浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

鎮(zhèn)海中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為A.4 B.2 C.1 D.2.已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為()A. B. C.1 D.23.與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是()A B. C. D.4.等差數(shù)列中，已知，，，則n為()A.58 B.59 C.60 D.615.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.6.設(shè)，是雙曲線E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線E與以O(shè)為圓心為半徑的圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，則該雙曲線的離心率為()A. B. C.13 D.7.已知數(shù)列滿足：對(duì)于任意的m，，都有恒成立，且，則的值為()A. B. C. D.8.已知橢圓，兩條直線：；：，過橢圓上一點(diǎn)P作，的平行線，分別交，于M，N，若為定值，則()A.9 B.4 C.3 D.2二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列的公差，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和最大，則()A. B. C. D.10.如圖，已知直線與曲線相切于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，函數(shù)，下列說法正確的有()A.有極大值，也有極小值B.是的極小值點(diǎn)C.是的極大值點(diǎn)D.是的極大值點(diǎn)11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線過焦點(diǎn)分別交拋物線于點(diǎn)、、、，其中位于軸同側(cè)，且經(jīng)過點(diǎn)，記，的斜率分別為，，則下列正確的有()A. B.過定點(diǎn) C. D.的最小值為12.已知數(shù)列滿足，，，；則()A.或5 B. C. D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則________.14.已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，過左焦點(diǎn)交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，若則等于________.15.把自然數(shù)按如下規(guī)律排列：0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，……，則第2022個(gè)數(shù)是________.16.對(duì)于首項(xiàng)和公比均為q的等比數(shù)列滿足：對(duì)于任意正整數(shù)n都有成立，求正實(shí)數(shù)q的取值范圍為________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列，通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前12項(xiàng)的和.18.已知函數(shù).(1)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線垂直x軸于Q，為等腰直角三角形.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且F恰為的重心，求直線l的方程.20已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)于任意的，，且，都有成立，求a的取值范圍.21.已知曲線C:上一點(diǎn),過作曲線C的切線交x軸于點(diǎn),垂直于x軸且交曲線于﹔再過作曲線C的切線交x軸于….,依次過作曲線C的切線x軸于﹐垂直于x軸,得到一系列的點(diǎn),其中.(1)求的坐標(biāo)和數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)的面積為,為數(shù)列的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)M,使得對(duì)于一切恒成立,若存在求出M的最小值,不存在說明理由.22.已知直線是雙曲線的漸近線，且雙曲線過點(diǎn)，(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若雙曲線與直線交于，(，)兩點(diǎn)，直線又與圓切于點(diǎn)M，且，求直線的方程.鎮(zhèn)海中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程中的幾何意義進(jìn)行求解即可．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)拋物線方程及對(duì)的幾何意義的理解，屬于基礎(chǔ)題．2.已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為()A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)?所以,故選:A.3.與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)所求雙曲線方程為且，雙曲線的漸近線方程為，所以，即聯(lián)立，解得.所以雙曲線方程為.故選：B.4.等差數(shù)列中，已知，，，則n為()A.58 B.59 C.60 D.61【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列和與求出公差，寫出，再利用，即可求出答案.【詳解】由是等差數(shù)列，，得

則即，故選：C.5.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)B，再代入特殊值排除選項(xiàng)A，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性可排除C,即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)B；，排除選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，排除C.故選：D.6.設(shè)，是雙曲線E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線E與以O(shè)為圓心為半徑的圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，則該雙曲線的離心率為()A. B. C.13 D.【答案】D【解析】【分析】因?yàn)?，結(jié)合雙曲線定義得，由，得，繼而得解．【詳解】∵，又由雙曲線定義可知，所以，∵P在以為直徑的圓上，則，由，得，故，所以.故選：D．7.已知數(shù)列滿足：對(duì)于任意的m，，都有恒成立，且，則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，【詳解】由題意得，即，則，為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故，故選：A8.已知橢圓，兩條直線：；：，過橢圓上一點(diǎn)P作，的平行線，分別交，于M，N，若為定值，則()A.9 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合為定值可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，由已知可得，則，所以，為定值，則，可得.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列的公差，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和最大，則()A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由為唯一最大值可知，，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得的范圍，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，結(jié)合范圍可確定各選項(xiàng)的正誤.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，解得：，；；；；ABD正確；，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；C錯(cuò)誤.故選：ABD.10.如圖，已知直線與曲線相切于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，函數(shù)，下列說法正確的有()A.有極大值，也有極小值B.是的極小值點(diǎn)C.是的極大值點(diǎn)D.是的極大值點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，在對(duì)應(yīng)區(qū)間上判斷與的大小關(guān)系，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷極大值與極小值，進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可得出結(jié)論.【詳解】=，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，在處取得極大值，處取得極小值.故ABD正確，C錯(cuò)誤，故選：ABD.11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線過焦點(diǎn)分別交拋物線于點(diǎn)、、、，其中位于軸同側(cè)，且經(jīng)過點(diǎn)，記，的斜率分別為，，則下列正確的有()A. B.過定點(diǎn) C. D.的最小值為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)直線與拋物線的關(guān)系，利用韋達(dá)定理求解.【詳解】設(shè)的直線方程為，聯(lián)立整理得，由韋達(dá)定理得故A正確；設(shè)的直線方程為，聯(lián)立整理得，由韋達(dá)定理得設(shè)的直線方程為，聯(lián)立整理得，由韋達(dá)定理得由A選項(xiàng)的結(jié)論得，同A選項(xiàng)推理過程可知，所以，所以解得，即的直線方程為，所以過定點(diǎn)，故B正確；由以上得，所以，又因?yàn)椋訡錯(cuò)誤；由以上知，設(shè)的直線方程為，聯(lián)立整理得，由韋達(dá)定理得所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)有最小值為，此時(shí)垂直于軸,與AD斜率存在矛盾，所以D錯(cuò)誤.故選:AB.12.已知數(shù)列滿足，，，；則()A.或5 B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】首先賦特殊值，利用，求,判斷A；當(dāng)時(shí)，遞推公式變形為，與條件等式結(jié)合變形為，，得數(shù)列是常數(shù)列，變形得，，構(gòu)造得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及下標(biāo)為奇數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，判斷BC；利用并項(xiàng)求和法求，判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，得或，?dāng)時(shí)，，令，，求得，同理，令時(shí)，，所以舍去，故A錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，兩式相除得，即，，所以數(shù)列是常數(shù)列，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，即(為奇數(shù))當(dāng)時(shí)，，，，，即(為偶數(shù))，故B錯(cuò)誤，C正確；利用并項(xiàng)求和法，得，故D正確.故選：CD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，代入即得解.【詳解】由題意，，故.故答案為：

