2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 37 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案 理

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專題37數(shù)學(xué)歸納法

考情解讀

1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；

2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。

重點知識梳理

1.數(shù)學(xué)歸納法

證明一個與正整數(shù)A有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：

(1)(歸納奠基)證明當(dāng)〃取第一個值A(chǔ)oSoGN*)時命題成立；

(2)(歸納遞推)假設(shè)AeN*)時命題成立，證明當(dāng)〃=4+1時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從您開始的所有正整數(shù)〃都成立.

2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示

n—no時命題成立|若(左/人)時命題成立，證明

九:清十］時命題也成立

歸納奠基歸納遞推

命題對從他開始的所有

正整數(shù)R都成立

卜高頻考點突破

高頻考點一算法的順序結(jié)構(gòu)

例1、f(?=x"—2x—3.求汽3)、f(-5)、f⑸,并計算/'(3)+汽一5)+『(5)的值.設(shè)計出

解決該問題的一個算法，并畫出程序框圖.

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【解析】算法如下：

第一步，令x=3.

第二步，把x=3代入刈="一方一3.

第三步，令不=一5.

第四步，把工二-5代入力="-2%—3-

第五步，令x=5.

第六步，把x=5代入”="一2%-3.

第七步，把為，72,%的值代入了=為+月+%.

第八步，輸出力，物加，y的值.

該算法對應(yīng)的程序框圖如圖所示：

【特別提醒】(1)順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間、框與框之間是按從上到下

的順序進(jìn)行的.

(2)解決此類問題，只需分清運算步驟，賦值量及其范圍進(jìn)行逐步運算即可.

【變式探究】如圖所示的程序框圖，根據(jù)該圖和下列各小題的條件回答下面的幾個小題.

/輸心/

f(x)=-x2+mx

/輸出/

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⑴該程序框圖解決的是一個什么問題？

⑵當(dāng)輸入的X的值為0和4時，輸出的值相等，問當(dāng)輸入的X的值為3時，輸出的值為多大?

(3)在(2)的條件下要想使輸出的值最大，輸入的x的值應(yīng)為多大？

【解析】(1)該程序框圖解決的是求二次函數(shù)人力=-*+血的函數(shù)值的問題；

⑵當(dāng)輸入的工的值為。和4時，輸出的值相等，

即滅。)=<4)?

因為{0)=0,人4)=一16+4削，

所以-16+4冽=0,

所以冽=4,人力=一"+4工

則A3)=-32+4X3=3,

所以當(dāng)輸入的x的值為3時，輸出的f(x)的值為3；

(3)因為f{x)——x~\-4x=—(x—2)2+4,

當(dāng)x=2時，_f(x)最大值=4,

所以要想使輸出的值最大，輸入的x的值應(yīng)為2.

高頻考點二算法的條件結(jié)構(gòu)

例2、如圖中x\,x2,自為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，夕為該題的最終得分.當(dāng)

荀=6,X2=9,0=8.5時，不等于()

A.11B.IOC.8D.7

思維點撥依據(jù)第二個判斷框的條件關(guān)系，判斷是利用“加=為"，還是利用“荀=為”，從

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而驗證0是否為8.5.

【答案】C

【解析】皿=6,q=9,|XI-如=3<2不成立，即為“否”，所以再輸入抽；由絕對值的意義（一個點到另一個

點的距離）和不等式如一刈<|X3-冽知，點Xi到點XI的距離小于點Xi到點JQ的距離，所以當(dāng)時，%

一刈〈悔一刈成立，即為“是，此時X2=X3,所以即竽=8.5,解得抽=11>7,5,不合題意；當(dāng)

X3>7-5B寸，如一刈中3-冽不成立，即為“否，此時X1=X3,所以艮盧F=8.5,解得X3=8>7.5,

符合題意，故選C.

【特別提醒】

（1）條件結(jié)構(gòu)中條件的判斷關(guān)鍵是明確條件結(jié)構(gòu)的功能，然后根據(jù)“是”的分支成立的條件進(jìn)

行判斷；

（2）對條件結(jié)構(gòu)，無論判斷框中的條件是否成立，都只能執(zhí)行兩個分支中的一個，不能同時執(zhí)

行兩個分支.

