江蘇省徐州市2017屆高三數(shù)學(xué)信息卷試題(含解析)

江蘇省徐州市2017屆高三數(shù)學(xué)信息卷試題(含解析)PAGE20-江蘇省徐州市2017屆高三數(shù)學(xué)信息卷試題（含解析）參考公式：圓錐的側(cè)面積公式：，其中是圓錐底面的周長，為母線長．球的表面積公式：，其中是球的半徑．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知集合，，則____．【答案】【解析】由并集的定義結(jié)合題意可得2.已知復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則的值為____．【答案】-2【解析】,該數(shù)為純虛數(shù)，則：，解得：.3.從1，2，4，8這四個數(shù)中一次隨機(jī)地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為8的概率是____．【答案】【解析】兩個數(shù)乘積為8，則抽得的兩個數(shù)為或兩種情況，由古典概型公式可得：所取2個數(shù)的乘積為8的概率是.4.某高校調(diào)查了名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不足小時的人數(shù)是____．【答案】45【解析】閱讀頻率分布直方圖可得：這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不足小時的人數(shù)是：人點(diǎn)睛：在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率/組距，而不是頻率；利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之2xln2?1>0，可得f(x)在R上單調(diào)不減，由不等式可得：當(dāng)x>1時,解得；當(dāng)0<x?1時,x解得0<x?1；當(dāng)x<0時,不等式不成立。綜上可得,不等式f(x)<f(2x)的解集是.點(diǎn)睛：(1)問題中參數(shù)值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標(biāo)準(zhǔn)、全面的考慮；(2)求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求．11.在中，若，，，，則的面積為__．【答案】【解析】由題意可得：，則：，解得，故，的面積為.12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，點(diǎn)在軸上運(yùn)動，則的最小值是____．【答案】3【解析】如圖所示，以AQ,AP為臨邊作平行四邊形AQRP，則,由于，而圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)最大值為3，據(jù)此可知點(diǎn)R位于y軸或者y軸左側(cè)，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)軸，且R位于y軸時，取得最小值是3.13.若正實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值為____．【答案】【解析】a(a+b+c)=bc，∴a2+(b+c)a?bc=0，∴a為方程x2+(b+c)x?bc=0的正根，∴，則：，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，即的最大值為.點(diǎn)睛：根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用柯西不等式對有關(guān)不等式進(jìn)行證明，證明時，需要對不等式變形，使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu)，從而應(yīng)用柯西不等式．14.已知點(diǎn)在曲線(是自然對數(shù)的底數(shù))上，記曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．若使得的點(diǎn)有三個，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____．【答案】【解析】設(shè)曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為，令可得：，令可得：由題意有：，即：,令，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意時：，即：，據(jù)此有：實(shí)數(shù)的取值范圍是.二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面平面，，，為的中點(diǎn)．求證：（1）直線平面；（2）直線平面．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】試題分析：(1)利用題意證得∥OM，然后由直線與平面平行的判斷定理證明直線平面即可；(2)利用題意證得．.由線面垂直的判斷定理即可證得直線平面．試題解析：（1）設(shè)ACBDO，連結(jié)OM，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以O(shè)為AC中點(diǎn)，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以∥OM．又因?yàn)槠矫?，OM平面，所以直線∥平面．（2）因?yàn)?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)椋琈為的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)?，平面，所以直線平面．