2021屆高考數(shù)學一輪復習第9章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例第1講隨機抽樣創(chuàng)新教學案（含解析）新人教版

第九章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

第1講隨機抽樣

［考綱解讀］1.理解隨機抽樣的必要性和重要性，會用簡單隨機抽樣方法從總體中

抽取樣本.

2.了解分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的意義，能利用分層抽樣與系統(tǒng)抽樣解決實際問題.(重

點)

［考向預測］從近三年高考情況來看，本講內(nèi)容為高考中的冷考點.預測2021年

高考對本講將會以實際應用為背景命題考查分層抽樣或系統(tǒng)抽樣，同時也可能與

統(tǒng)計相結合命題.試題以客觀題的形式呈現(xiàn)，難度不大，以中、低檔題目為主.

基礎知識過關

1.簡單隨機抽樣

(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個①不放回地抽取〃個個體作為

樣本(〃W7V)，如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都02相笠，就把這種

抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.

(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：G3抽簽法和四隨機數(shù)表法.

2.系統(tǒng)抽樣

(1)定義：當總體中的個體數(shù)目較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后

按照事先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方

法叫做系統(tǒng)抽樣.

(2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟

假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.

①先將總體的N個個體編號；

②確定①分段間隔攵,對編號進行分段，當狼〃是樣本容量)是整數(shù)時，?。?

彳N；當N那不是整數(shù)時，可隨機地從總體中剔除余數(shù)X,取4=N一-丁x；

③在第1段用02簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(lWk)；

④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將/加上間隔k得到第2個個體編號03/

±k,再加k得到第3個個體編號但/+2左,依次進行下去，直到獲取整個樣本.

3.分層抽樣

(1)定義：在抽樣時，將總體分成m互不交叉的層,然后按照一定的比例，從

各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽

樣方法叫做分層抽樣.

(2)應用范圍：當總體是由02差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣.

注：三種抽樣方法的比較

類別共同點各自特點相互聯(lián)系適用范圍

簡單隨總體中的

從總體中逐個抽取——

機抽樣個數(shù)較少

將總體均分成幾部在起始部分抽樣總體中的

系統(tǒng)是不放回抽樣，

分，按事先確定的規(guī)時，采用簡單隨個

抽樣抽樣過程中，每

貝U,在各部分抽取機抽樣數(shù)比較多

個個體被抽到

總體由差

的機會(概率)

各層抽樣時，采異

分層相等將總體分成幾層，分

用簡單隨機抽樣明顯的兒

抽樣層進行抽取

或者系統(tǒng)抽樣部

分組成

口診斷自測

1.概念辨析

(1)簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關.()

(2)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣.()

(3)在分層抽樣的過程中，哪一層的樣本越多，該層中個體抽取到的可能性越

大.()

(4)要從1002個學生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔

除2個學生，這樣對被剔除者不公平.()

答案⑴義(2)7(3)義(4)X

2.小題熱身

(1)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時間，從中

抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析，在這個問題中，5000名居民的閱讀

時間的全體是()

A.總體

B.個體

C.樣本容量

D.從總體中抽取的一個樣本

答案A

解析從5000名居民某天的閱讀時間中抽取200名居民的閱讀時間，樣本容

量是200,抽取的200名居民的閱讀時間是一個樣本，每名居民的閱讀時間就是一

個個體，5000名居民的閱讀時間的全體是總體.

(2)對一個容量為N的總體抽取容量為〃的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)

抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為

P1，“2,P3,則()

A.pi=p2Vp3B.p2=p3Vpi

C.pi=p3Vp2D.pi=〃2=p3

答案D

解析因為采取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣抽取樣本時，總體中每

個個體被抽中的概率相等.故選D.

(3)某中學將參加期中測試的1200名學生編號為1,2,3,…，1200,現(xiàn)從中抽取

一個容量為50的樣本進行學習情況調(diào)查，按系統(tǒng)抽樣的方法分為50組，如果第

一組中抽出的學生編號為20,則第四組中抽取的學生編號為()

A.68B.92

C.82D.170

答案B

解析第四組中抽取的學生編號為20+(1200+50)X3=92.

(4)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100

件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行

檢驗，則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取件.

答案18

解析由題意，知應從丙型產(chǎn)品中抽取

3003

60X200+400+300+100=60XTo=心(件)?

經(jīng)典題型沖關

題型一簡單隨機抽樣

伴例說明】

1.下列抽樣檢驗中，適合用抽簽法的是（）

A.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進行質(zhì)量檢驗

B.從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱18件）產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗

C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱18件）產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)量檢驗

D.從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進行質(zhì)量檢驗

答案B

解析A,D中總體的個體數(shù)較多，不適宜用抽簽法，C中，一般甲、乙兩廠

的產(chǎn)品質(zhì)量有區(qū)別，也不適宜用抽簽法.故選B.

