A（﹣3，0）．故答案為：（﹣1，4），（﹣3，0）；②如圖，連接AC交于點G，則此時GB+GC最小，∵頂點P（﹣1，4），∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∵A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴AG＝BG，∴AG+CG＝BG+CG≥AC，∴當A、C、G三點共線時，GB+GC最小，∵拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，與y軸相交于點C，∴C（0，3），∴GB