復(fù)變函數(shù)14套題目和答案

PAGEPAGE1復(fù)變函數(shù)14套題目和答案《復(fù)變函數(shù)論》試題庫(kù)《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）一、判斷題（20分）：1.若f(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)f(z)在z0解析.()2.有界整函數(shù)必在整個(gè)復(fù)平面為常數(shù).()3.若收斂，則與都收斂.()4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且，則（常數(shù)）.()5.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù).()6.若z0是的m階零點(diǎn)，則z0是1/的m階極點(diǎn).()7.若存在且有限，則z0是函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn).()8.若函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，則.()9.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線C.()10.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒等于常數(shù)，則f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（）二.填空題（20分）1.__________.（為自然數(shù)）2._________.3.函數(shù)的周期為___________.4.設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有__________.5.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為__________.6.若函數(shù)f(z)在整個(gè)平面上處處解析，則稱它是__________.7.若，則______________.8.________，其中n為自然數(shù).9.的孤立奇點(diǎn)為________.10.若是的極點(diǎn)，則.三.計(jì)算題（40分）：1.設(shè)，求在內(nèi)的羅朗展式.2.3.設(shè)，其中，試求4.求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.四.證明題.(20分)1.函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析.證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2.試證:在割去線段的平面內(nèi)能分出兩個(gè)單值解析分支,并求出支割線上岸取正值的那支在的值.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）1、判斷題.（20分）1.若函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)，則u(x,y)與v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù).()2.cosz與sinz在復(fù)平面內(nèi)有界.()3.若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0連續(xù).()4.有界整函數(shù)必為常數(shù).()5.如z0是函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)，則一定不存在.()6.若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析.()7.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線C.()8.若數(shù)列收斂，則與都收斂.()9.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析.()10.存在一個(gè)在零點(diǎn)解析的函數(shù)f(z)使且.()二.填空題.(20分)1.設(shè)，則2.設(shè)，則________.3._________.（為自然數(shù)）4.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為__________.5.若z0是f(z)的m階零點(diǎn)且m0，則z0是的_____零點(diǎn).6.函數(shù)ez的周期為__________.7.方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.8.設(shè)，則的孤立奇點(diǎn)有_________.9.函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為________.10..三.計(jì)算題.(40分)1.求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.2.在復(fù)平面上取上半虛軸作割線.試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)在正實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)處的值.3.計(jì)算積分：，積分路徑為（1）單位圓（）的右半圓.4.求.四.證明題.(20分)1.設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是在D內(nèi)解析.2.試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）一.判斷題.(20分).1.cosz與sinz的周期均為.()2.若f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件,則f(z)在z0解析.()3.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則f(z)在z0連續(xù).()4.若數(shù)列收斂，則與都收斂.()5.若函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).()6.若函數(shù)f(z)在z0解析，則f(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo).()7.如果函數(shù)f(z)在上解析,且,則.（）8.若函數(shù)f(z)在z0處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù).()9.若z0是的m階零點(diǎn),則z0是1/的m階極點(diǎn).()10.若是的可去奇點(diǎn)，則.()二.填空題.(20分)1.設(shè)，則f(z)的定義域?yàn)開__________.2.函數(shù)ez的周期為_________.3.若，則__________.4.___________.5._________.（為自然數(shù)）6.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為__________.7.設(shè)，則f(z)的孤立奇點(diǎn)有__________.8.設(shè)，則.9.若是的極點(diǎn)，則.10..三.計(jì)算題.(40分)1.將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).2.試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.3.算下列積分：，其中是.4.求在|z|1內(nèi)根的個(gè)數(shù).四.證明題.(20分)1.函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析.