全概率公式完整版本

1.4全概率公式貝葉斯公式

全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。綜合運(yùn)用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0

例有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率。解：記

Ai={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3之一同時(shí)發(fā)生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式得123將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它總是與A1,A2,…,An之一同時(shí)發(fā)生，則一、全概率公式:在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(B)不易,但B總是伴隨著某個(gè)Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Ai往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算。全概率公式的來由,不難由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了許多部分之和。它的理論和實(shí)用意義在于:

某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，

則B發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式。P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式我們還可以從另一個(gè)角度去理解

由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)，全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系。A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結(jié)果例：有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球。這六個(gè)球手感上不可區(qū)別。今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，問此球是紅球的概率？解：設(shè)A1——從甲袋放入乙袋的是白球；A2——從甲袋放入乙袋的是紅球；B——從乙袋中任取一球是紅球；

甲乙練習(xí)：設(shè)甲箱有5個(gè)正品，3個(gè)次品，乙箱有4個(gè)正品，3個(gè)次品，從甲箱任取3個(gè)產(chǎn)品放入乙箱，然后從乙箱任取一個(gè)產(chǎn)品，求是正品的概率。解：設(shè)A：從乙箱任取一個(gè)產(chǎn)品是正品，B1：從甲箱放入乙箱的3個(gè)產(chǎn)品都是正品，B2：從甲箱放入乙箱的3個(gè)產(chǎn)品有2個(gè)正品1個(gè)次品，B3：從甲箱放入乙箱的3個(gè)產(chǎn)品有1個(gè)正品2個(gè)次品，B4：從甲箱放入乙箱的3個(gè)產(chǎn)品都是次品。思考：有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球。這六個(gè)球手感上不可區(qū)別。今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?這類問題是“已知結(jié)果求原因”

這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小。

再如：某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率。1231紅4白或者問:

有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1,2,3，1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球，2號(hào)箱裝有2紅球3白球，3號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率。1231紅4白?某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率。

記Ai={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出，它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率。二、貝葉斯公式：

設(shè)A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B，它總是與A1,A2,…,An之一同時(shí)發(fā)生，則

貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件B）發(fā)生的最可能原因。

例某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人沒患癌癥”。已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04解:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗(yàn)結(jié)果是陽性}，

求P(C|A)現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義：由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得:

P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?

1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率

P(C)=0.005

患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)，則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為P(C｜A)=0.1066說明這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍。1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？2.檢出陽性是否一定患有癌癥?

試驗(yàn)結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066

即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn)。

解：設(shè)A:選到的是男人，B：選到的是女人，C：選到的是色盲，則練：已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，設(shè)男女各占一半，現(xiàn)隨機(jī)挑選1人，求（1）此人恰是色盲的概率（2）此人不是色盲，他是男人的概率（3）此人恰是色盲，他是男人的概率。例:商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0、1、2只次品的概率分別為0.8、0.1、0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱。問這一箱含有一個(gè)次品的概率是多少？解:設(shè)A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的。

B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:練習(xí):有朋自遠(yuǎn)方來，他乘火車、船、汽車、飛機(jī)來的概率分別是3/10、1/5、1/10、2/5，乘火車、船、汽車來遲到的概率是1/4、1/3、1/12，乘飛機(jī)不會(huì)遲到，結(jié)果他遲到了，求他乘火車來的概率。解:設(shè)A表示遲到，B1、B2、B3、B4分別表示乘火車、 船、汽車、飛機(jī)，下面我們?cè)倩剡^頭來看一下貝葉斯公式

貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率。P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。

當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的估計(jì)。貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件B)