北航《數(shù)值分析》習(xí)題

北航《數(shù)值分析》習(xí)題習(xí)題一

1.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，試指出它們有幾位有效數(shù)字以及它們的絕對誤差限、相對誤差限。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

1.（1）5，，；

（2）2，，；

（3）4，，；

（4）5，，；

（5）1，，；

（6）2，，；

（7）6，，

2.為使下列各數(shù)的近似值的相對誤差限不超過，問各近似值分別應(yīng)取幾位有效數(shù)字？

2.；

；

3.設(shè)均為第1題所給數(shù)據(jù)，估計(jì)下列各近似數(shù)的誤差限。

（1）；

（2）；

（3）

3.（1）；

（2）；（3）

4.計(jì)算，取，利用下列等價(jià)表達(dá)式計(jì)算，哪一個(gè)的結(jié)果最好？為什么？

（1）；

（2）；

（3）

（4）

4.第（3）個(gè)結(jié)果最好。

5.序列滿足遞推關(guān)系式

若（三位有效數(shù)字），計(jì)算時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？

5.不穩(wěn)定。從計(jì)算到時(shí)，誤差約為

6.求方程的兩個(gè)根，使其至少具有四位有效數(shù)字（要求利用。

6.，

7.某生產(chǎn)部門生產(chǎn)的一件產(chǎn)品需用七個(gè)零件，而這七個(gè)零件的質(zhì)量取決于零件參數(shù)的標(biāo)定值，它們的參數(shù)允許有一定的誤差：

參數(shù)取值容許范圍

參數(shù)取值容許范圍x1[0.075，0.125]x5[1.125，1.875]x2[0.225，0.375]x6[12，20]x3[0.075，0.125]x7[0.5625，0.935]`4[0.075，0.125]

若每一零件的標(biāo)定值取做區(qū)間中點(diǎn)，在生產(chǎn)過程中每一零件的參數(shù)都有可能產(chǎn)生誤差。由此將零件分成不同的等級：A，B，C三等，等級由標(biāo)定值的相對誤差限表示，A等為

1%，B等為5%，C等為10%。試確定三個(gè)等級的零件分別滿足的區(qū)間。

8.將一個(gè)八位二進(jìn)制數(shù)(10111101)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)時(shí)，可以用公式：

（1）用多項(xiàng)式求值的秦九韶方法求C的值；

（2）寫出將任意一個(gè)八位二進(jìn)制數(shù)(b1b2b3b4b5b6b7b8)2轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的算法。

9.利用等式變換使下列表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果比較精確。

（1）；

（2）

（3）；

（4）

9.（1）；

（2）；

（3）；

（4）

10.設(shè)，求證：

（1）

（2）利用（1）中的公式正向遞推計(jì)算時(shí)誤差增大；反向遞推時(shí)誤差函數(shù)減小。習(xí)題二

1.判斷下列方程有幾個(gè)實(shí)根，并求出其隔根區(qū)間。

（1）；

（2）

（3）；

（4）1.（1），，；

（2）；

（3），，；

（4）為根。

2.方程在區(qū)間（3，4）中有一實(shí)根，若用二分法求此根，使其誤差不超過，問應(yīng)將區(qū)間對分幾次？并請用二分法求此根。

2.6

3.下列方程各有一實(shí)根，判別能否直接將其寫成迭代格式而后求解？如不能，將方程變形，給出一個(gè)收斂的迭代格式。

（1）；

（2）3.（1）能；

（2）不能，

4.求方程的隔根區(qū)間，對方程的下列四種等價(jià)變形，判斷各迭代格式的收斂性，選一種收斂最快的迭代格式，求出具有四位有效數(shù)字的近似根。

（1）

（2）

（3）

（4）4.（1.4,1.5）；

（1）收斂；

（2）收斂；

（3）發(fā)散；

（4）發(fā)散；

1.465573

5.考察方程有幾個(gè)根，選擇合適的迭代格式求這些根，允許誤差5.－1.989761；0.3758122

6.設(shè)，應(yīng)用牛頓迭代法分別求與之根，從而導(dǎo)出求的兩種迭代格式，并求，取。

7.用牛頓法求下列方程之根，。

（1）；

（2）

8.用割線法求第7題中各方程之根，。

9.試?yán)L出下列算法的描述

（1）簡化牛頓迭代法；

（2）雙點(diǎn)割線法

10.用牛頓法求出的方程根的迭代結(jié)果見表2-6，試估計(jì)所求根的重?cái)?shù)。

表2-6kXkxk－xk－100.75

10.7527010.0027020.7547950.0020830.7563680.0015740.7575520.0011850.75844410.000889；；