證明：如果在內(nèi)為常數(shù)，那么它在內(nèi)為常數(shù).2.設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n，以及兩個(gè)正數(shù)R及M，使得當(dāng)時(shí)，證明是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù)。《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）一.判斷題.(20分)1.若f(z)在z0解析，則f(z)在z0處滿足柯西-黎曼條件.（）2.若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則f(z)在z0解析.（）3.函數(shù)與在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)有界.（）4.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線C都有.（）5.若存在且有限，則z0是函數(shù)的可去奇點(diǎn).（）6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且，則f(z)在D內(nèi)恒為常數(shù).（）7.如果z0是f(z)的本性奇點(diǎn)，則一定不存在.（）8.若，則為的n階零點(diǎn).（）9.若與在內(nèi)解析，且在內(nèi)一小弧段上相等，則.（）10.若在內(nèi)解析，則.（）二.填空題.(20分)1.設(shè)，則.2.若，則______________.3.函數(shù)ez的周期為__________.4.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為__________5.若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，則稱它是___________.6.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_____________.7.設(shè)，則.8.的孤立奇點(diǎn)為________.9.若是的極點(diǎn)，則.10._____________.三.計(jì)算題.(40分)1.解方程.2.設(shè)，求3..4.函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？各屬何類型（若是極點(diǎn)，指明它的階數(shù)）.四.證明題.(20分)一.證明：若函數(shù)在上半平面解析，則函數(shù)在下半平面解析.2.證明方程在內(nèi)僅有3個(gè)根.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）二.判斷題.（20分）1.若函數(shù)f(z)是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則它在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）2.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù).（）3.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|也在D內(nèi)解析.（）4.若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析.（）5.若函數(shù)f(z)在z0處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在z0解析.（）6.若存在且有限，則z0是f(z)的可去奇點(diǎn).（）7.若函數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)解析.（）8.設(shè)函數(shù)在復(fù)平面上解析，若它有界，則必為常數(shù).（）9.若是的一級(jí)極點(diǎn)，則.（）10.若與在內(nèi)解析，且在內(nèi)一小弧段上相等，則.（）二.填空題.（20分）1.設(shè)，則.2.當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù).3.設(shè)，則.4.的周期為___.5.設(shè)，則.6..7.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，則稱它是D內(nèi)的_____________。8.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為_________.9.的孤立奇點(diǎn)為________.10.設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周，則.（為自然數(shù)）三.計(jì)算題.(40分)1.求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.2.計(jì)算積分：，在這里L(fēng)表示連接原點(diǎn)到的直線段.3.求積分：，其中0a1.4.應(yīng)用儒歇定理求方程，在|z|1內(nèi)根的個(gè)數(shù)，在這里在上解析，并且.四.證明題.(20分)1.證明函數(shù)除去在外，處處不可微.2.設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n，以及兩個(gè)數(shù)R及M，使得當(dāng)時(shí)，證明:是一個(gè)至多n次的多項(xiàng)式或一常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）二、判斷題（30分）：1.若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（）2.若函數(shù)在處滿足Caychy-Riemann條件，則在解析.（）3.若函數(shù)在解析，則在處滿足Caychy-Riemann條件.（）4.若函數(shù)在是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（）5.若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對(duì)內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線都有.（）6.若在區(qū)域內(nèi)解析，則對(duì)內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線都有.（）7.若，則函數(shù)在是內(nèi)的單葉函數(shù).（）8.若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).（）9.如果函數(shù)在上解析，且,則.（）10..（）三、填空題（20分）1.若，則___________.2.設(shè)，則的定義域?yàn)開___________________________.3.函數(shù)的周期為_______________________.4._______________________.5.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________.6.若是的階零點(diǎn)且，則是的____________零點(diǎn).7.若函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是______________.8.函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為__________.9.方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.10.公式稱為_____________________.