點(diǎn)睛：證明線面平行問題的答題模板(一)第一步：作(找)出所證線面平行中的平面內(nèi)的一條直線；第二步：證明線線平行；第三步：根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行；第四步：反思回顧．檢查關(guān)鍵點(diǎn)及答題規(guī)范．證明線面平行問題的答題模板(二)第一步：在多面體中作出要證線面平行中的線所在的平面；第二步：利用線面平行的判定定理證明所作平面內(nèi)的兩條相交直線分別與所證平面平行；第三步：證明所作平面與所證平面平行；第四步：轉(zhuǎn)化為線面平行；第五步：反思回顧．檢查答題規(guī)范．16.在中，角，，的對邊分別為，，．已知．（1）求角的大?。唬?）若，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：(1)邊化角，利用兩角和差正余弦公式可得，則；(2)利用正弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得，然后結(jié)合題意可得.試題解析：（1）由已知得2acosBccosBbcosC，由正弦定理得，2sinAcosBsinCcosBsinBcosCsin(BC)，又BCA，所以2sinAcosBsinA，又A(0，)，sinA0，所以cosB，又B(0，)，所以B．（2）由正弦定理得，得sinA，又ab，所以A為銳角，則cosA，又ABC，得sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB．17.如圖是一塊地皮，其中，是直線段，曲線段是拋物線的一部分，且點(diǎn)是該拋物線的頂點(diǎn)，所在的直線是該拋物線的對稱軸．經(jīng)測量，km，km，．現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個矩形來建造草坪，其中點(diǎn)在曲線段上，點(diǎn)，在直線段上，點(diǎn)在直線段上，設(shè)km，矩形草坪的面積為km2．（1）求，并寫出定義域；（2）當(dāng)為多少時，矩形草坪的面積最大？【答案】（1），定義域?yàn)?；?）當(dāng)時，矩形草坪的面積最大．【解析】試題分析：(1)由題意可得函數(shù)的解析式為，定義域?yàn)椋?2)對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可得當(dāng)時，矩形草坪的面積最大.試題解析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA邊所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在直角中，，，所以，又因?yàn)?，所以，則，設(shè)拋物線OCB的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得，所以拋物線的方程為．因?yàn)椋?，則，所以，定義域?yàn)椋?），令，得．當(dāng)時，，在上單調(diào)增；當(dāng)時，，在上單調(diào)減．所以當(dāng)時，取得極大值，也是最大值．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點(diǎn)，，分別為橢圓的右、下頂點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓內(nèi)，滿足直線，的斜率乘積為，且直線，分別交橢圓于點(diǎn)，．(i)若，關(guān)于軸對稱，求直線的斜率；(ii)求證：的面積與的面積相等．【答案】（1）；（2）(i)；(ii)見解析．【解析】試題分析：(1)由題意求得，橢圓的方程為.(2)(i)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程，解方程可得；(ii)利用題意證得，則的面積與的面積相等．試題解析：（1）由知，，又橢圓過點(diǎn)，所以，解得所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為．聯(lián)立消去并整理得，，解得，，所以．因?yàn)橹本€，的斜率乘積為，所以直線的方程．聯(lián)立消去并整理得，，解得，，所以．(i)因?yàn)?，關(guān)于軸對稱，所以，即，解得．當(dāng)時，點(diǎn)在橢圓外，不滿足題意．所以直線的斜率為．(ii)聯(lián)立解得．所以．故的面積與的面積相等．19.已知數(shù)列中，，，．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列能否為等差數(shù)列？若能，求其通項(xiàng)公式；若不能，試說明理由；（3）若數(shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，設(shè)，則當(dāng)，，和，，均成等差數(shù)列時，求正整數(shù)，，的值．【答案】（1），；（2），或；（3）存在，，或，，．【解析】試題分析：(1)利用遞推公式構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)假設(shè)數(shù)列可以是等差數(shù)列，分類討論可得，或.(3)由題意討論r,s,t的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)討論可得存在，，或，，滿足條件．試題解析：（1）由，得，又，所以是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則，故，．（2）由，得，兩式相減得，即．①若是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，因?yàn)?，所以．又，即，解得，或．?dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，也滿足條件．故，或．