2022-2023學(xué)年江西省九江市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江西省九江市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若2=i+2*+3?3,則團(tuán)=()

A.4B.8C.2\/~2D.4。

n

2.C0S12-sin^=()

1小口匚

A.2B,2C.2D.2

3.如圖，正方體4BCD-&B1GD1中，。是底面4BCD的中心，M,

N,P,Q分別為棱DDi，&Bi，當(dāng)6的中點(diǎn)，則下列與8傳垂

直的是（）

A.0M

B.ON

C.OP

D.OQ

4.已知非零向量之花滿足|中=/7|引，且0+石）1人則蒼與石的夾角為（）

A萬「37r

A"BTC.彳D,6

5,已知Q=sin'b=cos^,c=tan^,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

sma

6.若a6tan2a=n,則tcma=（）

A.-AHL5B.C.廢D.Afl5

7.把半徑為R的一圓形紙片，自中心處剪去中心角為120。的扇形后圍成一無底圓錐，則該圓

錐的高為()

A.4B.C.罩D.空空

8.在△ABC中，若義+一二，則cosA的取值范圍為()

tanBtanCtanA

A.(0,1]B.[1,1)C.(0,1]D.[1,1)

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知非零向量五，b，c,貝4（）

A.^ct-c=b-c>則五=E

B.若m=方一（||）石，則五_L下

C.若五=|B后則落（共線

D.^|a—6|=|a|+|&|?則方，方共線

10.若a為第四象限角，則（）

A.cos2a>0B.sin2a<0C.tan^<0D.cos^<0

11.關(guān)于函數(shù)f(x)=cosx+|sinx|,下列結(jié)論正確的是（）

A./Q）是偶函數(shù)B./（%）的最小正周期為7T

C.f（x）在區(qū)間6,兀）上單調(diào)遞減D.的最大值為2

12.如圖，正方體ABCD-AiBiGCi中，AAr=2,P為線段BQ上

的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.B]D1ArP

B.1平面POOi

C.三棱錐P-ACD1的體積為定值

D.4P+PC的最小值為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知z=（m+1）+（>1-2/在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

14.己知向量3=（1,—1）,方=（2,-1），則五+石在五方向上的投影數(shù)量為.

15.△4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知b+c=3a（sinB+sinC^b2+c2-a2=

8,則△4BC的面積為.

16.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的解解九章算法?商功少中出現(xiàn)了如圖所示的

形狀，后人稱為“三角垛”.如圖“三角垛”共三層，最上層有1個(gè)球，第

二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，每個(gè)球的半徑均為1且兩兩相切，則該“三

角垛”的高度為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知函數(shù)/（x）=2si.nxsin[x+

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若t(ma=?，求/(a)的值.

18.(本小題12.0分)

已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，乙IBC=pP為平面4BCD內(nèi)一點(diǎn)，AC與8P相交于點(diǎn)Q.

(1)若方=而，AQ=xBA+yBC，求4,y的值；

⑵求(同4-麗),玩最小值.

19.(本小題12.0分)

如圖，S為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，M是AS4C的

重心.

(1)求證：OM〃平面S4B；

(2)若￡4=AB,OM=1,求圓錐SO的體積.

20.(本小題12.0分)

如圖，已知函數(shù)/'(x)=sin&x+0)?>0,|初<芻的圖象與x軸相交于點(diǎn)44,0),圖像的一

個(gè)最高點(diǎn)為

(1)求f(l)的值；

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移g個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)—

1)的所有零點(diǎn)之和.

21.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cs譏華=bs譏C.

⑴求B;

(2)若aHe,。為角B的平分線上一點(diǎn)，且=求證：A,B,C,。四點(diǎn)共圓.

22.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC-&中，AB=AC=AAt=2,^ABBr=ACJL平面/4出8.

(1)求證：ArB1平面ABiC；

(2)若點(diǎn)E在棱4勺上，當(dāng)AACE的面積最小時(shí)，求三棱錐&-4CE外接球的體積.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：z=i+2i2+3p=i_2-3i=-2-2i,

|z|=J(-2尸+(-21=2口

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閏os合一sin工

/7T兀、?/加兀、

=cos(---)-sin(---)

717T,.Tl.1l.7T7T,71.7T

=cos-cos7+sin-sin--sin-cos-4-cos-sin-

34343434

1>/~2,<3Q<3>T2,1?

=2X—+—X^~—X—+2X—

=

故選：D.