四、計(jì)算題（30分）1、.2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.6、求的值.五、證明題（20分）2、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.3、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).4、若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（七）一、判斷題（24分）2.若函數(shù)在解析，則在的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo).（）3.若函數(shù)在處解析，則在滿足Cauchy-Riemann條件.（）4.如果是的可去奇點(diǎn)，則一定存在且等于零.（）5.若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的單葉函數(shù)，則.（）6.若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）7.若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（）8.若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).（）二、填空題（20分）1.若，則___________.2.設(shè)，則的定義域?yàn)開___________________________.3.函數(shù)的周期為______________.4._______________.5.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________.6.若是的階零點(diǎn)且，則是的____________零點(diǎn).7.若函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，則稱它是______________.8.函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為__________.9.方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.10._________________.三、計(jì)算題（30分）1、求.2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.6、利用留數(shù)定理計(jì)算積分：，.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).3、若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).五、計(jì)算題（10分）求一個(gè)單葉函數(shù)，去將平面上的上半單位圓盤保形映射為平面的單位圓盤《復(fù)變函數(shù)》考試試題（八）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在解析，則在連續(xù).（）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（）3、如果是的本性奇點(diǎn)，則一定不存在.（）4、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)解析，并且，則是區(qū)域的單葉函數(shù).（）5、若函數(shù)是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）6、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）7、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且，則在內(nèi)恒為常數(shù).（）9.存在一個(gè)在零點(diǎn)解析的函數(shù)使且.（）10.如果函數(shù)在上解析，且，則.（）11.是一個(gè)有界函數(shù).（）二、填空題（20分）1、若，則___________.2、設(shè)，則的定義域?yàn)開___________________________.3、函數(shù)的周期為______________.4、若，則_______________.5、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________.6、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為______________________________.7、若是單位圓周，是自然數(shù)，則______________.8、函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為__________.9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.10、若，則的孤立奇點(diǎn)有_________________.三、計(jì)算題（30分）1、求2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則二元函數(shù)與都在內(nèi)連續(xù).4、若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).六、計(jì)算題（10分）求一個(gè)單葉函數(shù)，去將平面上的區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（九）一、判斷題（20分）1、若函數(shù)在可導(dǎo)，則在解析.（）2、若函數(shù)在滿足Cauchy-Riemann條件，則在處解析.（）3、如果是的極點(diǎn)，則一定存在且等于無(wú)窮大.（）4、若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對(duì)內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線都有.（）5、若函數(shù)在處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可以展開為冪級(jí)數(shù).（）6、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的解析，且在內(nèi)某一條曲線上恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒為常數(shù).（）7、若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).（）8、如果函數(shù)在上解析，且，則.（）9、.（）10、如果函數(shù)在內(nèi)解析，則（）二、填空題（20分）1、若，則___________.2、設(shè)，則的定義域?yàn)開___________________________.3、函數(shù)的周期為______________.4、_______________.5、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________.6、若是的階零點(diǎn)且，則是的____________零點(diǎn).7、若函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面除去有限個(gè)極點(diǎn)外，處處解析，則稱它是______________.8、函數(shù)的不解析點(diǎn)之集為__________.9、方程在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.10、_________________.三、計(jì)算題（30分）1、2、設(shè)，其中，試求.3、設(shè)，求.4、求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展式.5、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.6、利用留數(shù)定理計(jì)算積分.