2.利用簡單隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本.若第二次

抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為4則在整個抽樣過程中，每個個體被抽

到的概率為（）

A-4B-3

。14527

答案C

解析根據(jù)題意，~9^=i1,解得〃=28.

n-1J

故在整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為￡=三.

Zo14

3.（2019?衡水二模）某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，

先將600個零件進行編號，編號分別為001,002,…,599,600,從中抽取60個樣

本，如下提供是隨機數(shù)表的第4行到第6行：

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若從表中第6行第6列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是

答案578

解析從第6行第6列的數(shù)開始，滿足條件的6個編號依次為

436,535,577,348,522,578,則第6個編號為578.

【據(jù)例說法】

1.簡單隨機抽樣的特點

（1）抽取的個體數(shù)較少.（2）是逐個抽取.（3）是不放回抽取.（4）是等可能抽取.只

有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣.

2.抽簽法與隨機數(shù)表法的適用情況

（1）抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)表法適用于總體中個體數(shù)

較多的情況.

（2）一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽

是否易攪勻.

【鞏固遷移】

1.下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的為（）

A.在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取

的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎

B.某車間包裝一種產(chǎn)品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產(chǎn)品，

稱其重量是否合格

C.某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對

學校機構改革的意見

D.用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進行質(zhì)量檢驗

答案D

解析A,B是系統(tǒng)抽樣，C是分層抽樣，D是簡單隨機抽樣.

2.總體由編號為01,02,…，19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表

選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列數(shù)字開始由左到右依次選

取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為（）

78166572080263140701436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07

C.02D.01

答案D

解析選出的5個個體的編號依次是08,02,14,07,01.故選D.

題型二系統(tǒng)抽樣多維探究

【舉例說明】

（2019.全國卷I）某學校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為

1,2,…，1000,從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗.若

46號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是（）

A.8號學生B.200號學生

C.616號學生D.815號學生

答案C

解析根據(jù)題意，系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，所以抽樣間隔為愣=10.因為46除

以10余6,所以抽到的號碼都是除以10余6的數(shù)，結合選項知應為616.故選C.

結論探究本例條件不變，則被抽到的學生的最小編號為最大編

號為.

答案6996

解析根據(jù)題意，可知此系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔為寫=10,共分100組，46

號在第5組，故被抽到的最小編號在第一組，是46—10X4=6,最大編號在第100

組，是46+10X95=996.

【據(jù)例說法】

系統(tǒng)抽樣的注意點

（1）系統(tǒng)抽樣適用的條件是總體容量較大，樣本容量也較大.

（2）若不改變抽樣規(guī)則，則所抽取的號碼構成一個等差數(shù)列，其首項為第一組

所抽取的號碼，公差為樣本間隔.故問題可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題解決.

（3）抽樣規(guī)則改變，應注意每組抽取一個個體這一特性不變.

（4）如果總體容量N不能被樣本容量〃整除，可隨機地從總體中剔除余數(shù)，然

后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，其中起始編號的確定應用簡單隨機抽樣的方法.

【鞏固遷移】

1.某校為了解1000名高一新生的身體生長狀況，用系統(tǒng)抽樣法（按等距的規(guī)

則）抽取40名同學進行檢查，將學生從1?1000進行編號，現(xiàn)已知第18組抽取的

號碼為443,則第一組用簡單隨機抽樣抽取的號碼為（）

A.16B.17

C.18D.19

答案C

解析..?從1000名學生中抽取一個容量為40的樣本，，系統(tǒng)抽樣的分段間

隔為曙=25.設第一組隨機抽取一個號碼為％,則第18組的抽取編號為X+17X25

=443,.\x=18.

2.（2019.安徽蕪湖模擬）為了解高中生在寒假期間每天自主學習的時間，某校

采用系統(tǒng)抽樣的方法，從高三年級900名學生中抽取50名進行相關調(diào)查.先將這

900名高中生從1到900進行編號，求得間隔數(shù)女=絮=18,即每18名高中生中

抽取1名，若在編號為1?18的高中生中隨機抽取1名，抽到的高中生的編號為6,

則在編號為37?54的高中生中抽到的高中生的編號應該是.

答案42

解析根據(jù)題意，采用系統(tǒng)抽樣，且分段間隔為18,首組所取的號碼為6,

故后面的組抽取的號碼為18〃+6（1W〃W49,nGN）,令37W18〃+6W54,得鹿=2,

故所抽取的號碼為2X18+6=42.

