2024年中考數(shù)學(xué)考前沖刺復(fù)習(xí)專題06三角形全等、相似及綜合應(yīng)用模型(含答案)

專題06三角形全等、相似及綜合應(yīng)用模型題型解讀三角形的相關(guān)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問(wèn)題的基礎(chǔ)，所以是中考考試的必考知識(shí)點(diǎn)．在考察題型上，三角形基礎(chǔ)知識(shí)部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關(guān)系、內(nèi)角和/外角和定理、“三線”基本性質(zhì)等．特殊三角形的性質(zhì)與判定也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的，且等腰三角形單獨(dú)出題的可能性還是比較大．直角三角形的出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問(wèn)題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸．模型01與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADC

∠BAD=∠DAC=∠BACAD=DBAE=ECDE=BCDE∥BC模型02與三角形有關(guān)的角的應(yīng)用（1）三角形的內(nèi)角：（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．模型03三角形全等的判定及應(yīng)用（1）全等三角形的定義：全等的圖形必須滿足：（1）形狀相同；（2）大小相等能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形．全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”．注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上．（2）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等．（3）全等三角形的判定：（1）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）（2）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）（3）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）（4）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）．模型04三角形相似的判定及綜合應(yīng)用（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．模型05三角形折疊問(wèn)題探究三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=（∠1+∠2）2∠C=∠2-∠1或∠C=（∠2-∠1）模型06三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題探究（手拉手、半角模型）該模型重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力．（1）手拉手模型：將兩個(gè)三角形（或多邊形）繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等．其中：公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”．手拉模型解題思路：SAS型全等（核心在于導(dǎo)角，即等角加（減）公共角）．（2）半角模型：1.半角模型概念：過(guò)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半．2.模型特征：等線段，共端點(diǎn)，含半角3.思想方法：通過(guò)旋轉(zhuǎn)（或截長(zhǎng)補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形，實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化．4.解題思路：一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論．模型構(gòu)建模型01與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)與三角形有關(guān)的線段應(yīng)用該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以基礎(chǔ)或中檔題為主．解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是了解三角形的高線、角平分線、中線、中位線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論進(jìn)行解題．答｜題｜技｜巧第一步：根據(jù)題意，判定所考察的知識(shí)點(diǎn)第二步：結(jié)合三角形的高線、角平分線、中線、中位線的性質(zhì)進(jìn)行解題；第三步：進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題例1．（2022·安徽）1．如圖，和是的中線，則以下結(jié)論：①；②是的重心；③與面積相等；④過(guò)的直線平分線段；⑤；⑥，其中正確的結(jié)論有（

）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥例2．（2023?遼寧）2．如圖，在中，，AD，BE分別為BC.AC邊上的高，AD.BE相交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②；③；④若，則．正確的結(jié)論序號(hào)是（

）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④模型02與三角形有關(guān)的角的應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)與三角形有關(guān)的角的應(yīng)用該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高．主要考查了三角形的內(nèi)角和是定理，三角形的外角定理及結(jié)合三角形角平分線的定義，三角形高的定義等看，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行角度的計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵．答｜題｜技｜巧第一步：直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；第二步：依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；第三步：在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角；第四步：若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．例1．（20023·浙江）3．如圖，已知為的平分線．若，比大，求的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（2023·吉林）4．如圖，在中，平分，點(diǎn)E在射線上，于F，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．模型03三角形全等的判定及應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)三角形全等的判定及應(yīng)用該題型近年考試中綜合性較高，在各類考試中以解答題為主．解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確迅速的在全等三角形的5種判定方法中，選用合適的方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．答｜題｜技｜巧第一步：認(rèn)真分析題目的已知和求證；第二步：分清問(wèn)題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；第三步：在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；第四步：最后把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．例1．（2023?上海）5．如圖，點(diǎn)P是AB上任一點(diǎn)，∠ABC=∠ABD,從下列各條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出ΔAPC≌ΔAPD.的是(

