小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識缺失與對策

小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識缺失與對策

曹培英

今天跟大家交流的題目大家可能比較陌生，就是課改背景下我們小學(xué)數(shù)學(xué)教師本體性知識的缺失與對策。應(yīng)該說研究這個問題的人不多，但我認為這是一個重要的問題，不應(yīng)該淡出我們的視野。

我們的話題就從課改背景下教師的專業(yè)發(fā)展說起。前年我們都在回顧改革開放，人民教育就準(zhǔn)備組一組稿，其中一篇要我寫，要我從實踐的角度寫一寫，我寫的文章中其中一個視角是從我們教師教育的視角來看，我們30年教育改革一個基本的發(fā)展軌跡，因為這30年的歷程我都親歷了，改革開放之初，30年前，在我們開始大規(guī)模改革之前呢，我們首先進行了一場教師培訓(xùn)，現(xiàn)在回過頭來看，當(dāng)年的教師培訓(xùn)為后面的教學(xué)改革奠定了非常好的基礎(chǔ)，當(dāng)時的培訓(xùn)有個名稱叫做教材教法過關(guān)，低段的老師過低段的教材教法關(guān)，高段的老師過高段的教材教法關(guān)，如果你有能力也可以申報考全段的教材教法，分別給予不同的證書，為什么這樣一個席卷全國的培訓(xùn)會有非常好的基礎(chǔ)呢？因為百廢待興，當(dāng)時由于十年動亂，當(dāng)時一切都從頭開始，那是需要的，另外一個呢，我們也能想象，如果一個老師如果連教材都不理解不熟悉，基本的教學(xué)常規(guī)都不能很好的掌握的話，怎么可能有更多的注意力投向教學(xué)方法的改革。這個基礎(chǔ)上我們迎來了教學(xué)方法改革的春天，全國各地涌現(xiàn)了各種各樣的教學(xué)方法，具有本土特征的教學(xué)方法，拿我們小學(xué)數(shù)學(xué)來講，大家耳熟能詳?shù)慕K邱學(xué)華老師的嘗試法，廣東深圳市教研員陳永年的驗看法等等，都是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的，這些教學(xué)方法發(fā)展到后期呢，都形成了相對穩(wěn)定的教學(xué)模式，一個模式應(yīng)該有自己的改革目標(biāo)，改革理念，成熟的教學(xué)機構(gòu)、流程，相應(yīng)的理論支撐，相應(yīng)的教學(xué)策略，以及自己的評價，那么隨著教學(xué)方法改革的發(fā)展，很多有識之士發(fā)現(xiàn)，教學(xué)方法再怎么改革，只是一小部分參與，怎樣使所有的教師都參與其中，最直接有效的辦法就是改教材，教材改了，迫使所有用這個教材的老師都得考慮我這個方法是不是應(yīng)該相應(yīng)的進行調(diào)整，于是各地都在自發(fā)的進行教材改革，這種自下而上的教材改革，為我們現(xiàn)在推行的課程改革奠定了很好的基礎(chǔ)，這個學(xué)科教材的改革發(fā)展到后面，很多學(xué)校的領(lǐng)導(dǎo)發(fā)現(xiàn)一個學(xué)科單打獨斗，不成氣候，因此形成了整體改革，這個中小學(xué)的整體改革到今天還有一個全國的專業(yè)委員會，每兩年都會搞一次活動。從課程教材改革來講，在我國30年間有這樣一個發(fā)展過程。

隨著新一輪課程改革的推進，人們發(fā)現(xiàn)文本上的課程要轉(zhuǎn)化為課堂上真實的課程，靠在座的各位，靠我們一線的老師。由于改革的過程中，出現(xiàn)了一些發(fā)展中的問題，又把人們的目光引向到了教師教育的改革上來，南京的現(xiàn)代與經(jīng)典進行到第十屆了，吸引了這么多老師參與，也是一個證明。今天的教師教育，最主要的特征我個人以為就是關(guān)注教師的專業(yè)發(fā)展，是不是我們過去沒有提專業(yè)發(fā)展？今天提了只是換了一個名詞而已呢，不是！比較實質(zhì)性的差異，在于過去的培訓(xùn)，我們是“磨刀”，“磨刀不誤砍柴工”，利其器。今天的培訓(xùn)呢，不光是利其器，還關(guān)注使用工具人的本身，善其身。從改革的主體教師來講，實際經(jīng)歷一個螺旋上升的過程。

