2020-2021學年浙江省臺州市高二（上）期末數(shù)學試卷 （解析版）

2020-2021學年浙江省臺州市高二（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共10小題）.

1.直線無-y+2=0的傾斜角為（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

2.若空間一點M（a-1,0,1+1）在z軸上，貝（Ja=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.雙曲線？-工!_=1的漸近線方程為（

)

4

A.y=±-^-xB.y=±-^-x

C.y=±2xD.尸土4尤

42

4.在正方體ABCD-AbBiGOi中，E是CG的中點，則直線與直線BE所成角的余弦值

為()

A.春B.返「疾C2娓

2255

5.已知圓Ci：(x-2)2+(y+4)2=16,圓C2：x2+y2+2x-3=0,則兩圓的公切線的條數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.4

6.已知a,0是兩個不同的平面，/是一條直線，且/La,則，，0”是“a〃印'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知拋物線N=4y的焦點為E準線為/,M是x軸正半軸上的一點，線段交拋物

線于點A,過A作/的垂線，垂足為8.若B—BM,則下M|=（）

57

A.4B.3C.《D.4

22

8.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：CM1）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）

俯視圖

9.如圖，在側棱垂直底面的三棱柱ABC-AbBiG中，ZBAC=90°,AB=AC==hh[,

D,E分別是棱AB,81cl的中點，尸是棱CG上的一動點，記二面角。-EE-8的大小

為a,則在f從Ci運動到C的過程中，a的變化情況為()

A.增大B.減小

C.先增大再減小D,先減小再增大

22

10.如圖，F(xiàn)i,B分別是雙曲線t-31仁>0,b>0)的左、右焦點，點尸是雙曲線

與圓N+y2=q2+62在第二象限的一個交點，點。在雙曲線上，且卜P一：FDQ，則雙曲線

的離心率為()

A710RV17rV39nV37

2345

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

11.已知空間向量殘=(2,-1,2),b=(-1,0,3),貝l|a|=,a+b=-

12.已知直線/i：-3=0與/2：3x-y+l=0.若h〃I2,則機=；若/I_L/2,則

13.已知圓錐的底面積為iicm2,高為則這個圓錐的側面積為cm2,圓錐的

內切球(與圓錐的底面和各母線均相切的球)的表面積為cm2.

14.已知平面內兩點A(-1,0),B(3,0),動點P滿足而?瓦二1，則點P的軌跡方

程為，點P到直線3x+4y+12=0的距離的最小值為.

15.在三棱錐P-ABC中，三條側棱PA,PB,PC兩兩垂直，PA=1,PB=2,且△ABC的

面積為遙，則PC的長為.

16.在平面直角坐標系尤Oy中，設點P(xi,yi),Q(尤2,yi),定義：||尸。||=出-X2|+|yi

2

-J2|.若點A(1,0),點B為橢圓*-+y2n=]上的動點，則IIABII的最大值為.

17.如圖，在△A8C中，AC=l,BC=M，C=5"，點。是邊AB(端點除外)上的一動

點.若將△AC。沿直線CD翻折，能使點A在平面BCD內的射影A落在△BCD的內部

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

18.已知圓C的圓心為(2,1),且經過坐標原點.

(I)求圓C的標準方程；

(II)直線x+y-1=0與圓C相交于A,8兩點，求|A8].

19.如圖，在長方體42。-4由1。。1中，AB=BC=2AAi,。1是底面AiSGDi的中心.

(I)求證：平面AC。；

(II)求二面角。LAC-。的平面角的余弦值.

22

20.如圖，已知橢圓￥V-l(a>b>0).。為坐標原點，C(2,0)為橢圓的右頂點，

A,8在橢圓上，且四邊形0AC8是正方形.

(I)求橢圓的方程；

(II)斜率為左的直線/與橢圓相交于P，。兩點，且線段尸。的中點/恰在線段A8上,

求k的取值范圍.

B

21.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，AD//BC,AB=AD=CD=\,BC=2.平面P8D_L平面

ABCD,△PBC為等邊三角形，點E是棱BC上的一動點.

(I)求證：CO_L平面PBD-,

(II)求直線PE與平面所成角的正弦值的最大值.

22.如圖，過點P(0,-1)的直線/i與拋物線V=x相交于A,8兩點(A在第一象限)，

且交尤軸于點過點A的直線/2交拋物線于另一點C,且交x軸于點N,ki,依分別是

直線/i,/2的斜率，且滿足2所+依=0.記4AMN,ZkABC的面積分別為Si,

(I)若h=2,求/2的方程；

S1

(II)求U的取值范圍.

b2

參考答案

一、選擇題（共10小題）.