11.用牛頓法解下列方程組，要求精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位。

（1）

在附近求解；

（2）

在內(nèi)求解

（1）0.7390851

12.對第11題中的兩個(gè)方程組，分別通過消元化為含一個(gè)未知量的方程求根問題，然后用牛頓法求解，要求精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位。

13.天文學(xué)家用開普勒方程

是常數(shù)）來確定行星在其軌道上的位置，求解這一方程的方法可以用簡單迭代法，即任取一個(gè)整，利用下面的迭代公式

，（k=0,1,2,）計(jì)算出數(shù)列

設(shè)對于給定的數(shù)數(shù)，a，開普勒方程的根為，試證明

（1）；

（2）

14.梯子問題。在一幢樓房后面是一個(gè)大花園，花園中緊靠樓房有一個(gè)溫室，溫室伸入花園2米，高2米。溫室正上方是樓房的窗臺，清潔工打掃窗臺周圍時(shí)用一架梯子越過溫室，梯子一頭靠在樓房的墻上，另一頭放在花園地上。為了使梯子不要壓靠溫室，需要選定梯子在花園地面上的放置點(diǎn)

（1）試寫出反映梯子長度L與放置點(diǎn)到溫室的距離u的函數(shù)的表達(dá)式L（u）；

（2）設(shè)梯子長度為6米，試推導(dǎo)梯子放置點(diǎn)到溫室的距離u滿足的方程（一元四次方程）。

習(xí)題三

1.設(shè)系數(shù)矩陣A的元素，經(jīng)過高斯順序消去法一步以A化為

階方陣）證明：

（1）若A為對稱矩陣，則A2也對稱；

（2）若A嚴(yán)格對角占優(yōu)，則A2也嚴(yán)格對角占優(yōu)；

（3）若A為對稱的嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則列主元素法就是高斯順序消去法。

2.用列主元素法解下列方程組(1)；

(2)；

(3)

對(1)

(2)兩題觀察每步消元結(jié)果的系數(shù)矩陣有何特點(diǎn)，右下方矩陣是否對稱，列主元在何處，消元過程是否符合上題結(jié)論。

2.（1）；

（2）；

（3）

3.用追趕法解下列方程組

（1）

（2）

3.（1）(1.2,1.4,1.6,0.8)T；

（2）(－1.5,2,1,1)T

4.求第2題及第3題中系數(shù)矩陣A的LU分解，并用此分解法解對應(yīng)的線性方程組。

4.對第2題中的系數(shù)矩陣

（1）；（2）

對第3題中的系數(shù)矩陣

（1）

（2）

5.求下列矩陣的逆矩陣

（1）

（2）

6.分別用平方根和改進(jìn)平方根法求解方程組

7.給定，求及。

7.

8，，5；6，，8

8.證明滿足范數(shù)定義。

9.證明

10.給定方程組Ax=b，其中

其準(zhǔn)確解為

（1）對近似解分別計(jì)算殘差與及誤差向量；

（2）求A的條件數(shù)cond；

（3）說明x1比x2精度高但殘差反而大的原因。

習(xí)題四

1.對下列方程組考察用雅可比迭代法與高斯—塞德爾迭代法是否收斂？若收斂，寫出其迭代格式；若下收斂，能否將方程變形，使之用雅可比迭代法或高斯—塞德爾迭代法時(shí)收斂？

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（1）（2）（3）（4）雅可比迭代法收斂發(fā)散收斂發(fā)散高斯一賽德爾法收斂發(fā)散收斂發(fā)散

2.試分析用雅可比迭代法和塞德爾迭代法連續(xù)迭代5次求線性方程組的解（取初值）

2.