關(guān)注教師專業(yè)發(fā)展，教師專業(yè)發(fā)展的特點和內(nèi)涵又有些什么呢？縱向看，教師職業(yè)從經(jīng)驗化、隨意化到專業(yè)化，經(jīng)歷了逐步發(fā)展的過程。這段時間并不長。橫向看，教師專業(yè)的不可替代性不夠突出。教師和醫(yī)生作比較，最初這個職業(yè)半斤八兩，都很辛苦的，國外研究表明，標(biāo)志性的事件是青霉素的發(fā)展，一針下去，燒退了，炎消了。試問我們教師有特效藥嗎？今天，醫(yī)生專業(yè)，幾乎所有的現(xiàn)代技術(shù)都能應(yīng)用，而我們呢。在上海進行全面的檢查，3到5萬，一項檢查能預(yù)測你半年內(nèi)會不會得癌癥，這一項，一萬塊。我們憑什么工具來檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況呢？只能靠最傳統(tǒng)的，刺激，反應(yīng)，給他出兩道題，根據(jù)他的回答來判斷，他的狀態(tài)怎樣，怎樣思考的?？赡苓B老中醫(yī)都不如。中醫(yī)怎么看病，望聞問切。把脈來講，大戶人家的千金，不讓你碰，放一個簾子，老頭在這一頭，閉目養(yǎng)神幾分鐘，居然可以判斷主人小女無恙，有喜了。我們有這樣的診斷技術(shù)嗎？也有人不同意這樣的類比。一個是面對生理，一個是面對心理。但我認為從專業(yè)發(fā)展的角度來看，可以做些類比。原來上海市副市長，擔(dān)任上海市教委主任，原來是兒科專家，他就說，到了教育系統(tǒng)以后，感覺教育的現(xiàn)代化，還不夠。一旦停電，現(xiàn)在的醫(yī)院都沒法工作。掛號要靠電腦，收費要靠電腦，一停電，他能干什么？什么也不能干！但是一旦停電的話，學(xué)?？梢哉粘Ｉ险n，把窗戶打開，靠自然光，沒有投影，用黑板。這些例子說明我們的發(fā)展還在準(zhǔn)專業(yè)，半專業(yè)，發(fā)展中待成熟的專業(yè)的這種狀態(tài)下。

當(dāng)前的背景，我們中國的教育應(yīng)該說是非常成功的。世界上最了不起最偉大的教育事業(yè)。解決了這么多人的讀書問題。我們已經(jīng)基本解決了人人都有書讀的問題。隨著，社會對教育的要求就是人人讀好書，大家都在呼喚優(yōu)質(zhì)教育。優(yōu)質(zhì)教育最本質(zhì)最難辦的是什么呢？就是優(yōu)質(zhì)的教師。拿上海來講，薄弱學(xué)校改造，硬件很快，兩年工夫，只有有錢，砸下去都好辦。我們有一個區(qū)，每一個教室都配實物投影儀，它的這個采購單一出來，兩個月之間，搞得整個東南亞實物投影儀脫銷。優(yōu)質(zhì)的教師呢？難！所以現(xiàn)在有些地方就采用削峰填坡，把好的學(xué)校的大，拓展范圍更廣。再比如：甲乙兩個候選人得票數(shù)相同，老師做了4個紙團，只有一個畫有☆。甲先摸，摸中了，乙認為不公平；又有同學(xué)說，甲先摸，摸中的可能性是1/4，如果沒摸中，乙接下去摸，摸中的可能性是1/3，所以這種方法不公平。你認為呢？總而言之，這些方法不公平。怎么辦呢？我們把所有方法枚舉一下，可以解決先摸，后摸的問題。已知一個畫有☆，另外三個分別為1，2，3，無論誰先摸，甲先摸，摸到的可能性有三種，乙后摸，摸到的可能性也有三種，都是1/4。如果甲先摸，沒有摸中，拿走了，就剩下三個，可能性是不是1/3？因為甲先摸，沒有摸中的可能性是3/4，乙是在3/4的可能性下去摸的1/3可能，所以他的可能性是3/12，所以這種方式是不公平的，這可能超過了小學(xué)生的認知水平，現(xiàn)在已經(jīng)做了調(diào)整。