14.已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，過左焦點(diǎn)交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，若則等于________.【答案】8【解析】【分析】利用雙曲線定義即可求得的長度.【詳解】雙曲線實(shí)軸長過左焦點(diǎn)交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，則，又,則故答案為：815.把自然數(shù)按如下規(guī)律排列：0，1，1，2，2，2，3，3，3，3，……，則第2022個(gè)數(shù)是________.【答案】63【解析】【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解，【詳解】設(shè)最后一個(gè)出現(xiàn)在第個(gè)位置，則，則，，第2022個(gè)數(shù)是63，故答案為：6316.對(duì)于首項(xiàng)和公比均為q的等比數(shù)列滿足：對(duì)于任意正整數(shù)n都有成立，求正實(shí)數(shù)q的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】由，得對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，構(gòu)造函數(shù)，借助的單調(diào)性求的最大值即可，【詳解】等比數(shù)列首項(xiàng)和公比均為q,所以，對(duì)于任意正整數(shù)n都有，則對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，所以，即，即對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.，而，所以，所以故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，關(guān)鍵點(diǎn)是兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，即對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，繼而轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，構(gòu)造函數(shù)，借助的單調(diào)性求的最大值即可，四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前12項(xiàng)的和.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系去求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程求得等比數(shù)列的公比q，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)利用分組求和法去求數(shù)列的前12項(xiàng)和即可解決.【小問1詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即數(shù)列為等差數(shù)列.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由，可得，則，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【小問2詳解】由(1)可得，則的前12項(xiàng)的和.18.已知函數(shù).(1)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)對(duì)全分離,將在上恒成立,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值即可.(2)由在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,求導(dǎo)后全分離轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值即可.【小問1詳解】解:由題知在上恒成立,即,,只需即可,即,記,,,,,在單調(diào)遞減,;【小問2詳解】由題知,在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,即恒成立,,只需恒成立,即,記,,,,在單調(diào)遞增,,只需即可,綜上:.19.已知拋物線C：焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線垂直x軸于Q，為等腰直角三角形.(1)求拋物線C方程；(2)若直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且F恰為的重心，求直線l的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由題可得，進(jìn)而即得；(2)設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合條件即得.【小問1詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線垂直x軸于Q，為等腰直角三角形，所以，即，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】由題可設(shè)直線，由，可得，則，即，設(shè)，，又，，F(xiàn)恰為的重心，∴，即，所以，解得，滿足，所以直線l的方程為，即.20.已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)于任意的，，且，都有成立，求a的取值范圍.【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2).【解析】【分析】(1)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，對(duì)分類討論，分析的符號(hào)，即可得出函數(shù)單調(diào)性；(2)對(duì)已知式子變形，轉(zhuǎn)化為恒成立，即函數(shù)單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【小問1詳解】,當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，，解得，當(dāng)，當(dāng)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】對(duì)于任意的，，且，都有成立，可得，即恒成立，令，則恒成立，所以在上恒成立，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以.21.已知曲線C:上一點(diǎn),過作曲線C的切線交x軸于點(diǎn),垂直于x軸且交曲線于﹔再過作曲線C的切線交x軸于….,依次過作曲線C的切線x軸于﹐垂直于x軸,得到一系列的點(diǎn),其中.(1)求的坐標(biāo)和數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)的面積為,為數(shù)列的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)M,使得對(duì)于一切恒成立,若存在求出M的最小值,不存在說明理由.【答案】(1),;(2)存在,【解析】【分析】(1)根據(jù)過切線方程確定坐標(biāo),找到規(guī)律,設(shè),根據(jù)題意找出坐標(biāo),進(jìn)而找到之間的關(guān)系,根據(jù)遞推關(guān)系式得到數(shù)列的性質(zhì),進(jìn)而得到通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論得到的坐標(biāo),根據(jù)三角形面積公式得到,利用乘公比錯(cuò)位相減得到的通項(xiàng)公式,由于對(duì)于一切恒成立,轉(zhuǎn)化為即可.【小問1詳解】解:由題知,,,