雅可比迭代法：

塞德爾迭代法：

3.用雅可比迭代法解下列方程組。

（1）

（2）取，并判別此迭代是否收斂？

3（1）范數(shù)，故雅可比迭代法收斂

（2）范數(shù)，由可判定雅可比法收斂。

4.用塞德爾迭代法解方程組。

取，并判別此迭代是否收斂？

4.方程組系數(shù)矩陣對角占優(yōu)，因此塞德爾迭代法收斂

與3題（1）迭代結(jié)果相比較，這里收斂速度快。

5.若用Jacobi迭代法求解方程組

討論實(shí)數(shù)a與收斂性的關(guān)系。

6.設(shè)有方程組

（1）分別寫出Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法及SOR法的計(jì)算公式及迭代矩陣。

（2）對任意初值，各迭代是否收斂？說明理由。

7.分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程組

取，問迭代是否收斂？若收斂，需要迭代多少次，才能保證務(wù)分量誤差絕對值小于？

8.寫出第1題中方程組（1）的SOR迭代格式。

9.解方程組的迭代法收斂的充分必要條件為迭代矩陣B的所有特征根的模均小于1。利用這一結(jié)論證明：當(dāng)方程組

中的主元a11，a22均不為零時(shí)，用雅可比迭代公式

產(chǎn)生的向量序列收斂的充分必要條件為。

10.設(shè)中a11，a22均不為零，試寫出解該方程組的賽德爾迭代法的迭代公式以及迭代矩陣MS。

11.證明對稱矩陣

當(dāng)時(shí)為正定矩陣，且只有當(dāng)時(shí)，用Jacobi迭代法求解方程組Ax=b才收斂。

12.設(shè)有方程組

討論用Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法的收斂性。適當(dāng)交換方程的次序，結(jié)果怎樣？

13.試解釋為什么G-S迭代陣U至少有一個(gè)特征根為零。習(xí)題五

1.已知，求的二次值多項(xiàng)式。

1.

2.令求的一次插值多項(xiàng)式，并估計(jì)插值誤差。

2.；，介于x和0，1決定的區(qū)間內(nèi)；

，當(dāng)時(shí)。

3.給出函數(shù)的數(shù)表，分別用線性插值與二次插值求的近似值，并估計(jì)截?cái)嗾`差。0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.717363.

0.54667，0.000470；0.54714，0.000029

4.據(jù)資料記載，某地某年間隔30天的日出日落時(shí)間如下

5月1日5月31日6月30日日出5:515:175:10日落19:0419:3819:50

試計(jì)算出表中三天的日照時(shí)間長（以分鐘計(jì)），構(gòu)造拉格朗日二次插值函數(shù)并求極值點(diǎn)。推算從5月1日到6月30日這些天中，哪一天的日照最長。

5.豬肉產(chǎn)量與價(jià)格的關(guān)系是很直接的。據(jù)統(tǒng)計(jì)某城市1993年豬肉產(chǎn)量為28萬噸，1995年豬肉產(chǎn)量為27.28萬噸，1997年豬肉產(chǎn)量為27.021萬噸。這三年中豬肉價(jià)格依次為6.80元/公斤、7.09元/公斤、7.19元/公斤。市政府調(diào)整政策后，1999年豬肉產(chǎn)量有希望達(dá)到27.5萬噸。試推測1999年豬肉價(jià)格為多少？

6.學(xué)習(xí)曲線問題。某紡織廠招收一批青年女工學(xué)習(xí)1511型織布機(jī)的操作。觀察她們的學(xué)習(xí)過程發(fā)現(xiàn)。當(dāng)累計(jì)織完25匹布以后，平均每人每織一匹布需要用16小時(shí)；當(dāng)累計(jì)織完64匹布以后，平均每人每織一匹布需要用10小時(shí)；而一個(gè)熟練的紡織女工織一匹布僅需要8小時(shí)。設(shè)一個(gè)人累計(jì)織完x匹布以后的時(shí)刻，每織一匹布需要用的時(shí)間為y，根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，學(xué)習(xí)曲線為如下形式的函數(shù)

試根據(jù)觀察記錄的數(shù)據(jù)確定上式中的常數(shù)和。并根據(jù)學(xué)習(xí)曲線估計(jì)；一個(gè)新手需織完多少匹布以后，才能成為一名技術(shù)熟練的紡織女工。

7.設(shè)，試?yán)美窭嗜沼囗?xiàng)定理寫出以為節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式。

7.