我們在看一個例子，教學(xué)平移旋轉(zhuǎn)中的摩天輪，情景是游樂園，農(nóng)村的老師意見非常大，向你們提個意見，你們都是城市的情景，農(nóng)村哪有游樂園，現(xiàn)在的教材基本上適合城里的老師教城里的學(xué)生。老師以游樂園為情景，討論摩天輪時都認為是旋轉(zhuǎn)，有個學(xué)生要發(fā)言，他說，我坐過摩天輪，我坐在上面始終是頭朝上，腳朝下，所以我認為人坐在上面是平移，不是旋轉(zhuǎn)。怎么辦？我們現(xiàn)有的手段就是討論討論，意見很多，最終不了了之。到底是什么呢？通過畫上箭頭，可以發(fā)現(xiàn)是平移，這個問題去問物理老師，他們都能答對，是平移。我們讓摩天輪轉(zhuǎn)，某一時刻停下，去兩個點，座艙上部的左端，右端，連線，得到的是什么？是一組平行線，因此是平移。是不是旋轉(zhuǎn)呢？將上面的一個點跟中心的點連起來，發(fā)現(xiàn)不是旋轉(zhuǎn)。

大家可以參考這篇文章，2006年暑期的圖形與變化的備課與教學(xué)。

下面討論第四個，數(shù)學(xué)研究問題一個簡單的策略就是簡化問題，抽象問題。我們可以說把座艙看作一個點可以不討論。第四個方面的問題，課改理念被誤讀，導(dǎo)致教師學(xué)科思維出現(xiàn)混亂。這次課改通俗培訓(xùn)，變化是很大的，也起到了一定的作用。但如果不深入理解的話，我們一些老師會認為我們可以依據(jù)課改理念重新解讀學(xué)科知識，這就不對。比如看到其他學(xué)科老師，學(xué)生回答什么都表揚，特別語文學(xué)科，老師很寬容，這個對，那個也對。因為語文有同義詞，近義詞。數(shù)學(xué)呢？7+8=14，對嗎？嗯，還差一點，繼續(xù)努力！這有意義嗎？再比如，分數(shù)比大小，二分之一和三分之一，哪個大？毫無異議，是二分之一大，但一位學(xué)生說：大圓的三分之一就比小圓的二分之一大。有意思的是這樣的回答有85%的得到老師的肯定。于是，我編了這樣一道測試老師的題目：“老師問：2大，還是3大？甲生：3大，因為3歲小孩比2歲小孩大。乙生：2大，因為老二比老三大。請從自然數(shù)的兩種含義說明誰的判斷正確?！边@道題的得分率也是很低的。

其實我們的大小都是在基數(shù)意義下比較的。最基本的一條規(guī)定就是要么a>b,a最后再談一個，教師學(xué)科的童化現(xiàn)象，影響教師自身的發(fā)展。源于對老師的觀察。

×××，中師畢業(yè)（在校期間，曾任數(shù)學(xué)課代表），在職進修獲本科學(xué)歷（大專學(xué)的是小學(xué)教育，理科；本科改學(xué)文科）。16年教齡，一直任教數(shù)學(xué)，鉆研業(yè)務(wù)勁頭較足，所教班級學(xué)生數(shù)學(xué)成績很好，兩次參加教學(xué)評比獲獎，是一位比較典型的小學(xué)數(shù)學(xué)骨干教師。一次公開課上，她隨手在黑板上畫了個三角形，標(biāo)上三條邊長的厘米數(shù)1、2、3，直到下課未發(fā)現(xiàn)不妥。課后經(jīng)人指出，羞愧不已：“我怎么會犯如此低級的錯誤！”顯然，“三角形任意兩邊長之和大于第三邊”的知識不是遺忘了，而是“當(dāng)時沒想到”。