)A．BC=BD. B．∠ACB=∠ADB. C．∠CAB=∠DAB D．AC=AD.例2．（2023?安徽）6．如圖，點(diǎn)D.E分別在、上，與相交于點(diǎn)O，連接，如果，，那么圖中的全等三角形共有對(duì)．

模型04三角形相似的判定及綜合應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)三角形相似的判定及綜合應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在與圓結(jié)合或者利用相似求長(zhǎng)度、類比探究題型，具有一定的綜合性和難度．解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用三角形的判定方法，兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似；兩組邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等，兩個(gè)三角形相似；三組邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理以及數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．答｜題｜技｜巧第一步：認(rèn)真分析題目的已知和求證；第二步：分清問(wèn)題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系；第三步：在應(yīng)用三角形相似的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；第四步：最后把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．例1．（2023·山西）7．如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽）8．圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長(zhǎng)．模型05三角形折疊問(wèn)題探究考｜向｜預(yù)｜測(cè)與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算該題型近年主要以填空及綜合性大題的形式出現(xiàn)，一般屬于多解型問(wèn)題，難度系數(shù)較大．三角形的折疊問(wèn)題注意折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，在多解題型中，準(zhǔn)確畫出折疊后的圖形是我們解題的關(guān)鍵．結(jié)合三角形相關(guān)的性質(zhì)及判定定理與推論和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題．答｜題｜技｜巧第一步：運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；第二步：在圖形中找到一個(gè)直角三角形（選不以折痕為邊的直角三角形），然后設(shè)圖形中某一線段的長(zhǎng)為x，將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來(lái)；第三步：利用勾股定理列方程求出x；第四步：進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題．例1．（2023?山東）9．對(duì)于題目：“如圖，點(diǎn)分別是長(zhǎng)方形的邊和上的點(diǎn)，沿折疊長(zhǎng)方形，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若與兩個(gè)角之差的絕對(duì)值為，確定的所有度數(shù)．”甲的結(jié)論是，乙的結(jié)論是．下列判斷正確的是（

）A．甲的結(jié)論正確 B．乙的結(jié)論正確C．甲、乙的結(jié)論合在一起才正確 D．甲、乙的結(jié)論合在一起也不正確例2．（2023?湖北）10．如圖，中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將沿著AD翻折，得到，AE交BC于點(diǎn)F．若，點(diǎn)D到AB的距離等于(

)A．DF B．DB C．DC D．CF模型06三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題探究（手拉手、半角模型）考｜向｜預(yù)｜測(cè)三角形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題探究（手拉手、半角模型）該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，本專題重點(diǎn)分析旋轉(zhuǎn)中的兩類全等模型（手拉手、半角、對(duì)角互補(bǔ)模型），結(jié)合各類模型展示旋轉(zhuǎn)中的變與不變，并結(jié)合經(jīng)典例題和專項(xiàng)訓(xùn)練深度分析基本圖形和歸納主要步驟，同時(shí)規(guī)范了解題步驟，提高數(shù)學(xué)的綜合解題能力．答｜題｜技｜巧第一步：找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中心；第二步：確定以旋轉(zhuǎn)中心為頂點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角所在的兩個(gè)三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；第三步：學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題；第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答例1．11．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D.E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）

A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④例2．（2023·湖南）12．如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的中點(diǎn)，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關(guān)系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長(zhǎng)；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△BDE，當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出EC的長(zhǎng)．強(qiáng)化訓(xùn)練（2022?廣東）13．如圖，△ABC中CD平分∠ACB，點(diǎn)M在線段CD上，且MN⊥CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．若∠B=30°，∠CAN=96°，則∠N的度數(shù)為（

）A．22° B．27° C．30° D．37°（2023?貴州）14．如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點(diǎn)N，將紙片沿著BN對(duì)折一次使得點(diǎn)A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對(duì)折一次，使得點(diǎn)C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．87° B．84° C．75° D．72°（2023?陜西）15．如圖，在中，，以為邊，作，滿足，E為上一點(diǎn)，連接，，連接，下列結(jié)論中正確的有（）①；②；③；④．A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④（2023?四川）16．如圖，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段AN的長(zhǎng)為A．6 B．5 C．4 D．3（2023?重慶）17．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF，將ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ABG，若BE＝2，則EF的長(zhǎng)為．（2023·山東）18．如圖，中，點(diǎn)在上，，若，，則線段的長(zhǎng)為．（2023·上海）19．如圖，在等邊中，點(diǎn)P在內(nèi)，點(diǎn)Q在外，B，P，Q三點(diǎn)在一條直線上，且，，問(wèn)是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．（2022·安徽）20．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．

