人教A版高中數(shù)學(xué)（選擇性必修三）同步講義第04講 6.3.1二項式定理+6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)（教師版）

第04講6.3.1二項式定理+6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解二項式定理的概念，會用二項式定理求解二項展開式。②掌握二項式系數(shù)的規(guī)律和指數(shù)的變化規(guī)律。③掌握多項式展開式的通項及特殊項或系數(shù)。④理解二項式系數(shù)的性質(zhì)。⑤會用賦值法求展開式系數(shù)的和。1.要求能運用二項式定理求解二項展開式；2.會求展開式中的二項式系數(shù)，特殊項及特殊項系數(shù)；3.能用待定法求展開式中的待定系數(shù).能解決與二項式定理相關(guān)的綜合問題；4.能理解二項式系數(shù)的性質(zhì)；5.掌握二項式系數(shù)的增減性，靈活應(yīng)用賦值法求二項展開式各項系數(shù)和.知識點01：知識鏈接（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0知識點02：二項式定理及相關(guān)概念（1）二項式定理一般地，對于每個SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等號右邊的多項式叫做SKIPIF1<0的二項展開式.【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時練習(xí)）用二項式定理展開下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（3）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項展開式中各項的二項式系數(shù)為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,包含符號等.【即學(xué)即練2】（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在二項式SKIPIF1<0的展開式中，二項式系數(shù)最大的是（

）A．第3項 B．第4項C．第5項 D．第3項和第4項【答案】B【詳解】二項式SKIPIF1<0的展開式共有7項，則二項式系數(shù)最大的是第4項.故選：B.【即學(xué)即練3】（2023上·天津濱海新·高三塘沽二中?？茧A段練習(xí)）若SKIPIF1<0的二項展開式中所有二項系數(shù)的和等于SKIPIF1<0，則在的展開式中，SKIPIF1<0的系數(shù)是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0的二項展開式中所有二項系數(shù)的和等于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．（4）二項式定理的三種常見變形①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0知識點03：二項展開式的通項二項展開式中的SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)叫做二項展開式的通項,用SKIPIF1<0表示,即通項為展開式的第SKIPIF1<0項:SKIPIF1<0.通項體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.知識點04：二項式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數(shù)相等：SKIPIF1<0②增減性：當(dāng)SKIPIF1<0時，二項式系數(shù)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，二項式系數(shù)遞減；③最大值：當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，最中間兩項二項式系數(shù)最大；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，最中間一項的二項式系數(shù)最大.④各二項式系數(shù)和：SKIPIF1<0；奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等：SKIPIF1<0【即學(xué)即練4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則該展開式各項的二項式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴該展開式各項的二項式系數(shù)和為SKIPIF1<0.故選：D【即學(xué)即練5】（2023上·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）若SKIPIF1<0展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為．【答案】15【詳解】因為SKIPIF1<0展開式的二項式系數(shù)之和為64，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以二項式為SKIPIF1<0，所以第SKIPIF1<0項展開式為SKIPIF1<0，若求常數(shù)項，則令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即常數(shù)項為15.故答案為：15.題型01求SKIPIF1<0型的展開式【典例1】（2023下·北京通州·高二統(tǒng)考期中）二項式SKIPIF1<0的展開式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】二項式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023上·高二課時練習(xí)）求SKIPIF1<0的二項展開式．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由二項式定理，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的二項展開式是SKIPIF1<0．【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）利用二項式定理展開下列各式：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）解：由SKIPIF1<0.（2）解：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高二課堂例題）寫出SKIPIF1<0的展開式．【答案】SKIPIF1<0【詳解】在二項式定理中令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）求SKIPIF1<0的展開式．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0題型02二項展開式的逆用【典例1】（2023下·黑龍江七臺河·高二勃利縣高級中學(xué)校考期中）SKIPIF1<0（

）.A．1 B．－1C．(－1)n D．3n【答案】C【詳解】原式=SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023下·上海浦東新·高二?？计谥校㏒KIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】原式SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023上·高二課時練習(xí)）化簡SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0．【詳解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0【變式1】（2023上·高二課時練習(xí)）化簡：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】1【詳解】因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【變式2】（2023下·安徽合肥·高二統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【變式3】（2023·遼寧大連·育明高中?？家荒＃㏒KIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由已知可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型03二項展開式中的特定項或特定系數(shù)問題【典例1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）二項式SKIPIF1<0的展開式中常數(shù)項為（