將工拆分成號(hào)-今然后利用兩角差的正弦余弦公式展開計(jì)算即可.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：取4。的中點(diǎn)R,連接MR、OR、NR、DAr,

根據(jù)正方體的性質(zhì)可得BiC〃力道，MR//A.D,OR//AB,

所以NOMR為異面直線BiC與0M所成角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則OR=1,MR=Vl2+I2=V-2,OM=JI2+(V-^)2=V-3,

所以0R2+MR2=。"2,所以/ORM=90。，顯然NOMR#90。，故直線&C與。M不垂直，故A

錯(cuò)誤，

因?yàn)镺R1MR,MR〃A、D,所以O(shè)R1.4。，又NR14力,ORCNR=R,OR,NRu平面ONR,

所以4C，平面ONR,ONu平面ONR,所以1ON,所以當(dāng)C1ON,故3正確;

取BC的中點(diǎn)E,連接OE、BiE,則OE//AB且OE=^AB,又PB//AB且PB】="B,

所以。E〃PB[且OE=PB「所以。EB#為平行四邊形，所以。P〃EB],

所以4CB】E為8傳與。P所成的角，顯然“B1EH90。，所以8傳與。P不垂直，故C錯(cuò)誤;

連接EQ,因?yàn)?。E1平面BCC/i，u平面BCC/i，所以0E1&C,

若B1C1.OQ,OQHOE=0,OQ,OEu平面。QE,所以8道L平面。QE,

又EQu平面OQE,所以&C，EQ,顯然8傳與EQ不垂直，故假設(shè)不成立，

所以BiC與0Q不垂直，故。錯(cuò)誤.

D,C.

4

Af

A

故選：B.

取4。的中點(diǎn)R,連接MR、OR、NR、即可證明4。1平面ONR,從而判斷B；

再由平行得到異面直線所成角，即可判斷4、C；

利用反證法說明D.

本題考查空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?五+b)J.b，所以0+b),方=0，得日不=一片，

設(shè)為與方的夾角為。，

-

因?yàn)閨1a|1=V12|1b|，所以cos9=0g="一2—

同網(wǎng)2

因?yàn)?€[0,捫,所以"學(xué).

故選：C.

由0+E)1.石，得位+為4=0,化簡(jiǎn)后可求出方7,然后利用夾角公式求解即可.

本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：因?yàn)樵?gt;［>］,siW>sing>sin%所以孕<a<l，

2542542

n4直■匚匕［、i八,V-2

cos-<cos-<cos-,所以0<bv^-,

2542

c=tan7>tan7=1,所以c>a>b.

54

故選：D.

根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)線，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：由三角函數(shù)的基本關(guān)系式和倍角公式，可得tan2a=當(dāng)=學(xué)等零

cosza2cos￡a—l

rncsina匕匕［、］2sinacosasina

因?yàn)閠an2a=———，所以^~~5—r=——，

2+cosa2cos￡a-l2+cosa

整理得4sinacosa+2sinacos2a=2sinacos2a—sina,^4sinacosa=—sina,

因?yàn)閍￡(0,4)，可得s譏a芋O所以cosa=-；,

則sina=>/1—cos2a=所以Cana=四"=—V15.

4cosa

故選：A.

根據(jù)題意，利用三角恒等變換的公式，化簡(jiǎn)得到4s譏acosa=-sina,求得cosa=,結(jié)合三角

4

函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.

本題主要考查三角函數(shù)的同角公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)無底圓錐的底面半徑為r,其母線長(zhǎng)為R,

則有2b=%等，變形可得「=差，

loUo

故該圓錐的高h(yuǎn)=JR2_（爭(zhēng)2=整.

故選：C.

根據(jù)題意，設(shè)無底圓錐的底面半徑為r,由弧長(zhǎng)公式可得「=竽，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

本題考查圓錐的兒何結(jié)構(gòu)，關(guān)鍵是求出圓錐的底面半徑，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，

是中檔題.

由己知等式化切為弦，可得COS4=-^L，結(jié)合正弦定理、余弦定理及基本不等式求得cosA的

sinBsinC

最小值，則答案可求.

【解答】

解?〈II1=1

,tanBtanCtan4

cosBcosC_cos4

sinBsinCsin/l

司彳旦sinCcosB+cosCsinBsin/l_cos/l

sinBsinCsinBsinCsin/1

sin2A

???cosA=

sinBsinC

又號(hào)=-^=$=2/?,（R為△ABC外接圓的半徑）

cin21cmMcinf''

b2+c2-a2

cosA2bc'

由正弦定理可得噲4,

可得3a2=%2+c2.