多角探究

I【舉例說明】

9角度1求總體容量或樣本容量

1.交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況，

對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)為N,

其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別

為12,21,25,43,則這四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)"為（）

A.101B.808

C.1212D.2012

答案B

121

解析甲社區(qū)每個個體被抽到的概率為y點o=o6,樣本容量為12+21+25+43

=101,所以四個社區(qū)中駕駛員的總人數(shù)N=T=808.

8

2.（2019?安徽六校教育研究會聯(lián)考）某工廠生產(chǎn)的A,B,。三種不同型號的產(chǎn)

品的數(shù)量之比為2：3：5,為研究這三種產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該工

廠生產(chǎn)的A,B,C三種產(chǎn)品中抽出樣本容量為〃的樣本，若樣本中A型產(chǎn)品有10

件，則〃的值為（）

A.15B.25

C.50D.60

答案C

解析解法一：某工廠生產(chǎn)的A,8,C三種不同型號產(chǎn)品的數(shù)量之比為2：3:

5,用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，則A型產(chǎn)品被抽取的抽樣比為

不看能.因為A產(chǎn)品有10件，所以〃=票=50.故選C.

乙IOIDJ

5

21（）

解法二：由題意，得旨工7=?，解得〃=50.故選C.

Q角度2求每層中的樣本數(shù)量

3.分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立

地抽取一定數(shù)量的個體，組成一個樣本的抽樣方法.在《九章算術》第三章“衰

分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十,

凡三人俱出關，關稅百錢，欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲

持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢,

要按照各人帶錢多少的比例進行交稅，問三人各應付多少稅？則下列說法錯誤的

是（）

41

A.甲應付51而錢

24.

B.乙應付32礪錢

C.丙應付16齋錢

D.三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少

答案B

解析依題意由分層抽樣可知，100+(560+350+180)=訴,

則甲應付：麗X560=51而(錢)；

乙應付：帶X350=32福(錢)；

丙應付：益X180=163去(錢).

【據(jù)例說法】

分層抽樣問題類型及解題思路

(1)求某層應抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算.

(2)已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，

列比例式進行計算.

樣本容量

(3)分層抽樣的計算應根據(jù)抽樣比構造方程求解，其中“抽樣比=會篝=

各層樣本數(shù)量,,

各層個體數(shù)量.

提醒：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取加=〃?與

(i=l,2,…，％)個個體(其中，是層數(shù)，〃是抽取的樣本容量，M是第i層中個體的

個數(shù)，N是總體容量).

【鞏固遷移】

1.一個總體分為A,B,C三層，用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為

50的樣本，已知B層中每個個體被抽到的概率都為《，則總體中個體的個數(shù)為

)

A.150B.200

C.500D.600

答案D

解析運用分層抽樣的方法，在不同層中每個個體被抽到的概率相等，都等

樣本容量501

于工體獲?設總體中個體的個數(shù)為N，則帚==解得N=600.故選D.

2.某校共有教師200人，男學生800人，女學生600人，現(xiàn)用分層抽樣的方

法從所有師生中抽取一個容量為〃的樣本，已知從男學生中抽取的人數(shù)為100,那

么〃=()

A.200B.300

C.400D.500

答案A

解析每個個體被抽到的概率等于鑒=：,應抽取的教師人數(shù)為200X：=25,

oUUoo

應抽取的女學生人數(shù)為600X1=75,故樣本容量“=25+75+100=200.

O

3.(2019.河北一模)隨著時代的發(fā)展，移動通訊技術的進步，各種智能手機不

斷更新?lián)Q代，給人們的生活帶來了巨大的便利，但與此同時，長時間低頭看手機

對人的身體如頸椎、眼睛等會造成一定的損害，“低頭族”由此而來.為了解某

群體中“低頭族”的比例，現(xiàn)從該群體包含老、中、青三個年齡段的1500人中采

用分層抽樣的方法抽取50人進行調(diào)查，已知這50人里老、中、青三個年齡段所

占的比例如圖所示，則這個群體里老年人人數(shù)為()

A.490B.390

C.1110D.410

答案B

解析由題圖，知這50人里老、中、青三個年齡段所占的比例為26%,34%,40%,

則這個群體里老年人人數(shù)為26%X1500=390.

--------------課時作業(yè)----------------

久組基礎關

1.(1)某學校為了了解2019年高考數(shù)學學科的考試成績，在高考后對1200名

學生進行抽樣調(diào)查，其中文科400名考生，理科600名考生，藝術和體育類考生

共200名，從中抽取120名考生作為樣本.

(2)從30名家長中抽取5名參加座談會.