四、證明題（20分）1、方程在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.2、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，等于常數(shù)，則在恒等于常數(shù).7、若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).五、計(jì)算題（10分）求一個(gè)單葉函數(shù)，去將平面上的帶開區(qū)域保形映射為平面的單位圓盤.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十）一、判斷題（40分）：1、若函數(shù)在解析，則在的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo).（）2、如果是的本性奇點(diǎn)，則一定不存在.（）3、若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則與都在內(nèi)連續(xù).（）4、與在復(fù)平面內(nèi)有界.（）5、若是的階零點(diǎn)，則是的階極點(diǎn).（）6、若在處滿足柯西-黎曼條件，則在解析.（）7、若存在且有限，則是函數(shù)的可去奇點(diǎn).（）8、若在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則對(duì)內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線都有.（）9、若函數(shù)是單連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它在內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù).（）10、若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域內(nèi)恒等于常數(shù).（）二、填空題（20分）：1、函數(shù)的周期為_________________.2、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為_________________.3、設(shè)，則的定義域?yàn)開________________.4、的收斂半徑為_________________.5、=_________________.三、計(jì)算題（40分）：1、2、求3、4、設(shè)求，使得為解析函數(shù)，且滿足。其中（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.5、求，在內(nèi)根的個(gè)數(shù)《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十一）一、判斷題.（正確者在括號(hào)內(nèi)打√，錯(cuò)誤者在括號(hào)內(nèi)打×，每題2分）1．當(dāng)復(fù)數(shù)時(shí)，其模為零，輻角也為零.（）2．若是多項(xiàng)式的根，則也是的根.（）3．如果函數(shù)為整函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)，使得，則為一常數(shù).（）4．設(shè)函數(shù)與在區(qū)域內(nèi)解析，且在內(nèi)的一小段弧上相等，則對(duì)任意的，有.（）5．若是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，則.（）二、填空題.（每題2分）1．_____________________.2．設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，________________.3．函數(shù)將平面上的曲線變成平面上的曲線______________.4．方程的不同的根為________________.5．___________________.6．級(jí)數(shù)的收斂半徑為____________________.7．在（為正整數(shù)）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_____________________.8．函數(shù)的零點(diǎn)的階數(shù)為_____________________.9．設(shè)為函數(shù)的一階極點(diǎn)，且，則_____________________.10．設(shè)為函數(shù)的階極點(diǎn)，則_____________________.三、計(jì)算題（50分）1．設(shè)。求，使得為解析函數(shù)，且滿足.其中（為復(fù)平面內(nèi)的區(qū)域）.（15分）2．求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定其類型（對(duì)于極點(diǎn)要指出它們的階）.（10分）（1）；（5分）（2）.（5分）3．計(jì)算下列積分.（15分）（1）（8分），（2）（7分）.4．?dāng)⑹鋈逍ɡ聿⒂懻摲匠淘趦?nèi)根的個(gè)數(shù).（10分）四、證明題（20分）1．設(shè)是上半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，證明是下半復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù).（10分）2．設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，令。證明：在區(qū)間上是一個(gè)上升函數(shù)，且若存在及（），使，則常數(shù).（10分）《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十二）二、判斷題。（正確者在括號(hào)內(nèi)打√，錯(cuò)誤者在括號(hào)內(nèi)打×，每題2分）1．設(shè)復(fù)數(shù)及，若或，則稱與是相等的復(fù)數(shù)。（）2．函數(shù)在復(fù)平面上處處可微。（）3．且。（）4．設(shè)函數(shù)是有界區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域上連續(xù)，則存在，使得對(duì)任意的，有。（）5．若函數(shù)是非常的整函數(shù)，則必是有界函數(shù)。（）二、填空題。（每題2分）1．_____________________。2．設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，________________。3．若已知，則其關(guān)于變量的表達(dá)式為__________。4．以________________為支點(diǎn)。5．若，則_______________。6．________________。7．級(jí)數(shù)的收斂半徑為________________。8．在（為正整數(shù)）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_______________。9．若為函數(shù)的一個(gè)本質(zhì)奇點(diǎn)，且在點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)不為零，則是的________________奇點(diǎn)。10．設(shè)為函數(shù)的階極點(diǎn)，則_____________________。三、計(jì)算題（50分）1．設(shè)區(qū)域是沿正實(shí)軸割開的平面，求函數(shù)在內(nèi)滿足條件的單值連續(xù)解析分支在處之值。（10分）2．求下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定其類型（對(duì)于極點(diǎn)要指出它們的階），并求它們留數(shù)。