）A．SKIPIF1<0 B．60 C．210 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】展開式的通項為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，常數(shù)項為SKIPIF1<0，故選：B.【典例2】（2023下·山東濟(jì)寧·高二統(tǒng)考期中）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)是（

）A．126 B．125 C．96 D．83【答案】B【詳解】由題意原式中SKIPIF1<0的系數(shù)SKIPIF1<0；故選：B.【典例3】（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）二項式SKIPIF1<0的展開式中的第3項為（

）A．160 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C項正確.故選：C．【典例4】（2023上·高二課時練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式的第3項的系數(shù)為；常數(shù)項為．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【詳解】由二項式SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0，可得展開式中第3項為SKIPIF1<0，所以第3項的系數(shù)為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以展開式的常數(shù)項為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學(xué)校?？茧A段練習(xí)）二項式SKIPIF1<0的展開式中常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)【答案】60【詳解】二項式SKIPIF1<0的展開式的通項公式SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以二項式SKIPIF1<0的展開式中常數(shù)項為60.故答案為：60【變式2】（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0的展開通項公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以其中含SKIPIF1<0的項的系數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式3】（2023下·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項式SKIPIF1<0展開式中的含SKIPIF1<0項的系數(shù)為．【答案】-40【詳解】二項式SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式4】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）在SKIPIF1<0展開式中，SKIPIF1<0項的系數(shù)為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，多項式SKIPIF1<0，根據(jù)組合數(shù)的運算，展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型04三項展開式中的特定項或特定系數(shù)問題【典例1】（2023下·河北邢臺·高二統(tǒng)考期末）SKIPIF1<0展開式中的常數(shù)項為（

）A．6 B．15 C．20 D．28【答案】C【詳解】因為SKIPIF1<0，所以展開式中的常數(shù)項即分子SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)，即SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2023上·山東·高三沂源縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）SKIPIF1<0展開式中含SKIPIF1<0項的系數(shù)為．【答案】-160【詳解】SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，故通項公式得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，故通項公式為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：-160【變式1】（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）在SKIPIF1<0的展開式中，記SKIPIF1<0項的系數(shù)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為在SKIPIF1<0的展開式中，記SKIPIF1<0項的系數(shù)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0項的系數(shù)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】（2023上·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）SKIPIF1<0展開式中，SKIPIF1<0項的系數(shù)為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的指數(shù)是3，∴得到SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的指數(shù)是2，得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0項的系數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式3】（2023下·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0項的系數(shù)為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0的展開式中，構(gòu)成SKIPIF1<0項只能是一個SKIPIF1<0、一個SKIPIF1<0、3個SKIPIF1<0相乘，故此項為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.題型05幾個二項式的和或積的展開式中的特定項或特定系數(shù)問題【典例1】（2023上·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．7 C．77 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0的展開式通項為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，故選：B.【典例2】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）二項式SKIPIF1<0的展開式中，所有項系數(shù)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】SKIPIF1<0【詳解】令SKIPIF1<0可得二項式SKIPIF1<0的所有項系數(shù)和為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.二項式SKIPIF1<0的展開式的通項公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，…，8，所以SKIPIF1<0的展開式中，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項的系數(shù)為.【答案】960【詳解】SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，故令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項的系數(shù)為：SKIPIF1<0.故答案為：960.【典例4】（2023·天津·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0的展開式中所有項的系數(shù)和為SKIPIF1<0，則展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0的展開式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）SKIPIF1<0的展開式中常數(shù)項為．（用數(shù)字作答）【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0的展開式的通項SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，1，2，…，8）．當(dāng)SKIPIF1<0時，其展開式的常數(shù)項為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，其展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的展開式中常數(shù)項為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【變式2】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）已知SKIPIF1<0，若其展開式中各項的系數(shù)和為81，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0展開式中各項的系數(shù)和為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式3】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0的展開式中所有項的系數(shù)之和為81，則展開式中含SKIPIF1<0的項的系數(shù)為.【答案】32【詳解】記SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0.故答案為：32【變式4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0的二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16，則展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為．【答案】720【詳解】由偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為16，則有SKIPIF1<0，所以展開式中SKIPIF1<0的項為：SKIPIF1<0，則展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為：720.故答案為：720.題型06二項式系數(shù)最大項問題【典例1】（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）SKIPIF1<0展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故選：C【典例2】（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學(xué)校考期中）已知二項式SKIPIF1<0的展開式中僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為二項式SKIPIF1<0的展開式中僅有第4項的二項式系數(shù)最大，根據(jù)二項展開式的性質(zhì)，可得中間項的二項式系數(shù)最大，所以展開式一共有7項，所以SKIPIF1<0為偶數(shù)且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2023上·高二課時練習(xí)）（1）已知SKIPIF1<0的展開式中第SKIPIF1<0項和第SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)相等，求SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0的二項式系數(shù)的最大值是多少？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【詳解】（1）二項式SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），所以第SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)為SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)為SKIPIF1<0，依題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）二項式SKIPIF1<0展開式的一共SKIPIF1<0項，則第SKIPIF1<0項和第SKIPIF1<0項二項式系數(shù)相等同時取得最大值，又SKIPIF1<0展開式的通項為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）所以第SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)為SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0項二項式系數(shù)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的二項式系數(shù)的最大值是SKIPIF1<0.【變式1】（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）若SKIPIF1<0的展開式中第3項與第9項的系數(shù)相等，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為（