又有一次，講述射線與圓角的區(qū)別，只從表示方式上詳細指出：射線用兩個字母表示；周角用三個字母表示，且標(biāo)有一圈弧。就是忘了從概念的本質(zhì)屬性去說明它們的區(qū)別。原因呢？又是“沒想到”。同時還解釋說：這是采用了某某參考書上的說法，記得有一節(jié)教學(xué)評優(yōu)獲獎?wù)n也是這樣處理的，所以沒再多想。像這樣正在教學(xué)的基本概念，用“遺忘”是解釋不通的。為什么課前查閱資料、撰寫教案時，以及課中親口陳述時，都沒想起呢？

諸如此類、司空見慣的個案，都不僅僅是偶然的遺忘。那么，是因為小學(xué)的教學(xué)內(nèi)容太簡單，教久了，勢必出現(xiàn)學(xué)科知識的“退化”嗎？

分析教師的成長歷程，剛踏上講臺，兒童語言貧乏，也不了解兒童思維。為了搞好教學(xué)，經(jīng)過幾年的努力，豐富了兒童語言，熟悉了兒童思維。表現(xiàn)在備課時、課堂上，能自然而然地想兒童所想了。這是教師勝任小學(xué)教育的必由之路。的確，要想深入了解兒童的文化，真正成為他們的學(xué)習(xí)伙伴，就要進入兒童的世界，像兒童那樣思維，在自己的頭腦里重建兒童的心智。與此同時，教師自身的思維也有可能被兒童同化而“童化”。而且鉆得越深，童化的可能性就越大。

基于以上分析，我們認為教師本體性知識缺失的職后原因，除了學(xué)習(xí)的自然遺忘，更重要的是教師思維的“童化”，即伴隨教師重建兒童心智的努力，而出現(xiàn)的本體性知識及其思維的退化。

類似地，教師數(shù)學(xué)能力的缺失，除了“先天不足”，也有后天“童化”的原因。

如“x=（128－36）÷4不是方程”“是算術(shù)方程”。很多老師認為是算術(shù)方程。

又如女生a人，男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，2a+a表示男生和女生的人數(shù)和？2a-a表示什么？習(xí)慣上說是男女生相差的人數(shù)，其實有兩個答案，a海表示女生的人數(shù)。

長方形框，釘木條，哪種能使木框不變形？

課后討論，1、2兩種還是變形，你焊一個鐵框，能拉得動嗎？所以出現(xiàn)了一個問題，實驗?zāi)艽鏀?shù)學(xué)證明嗎？這個例子是多年前的，那時新一輪課改還沒有來。

我要強調(diào)的是實驗?zāi)芸吭V我們有所發(fā)現(xiàn)，過去我們不重視它，那樣不對。但應(yīng)該知道數(shù)學(xué)最終的結(jié)論要靠邏輯推理，這是數(shù)學(xué)的精髓。如果數(shù)學(xué)也考實驗說話，那要數(shù)學(xué)干什么，物理、化學(xué)都靠實驗。這也是數(shù)學(xué)有別于其他學(xué)科最基本的特征。驗證不能確立結(jié)論，在我們小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)驗證，那時幫我們小學(xué)生確信。

再比如，哥德巴赫猜想驗證了無數(shù)次，從來沒有一個反例，但他還是猜想！我這輩子不知能不能看到有數(shù)學(xué)家把它證明出來？

面對這些缺失的種種表現(xiàn)我們應(yīng)該怎么辦呢？我認為最關(guān)鍵的應(yīng)該是端正我們對數(shù)學(xué)學(xué)科的認識。