1.直線17+2=0的傾斜角為（）

A.45°B.60°C.120°D.135°

解：???直線］->+2=0的斜率％=1,

JT

,直線x-y+2=0的傾斜角Q^―.

4

故選：A.

2.若空間一點M（a-1,0,1+1）在z軸上，則a=（）

A.-1B.0C.1D.2

解：???空間一點M（。-1,0,1+1）在z軸上,

'.a-1=0,解得〃=1.

故選：C.

2

3.雙曲線N-工_=1的漸近線方程為（）

4

B.尸土/尤

A.尸土4?尤C.y=±2xD.y=±4x

4

222

解：因為雙曲線*2一匚=1，所以雙曲線-上-=1的漸近線方程為x2-X-=0,

444

即尸土2x.

故選：C.

4.在正方體中，E是CG的中點，則直線與直線8E所成角的余弦值

為（）

A.—B.返C.遮D.

2255

解：由題意可知，幾何體的圖形如圖，

直線AD與直線BE所成角就是直線BC與直線BE所成角，

設長方體的棱長為2,

所以直線AD與直線BE所成角的余弦值為：

BC__2_2V5

故選：D.

5.已知圓Ci：(尤-2)2+(y+4)2=16,圓C2：x2+y2+2x-3=0,則兩圓的公切線的條數(shù)

為()

A.1B.2C.3D.4

解：圓心是Ci(2,-4),半徑是n=4；

圓C2：/+y2+2工-3=0化為標準形式是(x+1)2+y2=4,

圓心是Ci(-1,0),半徑是n—2；

貝i||GC2|=5<ri+，2,

兩圓相交，公切線有2條.

故選：B.

6.已知a,0是兩個不同的平面，/是一條直線，且/La,則是“a〃0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：由/La,Z±p,得：a〃0,是充分條件，

由a//p,l±a,得：/_L0,是必要條件，

故選：C.

7.已知拋物線x2=4y的焦點為R準線為/,M是x軸正半軸上的一點，線段NW交拋物

線于點A,過A作/的垂線，垂足為艮若則|FM|=()

57

A.4B.3C.3D.4

22

解：由拋物線N=4y的方程可得：焦點為尸(0,1),準線方程為y=-l,

設M(a,0),則直線MF的方程為：--x+1,

a

2

設A(xi,X1)，則8(xi,-1),

4

因為所以麗?百J=0,

即(-%1,2)?(a-xi,1)=0,

所以％J一的+2=0,①

,1整理可得：x2+—x-4=0,

y=—x+14

a

所以婷+國xi-4=0,②，

a

,46a

由Q)-(2)—)x\-6=0,x\=""n(3)

aa+4

*22

將③代入①可得：笑廣筆一+2=0,

(a+4)a+4

整理可得：a4-la2-8=0,〃>0,解得：。=2衣,

所以尸MRF+Q近）2=3,

故選：B.

8.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：C%）,則該幾何體的體積（單位：（:加3）是（

正視圖側視圖

俯視圖

解：根據(jù)幾何體的三視圖轉換為幾何體為：該幾何體為三棱錐體A-BCD；

如圖所示:

故選：A.

9.如圖，在側棱垂直底面的三棱柱ABC-A山Ci中，ZBAC=90°,AB=AC=

1'

D,E分別是棱AB,31cl的中點，尸是棱CG上的一動點，記二面角。-EF-8的大小

為a,則在/從Ci運動到C的過程中，a的變化情況為（）

A.增大B.減小

C.先增大再減小D.先減小再增大

解：如圖，平面BEF固定,

由。向平面BE尸作垂線，垂足在BC邊的四等分點處，

只需考慮清楚垂足到直線EF的變化情況，

如下圖所示，當垂直交于正方形外的時候，距離先變大,

/1

再到垂直相交于正方形內的時候，距離變小，

...記二面角D-EF-B的大小為a,

則在廠從Ci運動到C的過程中，a的變化情況為先減小再增大.

故選：D.

10.如圖，F(xiàn)i,B分別是雙曲線《-令1匕〉0,b>0）的左、右焦點，點尸是雙曲線

1?1.

與圓N+y2=a2+62在第二象限的一個交點，點。在雙曲線上，且FP二FDQ，則雙曲線

13”

的離心率為（）

2(a2+2b2)

2上“2_2^,2_2

x+y-a+b-cx-2

c

解得《

2b4

y=-

.________,2

??,尸在第二象限，：.P(-^/a2+2b2,k_),

__________,2____

J=mc,

設。(加，〃),則F[1二(c-j/a2+Zb2，—)?F2Q^~門)，

由用與0嗚(m.c)=c-正藍,

°OC□C

.?.加=4。-3aJa」+止,“=比，

CC

222222

T7m2n2.16c24^/c+b9(c+b)9b.