8.試證明對于次數(shù)的多項(xiàng)式，其次拉格朗日插值多項(xiàng)式就是它自身。

9.試證明線性插值的余項(xiàng)估計(jì)式。

10.設(shè)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。求證

11.已知，求及的值。

11.

1，0

12.根據(jù)如下函數(shù)值表求四次牛頓插值多項(xiàng)式，并用其計(jì)算和的近似值。x1.6151.6341.7021.8281.921f(x)2.414502.464592.652713.030353.34066顯示答案，

13.試證明差商的性質(zhì)1。

14.已知函數(shù)的如下函數(shù)值表，解答下列問題

（1）試列出相應(yīng)的差分表；

（2）分別寫出牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式。x0.00.10.20.30.40.5f(x)1.001.321.682.082.523.00向前插值公式

向后插值公式

15.給定數(shù)據(jù)表：y0.1250.2500.3750.5000.6250.750f(x)0.796180.773340.743710.704130.656320.60228用三次牛頓插值公式計(jì)算（0.1581）及

16.用上題數(shù)據(jù)計(jì)算

（1）取用二次牛頓前插公式

（2）取用二次牛頓后插公式

比較二者計(jì)算結(jié)果是否相同？為什么？

17.下表為概率積分的數(shù)據(jù)表，試問：

（1）時(shí)，積分

（2）為何值時(shí)，積分？X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.5116683（1）；

（2）

18.利用在各點(diǎn)的數(shù)據(jù)（取五位有效數(shù)字），求方程在0.3和0.4之間的根的近似值。

0.3376489

19.依據(jù)表10中數(shù)據(jù)，求三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。

表10

表11x01

x012y01

y0－23y￠－39

y￠01

20.依據(jù)數(shù)表11中數(shù)據(jù)，利用基函數(shù)方法，構(gòu)造四次埃爾米特插值多項(xiàng)式。

21.在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，用分段線性插值求的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過，問函數(shù)表的步長h應(yīng)怎樣選?。?/p>

22.將區(qū)間分成n等分，求在上的分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，并估計(jì)截?cái)嗾`差。

23.已知的下列函數(shù)表。求其三次樣條插值函數(shù)，并用求和的近似值。

表4-13x－1013

x013y－11331

y000y￠4

28

習(xí)題六

1.曾任英特爾公司董事長的摩爾先生早在1965年時(shí)，就觀察到一件很有趣的現(xiàn)象：集成電路上可容納的零件數(shù)量，每隔一年半左右就會(huì)增長一倍，性能也提升一倍。因而發(fā)表論文，提出了大大有名的摩爾（Moore’sLaw）定律，并預(yù)測未來這種增長仍會(huì)延續(xù)下去。下面數(shù)據(jù)中，第二行數(shù)據(jù)為晶片上晶體數(shù)目在不同年代與1959年時(shí)數(shù)目比較的倍數(shù)。這些數(shù)據(jù)是推出摩爾定律的依據(jù)：年代19591962196319641965增加倍數(shù)13456試從表中數(shù)據(jù)出發(fā)，推導(dǎo)線性擬合的函數(shù)表達(dá)式。

2.給出數(shù)據(jù)如下表所示，試用最小二乘法求一次和二次擬合多項(xiàng)式。x－1.00－0.75－0.50－0.2500.250.500.751.00y－0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836，

3.用最小二乘法求下列不相容方程組的近似解。

（1）

（2）（1）；

（2），其中c為任意常數(shù)

4.用最小二乘法求一個(gè)形如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下表中的數(shù)據(jù)相擬合，并計(jì)算均方誤差。x1925313844Y19.032.349.073.397.8

5.給定數(shù)據(jù)如下表，用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式。x2.22.73.54.14.8y6560535046