I.簡單隨機抽樣法’n.系統(tǒng)抽樣法in.分層抽樣法

問題與方法配對正確的是（

A.(1)111,(2)IB.(1)I,(2)11

c.⑴n,⑵mD.(1)111,(2)11

答案A

解析（1）是分層抽樣，（2）是簡單隨機抽樣.

2.（2020?北京西城區(qū)模擬）某校共有學生1000人，其中男生600人，女生400

人，學校為檢測學生的體質(zhì)健康狀況，統(tǒng)一從學生學籍檔案管理庫（簡稱“CIMS

系統(tǒng)”）中隨機選取參加測試的學生，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取容量為30

的樣本進行檢測，那么應抽取女生的人數(shù)為（）

A.12B.15

C.18D.20

答案A

解析某校共有學生1000人，其中男生600人，女生400人，采用分層抽樣

的方法從中抽取容量為30的樣本進行檢測，則應抽取女生的人數(shù)為30X怒=12.

3.（2019.唐山三模）為了調(diào)查某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的尺寸是否合格，現(xiàn)從500

件產(chǎn)品中抽出10件進行檢驗.先將500件產(chǎn)品編號為000,001,002,…，499,在

隨機數(shù)表中任選一個數(shù)開始，例如選出第6行第8列的數(shù)4開始向右讀（為了便于

說明，下面摘取了隨機數(shù)表，附表1的第6行至第8行），即第一個號碼為439,

則選出的第4個號碼是（）

162277943949544354821737932378

844217533157245506887704744767

630163785916955567199810507175

A.548B.443

C.379D.217

答案D

解析從第6行第8列的數(shù)4開始向右讀，則選出的前4個號碼是：

439,495,443,217,.?.選出的第4個號碼是217.

4.某工廠甲、乙、丙、丁四個車間生產(chǎn)了同一種產(chǎn)品共計2800件，現(xiàn)要用

分層抽樣的方法從中抽取140件進行質(zhì)量檢測，且從甲、丙兩個車間總共抽取的

產(chǎn)品數(shù)量為60件，則乙、丁兩車間生產(chǎn)的產(chǎn)品總共有（）

A.1000件B.1200件

C.1400件D.1600件

答案D

解析由已知條件得，抽樣比為嫖=1，???從甲、丙兩個車間總共抽取的

ZoUUZX)

產(chǎn)品數(shù)量為60件，...從乙、丁兩個車間抽取的產(chǎn)品數(shù)量為140—60=80件，，乙、

QA

丁兩車間生產(chǎn)的產(chǎn)品總共有牛=1600件.

20

5.(2019.保定二模)某工廠生產(chǎn)A,B,C三種不同型號的產(chǎn)品，其中某月生產(chǎn)

的產(chǎn)品數(shù)量之比依次為m：3：2,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣

本，已知A種型號產(chǎn)品抽取了45件，則〃z=()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析設該工廠生產(chǎn)A型號的產(chǎn)品數(shù)量為加I,則生產(chǎn)5型號的產(chǎn)品數(shù)量為次,

生產(chǎn)。型號的產(chǎn)品數(shù)量為2Z,則45親=丁12苦0:，解得〃2=3.

mktnk+3k+2k

6.(2019.江西八校聯(lián)考)從編號為001,002,…，500的500個產(chǎn)品中用系統(tǒng)抽

樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中編號最小的兩個編號分別為007,032,則樣本

中最大的編號應該為()

A.480B.481

C.482D.483

答案C

解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義，知樣本的編號成等差數(shù)列，令0=7,G=32,

518

則d=25,所以7+25(〃-l)W500,所以“W石，〃的最大值為20,得最大的編號

為7+25X19=482.

7.用系統(tǒng)抽樣法從160名學生中抽取容量為20的樣本，將學生隨機地從1?

160編號，按編號順序平均分成20組(1?8,9?16,…，153?160).若第16組得

到的號碼為126,則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是.

答案6

解析設第1組抽出的號碼為龍，則第16組應抽出的號碼是域X15+x=126,

??x=6.

8.某商場有四類食品，食品類別和種數(shù)見下表:

類別糧食類植物油類動物性食品類果蔬類

種類40103020

現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測，若采用分層抽樣方法抽

取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和為.

答案6

解析因為總體的個數(shù)為40+10+30+20=100,所以根據(jù)分層抽樣的定義可

知，抽取的植物油類食品種數(shù)為齋X20=2,抽取的果蔬類食品種數(shù)為需X20=

4,所以抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和為2+4=6.

生組能力關

1.（2019.湖北荊州模擬）我國古代數(shù)學算經(jīng)十書之一的《九章算術》有一衰分

問題：今有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)九千人，南鄉(xiāng)五千四百人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五百,

意思是用分層抽樣的方