【新人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊課時作業(yè)】空間向量運算的坐標表示

空間向量運算的坐標表示

(45分鐘100分)

一、選擇題(每小題6分，共30分)

1.(2013?大理高二檢測)在空間直角坐標系中，點A(1,0,1)與點B(2,1,-1)之間

的距離是()

A.V6B.6C.V3D.2

2.已知a=(入+1,0,2),b=(6,2PT,2人)，若a〃b,則入與U的值分別可以為

()

A.2,-B.-C.-3,2D.2,2

?37

3.(2013?金華高二檢測)向量a=(-2,-3,l),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列結論

正確的是()

A.a//b,a±bB.a//b,a±c

C.a〃c,aJ_bD.以上都不對

4.設晶=(cosa+sina,0,-sina),BC=(0,cosa,0)則IAC|的最大值為()

A.3B.V3C.273D.3>/3

5.(2013?大連高二檢測)已知向量a=(l,l,0),b=(-l,0,2),Kka+b與2a-b互

相垂直，則k的值是()

A.1B.-C.-D.-

555

二、填空題(每小題8分，共24分)

6.(2013?石家莊高二檢測)已知0(0,0,0),A(1,0,0),B(0,-1,1),0A+入0B與0B

的夾角為120°,則人的值為.

7.(2013?杭州高二檢測)已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5),貝ijAB

與AC的夾角為.

8.已知a=(3,-2,-3),b=(-l,x-l,1),且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍

是.

三、解答題(9題,10題14分,11題18分)

9.已知關于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有兩個實根,a=(-1,1,3),b=(1,0,

-2),c=a+tb.

(1)當|c|取最小值時，求t的值.

(2)在(1)的情況下,求b和c夾角的余弦值.

10.(2013?衡水高二檢測)如圖，已知矩形ABCD所在平

面外一點P,PA_L平面ABCD,E,F分別是AB,PC的中點.

⑴求證:EF_LCD.

⑵若NPDA=45°,求EF與AP夾角的大小.

11.(能力挑戰(zhàn)題)如圖所示,ABCD-ABCD是正四棱柱.

⑴求證:BD_L平面ACCA.

(2)若二面角C-BD-C的大小為60°,求異面直線BG與AC所成角的余弦值.

答案解析

1.【解析】選A.解B=|AB|

=7(2-I)2+(1-0)2+(-1-1)2=V6.

2.【解析】選A.，.飛〃!)，...存在k,使得a=kb,即(入+1,0,2)=k(6,2u-1,2?O,

IA4-1=6k,(1(i

即。解得□

J=k(2p—l),u=￡或2

(2=2kA,3=2=-3.

［變式備選］已知三點A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一條直線上，那么

()

A.a=3,b=-3B.a=6,b二一1

C.3:Z3,b—2D.3=:-2,b—1

［解析］選C.根據題意AB=(1,-1,3),AC=(a-1，-2,b+4),

—?—+—?—?

TAB與AC共線，，存在入，使AC二入AB,

即(a-1,-2,b+4)=(入「入，3人)，

a-1=入，(a=3,

，—2=-A,解得b=2j

、b+4=3A,A=2.

3.【解析】選C.Va?b=0,Aa±b,又a士，...a〃c,故選C.

7

4.【解題指南】求出|品|的表達式，利用三角函數(shù)的有界性求其最大值.

［解析］選B.由題意知AC二AB+BO(cosa+sina,cosa,-sina),

IAC|=y(cosa+sina)2+cos2a+(—sina)2

二，sin2a+2,

sin2aG［-1,1］,|AC|max=VlT2=V3.

5.［解析］選C.ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).

(ka+b)±(2a-b),

(ka-b)?(2a-b)=3(kT)+2k-4=0,解得k=2

5

6.【解析】0A+入OB=(1,0,0)+(0,-入，入)=(1,一入，入)，

OB=(0,-1,1).據題意可得

_2入二△,解得人二一在(入二漁舍去).

歷“+2入2266

答案:―-

7.【解析】易知贏(一2,-1,3),屆(1,一3,2),

TT

?/\\廠、

..cos<AB,AC>=—AB—*A—C~—2+3+61

|AB||AC|V14XV147

又<人8,AO￡[0,n],故<人8,AC>=-.

3

答案,

3

8.【解析】與b的夾角為鈍角，.'.a?b<0,

/.3X(-1)+(-2)X(x-1)+(-3)X1<0,解得

x>-2.若a與b的夾角為n,則x=-,

3

Axe(-2,-)U(-,+oo)

33

答案：(-2,3)U(-,+oo)

33

【誤區(qū)警示】解答本題時不要忽視把a與b的夾角為180°時的情況剔除.

9.【解析】9)因為關于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有兩個實根,

所以△=[一(t-2)]乙4(t2+3t+5)20,

即-4WtW-±.

3

又c=(7,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),

所以Ic|=7(-l+t)2+l2+(3-2t)2

=/5（t-；）2+?.

\J55

因為t￡[-4,--]時，上述關于t的函數(shù)單調遞減,

3

所以當t二-士時，|c|取最小值叵.

37

（2）當t=—士時,c二（二,1,蘭），

323

b?c

所以cos<b,c>=\b\\c\

Q+02+(_2)2xJ(一32+m+(52

4141V1735

VI7351735'

【拓展提升】求向量模的最值

在向量的坐標運算中常出現(xiàn)求某向量模的最值的問題，解決這類問題首先要根

據向量的坐標運算求出待求模的向量的坐標，往往坐標內含有參數(shù)，再根據題目

條件求出參數(shù)的取值范圍（本題中用△20求參數(shù)范圍），最后寫出模的表達式,

利用函數(shù)的性質求模的最值.

10.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設

AB=2a,BC=2b,PA=2c,

則：A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),

P(0,0,2c).

VE為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，

I.E(a,0,0),F(a,b,c).

(1)CD=(-2a,0,0),EF=(0,b,c),

CD?EF=(-2a,0,0)?(0,b,c)=0,，CD±EF,EF±CD.

(2)若ZPDA=45°，貝可有2b=2c,

即b=c,

/.EF=(O,b,b),AP=(O,0,2b),

Z.cos<EF,AP>=(二￡

V2b-2b2

.,.<EF,AP>=45°,

即EF與AP的夾角為45°.

11.【解析】建立空間直角坐標系如圖所示:

(1)設AD=a,D*b,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),G(0,a,b).

/.BD=(-a,-a,0),AC=(-a,a,0),Cg=(0,0,b),/.BD?AC=0,BD?CC^O,

.-.BD±AC,BD±CC1,

AC,CCu平面ACCA，且ACACG=C,

...BDJ■平面ACCA.

⑵設BD與AC相交于0點，則點0坐標為(-,0),

22

OC^C-ppb),連接0G,

ABD?OC]=0,

,

ABD?OC^O,..BD±C1O,又BD±CO,

...NCQC是二面角C-BD-C的平面角，

ZCi0C=60°.

tanZCQC=CCI-2一、”b居.

OCV2a*7