）A．第4項 B．第5項 C．第6項 D．第7項【答案】C【詳解】由二項式定理可得第3項與第9項的系數(shù)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由二項式系數(shù)性質(zhì)可得SKIPIF1<0；因此展開式中二項式系數(shù)最大的項為SKIPIF1<0，是第6項.故選：C【變式2】（2023下·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則第四項為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】因為展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）若SKIPIF1<0的展開式中，SKIPIF1<0的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n的值及二項式系數(shù)的最大值．【答案】SKIPIF1<0，最大值為70.【詳解】因為SKIPIF1<0展開式的第SKIPIF1<0項的通項公式為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的系數(shù)等于x的系數(shù)的7倍，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以二項式系數(shù)的最大值為SKIPIF1<0.題型07系數(shù)最大（?。╉梿栴}【典例1】（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0的展開式中唯有第5項的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：A【典例2】（2023·上海嘉定·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0的二項展開式中系數(shù)最大的項為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)系數(shù)最大的項為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為整數(shù)，所以SKIPIF1<0，此時最大的項為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例3】（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）SKIPIF1<0的二項展開式中系數(shù)最大的項為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0展開式的第SKIPIF1<0項的系數(shù)最大，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以系數(shù)最大的項為第SKIPIF1<0或第SKIPIF1<0項，所以系數(shù)最大的項為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【典例4】（2023上·福建龍巖·高二福建省龍巖第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）在SKIPIF1<0的展開式中，①求二項式系數(shù)最大的項；②系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項；【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0②第6項和第7項【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）①SKIPIF1<0．二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項．所以SKIPIF1<0．②設(shè)第SKIPIF1<0項系數(shù)的絕對值最大，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項.【變式1】（2023·河南安陽·統(tǒng)考二模）SKIPIF1<0的展開式中各項系數(shù)的最大值為（