【變式探究】（2014?四川）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的x,yGR,那么輸出的S的

最大值為（）

【答案】C

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【解析】當(dāng)條件本），心0,X+好1不成立時輸出s的值為1；當(dāng)條件運0,膽0,x+脛1成立時42x+y,

下面用線性規(guī)劃的方法求此時S的最大值.

作出不等式組必，表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，由圖可知當(dāng)直線S=2x+y經(jīng)過點ML0A寸5最

5+兇

大，其最大值為2x14-0=2,故輸出S的最大值為2.

高頻考點三算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)

例3、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為（）

/輸出s/

A.10B.17

C.19D.36

【答案】C

【解析】開始s=0,k=2；

第一次循環(huán)s—2,k=3；

第二次循環(huán)s=5,#=5；

第三次循環(huán)s=10,4=9；

第四次循環(huán)s=19,k=17,

不滿足條件，退出循環(huán)，輸出s=19,故選C.

【特別提醒】

利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，第一要確定是利用當(dāng)型還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；第二準(zhǔn)確表示累計變

量；第三要注意從哪一步開始循環(huán).弄清進(jìn)入或終止的循環(huán)條件、循環(huán)次數(shù)是做題的關(guān)鍵.

【變式探究】當(dāng)m=7,〃=3時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）

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【答案】C

【解析】程序框圖的執(zhí)行過程如下:

m=l,?i=3B寸,加一?1+1=5,

k=m=7,5=1,5=1X7=7；

QA1=6>5,5=6x7=42：

i=Jt-l=5=5,5=5x42=210;

k=k-l=4<5,愉出5=21。故選C.

高頻考點四基本算法語句

例4、閱讀下面兩個算法語句：

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執(zhí)行圖1中語句的結(jié)果是輸出

執(zhí)行圖2中語句的結(jié)果是輸出

【答案】i=4i=2

【解析】執(zhí)行語句1,得到C，Mt+1))結(jié)果依次為(1,2),(2,6),(3,12),(42)),故輸出口4.

執(zhí)行語句2的情況如下：

i=l,i=i+l=2,/。+1)=6<20(是)，

結(jié)束循環(huán)，輸出i=2.

【特別提醒】解決算法語句有三個步驟：首先通讀全部語句，把它翻譯成數(shù)學(xué)問題；其次領(lǐng)

悟該語句的功能；最后根據(jù)語句的功能運行程序，解決問題.

【變式探究】設(shè)計一個計算1X3X5X7X9X11X13的算法.圖中給出了程序的一部分，

則在橫線上不能填入的數(shù)是()

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A.13B.13.5C.14D.14.5

【答案】A

【解析】當(dāng)填7<13時，/值順次執(zhí)行的結(jié)果是5,7,9,11,當(dāng)執(zhí)行到7=11時，下次就是i=

13,這時要結(jié)束循環(huán)，因此計算的結(jié)果是1X3X5X7X9X11,故不能填13,但填的數(shù)字只

要超過13且不超過15均可保證最后一次循環(huán)時，得到的計算結(jié)果是1X3X5X7X9X11X13.

真題感悟

1.12016江蘇高考，26](1)求的值；

(2)設(shè)m,nN*,n2m,求證：

(m+1)C：+(m+2)C：+1+(m+3)C：+2++nC：_]+(n+l)C；=(m+1)C%

【答案】（1）0（2）詳見解析

6x5x4.7x6x5x4

【解析7Cj-4Cj=7x----------4x--------=--0--.-

3x2x14x3x2x1

<2）當(dāng)〃=加時，結(jié)論顯然成立，當(dāng)〃〉冽時

又因為C鑿+cB=c^.

所以（fc+lKr=伽+1XC竭—C次）木=泄+L冽+2廣、”

因此

（冽+1總+（而+2亢％+（?+342+…+5+DC：

=（?+1亢：+［（?+2^1+（?+3亢12+…+5+1亢方

=（冽+1亢鬻+伽+DKC%—c黑）+仁常一<^；）+…+仁修-c警）］

二（冽+1亢督，

1.12015江蘇高考，23］（本小題滿分10分）

已知集合X={1,2,3},Ytl={1,2,3,…，加〃eN*）,S“={（?,。）卜整除。破整除a,

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aeX,beYn},令/(〃)表示集合S“所含元素的個數(shù).