又R-討j..--------a-H------2---------廠4

abaacc

442

化簡得：土亍-142萬+100，即2e4-7e2+5=0,

aa

解得：-或e?=l(舍).

可得e=H(e>l).

2

故選：A.

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

11.已知空間向量a=(2,-1,2)，b=1,0,3)，則|a|=3,?+b=(1，一

1,5).

解：???空間向量￡(2,-1,2)，b=(-l,0,3)，

la|=^22+(-1)2+22=3)

a+b=(1，一1，5).

故答案為：3,(1,-1,5).

12.已知直線/i：3+2y-3=0與/2：3x-y+l=O.若/i〃&,則m=-6；若/I_L/2,則

2

m=—.

—3—

解：、?直線/i：mx+2y-3=0與/2：3x-y+l=O.l\//h,

??百F聲了’

解得m=-6；

當/I_L/2時，3m-2=0,

9

解得

o

故答案為：-6,

o

13.已知圓錐的底面積為m:源，高為則這個圓錐的側面積為2ncm2,圓錐的內

切球（與圓錐的底面和各母線均相切的球）的表面積為等cm2.

解：?..圓錐的底面積為何小，

圓錐的底面半徑為1,

畫出圓錐和內切球的軸截面，設內切球的球心為。，如圖所示：

2222=2,

則BC=2,^=AC=^AD+DC=V(V3)+l

AnX1X2=2n,

=

?SAAOB—S/\BOCSAAOCf

：.-"ABT+^ACT+^-'BCT=—'BC-AD,

2222

(2+2+2)?r=-^-X2X1/3，

.a

??r,

3

???圓錐的內切球的表面積為4n?產=等，

O

MM?心dc4兀

故答案為：2K,

14.已知平面內兩點A(-1,0),B(3,0),動點尸滿足施?杳=1，則點P的軌跡方

程為。+丫2-2元-4=0,點P到直線3x+4y+12=0的距離的最小值為_3-遙

解：設點P(羽y),

則PA=(-l-x,-y),PB=(3-X,-y),

所以強?麗=(-l-x)(3-x)+y2=］，

整理可得x2+y2-2x-4=0,

故點P的軌跡方程為x2+y2-2尤-4=0；

將N+儼-2x-4=0變形為(x-1)2+y2=5,

所以圓心為(1,0),半徑r=

1151

則圓心到直線3x+4y+12=0的距離為d'f-~=3,

由圓的性質可得，點P到直線3尤+4y+12=0的距離的最小值為d-r=3-遙.

故答案為：x2+y2-2x-4=0；3-A/5.

15.在三棱錐P-ABC中，三條側棱PA,PB,PC兩兩垂直，PA=1,PB=2,且AABC的

面積為迷，則PC的長為2.

解:如圖，

過尸作POLAB,垂足為。，連接CD

'JPCLPA,PCLPB,且P8nP8=P,PA,P3u平面PA8,

；.PC_L平面PA8,貝I|PC_LAB,

又PCCPD=P,PC、POu平面PC。，得平面PC。，

：.AB±CD,

\"PA=1,PB=2,：.AB=y/s>

SAABC卷X泥XCD=圾，得CD=^^~.

由等面積法求得PQ=2工巨，

故答案為：2.

16.在平面直角坐標系xOy中，設點尸(xi,yi),Q(如＞2),定義：11尸。11=|為-垃|+|川

2

-y2|.若點A(l,0),點5為橢圓]-+了2二1上的動點，則IH和的最大值為—愿+1_.

解：由橢圓的參數(shù)方程可設點5(&COS8,sinQ),0e[0,n]

則||A3||=h/^cos8-l|+|sin0|=sin9+|^/2cos0-11,

TT

要使||A3||最大，需8c[―^―,兀],

此時||A5||=sin8+l-、/^cos8=^/3sin(0-(p)+1,(tan(p=&),

所以當sin(0-(p)=1時，||AB||max=V3+b

故答案為：Vs+i-

17.如圖，在△ABC中，AC=lfBC=M，。=卷，點。是邊AB(端點除外)上的一動

點.若將△AC。沿直線CD翻折，能使點A在平面BCD內的射影A落在△BCD的內部

VA4,_L平面BCD,過作設E_LCD,連接AE,可得設ELCD,

即A'在過A與CD的垂線AE上，又4C=Y2,貝IJA'在以C為圓心，以互為半徑的

33

圓弧上，且在△8C。內部.

分析極端情況：

①當A'在2C上時，ZACE+ZCAE=90°,ZCAE+ZCA'A=90°,可得NCA'A=

ZACE,設為a,

13-sina.