）．A．112 B．448 C．896 D．1792【答案】D【詳解】該二項式的通項公式為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以展開式中各項系數(shù)的最大值為SKIPIF1<0．故選：D【變式2】（2023上·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)?？计谥校┒検絊KIPIF1<0的展開式中，系數(shù)最大的項為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0展開式通項公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為整數(shù).要想系數(shù)最大，則SKIPIF1<0為偶數(shù)，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然系數(shù)最大項為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【變式3】（2023下·江蘇南通·高二江蘇省通州高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比為2:5.(1)求n的值；(2)系數(shù)最大的項．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為第二項與第三項的二項式系數(shù)之比是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(舍)或SKIPIF1<0，所以n的值為6.（2）SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展開式中系數(shù)最大的項為第SKIPIF1<0項，且SKIPIF1<0．【變式4】（2023下·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）在SKIPIF1<0的展開式中，①求二項式系數(shù)最大的項；②系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0；②第6項和第7項【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）①SKIPIF1<0．二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項．所以SKIPIF1<0．②設(shè)第SKIPIF1<0項系數(shù)的絕對值最大，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項．題型08賦值法解決系數(shù)和問題【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）從①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是SKIPIF1<0；②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36；這兩個條件中任選一個，再解決補充完整的題目．已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0的二項展開式中，____．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)①求二項展開式的中間項；②求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)條件選擇見解析，SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【詳解】（1）若選擇①第4項的系數(shù)與第2項的系數(shù)之比是SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．若選擇②第3項與倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)之和為36，則有SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0的二項展開式的中間項為SKIPIF1<0．②二項式SKIPIF1<0展開式的通項公式為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為正數(shù)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為負(fù)數(shù)．在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0．再令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【典例2】（2023下·山東濟(jì)南·高二?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【答案】(1)1(2)625【詳解】（1）由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0②,所以SKIPIF1<0．【典例3】（2023上·高二課時練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0．求：(1)SKIPIF1<0的值；(2)SKIPIF1<0的值；(3)SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（3）根據(jù)展開式的通項公式知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為負(fù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正；令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【典例4】（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若SKIPIF1<0，求下列各式的值.(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【答案】(1)1024(2)58024(3)393660【詳解】（1）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）因為SKIPIF1<0，兩邊對SKIPIF1<0求導(dǎo)得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.【變式1】（2023上·上海·高二上海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①（2）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，②令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為含SKIPIF1<0項的系數(shù)，為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【變式2】（2023上·高二單元測試）已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0.【答案】(1)800；(2)SKIPIF1<0；(3)0.【詳解】（1）在SKIPIF1<0展開式中，含SKIPIF1<0的項為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0【變式3】（2023下·河北保定·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)設(shè)SKIPIF1<0十SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①（2）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0；（3）因為SKIPIF1<0的和為二項式SKIPIF1<0的展開式的各個項的系數(shù)和，所以令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【變式4】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┮阎猄KIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)2(2)18【詳解】（1）解：由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：因為SKIPIF1<0，兩邊同時求導(dǎo)數(shù)，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.題型09有關(guān)整除或求余問題【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0能被7整除，則SKIPIF1<0（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0能被7整除，且SKIPIF1<0能被7整除，故SKIPIF1<0能被7整除，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）SKIPIF1<0被8除的余數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是8的整數(shù)倍，故SKIPIF1<0被8除的余數(shù)為3.故選：B【典例3】（2023下·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）如果今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過SKIPIF1<0天后是（

）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六【答案】B【詳解】因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0除以7的余數(shù)為1，所以經(jīng)過SKIPIF1<0天后是星期四，故選：B．【變式1】（2024下·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0的小數(shù)部分為x，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的整數(shù)部分為4，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選:B【變式2】（2023上·山東·高三山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項式SKIPIF1<0展開式的各項系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為．【答案】6【詳解】令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均能被7整除，所以余數(shù)為6，故答案為：6【變式3】（2023上·高二課時練習(xí)）用二項式定理證明SKIPIF1<0能被8整除．【答案】見解析【詳解】證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0能被8整除.所以SKIPIF1<0能被8整除.題型10利用二項式定理近似計算【典例1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出．二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0比較小的時候，取廣義二項式定理的展開式的前兩項可得：SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0的值越小，所得結(jié)果就越接近真實數(shù)據(jù)．用這個方法計算SKIPIF1<0的近似值，可以這樣操作：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，用這樣的方法，估計SKIPIF1<0的近似值約為（

）A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，故選：C.【典例2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）估算SKIPIF1<0的結(jié)果，精確到0.01的近似值為（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【詳解】原式SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：A．【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）SKIPIF1<0的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【詳解】SKIPIF1<0.故選：C【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是．【答案】1.34【詳解】SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）SKIPIF1<0的展開式中含SKIPIF1<0的項是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】SKIPIF1<0的展開式的通項公式為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以含SKIPIF1<0的項是SKIPIF1<0．故選：C.2．（2023上·湖北黃岡·高三校聯(lián)考期中）若SKIPIF1<0為一組從小到大排列的數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的第六十百分位數(shù)，則二項式SKIPIF1<0的展開式的常數(shù)項是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以二項式為SKIPIF1<0，其展開式的通項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以常數(shù)項為SKIPIF1<0，故選：B.3．（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0的展開式中，含SKIPIF1<0項的系數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．20 C．SKIPIF1<0 D．15【答案】A【詳解】SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中，含SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0，系數(shù)為SKIPIF1<0.故選：A4．（2023下·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）若SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為40，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0的展開式的SKIPIF1<0項為SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為40，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選:B．5．（2023上·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谀┤鬝KIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．513 C．512 D．511【答案】D【詳解】令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D6．（2023下·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）SKIPIF1<0展開式中，系數(shù)最大的項是（

）A．第5，6項 B．第6，7項 C．第6項 D．第7項【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展開式中各項的系數(shù)即為其二項式系數(shù)，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)有，第7項的二項式系數(shù)最大，故A，B，C錯誤.故選：D.7．（2024上·遼寧·高二遼寧實驗中學(xué)校聯(lián)考期末）SKIPIF1