（2023?西安）21．如圖，在中，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，連接，沿將折疊得到．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P落在上時(shí)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．（2023?江蘇）22．已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A.B均不與點(diǎn)O重合．(1)【探究】如圖1，AI平分，BI平分．①若，則______°．②在點(diǎn)A.B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求出的度數(shù)；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)【拓展】如圖2，AI平分交OB于點(diǎn)I，BC平分，BC的反向延長(zhǎng)線交AI的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．在點(diǎn)A.B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，直接寫出的度數(shù)；若變化，直接寫出的度數(shù)的變化范圍．通關(guān)試練23．如圖，是的中線，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．824．如圖，在中，是中線，是角平分線，是高，下列結(jié)論不一定成立的是（

）

A． B． C． D．25．如圖，在中，是高，平分，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．（2023?大同）26．如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，連接，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．（2023·江蘇）27．如圖，在中，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，則（）A． B． C． D．（2023·廣東）28．如圖，在等邊三角形中，E為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線交于點(diǎn)F，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作垂足為G，如，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．29．如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于O，將沿（E在上，F(xiàn)在上）折疊，點(diǎn)C與O點(diǎn)恰好重合，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．30．如圖，等邊的邊長(zhǎng)為6，D是的中點(diǎn)，E是邊上的一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．（2023·四川）31．如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在同側(cè)分別作正三角形和正三角形，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④連接，則．恒成立的結(jié)論有（

）A．①②③ B．①② C．②③④ D．①②③④32．添加輔助線是很多同學(xué)感覺(jué)比較困難的事情．如圖1，在中，，BD是高，E是外一點(diǎn)，，若，，求的面積．同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在BD上截取，（如圖2）．同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得的面積為．33．如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接AE，，連接．下列結(jié)論中正確的是．（填序號(hào)）①；②；③若，則；④．（2023?長(zhǎng)沙模擬）34．如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC.BD交于點(diǎn)O，AB＝AC，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求證：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度數(shù)．（2023·浙江）35．如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，，且，與交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)當(dāng)時(shí)，求證：平分．（2023·上海）36．如圖，在中，，，點(diǎn)D為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為腰作等腰直角，使，連接．(1)請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若，，求線段的長(zhǎng)；(3)如圖2，在（2）的條件下，將沿線段翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，連接，求線段的長(zhǎng)．37．【問(wèn)題背景】在四邊形中，，，，、分別是上的點(diǎn)，且，試探究圖1中線段之間的數(shù)量關(guān)系．

(1)【初步探索】小光同學(xué)認(rèn)為：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明，再證明，則可得到之間的數(shù)量關(guān)系是．(2)【探索延伸】在四邊形中如圖2，，，分別是上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由．

(3)【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的處，艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以80海里小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙艦艇分別到達(dá)處，且兩艦艇之間的夾角為，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．