（15分）（1）的各解析分支在各有怎樣的孤立奇點(diǎn)，并求這些點(diǎn)的留數(shù)（10分）（2）求。（5分）3．計(jì)算下列積分。（15分）（1）（8分），（2）（7分）。4．?dāng)⑹鋈逍ɡ聿⒂懻摲匠淘趦?nèi)根的個(gè)數(shù)。（10分）四、證明題（20分）1．討論函數(shù)在復(fù)平面上的解析性。（10分）2．證明：。此處是圍繞原點(diǎn)的一條簡(jiǎn)單曲線。（10分）《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十三）一、填空題．（每題２分）１．設(shè)，則_____________________．２．設(shè)函數(shù)，，，則的充要條件是_______________________．３．設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡(jiǎn)單閉曲線的積分_________________________．４．設(shè)為的極點(diǎn)，則____________________．５．設(shè)，則是的________階零點(diǎn)．６．設(shè)，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_________________．７．設(shè)，其中為正常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡曲線是_________________．８．設(shè)，則的三角表示為_________________________．９．___________________________．１０．設(shè)，則在處的留數(shù)為________________________．二、計(jì)算題．１．計(jì)算下列各題．（９分）(1)；(2);(3)2．求解方程．（７分）３．設(shè)，驗(yàn)證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之．（８分）４．計(jì)算積分．（10分）(1)，其中是沿由原點(diǎn)到點(diǎn)的曲線．(2)，積分路徑為自原點(diǎn)沿虛線軸到，再由沿水平方向向右到．５．試將函數(shù)分別在圓環(huán)域和內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)．（８分）６．計(jì)算下列積分．（８分）(1)；(2)．７．計(jì)算積分．（８分）８．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．（６分）(1)；(2)．９．討論的可導(dǎo)性和解析性．（６分）三、證明題．１．設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，為常數(shù)，證明必為常數(shù)．（５分）２．試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)．（５分《復(fù)變函數(shù)》考試試題（十四）一、填空題．（每題２分）１．設(shè)，則___________________．２．設(shè)函數(shù)，，，則的充要條件______________________．３．設(shè)函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則在內(nèi)沿任意一條簡(jiǎn)單閉曲線的積分_________________________．４．設(shè)為的可去奇點(diǎn)，____________________．５．設(shè)，則是的________階零點(diǎn)．６．設(shè)，則在的鄰域內(nèi)的泰勒展式為_________________．７．設(shè)，其中為正常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡曲線是_________________．８．設(shè)，則的三角表示為_________________________．９．___________________________．１０．設(shè)，則在處的留數(shù)為________________________．二、計(jì)算題．１．計(jì)算下列各題．（９分）(1)；(2);(3)2．求解方程．（７分）３．設(shè)，驗(yàn)證是調(diào)和函數(shù)，并求解析函數(shù)，使之．（８分）４．計(jì)算積分，其中路徑為（１）自原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段；(2)自原點(diǎn)沿虛軸到，再由沿水平方向向右到．（10分）５．試將函數(shù)在的鄰域內(nèi)的泰勒展開式．（８分）６．計(jì)算下列積分．（８分）(1)；(2)．７．計(jì)算積分．（６分）８．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．（６分）(1)；(2)．９．設(shè)為復(fù)平面上的解析函數(shù)，試確定，，的值．（６分）三、證明題．１．設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，在區(qū)域內(nèi)也解析，證明必為常數(shù)．（５分）２．試證明的軌跡是一直線，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)．（５分）試卷一至十四參考答案《復(fù)變函數(shù)》考試試題（一）參考答案8、判斷題1．×2．√３．√４．√５．√6．√７．×８．×９．×10．×二．填空題1.；2.1；3.，；4.；5.16.整函數(shù)；7.；8.；9.0；10..三．計(jì)算題.1.解因?yàn)樗?2.解因?yàn)?.所以.3.解令,則它在平面解析,由柯西公式有在內(nèi),.所以.4.解令,則.故,.四.證明題.1.證明設(shè)在內(nèi).令.兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),得因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析,所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?消去得,.1)若,則為常數(shù).2)若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明的支點(diǎn)為.于是割去線段的平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周,故能分出兩個(gè)單值解析分支.由于當(dāng)從支割線上岸一點(diǎn)出發(fā),連續(xù)變動(dòng)到時(shí),只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由已知所取分支在支割線上岸取正值,于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在的幅角為,故.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（二）參考答案一.判斷題.1．√２．×３．√４．√５．×6．×７．×８．√９．×10．×.二.填空題1.1，，；2.；3.；4.1；5..6.，.7.0；8.；9.；10.0.三.計(jì)算題1.解.2.解令.則.又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，所以.所以.3.單位圓的右半圓周為,.所以.4.解=0.四.證明題.1.證明(必要性)令,則.(為實(shí)常數(shù)).令.則.即滿足,且連續(xù),故在內(nèi)解析.(充分性)令,則,因?yàn)榕c在內(nèi)解析,所以,且.比較等式兩邊得.從而在內(nèi)均為常數(shù),故在內(nèi)為常數(shù).2.即要證“任一次方程有且只有個(gè)根”.證明令,取,當(dāng)在上時(shí),有..由儒歇定理知在圓內(nèi),方程與有相同個(gè)數(shù)的根.