(1)寫出/(6)的值;

(2)當(dāng)時，寫出了(“)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

'〃ny/

〃+2+—1—,n—6t

<23；

，n-ln-1^

n+2++，川一6%+1

<23)

(n/_

n+2++，〃-6%+2

<23)

【答案】(1)13(2)f(n)=<

(n-l，c

n+2++,n—6t+3

<23)

(n〃—1、/.

n+2+—H------,〃=6%+4

<23J

(n-ln-2\

n+2+------1-------,〃=6/+5

I23)

【解析】⑴7(6)=13.

6r

r(駕一1

月+2+|-----

I2

n+2+(―+――=6/4-2

U3J

(2)當(dāng)2之6時,/(〃)=<

_(n-\力1才r

并+2+|-----F—Lw=6/4-3

I23；

n+2+(—+--=6/4-4

U3J

力+2+|-----H-------],/1=&'+5

I23J

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

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①當(dāng)〃=6時，/（6）=6+2+|+|=13,結(jié)論成立；

②假設(shè)n=k（k>6）時結(jié)論成立，那么〃=左+1時，5+1在&的基礎(chǔ)上新增加的元素在

（1,左+1）,（2,左+1）,（3,左+1）中產(chǎn)生，分以下情形討論：

/、k-｝k—2

1）若左+l=6f,則左=6（1—1）+5,止匕時有/（左+1）=/（左）+3=k+2+—+二一+3

=（k+1）+2+個一+-^—,結(jié)論成立；

kk

2）若上+l=6f+l,則左=6f,此時有〃左+1）=〃4）+1=左+2+耳+3+1

/\（4+1）-1（4+1）-1i、人—一

（^+1）+2+-——號一+-——j一，結(jié)論成乂;

k—1k—1

3）若上+1=6/+2,則上=67+1,此時有/（左+1）=/（左）+2=左+2+三一+丁+2

=（左+1）+2+人+jgi）-2,

結(jié)論成立;

,、，、kk-2

4）若上+l=6f+3,貝ij上=6+2,此時有了（上+1）=/（k）+2=k+2+—H--—+2

23

=（上+1）+2+色羅+宇結(jié)論成立：

lr-\k

5）若上+l=6f+4,貝|］左=6+3,此時有，（上+1）=/（上）+2=k+2+—4----1-2

23

=（左+D+2+等+（左+?―1,結(jié)論成立；

kk

6）若上+1=67+5,則左=6r+4,此時有了（左+1）=/（左）+1=左+2+,+亍+1

二（左+1）+2+（左+A'（左+D-2

,結(jié)論成立.

綜上所述，結(jié)論對滿足6的自然數(shù)”均成立.

2.【2015高考北京，理20］已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足：qeN*,%W36,且

f2an,an18,

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記集合A/={%|〃eN*}.

(I)若4=6,寫出集合M的所有元素；

(II)若集合Af存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：”的所有元素都是3的倍數(shù)；

(III)求集合M的元素個數(shù)的最大值.

【答案】(1)M={6,12,24},(2)證明見解析，(3)8

【解析】(I)由已知4+|=1；4'之忘18'可知：氣=6,4=12,y=24,a4=12,

[24—36,an>lo

M={6,12,24}

(II)因為集合〃存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)%是3的倍數(shù)，由已知

2a

an+l=["<4^18,，可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意〃2k,a是3的倍數(shù)，當(dāng)A=1時,

n

[2an-36,an>18

則M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果A>1時，因為4=2%?或2g]—36,所以2%

KK—kK—LA—11

是3的倍數(shù)，于是％T是3的倍數(shù)，類似可得，ak_2,......芻都是3的倍數(shù)，從而對任意

n>\,a〃是3的倍數(shù)，因此"的所有元素都是3的倍數(shù).