參考答案1．B【分析】根據(jù)三角形中線的定義與性質(zhì)及重心的定義可判定①，②，③，④，而根據(jù)已知條件無(wú)法判定⑤⑥，據(jù)此可求解．【詳解】解：∵和是的中線，∴，分別為，的中點(diǎn)，∴，，故①正確；∵和是的中線，∴點(diǎn)是的重心，故②正確；∵，∴，故③正確；∵點(diǎn)是的重心，∴過(guò)的直線平分線段，故④正確；根據(jù)已知條件無(wú)法判定，，故⑤，⑥錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的重心，三角形的中線的性質(zhì)，熟練掌握三角形重心的定義是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)垂直定義可得，再利用，得到，從而可證明，進(jìn)而得到，即可判斷①；根據(jù)，，即可判斷②，根據(jù)三角形面積公式和它們有一條公共邊可得，即可判斷③，若，根據(jù)可以得到，從而可得是的中點(diǎn)，然后可以推出是的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)即可判斷④．【詳解】解：，，，，，，，，，，，，，故①正確；，，，故②不正確；，，故③正確；，，，為的中點(diǎn)，，為線段的垂直平分線，，故④正確，所以，正確結(jié)論的序號(hào)是：①③④，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】本題考查了角平分線的定義及三角形的外角的性質(zhì)，熟練應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先由平分，可得，由比大，可得，再根據(jù)三角形外角即可求解．【詳解】解：平分，且，，比大，，，．故選：．4．B【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)垂直的定義得出，進(jìn)而根據(jù)互余關(guān)系即可求解．【詳解】∵,∴∵平分,,∴∵,∴,∴，故選:B.【點(diǎn)撥】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)題意，∠ABC=∠ABD，AB是公共邊，結(jié)合選項(xiàng)，逐個(gè)驗(yàn)證得出正確結(jié)果．【詳解】解：A.補(bǔ)充BC=BD，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.補(bǔ)充∠ACB=∠ADB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.補(bǔ)充∠CAB=∠DAB，先證出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.補(bǔ)充AC=AD，不能推出△APC≌△APD，故此選項(xiàng)正確.故選D.【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等判定，三角形全等的判定定理：有AAS，SSS，ASA，SAS．注意SSA是不能證明三角形全等的，做題時(shí)要逐個(gè)驗(yàn)證，排除錯(cuò)誤的選項(xiàng)．6．4【分析】先根據(jù)“”證明，則，，所以，再根據(jù)“”證明，繼而利用“”證明和，從而可判斷圖中的全等三角形共有4對(duì)．【詳解】解：在和中，，，，，，，，在和中，，，∴，，∵，∴，∵，∴，綜上所述，圖中的全等三角形共有4對(duì)．故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項(xiàng)不正確，符合題目要求．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．8．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由，可證△CGH∽△CAB，由性質(zhì)得出，由，可證△BGH∽△BDC，由性質(zhì)得出，將兩個(gè)式子相加，即可求出GH的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，一元一次方程的幾何應(yīng)用等知識(shí)，由折疊的性質(zhì)可知：，分①當(dāng)與兩個(gè)角之差為時(shí)，②當(dāng)與兩個(gè)角之差為時(shí)，兩種情況討論求出即可得解，掌握折疊的性質(zhì)和建立方程求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知：，①當(dāng)與兩個(gè)角之差為，即時(shí)，，∵，∴，解得：，②當(dāng)與兩個(gè)角之差為，即時(shí)，，∵，∴，解得：綜上所述：或．故選：D．10．A【分析】由折疊的性質(zhì)可得：∠BAD=∠EAD，結(jié)合點(diǎn)到直線到直線的距離，利用角平分線的性質(zhì)可求解．【詳解】解：由折疊可知：∠BAD=∠EAD，∵DF⊥AE，∴點(diǎn)D到AB的距離等于DF，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，翻折問(wèn)題，點(diǎn)到直線的距離，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．C【分析】利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∵△ADC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確無(wú)法判斷BE＝CD，故①錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．12．(1)EC＝AD，EC⊥AD(2)等腰三角形，(3)【分析】（1）延長(zhǎng)CE交AD于F，交AB于O，證明△ABD≌△CBE（SAS），得∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，再由∠AOF＝∠BOC，可得∠AFC＝∠ABC＝90°，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)DE與AB的交點(diǎn)為H，可得AB是DE的垂直平分線，利用勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，由（1）知CE＝AD，從而得出答案；（3）分當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí)，分別畫圖，利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）EC與AD垂直且相等，理由如下：延長(zhǎng)CE交AD于F，交AB于O，∵△BDE和△ABC都是等腰直角三角形，∴BD＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD，CE＝AD，∵∠AOF＝∠BOC，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE，∴故答案為：EC＝AD，EC⊥AD；（2）設(shè)DE與AB的交點(diǎn)為H，∵DE∥BC，∴∠AHE＝∠ABC＝90°，∵BD＝BE，∴AB是DE的垂直平分線，∴AD＝AE，由（1）知AD＝CE，∴AE＝CE，∴△ACE是等腰三角形，∵BE＝，∴BH＝HE＝1，∴AH＝AB﹣BH＝4﹣1＝3，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AE＝，∴CE＝AE＝；（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥DE于G，∵∠AEC＝90°，CE⊥AD，∴A.E.D三點(diǎn)共線，∴AG＝，∴AD＝AG+DG＝，∴CE＝AD＝+1；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí)，同理可得CE＝CG﹣GE＝﹣1．綜上：CE＝+1或﹣1．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)前面探索的結(jié)論解決新的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．13．B【分析】由∠CAN是△ABC的外角可得∠ACB，由CD平分∠ACB可得∠BCD；再由∠CDN是△BCD的外角求得∠CDN；△DMN中再由三角形內(nèi)角和定理即可解答；【詳解】解：∵∠CAN是△ABC的外角，∴∠CAN=∠B+∠ACB，∵∠B=30°，∠CAN=96°，∴∠ACB=96°-30°=66°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACB=33°，∵∠CDN是△BCD的外角，∴∠CDN=∠B+∠BCD=63°，∵△DMN中，∠DMN=90°，∠MDN=63°，∴∠N=180°-∠DMN-∠MDN=27°，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．14．A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得,進(jìn)而可得原三角形的∠C的度數(shù)．【詳解】由折疊的性質(zhì)可知，則,,∠CMB＝68°，∠A＝18°,即解得故選A【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，二元一次方程組的應(yīng)用，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．D【分析】因?yàn)?