逆矩陣及其求法_第1頁(yè)
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逆矩陣及其求法定義10對(duì)于n階方陣A,若有一個(gè)n階方陣B,使AB=BA=E,則稱方陣A可逆,并稱方陣B為A得逆陣,記作A1、注:如果方陣A可逆,則逆陣就是唯一得、∵設(shè)B、C均為A得逆陣,則

逆陣就是唯一得、一、逆矩陣得概念及其求法則B=A1、B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C定理一若方陣A可逆,則|A|

0、[證]∵A可逆

有A1,使AA1=E|A||A1|=|E|=1|A|0定理二若|A|

0,則方陣A可逆,且其中A*稱為方陣A得伴隨方陣,它就是|A|得各個(gè)元素得代數(shù)余子式所構(gòu)成得如下方陣:[證]設(shè)=E由逆陣得定義有:同樣注:AA*=A*A=|A|E推論若AB=E(或BA=E),則B=A1、[證]∵|A||B|=|E|=1

|A|

0

A1存在

B=EB=(A1A)B=A1(AB)=A1E=A12、若A可逆,則A1也可逆,且(A1)1=A[證]由推論得二、逆矩陣得性質(zhì)1、若A可逆,則有|A1|=|A|1[證]∵AA1=E|A||A1|=1

|A1|=|A|1∵A1A=E(A1)1=A∵|A1|=|A|10

A1可逆3、若A可逆,數(shù)

0,則

A可逆,且(A)1=[證]由推論得4、若A、B為同階方陣,且均可逆,則AB亦可逆,且(AB)1=B1A1[證]由推論得:∵|A|=

n|A|0

A可逆=E∵|AB|=|A||B|0

AB可逆∵(AB)(B1A1)=A(BB1)A1=AEA1=AA1=E(AB)1=B1A1[證]由推論得另外,定義:當(dāng)|A|0時(shí),

A0=E,A

k=(A1)k、k為正整數(shù)5、若A可逆,則A

也可逆,且(A)1=(A1)∵|A

|=|A|0

A

可逆∵A

(A1)=(A1A)

=E

=E(A)1=(A1)有:A

A

=A

+

,(A

)

=A

、

,

為整數(shù)例1求方陣得逆陣、解:=20

A可逆大家學(xué)習(xí)辛苦了,還就是要堅(jiān)持繼續(xù)保持安靜A13=7,A21=2,A22=2,A23=

2,A31=1,A32=2,A33=1例2求X:解:方程兩端左乘矩陣,得得解:方程兩端右乘矩陣?yán)?設(shè)方陣A滿足A2

A2E=0,證明:A,A+2E都可逆,并求它們得逆陣、[證]A2

A2E=0

A(A

E)=2E|A|0

A可逆A2

A2E=0(A+2E)(A3E)+4E=0|A+2E|0

A+2E可逆利用逆陣可用于解線性方程組:AX=B若A

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