下面談?wù)勗鯓诱J識數(shù)學(xué)的學(xué)科特點，數(shù)學(xué)是什么？網(wǎng)上有一位數(shù)學(xué)老師說：今天我問學(xué)生：數(shù)學(xué)是什么？只有一位學(xué)生舉手回答。為什么學(xué)了六年數(shù)學(xué)，卻不知數(shù)學(xué)是什么？他們不敢說，拿不準(zhǔn)。那我們給學(xué)生頭腦中流下了什么數(shù)學(xué)痕跡呢？感興趣的老師后天回去可以問問你的學(xué)生，問問他們數(shù)學(xué)是什么？看看他們會有何回答。如果你跟學(xué)生關(guān)系很好，你的學(xué)生一定回答得很精彩。我曾經(jīng)看過一個資料：前蘇聯(lián)也做過這樣的調(diào)研，他們的學(xué)生回答中有學(xué)生說數(shù)學(xué)是帝國主義課程。

一位母親說，數(shù)學(xué)是頭痛，小學(xué)我看到應(yīng)用題，立馬頭發(fā)脹?，F(xiàn)在拿起女兒的數(shù)學(xué)書還心有余悸。好在初中學(xué)了解方程，才讓我的數(shù)學(xué)恐懼癥消失了。但是在我們的周圍還有一些人數(shù)學(xué)恐懼癥伴隨他們終身。舉一個名人，崔永元。他寫了一本書《不過如此》里面有一段談了數(shù)學(xué)：對我來說，數(shù)學(xué)是疤痕，是淚痕……書中談到他一天上街賣西瓜，攤主馬上給他最大的18斤8兩，攤主說市面上1元8一斤，崔哥你看著給，崔永元聽了臉都白，論稱才一百元，拿了西瓜不找了?；氐郊?，他想：我出去的時候還心情很愉快的，為什么會發(fā)這么大的火呢？仔細一想原來是多年的數(shù)學(xué)恐懼癥復(fù)犯了。

我們數(shù)學(xué)老師怎么回答？好像清楚，又好像不清楚，需要回答嗎？引用鄭教授一句話：正是在學(xué)校這樣一個環(huán)境中，大多數(shù)人開始形成了自己的“數(shù)學(xué)觀念”，而且在大多數(shù)情況下，這些觀念在他們以后的生涯中一直得到保持?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)教育的一個重要弊端就在于：學(xué)校通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所形成的數(shù)學(xué)觀并不是“真正數(shù)學(xué)”的真實寫照。也就是說，就今天的現(xiàn)實而言，“學(xué)校的數(shù)學(xué)”并不是“真正的數(shù)學(xué)”?！嵷剐?。

我基本上同意這樣的觀點。數(shù)學(xué)家會怎樣回答？最初是萬物皆數(shù)說，后來是哲學(xué)說，還有創(chuàng)新說，直覺說，活動說，精神說，審美說，藝術(shù)說。這些都是從人文角度來說。從科學(xué)角度來說呢，最早認為數(shù)學(xué)是科學(xué)的，高斯。他的名言是數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后。還有技術(shù)說，高科技本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù)。還有工具說，邏輯說，符號說，集合說，結(jié)構(gòu)說，模型說等等。

作為一個數(shù)學(xué)教師，數(shù)學(xué)事業(yè)中的數(shù)學(xué)，我們應(yīng)該怎么看？恩格斯對數(shù)學(xué)的一個描述還沒有過時，考慮到高科技的發(fā)展，我們可以再加一個：研究數(shù)與形的科學(xué)；數(shù)學(xué)是普遍適用的技術(shù)。這樣的定義不一定能帶給我們教學(xué)更多的幫助，我們過去的一些看法：數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)，是工具，是能力，是素養(yǎng)，是文化，都沒過時，都有道理。基礎(chǔ)說認為數(shù)學(xué)提供了獨特的語言、思想、方法。關(guān)于數(shù)學(xué)語言，有三種形態(tài)。

我們來看這個例子：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘……（這時文字語言形態(tài)）；用符號語言：（a+b）c=ac+bc就一目了然了。第三種就是圖形語言，我們也可以用這樣一個圖表示，兩個長方形拼在一起，長分別表上a、b，寬都是c。我們不一定追求某種形態(tài)，我們應(yīng)該認識到有不同的表現(xiàn)方式。拿分配率來講，我們可以有些是現(xiàn)實模型，也可以有幾何模型，還可以是代數(shù)模型。