，且，故延長(zhǎng)至G，使，從而得到，進(jìn)一步證明，且，接著證明，則，，所以①是正確的，也可以通過(guò)線段的等量代換運(yùn)算推導(dǎo)出④是正確的，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以判斷③是正確的，當(dāng)時(shí)，可以推導(dǎo)出，否則不垂直于，故②是錯(cuò)誤的．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至G，使，設(shè)與交于點(diǎn)M，∵，∴，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，，故①是正確的；∵，∴，故③正確；∴平分，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則無(wú)法說(shuō)明，故②是不正確的；∵，∴，∵，∴，故④是正確的，綜上所述：其中正確的有①③④．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．16．B【分析】設(shè)，由翻折的性質(zhì)可知，則，在中利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，由翻折的性質(zhì)可知，則．是BC的中點(diǎn)，．在中，由勾股定理得：，即，解得：．．故選B．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，由翻折的性質(zhì)得到，，從而列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．17．5【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，由“”可證，可得，由勾股定理可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，四邊形為正方形，．又，．．．在和中，，，，，，，，，故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握利用勾股定理求線段的長(zhǎng)．18．【分析】延長(zhǎng)到，使，連接，可得等腰和等腰，，再證明，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)到，使，連接，∴∵，，∴，∴，∴，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰和②構(gòu)造等腰是解題關(guān)鍵．19．為等邊三角形．證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再證，從而得出是等邊三角形．本題中求證是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：為等邊三角形．證明：∵為等邊三角形，∴，，在與中，∵∴，∴，，∴，∴是等邊三角形．20．證明見解析．【分析】根據(jù)AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根據(jù)∠C=∠C，即可證明結(jié)論．【詳解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．21．(1)；(2)．【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)得到相等的線段和角．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)證明，結(jié)合，得，從而計(jì)算；（2）根據(jù)折疊和垂直得到，利用三角形內(nèi)角和求出，從而求出．【詳解】（1）由折疊得，∵，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，由折疊得，∴，在中，∴，在中，∴．22．(1)①25；②不變，，理由見解析；(2)不變，．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABO，再由角平分線的定義可得∠ABI，根據(jù)角平分線的定義求得∠ABI+∠BAI=（∠ABO+∠BAO）=45°可得∠AIB；（2）由三角形外角的性質(zhì)可得∠ABM=∠AOB+∠BAO，∠D=∠ABC-∠BAD，根據(jù)角平分線的定義求得∠ABC，∠BAD即可求得∠D；【詳解】（1）解：①△ABO中，∠AOB=90°，∠BAO=40°，∴∠ABO=180°-90°-40°=50°，∵BI平分∠ABO，∴∠ABI=∠ABO=25°；②△ABO中，∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=180°-90°=90°，∵AI平分，BI平分，∴∠ABI+∠BAI=（∠ABO+∠BAO）=45°，∴△ABI中，∠AIB=180°-（∠ABI+∠BAI）=135°，∴在點(diǎn)A.B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小不變，∠AIB=135°；（2）解：∵∠ABM為△ABO的外角，∠AOB=90°，∴∠ABM=∠AOB+∠BAO=90°+∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠ABC=∠ABM=（90°+∠BAO）=45°+∠BAO，∠ABC是△ABD的外角，∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+∠BAO-∠BAD，AD平分∠BAO，則∠BAD=∠BAO，∴∠D=45°，∴在點(diǎn)A.B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的大小不變，∠ADB=45°；【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角，角平分線的定義等知識(shí)；掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．C【分析】先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)中線的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵是的中線，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了線段的和差和中線的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．24．D【分析】根據(jù)三角形中線即為三角形的頂點(diǎn)與其對(duì)邊中點(diǎn)的線段、角平分線即為三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與對(duì)邊相交的線段、三角形的高即為過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線段，據(jù)此進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵是中線，∴，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵是角平分線，∴，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；∵是高，∴，故選項(xiàng)C正確，不符合題意；根據(jù)題意不一定得出，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線、角平分線、高線等定義，熟記相關(guān)定義是解本題的關(guān)鍵．25．A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線和高的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：是高，，∴，，∴，平分，，∴，∴，故選：A．26．D【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．熟練掌握三角形內(nèi)角和等于180度是解題的關(guān)鍵．先在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，再在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即可求解．【詳解】解：∵，，又∵，∴，∵，∴，∵，∴．故選：D．27．C【分析】本題考查了含度角的直角三角形，直角三角形兩銳角互余，等腰三角形的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，然后利用含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故選：．28．C【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，過(guò)E作，先證明是等邊三角形，再證，即可得到答案；【詳解】解：過(guò)E作，∵是等邊三角形，，，∴，，∵，∴，，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．29．D【分析】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，翻折變換是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．連接，根據(jù)角平分線的定義求出，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，得到，再求出，判斷出點(diǎn)O是的外心，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得，得到，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接，