.b2+c2-a2b2+c2—bb2+c22bc2,

,?s"=F^=—而一二#之荻一

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取等號(hào)，

又A6(0,兀)，

C0SZ1的取值范圍為

故選D

9.【答案】ABD

【解析】解：非零向量乙a乙

對(duì)于4若五1=九3EP|a|-|c|.cos<a,c>=|K|-|c|-cos<K,c>，SP|a|'cos<a,c>=

|K|<cos<b,c>f得不到五=方,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,a-c=a-(a-b)=\a\2-a-b=\a\2-\a\2=0>

a-ba-b

所以五，乙故B正確；

對(duì)于C,若胃=|由3且B為非零向量，由平面向量共線定理可知，a,不共線，故C正確；

對(duì)于。，|為一石|=\a\+|K|.

則為與方是共線且反向，故。正確.

故選：ABD.

由向量數(shù)量積的定義即可判斷4由向量數(shù)量積的運(yùn)算律，代入計(jì)算，即可判斷B,由平面向量共

線定理即可判斷C,由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，即可判斷。.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

10.【答案】BC

【解析】解：由于a為第四象限角，所以?兀+2/OT<a<2兀+2k;r,k€Z,

3

-+

川T以37r+4k7t<2a<4714-4kn,kEZ,47rkn<-<nkn,kEZ,

所以2a終邊落在第三、四象限以及y軸負(fù)半軸上，卷終邊落在第二或第四象限的角,

故BC正確，A。錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)a為第四象限角，可得2a,與的范圍，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)在各個(gè)象限的正負(fù)即可判斷.

本題主要考查三角函數(shù)的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AC

【解析】解:對(duì)于4,/(%)的定義域?yàn)镽,-S./(—x)=cos(-x)+|sin(-x)|=cosx+|sinx|=/(x),

故f(x)為偶函數(shù)，故A正確，

對(duì)于B,由于f(0)=cosO+|sinO|=1,/(TT)=cosn+|sin7r|=—1,所以/(0)*/(兀)，故兀不是

f(x)的周期，故B錯(cuò)誤,

對(duì)于C,當(dāng)x€第兀)時(shí),/(x)=cosx+sinx=sin(x+$,%+：e⑤%U(py),故/'(x)在

區(qū)間(泉兀)上單調(diào)遞減，故C正確，

(V^sinfx+<x<7r+2kn,

對(duì)于D,f(x')=cosx+Isinxl=<,_其中keZ,

(V~^cos(x+n-),7T+2kn<x<2n+2kn,

所以f(x)取不到2,故。錯(cuò)誤，

故選：AC.

由題意，根據(jù)偶函數(shù)的定義可判斷4根據(jù)“0)4/(兀)即可判斷B,根據(jù)整體法即可判斷C,去掉

絕對(duì)值根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4，如圖(1)所示，在正方體48。。一&81(71。1中，連接&B,4G，連接4名,

在正方形ZBB14中，可得ABil&B,

由ZDJ■平面ABB14,A/U平面488出，所以4D14B,

因?yàn)锳DCI4B1=AfUO,4B1U平面所以_L平面48/,

又因?yàn)楫?dāng)。u平面力Bl。，所以為B1B1。，

連接/D1，同理可證4G1平面&D1D,因?yàn)?Du平面BWiD,所以4GJ.&D,

因?yàn)锳iBDAiG=41且4iB,&Gu平面&8的，所以當(dāng)。1平面4口的，

因?yàn)?Pu平面&BC1，所以當(dāng)014小，所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)P不與B重合時(shí)，過點(diǎn)P作EEJ/BB],

因?yàn)?&〃DDi，所以EEJ/DDi，所以平面PDD1即為平面。?；ɑ?，

如圖所示，在正方形為B1GD]中，41cl與DiEi不垂直，

所以41cl與平面POD1不垂直，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,分別連接AC,A。1，CDr,