(III)由于〃中的元素都不超過36,由氣-36,易得%~36,類似可得紇-36,其次

〃中的元素個數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因為第二個數(shù)必定為偶數(shù)，由為的

定義可知，第三個數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外，M中的數(shù)除以9的余數(shù)，由定義可知，

織+i和2a〃除以9的余數(shù)一樣，

①若為中有3的倍數(shù)，由(2)知：所有的緣都是3的倍數(shù)，所以紇都是3的倍數(shù)，所以練除

以9的余數(shù)為為3,6,3,6,..........，或6,3,6,3..............,或0,0,0,............，而除以

9余3且是4的倍數(shù)只有12,除以9余6且是4的倍數(shù)只有24,除以9余0且是4的倍數(shù)只

有36,則M中的數(shù)從第三項起最多2項，加上前面兩項，最多4項.

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②4中沒有3的倍數(shù)，則4都不是3的倍數(shù)，對于為除以g的余數(shù)只能是1,4,1,2,5,8中的一個,

從為起，為除以9的余數(shù)是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,……,不斷的6項循環(huán)(可能從2,4,8,7

或5開始)，而除以9的余數(shù)是1,2,4,8,5且是4的倍數(shù)(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所

以M中的項加上前兩項最多8項，則4=1時，#=①2,4,&16,32,28,20｝,項數(shù)為8,所以集合〃

的元素個數(shù)的最大值為8.

3.(2014?安徽卷)設(shè)實數(shù)0>0,整數(shù)夕>1,〃￡N*.

(1)證明：當(dāng)才>一1且xWO時，(l+x)0>l+〃x；

1p-1C_1

⑵數(shù)列｛&｝滿足a+i=----a+~a~P,證明：a>a+i>c-.

PnPnPnnnP

【解析】證明：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下.

①當(dāng)夕=2時，(1+X)2=1+2X+/>1+2X,原不等式成立.

②假設(shè)〃=A(A22,4￡N*)時，不等式(l+x)”l+京成立.

當(dāng)p—k~\~1時，(1+x)-1=(1+x)(1+x)”>(1+x)(1+Ax)=1+(A+1)x+Ax?>]+(4+1)x

所以當(dāng)夕=A+1時，原不等式也成立.

綜合①②可得，當(dāng)x>—1,xWO時，對一切整數(shù)P>1,不等式(1+王/>1+"均成立.

(2)方法一：先用數(shù)學(xué)歸納法證明

P

①當(dāng)77=1時，由題設(shè)知成立.

1

②假設(shè)刀=4(421,A￡N*)時，不等式a>3成立.

n-1c_

由2+1=---劣+一*—'易知為>0,刀￡N*.

pP

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由⑴中的結(jié)論得同=[1+篇-/+。惡T嚙

因此嫉+12即

所以當(dāng)n=k+1時，不等式仆嗎也成立.

綜合①②可得，對一切正整數(shù)上不等式公弓均成立.

再由等=1+^7)可得力，

艮口&1+1々2?.

綜上所述，2>劣+1>上T?￡N*.

P

方法二：設(shè)F(x)~~-x+-x~p,x2,，則"2c,

PPP

所以f'(x)=~~-+-(1—p)^-P=~--fl-3)>0.

PPP\x)

由此可得，Hx)在[2,+8)上單調(diào)遞增，因而，當(dāng)x>，時，〃x)>a，)=，.

PPPP

①當(dāng)?shù)?1時，由4>0>0,即考>c可知

=&1+-〈&,并且色一⑸弓，從而可得&〉@〉服

pPi

故當(dāng)77=1時，不等式為>“1>L成立.

P

②假設(shè)刀=A(421,A《N*)時，不等式為>&+1>,成立，則當(dāng)72=4+1時，/(^)>/(^+i),

pP

即有&+1>8+2>

P

所以當(dāng)77=4+1時，原不等式也成立.

綜合①②可得，對一切正整數(shù)〃，不等式aDan+i〉彳均成立.

4.(2014?陜西卷)設(shè)函數(shù)_f(x)=ln(l+x),g{x)=xf'(x),x20,其中/(x)是_f(x)

的導(dǎo)函數(shù).

(1)令gi(x)=g(x),g〃+i(x)=g(須(x)),〃￡N+,求助(x)的表達(dá)式；

⑵若Hx)2ag(x)恒成立，求實數(shù)女的取值范圍；

⑶設(shè)刀￡N+,比較g(l)+g(2)T----Fg(〃)與〃一/1(〃)的大小，并加以證明.