而在內(nèi)有一個(gè)重根.因此次方程在內(nèi)有個(gè)根.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（三）參考答案一.判斷題1．×２．×３．√４．√５．√6．√７．√８．√９．√10．√.二.填空題.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10..三.計(jì)算題.1.解.2.解.所以收斂半徑為.3.解令,則.故原式.4.解令,.則在上均解析,且,故由儒歇定理有.即在內(nèi),方程只有一個(gè)根.四.證明題.1.證明證明設(shè)在內(nèi).令.兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù),得因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)解析,所以.代入(2)則上述方程組變?yōu)?消去得,.1),則為常數(shù).5.若,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(為常數(shù)).所以為常數(shù).2.證明取,則對(duì)一切正整數(shù)時(shí),.于是由的任意性知對(duì)一切均有.故,即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（四）參考答案一.判斷題.1．√２．×３．×４．×５．×6．√７．×８．×９．√10．√.二.填空題.1.,;2.;3.;4.;5.整函數(shù);6.亞純函數(shù);7.0;8.;9.;10..三.計(jì)算題.1.2.解,.故原式.3.解原式.4.解=，令，得，而為可去奇點(diǎn)當(dāng)時(shí)，而為一階極點(diǎn).四.證明題.1.證明設(shè),在下半平面內(nèi)任取一點(diǎn),是下半平面內(nèi)異于的點(diǎn),考慮.而,在上半平面內(nèi),已知在上半平面解析,因此,從而在下半平面內(nèi)解析.2.證明令,,則與在全平面解析,且在上,,故在內(nèi).在上,,故在內(nèi).所以在內(nèi)僅有三個(gè)零點(diǎn),即原方程在內(nèi)僅有三個(gè)根.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（五）參考答案一.判斷題.1．√２．√３．×４．√５．×6．×７．×８．√９．√10．√.二.填空題.1.2,,;2.;3.,;4.;5.0;6.0;7.亞純函數(shù);8.;9.0;10..三.計(jì)算題.1.解令,則.故,.2.解連接原點(diǎn)及的直線段的參數(shù)方程為,故.3.令,則.當(dāng)時(shí),故,且在圓內(nèi)只以為一級(jí)極點(diǎn),在上無(wú)奇點(diǎn),故,由殘數(shù)定理有.4.解令則在內(nèi)解析,且在上,,所以在內(nèi),,即原方程在內(nèi)只有一個(gè)根.四.證明題.1.證明因?yàn)?故.這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在平面上處處連續(xù),但只在處滿足條件,故只在除了外處處不可微.2.證明取,則對(duì)一切正整數(shù)時(shí),.于是由的任意性知對(duì)一切均有.故,即是一個(gè)至多次多項(xiàng)式或常數(shù).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（六）參考答案一、判斷題：1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×二、填空題：1.2.3.4.15.16.階7.整函數(shù)8.9.010.歐拉公式三、計(jì)算題：1.解：因?yàn)楣?2.解：因此故.3.解：4.解：5．解：設(shè),則.6．解：四、1.證明：設(shè)則在上，即有.根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.2.證明：設(shè)，則,由于在內(nèi)解析，因此有,.于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).《復(fù)變函數(shù)》考試試題（七）參考答案一、判斷題：1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×二、填空題：1.2.3.4.15.16.階7.整函數(shù)8.9.010.三、計(jì)算題：1.解：2.解：因此故.3.解：因此4.解：由于，從而.因此在內(nèi)有5．解：設(shè),則.6.解：設(shè)，則，，故奇點(diǎn)為.四、證明題：1.證明：設(shè)則在上，即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7.2.證明：設(shè)，則已知在區(qū)域內(nèi)解析，從而有將此代入上上述兩式得因此有于是有.即有故在區(qū)域恒為常數(shù).3.證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).五、計(jì)算題解：根據(jù)線性變換的保對(duì)稱點(diǎn)性知關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)應(yīng)該變到關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)，故可設(shè)《復(fù)變函數(shù)》考試試題（八）參考答案一、判斷題：1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.×二、填空題：1.2.3.4.5.16.7.8.9.510.三、計(jì)算題：1.解：由于在解析，所以而因此.2.解：因此故.3.解：因此4.解：由于，從而因此在內(nèi)有5．解：設(shè),則.6．解：設(shè),則在內(nèi)只有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn)因此.四、證明：1.證明：設(shè)則在上，即有.根據(jù)儒歇定理知在內(nèi)與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為72.證明：因?yàn)?，在?nèi)連續(xù),所以,當(dāng)時(shí)有從而有即與在連續(xù)，由的任意性知與都在內(nèi)連續(xù)3.證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的階極點(diǎn).五、解：1.設(shè)，則將區(qū)域保形映射為區(qū)域2.設(shè),則將上半平面保形變換為單位圓.因此所求的單葉函數(shù)為.《復(fù)變函數(shù)》考試試題（九）參考答案一、判斷題（20分）1、×2、×3、√4、√5、√6、√7、√8、√9、×10、√二、填空題（20分）1、2、3、4、15、16、7、整函數(shù)8、9、810、三、計(jì)算題（30）1、解：2、解：因此故.3、解：4、解：由于，從而.因此在內(nèi)有5、解：設(shè),則.6、解：設(shè)則在內(nèi)有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)，因此，根據(jù)留數(shù)定理有四、證明題（20分）1、證明：設(shè)則在上，即有.根據(jù)儒歇定理，與在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn)，而的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，故在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.2、證明：設(shè)，則,由于在內(nèi)解析，因此有,.于是故，即在內(nèi)恒為常數(shù).3、證明：由于是的階零點(diǎn)，從而可設(shè)，其中在的某鄰域內(nèi)解析且，于是由可知存在的某鄰域，在內(nèi)恒有，因此在內(nèi)解析，故為的