數(shù)學(xué)（選修45）課件本章整合提升3

第5章三個(gè)重要不等式本章整合提升(第3~5章)[考情分析]數(shù)學(xué)歸納法一般用于解決與正整數(shù)n(n∈N*)有關(guān)的等式、不等式以及大小比較、探索性等問題，常與數(shù)列交匯命題．高考中一般在解答題中的某一問中考查．專題一數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用2．在數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4并猜想an，bn的表達(dá)式．(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．[考情分析]與三個(gè)正數(shù)的和或積有關(guān)的不等式的證明題可考慮用平均值不等式，多次用平均值不等式時(shí)，要注意各不等式的方向要相同．高考中考查不多，一般在選考題中考查．專題二用平均值不等式證明不等式[考情分析]求最值的方法有很多，在利用“三個(gè)正數(shù)的平均值不等式”求最值時(shí)，必須滿足“一正、二定、三相等”的原則．在處理有關(guān)湊項(xiàng)和拆項(xiàng)等方法的問題時(shí)也一定要注意這一原則．高考中一般在選考題中考查該考點(diǎn)．專題三平均值不等式的應(yīng)用2．已知球的半徑為R，球的內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，高為h，則r和h為何值時(shí)，內(nèi)接圓柱的體積最大？最大值是多少？[考情分析]由于柯西不等式是用綜合法證明不等式的重要依據(jù)，因此柯西不等式的考查常出現(xiàn)在用綜合法證明含有冪，根式的和、積、商的不等式中．高考一般在選考題中考查．專題四利用柯西不等式證明不等式[高考沖浪]1．(2017·江蘇卷)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求證：ac＋bd≤8.證明：由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．∵a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，∴(ac＋bd)2≤64.∴ac＋bd≤8.2．(2014·福建卷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.(1)求a的值．(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.(1)解：∵|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，等號(hào)成立，∴f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)證明：由(1)知p＋q＋r＝3，又∵p，q，r是正實(shí)數(shù)，∴(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.[考情分析]柯西不等式是除平均值不等式外求解含多個(gè)變量式子最值的一種重要方法，是某些求最值問題的唯一工具，應(yīng)用的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果．高考一般在選考題中考查．專題五利用柯西不等式求最值2．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為__________.解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36.∴a2＋4b2＋9c2≥12.故a2＋4b2＋9c2的最小值為12.答案：12[考情分析]排序不等式是用綜合法證明與字母順序有關(guān)的不等式中的重要依據(jù)，也就成為證明不等式時(shí)的一種重要工具，但高考中排序不等式不做要求．專題六利用排序不等式證明不等式2．已知a，b，c為某一個(gè)三角形的三條邊，a≥b≥c.(1)求證：c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．(2)求證：a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc.證明：(1)c(a＋b－c)－b(c＋a－b)＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2＝b2－c2＋ac－ab＝(b＋c)(b－c)－a(b－c)＝(b＋c－a)(b－c)．∵b≥c，b＋c－a≥0，∴c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0.即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)．①同理可證b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)．②綜合①②，原不等式成立．(2)由題設(shè)及(1)，知a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(a＋b－c)．由排序不等式，得a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c)＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c)，①a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c)＝3abc