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【解析】由題設(shè)得，式乃二言產(chǎn)①.

(1)由已知，幻(力二而，

X

八"，"1+工X

甲a尸啦⑼二；7^二而？

1+l+x

y__y

0Q)=TTi?…，可得@0)=77^-

L-rJX1十m

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)〃=1時，印。)=毒，結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即/x)=［

1,1氏I

X

那么，當(dāng)戶上+IB寸，取@尸g(g@))=iK*=］+：=［+(：+1)%,即結(jié)論成立.

1+1+Ax

由①②可知，結(jié)論對〃€N+成立.

⑵已知f(x)2ag(x)恒成立，即ln(l+x)2早恒成立.

1十X

設(shè)0CY)=ln(l+x)—三乙(x20),

1+x

5?,/、1ax+1-a

則0(x)=申一(1+x)2=(i+x)2,

當(dāng)aWl時，O'(x)20(僅當(dāng)x=0,a=l時等號成立)，

??.0(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，又0(o)=o,

。(x)20在［0,+°°)上恒成立，

...aWl時，111(1+王)》乎恒成立(僅當(dāng)&=0時等號成立).

1十x

當(dāng)a>l時，對xG(0,a—1］有O'(x)<0,

二O(x)在(0,a—1］上單調(diào)遞減，

。(a—1)〈。(0)=0.

即a〉l時，存在x〉0,使0(x)〈0,

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故知ln(l+x)》H■不恒成立.

綜上可知，a的取值范圍是(一8,1].

(3)由題設(shè)知g(l)+g(2)H---卜g(〃)----

比較結(jié)果為g⑴+g(2)4---\-g(n)>n—ln(n+l).

證明如下：

方法一：上述不等式等價于:+,+…+

在(2)中取a=l,可得加(1+力7工，*0.

令X=),H€N+,則—

nn+1n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)劉=1日寸，加2,結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即;+；+-+系詢上+D.

那么>當(dāng)n=A+1時，14-1+...+1)+W^<liiS+1)+詈二呵長+2),

即結(jié)論成立.

由①②可知，結(jié)論對〃EN+成立.

方法二：上述不等式等價于+…+士〈55+1)，

23〃+1

x

在(2)中取a=l,可得ln(l+x)>]+x，x>0.

1.n~\-11

令A(yù)*=一，〃￡N+,則In--->—77.

nn〃十1

-1

故有In2-ln1>-,

In3—In2>~,

In(/?+1)-In」>〃；],

上述各式相加可得ln(〃+l)〉]+；H---F-TT，

23n-rl

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結(jié)論得證.

xx12

方法三：如圖，廣工及是由曲線y=—7,x=n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，而…

Ix+1x+123

J0

卜云是圖中所示各矩形的面積和,

=刀（n+1）,

Jo

結(jié)論得證.

5.（2014?重慶卷）設(shè)a=1,an+1=^a~2an+2,+Z?（T?eN*）.

（1）若6=1,求a2,a3及數(shù)列｛aj的通項公式.

⑵若6=—1,問：是否存在實數(shù)。使得azKWazf對所有成立？證明你的結(jié)論.

【解析】（1）方法一：8=2,4=/+1.

再由題設(shè)條件知

（如+1-1產(chǎn)（如-1）2+1.

從而｛（如-1）號是首項為0,公差為1的等差數(shù)列，

故（如一1）2=“_1,即公=Aj^i+ioEbT）.

方法二：02=2,O3=S+1.

可寫為G=41T+1,0=42-1+1,8=弋3T+1.因此猜想止二g一1+L

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式.

當(dāng)〃=1時，結(jié)論顯然成立.

假設(shè)時結(jié)論成立，即a—y/k—1+l,則

a什1=yj~1）--+1+1=q（k-1）+i+1=7（彳+1）—1+1,

這就是說，當(dāng)〃=4+1時結(jié)論成立.

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所以&=N〃—1+1(x￡N*).

(2)方法一：設(shè)廣(x)=［(x—1)2+1-1,則為+i=_f(a).

令c=f{c),即c=yf(c—1)2+1—1,解得c=［.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題

當(dāng)n=l時，0=<1)=0,內(nèi)二<0)=也—1,所以&〈不g<l,結(jié)T侖成立.