6.在某次實(shí)驗(yàn)中，需要觀察水份的滲透速度，測得時(shí)間t與水的重量W的數(shù)據(jù)見下表。設(shè)已知t與W之間的關(guān)系為，試用最小二乘法確定參數(shù)a、s。t(秒)1248163264W(克)4.224.023.854.593.443.022.59，

7.試構(gòu)造點(diǎn)集上的離散正交多項(xiàng)式系。并利用所求的離散正交多項(xiàng)式系，對第二題中的數(shù)據(jù)求二次擬合多項(xiàng)式。

，，

8.利用勒證德多項(xiàng)式求下列函數(shù)的最小二次曲線擬合

（1）在區(qū)間[2，6]上

（2）

9.求使為最小。

10.現(xiàn)測量長度和米、米，為了提高測量的可靠性，又測量到米。試合理地決定長度和的值。

，。習(xí)題七

1.證明：如果求積公式（6-3）對函數(shù)f(x)和g(x)準(zhǔn)確成立，則它對于為常數(shù)）亦準(zhǔn)確成立（由此即可證明定理1）。

2.驗(yàn)證中矩形公式（6-2）具有一次代數(shù)精度，辛甫生公式（6-9）具有三次代數(shù)精度。

3.確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式具有的代數(shù)精度。

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

；

（1），

，代數(shù)精度為3；

（2），

，代數(shù)精度為3；

（3），或，，代數(shù)精度2；

（4），代數(shù)精度為3。

4.用辛甫生公式求積分的值，并估計(jì)誤差。

，

5.已給函數(shù)f(x)的數(shù)據(jù)（6-12），試分別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛甫生公式和柯特斯公式計(jì)算積分的值。表6-12x1.82.02.22.42.6f(x)3.120144.425696.042418.0301410.46675

6.分別用復(fù)化梯形法和復(fù)化辛甫生法計(jì)算下列積分：

（1），8等分積分區(qū)間；

（2），4等分積分區(qū)間；

（3），8等分積分區(qū)間；

（4），6等分積分區(qū)間。

（1），

；

（2）

；

（3），

；

（4），

7.用復(fù)化梯形公式求積分，問將積分區(qū)間[a,b]分成多少等分，才能保證誤差不超過e（不計(jì)舍入誤差）？

，

8.導(dǎo)出下列三種矩形公式的項(xiàng)

（1）

；

（2）

；

（3）

提示：利用泰勒公式。

（1）；（2）；（3）

9.用龍貝格公式計(jì)算下列積分，要求相鄰兩次龍貝格值的差不超過。

（1）

；

（2）

；

（1），

10.根據(jù)等式

以及當(dāng)n=3,6,12時(shí)的三個(gè)值，利用外推算法求的近似值。

3.141580072

11.分別用下列方法計(jì)算積分，并比較結(jié)果精度（積分準(zhǔn)確值。

（1）

復(fù)化梯形法，n=16；

（2）

復(fù)化辛甫生法，n=8；

（3）

龍貝格算法，求至R2；

（4）

三點(diǎn)高斯—勒讓德公式；

（5）

五點(diǎn)高斯—勒讓德公式。

（1）1.099768；

（2）1.09862；

（3）1.098612；

（4）1.098039；

（5）1.09860

12.試問至少用幾點(diǎn)的高斯—勒讓德公式可以求出下面積分的準(zhǔn)確值（不計(jì)舍入誤差）？

選擇一個(gè)這樣的公式求出積分值，并與理論準(zhǔn)確值比較。

四點(diǎn)高斯一勒讓德公式

13.試證明高斯公式（6-33）的求積系數(shù)為

其中為以為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值函數(shù)

14.證明任何次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P(x)可以表示成勒讓德多項(xiàng)式的線性組合，即。

15.試導(dǎo)出復(fù)化中矩形公式（即復(fù)化一點(diǎn)高斯—勒讓德公式）

式中h=(b-a)/n，并利用它求下面積分值（取n=8）。

16.試確定下面求積分式的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高。

，，

17.試確定x1,x2,A1,A2,使求積公式（1）（2）（3）為Gauss型求積公式。

18.判別下列求積公式中，哪個(gè)是Gauss型求積公式。

（1）

（2）

（3）

19.用三點(diǎn)及五點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式計(jì)算積分

20.利用Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算積分

其中