在正方體ABCD-4/1。也，因?yàn)椤?，ArBC平面AC%CD】u平面亦以，

所以4B〃平面4CD],同理可證：Be1〃平面AC/,

因?yàn)镃l8cl=8且BCiu平面&BCi，所以平面4BG〃平面AC。],

因?yàn)锽Ciu平面4BG，所以BG〃平面AC。1，

又因?yàn)镻是BG上的一動(dòng)點(diǎn)，

所以點(diǎn)P到平面AC。1的距離等于點(diǎn)B到平面ACDi的距離，且為定值，

因?yàn)椤?CD1的面積為定值，所以三棱錐P-4CD1的體積為定值，所以C正確；

對(duì)于C,將aBCCi繞著BCi展開，使得平面&BG與平面BCG重合，

如圖(2)所示，連接&C,當(dāng)P為&C和BCi的交點(diǎn)時(shí)，

即P為BG的中點(diǎn)時(shí)，即41C1BG時(shí)，&P+PC取得最小值,

因?yàn)檎襟w4BCD-4B1GD1中，力4=2,=BCr=AXCX=BC=Cg=2,

在等邊△&BCi中，可得4$=/石，在直角ABCQ中，可得CP=，2，

所以為P+PC的最小值為，石+V2，所以。正確.

故選：ACD.

在正方體中，易得/D，平面A/G，可判定A正確；

過點(diǎn)P作EEJ/BB],得到平面PD么即為平面。。遂出，結(jié)合&G與。出1不垂直，可判定B錯(cuò)誤；

由平面4BG〃平面證得BCi〃平面AC。],得到點(diǎn)P到平面"5的距離等于點(diǎn)B到平面力CCi

的距離，且為定值，可判定C正確；

將^BCG繞著BG展開，使得平面4/G與平面BCQ重合，連接4C,得到4道1BQ時(shí)，41P+PC

取得最小值，可判定。正確.

本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題.

13.【答案】(一1,2)

【解析】解：由復(fù)數(shù)z=(m+1)+(m-2)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(m+l,m-2),

因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則滿足解得-1＜瓶＜2,

所以實(shí)數(shù)TH的取值范圍是(-1,2).

故答案為：(-1,2).

根據(jù)題意得到復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(m+l,m-2),結(jié)合題意，列出不等式組，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】零

【解析】解：五+9在行方向上的投影為|a+b|cos(a+b,a)=號(hào)薩=曹=篙=亨.

故答案為：號(hào).

根據(jù)向量投影的計(jì)算公式即可求解.

本題主要考查了向量的投影數(shù)量的求解，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】?

【解析】解：由正弦定理可得5譏8+sinC=SsinA^sinB+sinC),

由于＞0,sinC＞0,所以1=3sinA=sinA=

由爐+12—02=8得2bccos4=8,

???cosA＞0,

故cos4=V1—sin27l=

所以be=1=

cosA

故^ABC的面積為2x-^—7sinA=

22cosA2

故答案為：

根據(jù)正弦定理邊角化得si九4=』進(jìn)而可得cosA=V1-Sin24=手,由余弦定理和面積公式即

可求解.

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

16.【答案】警+2

【解析】解：根據(jù)題意可知：連接頂層1個(gè)球和底層邊緣3個(gè)球的

球心得到一個(gè)正四面體，且該正四面體的棱長(zhǎng)為4,

所以該“三角垛”的高度為正四面體的高九+2,

如圖正四面體S-ABC棱長(zhǎng)為4,

設(shè)底面4BC的中心為E,連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)0,則。為4C的

中點(diǎn)，

連接SE,則SE為底面ZBC上的高，

所以BD=742"=2AT3>BE=|BD=年，

所以SE=J42—（殍/=亨，

所以“三角垛”的高度為亨+2.

故答案為：號(hào)+2.

依題意連接頂層1個(gè)球和底層邊緣3個(gè)球的球心得到一個(gè)正四面體，且該正四面體的棱長(zhǎng)為4,則

該“三角垛”的高度為正四面體的高九+2,求出正四面體的高，即可得解.

本題考查球的幾何性質(zhì)及應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)?(x)=2sinxsin(x+g)-=2sinx(^sinx+ycosx)—g=sin2x+??

(2sinxcosx')-g=?sin2x—；cos2x=sin(2x—.)，

所以7=y=7T;

(2)因?yàn)閠ana=?,所以tm2a=^=4/3,

f(a)=sin(2a-^)=?sin2a—^cos2a—cos2a(^tanZa—g)=(cos2a—

.2xn1、cos2a-sin2a1、l-tna2a,\T3,1、11

sinzct)(-z-tan2cc--)=—----丁,tano2a--)=——丁tan2oa--)=-?

22,cos2a+snza22,1+tan%、22/14

【解析】(1)根據(jù)三角恒等變化及輔助角公式可得f(x)=sin(2x-》，利用周期公式求解即可；

(2)由已知可得tan2a=415，根據(jù)f(a)=sin(2a—^)=?！北龋?，“2a.tan2a—g),求解即可.