（3）由是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，得②，故，，故由①式可得，所以．又由①式可知是偶數(shù)，所以．代入①式得，所以是等差數(shù)列．由（2）知，，所以．若，由正整數(shù)，知，．當(dāng)時，．因此要式成立，只能有．由式得，即．又，，所以，顯然是方程的解．當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，則，故在上是增函數(shù)，所以方程僅有兩解．因此，存在，，或，，滿足條件．20.已知函數(shù)，，，且的最小值為．（1）求的值；（2）若不等式對任意恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求的取值范圍；（3）設(shè)曲線與曲線交于點(diǎn)，且兩曲線在點(diǎn)處的切線分別為，．試判斷，與軸是否能圍成等腰三角形？若能，確定所圍成的等腰三角形的個數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】（1）－2；（2）；（3），與軸能圍成2個等腰三角形．【解析】試題分析：(1)由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可求得a=-2；(2)不等式即，構(gòu)造函數(shù)令，分類討論可得的取值范圍是．(3)設(shè)，的傾斜角分別為，，若，與軸所圍成的三角形是等腰三角形，則或．分類討論：和兩種情況可得，與軸能圍成2個等腰三角形．試題解析：（1），所以，則的最小值為，因此拋物線的對稱軸為，即，所以．（2）由（1）知，．不等式即，所以對任意恒成立．令，則．①若，則，所以函數(shù)在上單調(diào)減，故，解得，此時無符合題意的值；②若，令，解得．列表如下：↘極小值↗由題意，可知解得．故的取值范圍為．（3）設(shè)，的傾斜角分別為，，則，．因?yàn)椋?，，則，均為銳角．若，與軸所圍成的三角形是等腰三角形，則或．①當(dāng)時，，即，解得，而，即，整理得，，解得．所以存在唯一的滿足題意．②當(dāng)時，由可得，而，即，整理得，．令，則．令，解得．列表如下：↘極小值↗而，，，所以在內(nèi)有一個零點(diǎn)，也是上的唯一零點(diǎn)．所以存在唯一的滿足題意．綜上所述，，與軸能圍成2個等腰三角形．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．徐州市2017屆高三信息卷數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．21.如圖，點(diǎn)，，，在圓上，，的延長線交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，且．若，，求的長．【答案】1【解析】試題分析：利用題意結(jié)合圓的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可得DF=1.試題解析：因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，，所以，又．所以，故．所以，又因?yàn)?，所以∽，則．又因?yàn)椋?，所以?2.已知矩陣的一個特征值為2，其對應(yīng)的一個特征向量為．若，求，的值．【答案】，的值分別為，．【解析】試題分析：利用矩陣的乘法法則列出方程，解方程可得，的值分別為，．試題解析：由條件知，，即，即，所以解得所以．則，所以解得所以，的值分別為，．23.在極坐標(biāo)系中，已知曲線，若直線被曲線截得的弦長為，求正實(shí)數(shù)的值．【答案】2【解析】試題分析：利用極坐標(biāo)方程聯(lián)立可得正實(shí)數(shù)的值為2.試題解析：直線與曲線均過極點(diǎn)，令，得，所以，解得．24.已知，且，，求的取值范圍．【答案】【解析】試題分析：利用題意結(jié)合柯西不等式的結(jié)論構(gòu)造關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，求解不等式可得的取值范圍是．試題解析：因?yàn)?，，即，所以．【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．25.在三棱柱中，平面，，，，點(diǎn)在棱上，且．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）當(dāng)時，求異面直線與的夾角的余弦值；（2）若二面角的平面角為，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：(1)結(jié)合題中的空間直角坐標(biāo)系計算可得異面直線與的夾角的余弦值為.(2)二面角的平面角為，則平面的法向量，據(jù)此列方程可解得的值為．試題解析：（1）易知，，．因?yàn)?，，所以，?dāng)時，．所以，．所以，．故異面直線與的夾角的余弦值為．（2）由可知，，所以，由（1）知，．設(shè)平面的法向量為，則即令，解得，，所以平面的一個法向量為．設(shè)平面的法向量為，則即令，解得，，所以平面的一個法向量為．因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?，所以，即，解得或（舍），故的值為．點(diǎn)睛：立體幾何開放性問題求解方法有以下兩種：(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明，得出結(jié)論；(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件，根據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線，否則不存在．26.將邊長為1的正三角形各邊等分，過各等分點(diǎn)在內(nèi)作邊的平行線．如圖所示是時的圖形．記中邊長為的菱形的個數(shù)為．（1）寫出的值；（