假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即sag.-i<l.

易知人力在(-8,1］上為減函數(shù)，從而

c=7?刁g+D次1)=如即

1>0^#+2>02.

再由F(x)在(-8,1］上為減函數(shù)，得c=_f(c)〈f(出+2)〈廣(㈤=&<1,

故c<a2k+3<1,因此色(什1)<。<d2(什這就是說，當(dāng)n=k+l時結(jié)論成立.

綜上，存在c=3吏對所有AGN*成立.

方法二：設(shè)/1(X)=#(*-1)2+1—1,則劣+1=/1(4).

先證：01(〃￡N*).①

當(dāng)〃=1時，結(jié)論明顯成立.

假設(shè)時結(jié)論成立，即0WaW1.

易知F(x)在(一8,1］上為減函數(shù)，從而

0=F⑴WF(a)Wf(O)=y［2-l<l.

即OWa+iWl.這就是說，當(dāng)〃=A+1時結(jié)論成立.故①成立.

再證：加〈西+1(〃￡2).②

當(dāng)?shù)?1時，a2=f(l)=0,由=式面=f(0)=6—1,所以&<&,即〃=1時②成立.

假設(shè)刀=A時，結(jié)論成立，即功左〈〃2什1.

由①及F(x)在(一8,1］上為減函數(shù)，得

3.2k+1=f(3,2k)>3.2k+1)=&k+2，

/(4+1)=Haa+i)(色4+2)=。2(4+1)+1.

這就是說，當(dāng)〃=A+1時②成立.所以②對一切〃金N*成立.

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由②得^n—2a2〃+2—1,

即（期+1）2〈原—2曲+2,

因此&弓.③

又由①②及F（x）在（-8,1]上為減函數(shù)，得/1（期）＞/1（如+1）,即如+1＞出+2.

所以。2〃+1內(nèi)/〃+1—2d2〃+l+2—1,解得儂+1＞]④

綜上，由②③④知存在c=；使〈的+i對一切/?￡N*成立.

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]_n+2

1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明"1+0+@2+…+an+i=^^（awi,n￡N*）”時，在驗證n=l成立

1—a

時，左邊應(yīng)該是（）

A.1B.1+a

C.l+a+a~D.l+a+a"+a3

【答案】C

【解析】當(dāng)n=l時，左邊=l+a+a\故選C.

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)〃是正奇數(shù)時，能被x+y整除"，在第二步時，正確的

證法是（）.

A.假設(shè)〃=4（AGN+）,證明A=4+1命題成立

B.假設(shè)〃=#（4是正奇數(shù)），證明〃="+1命題成立

C.假設(shè)〃=24+1（4GN+）,證明〃=4+1命題成立

D.假設(shè)〃=瓜"是正奇數(shù)），證明〃="+2命題成立

【答案】D

【解析】A、B、C中，"+1不一定表示奇數(shù)，只有D中A為奇數(shù)，"+2為奇數(shù).

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1—----匕1----則當(dāng)n=k+1時,

2342/7-12刀刀十1〃十22〃

左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上（）.

A---1--R----1--

2A+22A+2

111.1

C-----------n-----+-----

2A+12A+22k+l2k+2

【答案】C

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【解析】?.,當(dāng)〃=2時，左側(cè)=1…+藐、一/當(dāng)”=4+1時，

左側(cè)…^T+W一壺.

4.對于不等式護(hù)二<〃+l(〃eN*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：

(1)當(dāng)〃=1時，^/12+1<1+1,不等式成立.

⑵假設(shè)當(dāng)A=#(#GN*且次21)時，不等式成立，即1柄+“〈"+1,則當(dāng)〃=4+1時，

■\l~~k~\~M-1+=7斤+3k+2<7~優(yōu)+34++H+=?~M-立=(4+1)+

1,

所以當(dāng)〃=A+1時，不等式成立，則上述證法().

A.過程全部正確

B.〃=1驗得不正確

C.歸納假設(shè)不正確

D.從〃=?到〃="+1的推理不正確

【答案】D

【解析】在〃=4+1時，沒有應(yīng)用〃=4時的假設(shè)，故推理錯誤.