實際解釋；圖形解釋；算理解釋。

再說說數(shù)學(xué)的文化，比較熱門，認為我們可以滲透許多人文的內(nèi)涵。實際上我認為更主要的應(yīng)該是挖掘。應(yīng)為數(shù)學(xué)本身也有人文性。舉個最簡單的例子，四則運算的符號，為什么加號是十字，減號是一橫，乘號是一個叉叉？如果我們把符號本身的內(nèi)涵揭示出來的話，我們就可以取得很好的教學(xué)效果。加號的本意是在意亨德基礎(chǔ)上添上一豎，表示什么？表示合并，和，總數(shù)。由此看來，減法為什么是一橫，正確的詮釋是在加號的基礎(chǔ)上拿走一豎，表示去掉了一部分，更少了。這兩個符號本身就把運算的含義生動直觀的顯現(xiàn)出來了。乘號為什么是一個叉叉呢？因為乘號表示相同的數(shù)連加，因此不需要用其他的符號，就把加號旋轉(zhuǎn)45度，請問你在教學(xué)時轉(zhuǎn)了嗎？沒轉(zhuǎn)，下次記得轉(zhuǎn)一下，乘法是特殊的加法。除號呢？一橫表示平均分，上下都一個點表示同樣多，這也符合本意。

我們非常重視中國文化中的數(shù)學(xué)，圓，到定點的距離等于定長的軌跡。這時西方傳過來的。中國話怎么說：圓一中同長。數(shù)學(xué)的中國文化還可以表現(xiàn)在很多方面。比如多位數(shù)，30006三萬零六，30060三萬零六十，30600三萬零六百。為什么都只讀一個零呢？那時因為我們把計數(shù)單位讀出來了，為什么中國的孩子數(shù)學(xué)學(xué)得好，結(jié)論一是中國的語言給了我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很好的幫助，每一字都是單音節(jié)的，所以我們有乘法口訣。你看，數(shù)的組成，數(shù)感都讀出來了。3056是由幾個千，幾個十，幾個一，其實在讀的時候已經(jīng)讀出來了。再說分數(shù)單位一從除法引入，還是從單位一的等分引入，我的觀點就是中國的老師教中國的孩子，就應(yīng)該從單位一的等分引入。盡管這種引入不是太科學(xué)，單位一的等分對非復(fù)數(shù)沒有問題，對復(fù)數(shù)就有問題，我們復(fù)數(shù)怎么讀，2/3讀作三分之二。我們已經(jīng)把它的含義讀出來了：三等份中的兩份。英語不同，它先讀分子，再讀分母，所以它適合從除法引入。

課改之初，我們對有價值的數(shù)學(xué)討論得比較多。問題出現(xiàn)在我們的加工上。比如這樣的計算有價值嗎？分數(shù)四則運算有價值，分數(shù)推導(dǎo)用到分數(shù)，小數(shù)四則運算有價值。那么把分數(shù)、小數(shù)混合到一起呢？恐怕只有形式訓(xùn)練的思維價值。所以我認為：產(chǎn)生價值偏離的原因之一在于認為“綜合”。所以要認識數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，很有必要回顧一下數(shù)學(xué)的特征：高度的抽象性；邏輯的嚴謹性；廣泛的應(yīng)用性。數(shù)學(xué)的抽象非常特殊，撇開具體內(nèi)容，純粹研究事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式。數(shù)學(xué)的嚴謹：根據(jù)不講自明的假設(shè)，依靠邏輯推理得到大量的結(jié)論。數(shù)學(xué)的應(yīng)用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之謎，生物之謎，日月之繁，無處不用數(shù)學(xué)。”——華羅庚。甚至可以說，數(shù)學(xué)的獨特魅力是抽象的魅力。比如七橋問題，有人突發(fā)奇想，能不能不重復(fù)的走完七個橋？試了很多次都失敗，于是人們把問題寄給大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉以數(shù)學(xué)的眼光來審視這個數(shù)學(xué)問題