∵是的平分線，∴，∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，∴，∵為的平分線，∴點(diǎn)O是的外心，∴，∴，∵將沿（E在上，F(xiàn)在上）折疊，點(diǎn)C與O點(diǎn)恰好重合，∴，∴，在中，．故選：D．30．A【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易證為等邊三角形，進(jìn)而證明，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用求出的長(zhǎng)，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵等邊的邊長(zhǎng)為6，D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∵等邊，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；故選A．【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形，難度大，綜合性強(qiáng)，屬于選擇題中的壓軸題．31．D【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，平行線的判定的應(yīng)用，需要多次證明三角形全等，仔細(xì)分析圖形是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，故①小題正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，故②小題正確；根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)來(lái)判斷③；在上截取，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，推出是等邊三角形，得到，于是得到．故④正確．【詳解】解：和是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，，故①小題正確；（已證），，，，故②小題正確；，，又，，，在和中，，，，故③正確；如圖，在上截取，連接，，，，，，平分，，，，，，，，是等邊三角形，，，．故④正確．故選：D．32．【分析】先通過(guò)等量代換推出，再利用“邊角邊”證明，再通過(guò)求出的面積即可．【詳解】解：∵BD是的高，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題中所給提示，通過(guò)證明三角形全等，將求的面積轉(zhuǎn)化為求的面積是解題的關(guān)鍵．33．②③④【分析】因?yàn)?，且，所以需要?gòu)造2倍的，故延長(zhǎng)至，使，從而得到，進(jìn)一步證明，且，接著證明，則，，所以②是正確的，也可以通過(guò)線段的等量代換運(yùn)算推