本題考查了三角恒等變化、三角函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)當(dāng)方=而時(shí)，則P為AC的中點(diǎn)，

由于△APQ?△CBQ,所以/=黑=￡,

AQ=^AC=^(AB+BC)=-^BA+^BC,

所以x=-1,y=I；

(2)由于四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且乙4BC=*建立如圖所示的直角坐標(biāo)系:

則做2,0),8(0,0),C(l,<3)，

取4B中點(diǎn)為M,連接PA,PB,則PA+PB=2PM.

設(shè)P(x,y)

PM=(l-x,-y),PC=(l-x,<3-y).

(PA-PC=2PM-^C=2[(1-x)(l-x)-y(C-y)]=2(x2+y2-2x-V3y+1)

=2[(x-l)2+(y-^)2]-|，

故當(dāng)x=Ly=早時(shí)，(港+而)?正最小值為一半

LN

【解析】(1)建立直角坐標(biāo)系，利用向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解,

(2)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合二次型多項(xiàng)式的特征即可求解最值.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：取力C的中點(diǎn)N,連接SN,BN,

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，SA=SC,

所以。，M分別在BN,SN上，

因?yàn)镸是△SAC的重心，

所以需=2,

因?yàn)?。為?BC的重心，

所嚅=2,

所喘常

所以O(shè)M〃SB,

因?yàn)镾Bu平面SAB,OMC平面S4B,

所以0M〃平面S4B；

(2)解：因?yàn)镺M〃SB,

所以"="=工

“以SBBN3

因?yàn)?。M=1,

所以SB=3,

所以SA=AB=3,

因?yàn)?。為等?48c的重心，

所以BO=|x?4B=gx?x3=C，

所以底面圓的面積為兀(，3)2=3兀，S。=VSB2-BO2=門,

所以圓錐S。的體積為彳x3nxAT6=CTT.

【解析】⑴取AC的中點(diǎn)N,連接SN,BN,由時(shí)是^SAC的重心，0為44BC的重心，可得券=削=2,

從而得0M〃S8,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)由。M=l,得5B=3,則SA=AB=3,從而可求出B。，SO,進(jìn)而可求出圓錐的體積.

本題考查了線面平行的判定定理，重點(diǎn)考查了圓錐的體積公式，屬中檔題.

20.【答案】解:⑴由題意可得,"=|-1=

所以7=2=空，所以3=7T,

20)

又因?yàn)楹瘮?shù)/'(%)=sin(7T%+口)的圖象的

一個(gè)最高點(diǎn)為

所以=$m(3兀+9)=1,所以|兀+9=/+2kn,kGZ,

所以<p=-、+2kjc,kEZ.

因?yàn)?01Vl所以9=一年所以f(%)=sing-》

所以/⑴=sin(7r-^)=siny=??

(2)將函數(shù)y=f(%)的圖象向左平移;個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(%)的圖象，

所以g(X)=sin[n-(x+1)-1]=sinnx.

令g(x)-"(x-1)=0,得sin7rx=^(x-1),問題等價(jià)于y=si/izr%與y=-1)圖象的所有交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

函數(shù)y=sirmx與y=-1)的圖象都關(guān)于(1,0)對(duì)稱.

1

令1<

-4-(X1)<1,解得：一3三工工5,

畫出函數(shù)y=simr%與y=j(x-1)的圖象如下圖所示：

故兩函數(shù)的圖象有且僅有9個(gè)交點(diǎn)(與,%),(%2，月)，……，(%9，%)，

所以=4x2+1=9,故函數(shù)y=g。)一；(無一1)的所有零點(diǎn)之和為9.

【解析】(1)利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的解析式，即可求出/(I)的值.

(2)由三角函數(shù)的平移變換求出y=g(x),問題等價(jià)于y=s出兀r與y=*(%-1)圖象的所有交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)之和，畫出y=s譏兀%與y=；(%—1)圖象，求解即可.

本題主要考查函數(shù)y=汨譏(3%+9)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由正弦定理及csin華1=bsinC,

得sinCs勿=sinBsinCy

因?yàn)榱?B+C=7T,B,Ce(0,7T),

則sinC>0且(0,今，

所以sinB=sin^y^-=sin^=-^=cosp

即Zsin?cos?=cos?,

則sin?=I，

得巨=

付2-6，

所以8=宗

(2)證明：由⑴得：B=1.

如圖aRc,。為角B的平分線上一點(diǎn),

所以NB04=乙=三