在RtACA'A中，tana=J7WcosCL,且sin2a+cos2a=1,可得sinQ=-y,

4

設NEC8=B，ZC￡>A=y,貝！Ja+0=9O°,y=p+30°,

J~73

貝！Jsin0=cosa=----，cosp=sinCl=—,

44

C0Sp

?,.sinY=sin（0+30。）=^-sinP-4

NNN4N4K

AC二AD

在△CZM中，由正弦定理可得:即sinY=sind

sinYsina

3

_sina_4_V21-3

'sinT&1+32

-8-

當A'在AB上時，＜CDLAB,此時f=AC?cos60°=1義13

???A'在△8CO的內部(不包含邊界)，.1的取值范圍是弓，嗎受)，

故答案為：g,嗎金)?

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

18.已知圓C的圓心為(2,1),且經過坐標原點.

(I)求圓C的標準方程;

(II)直線x+y-1=0與圓C相交于A,B兩點,求|A3|.

【解答】(I)解：由題意知，圓的半徑r=|0C|=F7I=旄,

；?圓的標準方程為(x-2)2+(j-1)2=5；

12+1-11

(II)解：圓心C(2,1)至U直線x+y-1=0的距離d==V2>

|AB|=27r2-d2=2V3-

19.如圖，在長方體ABC。-A由ICLDI中，AB=BC=2AAi,。1是底面AiBiCid的中心.

(I)求證：。由〃平面AS；

(II)求二面角。1-AC-。的平面角的余弦值.

B

解：(I)證明：連接8。交AC于點O,連接Di。，連接Bid,

由長方體的性質知8。=。1。1,S.BO//O1D1,

故四邊形BOiDiO是平行四邊形，

所以OiB〃￡h。.

又因為AOu平面AC5,平面AC。，

所以58〃平面ACP.

(II)：設AB=BC=2AAi=2,由長方體底面ABC。是正方形，得。。_LAC.

因為。iA=￡hC,。是AC的中點，所以。10LAC,

所以/。。。是二面角Dr-AC-D的平面角.

在直角三角形。。。中，/。1。。=90°,ObD=AAi=l,r>6?=yDB=V2.所以D[0=百,

得cos/D]0D=D=咚,

U]u0

20.如圖，已知橢圓￥+^=l(a>b>0).。為坐標原點，C(2,0)為橢圓的右頂點,

ay

A,B在橢圓上，且四邊形。4%是正方形.

(I)求橢圓的方程；

(H)斜率為左的直線/與橢圓相交于P,。兩點，且線段PQ的中點M恰在線段上,

求k的取值范圍.

解：(I)由題意a=2,

又由橢圓過點(1,1).得;G■二1，

41/

解得b2=4.

O

22

xy

所以橢圓的方程為工木=1.

~3

(II)設直線I的方程為y=kx^-m,

代入橢圓方程N+3y2=4,

得(3F+1)N+6左mx+3M2-4=0,

所以△=3642/-4(3F+1)(3m2-4)>0,

得12N-3m2+4>0.

設尸(xi,%),Q(%2,丁2)，MGo,yo),

X1+x23km,m

所以x()=」,,yn=kXn+m=9

23k2+13k2+1

因為尸。的中點恰在線段AB上，所以一欠3km私=1

3kJ+l

3k2+1

得皿=

3k

m1

所以y()n

3k2+13k'

由yoe(-1,1),

得-1<一1-<1,

解得k€(-8,q)UA，3).

21.如圖，在四棱錐P-ABC。中，AD//BC,AB=AD=CD=1,BC=2.平面平面

ABCD,△PBC為等邊三角形，點E是棱BC上的一動點.

(I)求證：CZ)_L平面PBD；

(II)求直線PE與平面所成角的正弦值的最大值.

【解答】（I）證明：由題意，得BD=?,所以80+82=忒咒故

又因為平面尸8。_1_平面ABCD,平面PRDA平面ABCD=BD.

所以C￡?_L平面PBD.

（II）解：如圖，以點。為原點，

分別以。8,0c所在的直線為無軸，y軸，以過點。垂直于底面的直線為z軸,

建立空間直角坐標系D-xyz.

由題意知，A亭，得，0）,B（V3-0，0），C（0,1,0）.

過點尸作直線PP1與8。垂直，且尸尸mB￡）=Pi.

因為尸2。_1_平面ABCD,平面PBDn平面ABCD=BD,

所以PP」平面ABCD

又由PB=PC,得PB=PC,所以點Pi在線段BC的中垂線上.

BPIA

由對稱性可知，A,Pi,C三點共線.由得

PlD

所以8尸1=尊1,又由尸2=2,得「尸產耳耳.

33

所以，點尸的坐標為（亨，0,竽■）.

DP=哼,0,孚），翁哼,0）,

設平面PA。的法向量^=（x,y,z）.

5M^挈z=o_.

<f—，取工=&，貝％=