5.下列代數(shù)式(其中AGN*)能被9整除的是()

A.6+6?lkB.2+7*T

C.2(2+7i+1)D.3(2+7，

【答案】D

【解析】(1)當(dāng)左=1時，顯然只有3(2+7*)能被9整除.

⑵假設(shè)當(dāng)A=A(AGN*)時,命題成立，即3(2+7”)能被9整除，

那么3(2+7e)=21(2+7")—36.

這就是說，k=n-\~\時命題也成立.

由(1)(2)可知，命題對任何4GN*都成立.

6.已知1+2X3+3X32+4+33H---F〃><3E=3"(3—6)+c對一切〃eN*都成立，則a、b、

c的值為().

111

A.a=5，b=c=-B.a=b=c=~^

C.a=0,b=c=~D.不存在這樣的a、b、c

【答案】A

【解析】???等式對一切〃GN*均成立，：.n=1,2,3時等式成立，即

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1=3a-b+c,

<1+2X3=32a~b+c,

.1+2X3+3X32=33a~b+c,

343—36+c—1,

整理得<|18a—96+c=7,

、81a—276+c=34,

角星得a=],b=c=~

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式出+++…+￡>||的過程中,由〃=力推導(dǎo)片-1時,

不等式的左邊增加的式子是一

【答案】，+?A+

【解析】不等式的左邊增加的式子是托一/=曰?無,故填

_________1_________

-k+k+-'

8.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

…+(2n—J(2n+1)=瑞儲?當(dāng)推證當(dāng)n=k+1等式也成立時,用上歸納

假設(shè)后需要證明的等式是.

r型素】k(k+l)(k+l)?_____(k+1)(k+2)

1口木’2(2k+l)+(2k+l)(2k+3)=2(2k+3)-

【解析】當(dāng)n=k+lB寸，

工+至+?k2(k+lp

1x3十3x5十…十(2k-l)(2k+1)(2k+l)(2k+3)

=k(k+l)(k+"

2(2k+l)(2k+l)(2k+3)

故口需證明處+1)T____也+])2---

聯(lián)八所H/12(2k+1)(2k+l)(2k+3)

=喘/％可.

IJJ

9.已知整數(shù)對的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),

(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),則第60個數(shù)對是

【答案】(5,7)

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【解析】本題規(guī)律：2=1+1；3=1+2=2+1；

4=1+3=2+2=3+1；

5=1+4=2+3=3+2=4+1；

一個整數(shù)n所擁有數(shù)對為5—1）對.

n—n

設(shè)1+2+3+…+(〃-1)=60,???——-——=60,

時還多5對數(shù)，且這5對數(shù)和都為12,

12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,

???第60個數(shù)對為(5,7).

10.在數(shù)列｛2｝中，劭=勺且Sn=n｛2n—\)an,通過計算2，猜想為的表達(dá)式是

]

【答案】a=

n一7?+

【解析】當(dāng)〃=2時，＜21+02=602,即＜22=，1=,；

當(dāng)?!—3時＞G+0+&=15&,

即03=9°1+0)=表；

當(dāng)n=4時，〃1+0+&+＜2+=28&,

即ai=^(ai+&+0)=表一

._1_1_1_1_1_1_1

?⑷一廠面’④一記一而’8一活—的‘"一標(biāo)‘

故猜想&=2n_l2?i+l-

11.已知S=l+；+；H------1-^(/7＞1,〃￡N*),求證：甌＞1+'|(〃22,T?￡N*).

【解析】

111252

證明⑴當(dāng)77=2時，甌=2=1+5+鼻+7=行＞1+5，即〃=2時命題成立;

乙。d_L乙乙

⑵假設(shè)當(dāng)〃="(心2,AGN*)時命題成立，即甑=1+9%“+5＞1+(,

則當(dāng)n=k+1時，￡A+I=1+|-+-H------^p+2A+l1k111

產(chǎn)＞1+2+2k+l+2k+224+1〉]

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,k,2*k\,k+1

+尹2"+2*—1+2+2-1+2

故當(dāng)〃="+1時，命題成立.

77

由(1)和(2)可知,對〃22,〃￡N*.不等式甌>1+萬都成立.