江蘇省南京市2022-2023學年高二上學期期中數(shù)學試題(學生版+解析)

南京市2022-2023學年度第一學期期中調(diào)研測試高二數(shù)學2022.11注意事項：1.本試卷共6頁，包括單項選擇題(第1題~第8題)?多項選擇題(第9題~第12題)?填空題(第13題~第16題)?解答題(第17題~第22題)四部分.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的學校?姓名?考生號填涂在答題卡上指定的位置.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則()A.2 B. C.5 D.102已知直線l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，則實數(shù)m=()A. B.0 C.2 D.±23.已知雙曲線的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.4.直線與直線關于直線對稱，則直線的傾斜角是()A. B. C. D.5.我們把所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為V=h(S+4S0+S')，其中S，S'分別是上?下底面的面積，S0是中截面的面積，h為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應邊平行(如圖)，下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底長?寬比下底長?寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為4噸的卡車裝運，則至少需要運()(注：1立方米該建筑材料約重1.5噸)A.63車 B.65車 C.67車 D.69車6.已知均為銳角，且，則()A B. C.2 D.37.已知橢圓的上頂點為，左?右焦點分別為，連接并延長交橢圓于另一點，若，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.8.在矩形中，為線段上的動點，過作的垂線，垂足為，則的最小值是()A.1 B. C. D.4二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.甲?乙兩城市某月初連續(xù)7天的日均氣溫數(shù)據(jù)如下圖，則在這7天中，()A.乙城市日均氣溫的極差為3℃B.乙城市日均氣溫眾數(shù)為24℃C.甲城市日均氣溫的中位數(shù)與平均數(shù)相等D.甲城市日均氣溫比乙城市的日均氣溫穩(wěn)定10.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l：y=x-2與拋物線C交于A，B兩點，則()A.拋物線C的準線方程為B.點F到直線l的距離為C.∠AOBD.11.已知正方體的棱長為1，點P為側面內(nèi)一點，則()A.當時，異面直線CP與AD所成角的正切值為B.當時，四面體的體積為定值C.當點P到平面ABCD的距離等于到直線的距離時，點P的軌跡為拋物線的一部分D.當時，四面體BCDP的外接球的表面積為2π12.過原點的直線l與圓M：交于A，B兩點，且l不經(jīng)過點M，則()A.弦AB長的最小值為8B.△MAB面積的最大值為C.圓M上一定存在4個點到l的距離為D.A，B兩點處圓的切線的交點位于直線上三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知a>0，若圓(x－a)2+y2=2與圓x2+(y－a)2=8外切，則a=__________.14.某班15名學生在一次測試中的得分(單位：分)如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18.則這組數(shù)據(jù)的70百分位數(shù)是__________.15.設函數(shù)(a>1)的零點為x0，若x0≥3，則a的最小值為__________.16.已知拋物線的焦點為，點的坐標為，動點在拋物線上，且，則的最小值是__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.問題：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且_________，求△ABC的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18.如圖，在正三棱柱中，D是棱BC上的點(不與點C重合)，.(1)證明：平面平面；(2)若，求與平面所成角正弦值.19.已知圓M過原點O，圓心M在直線上，直線與圓M相切.(1)求圓M的方程；(2)過點的直線l交圓M于A，B兩點.若A為線段PB的中點，求直線l的方程.20.某籃球場有A，B兩個定點投籃位置，每輪投籃按先A后B的順序各投1次，在A點投中一球得2分，在B點投中一球得3分.設球員甲在A點投中的概率為p，在B點投中的概率為q，其中，，且甲在A，B兩點投籃的結果互不影響.已知甲在一輪投籃后得0分的概率為，得2分的概率為.(1)求p，q的值；(2)求甲在兩輪投籃后，總得分不低于8分的概率.21.已知圓A：，T是圓A上一動點，BT的中垂線與AT交于點Q，記點Q的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)過點(0，2)的直線l交曲線C于M，N兩點，記點P(0，).問：是否存在直線l，滿足PM=PN？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由.22.已知雙曲線的離心率為，左?右頂點分別為M，N，點滿足(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，直線OP與直線AN交于點D.設直線MB，MD的斜率分別為，求證：為定值.

南京市2022-2023學年度第一學期期中調(diào)研測試高二數(shù)學2022.11注意事項：1.本試卷共6頁，包括單項選擇題(第1題~第8題)?多項選擇題(第9題~第12題)?填空題(第13題~第16題)?解答題(第17題~第22題)四部分.本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的學校?姓名?考生號填涂在答題卡上指定的位置.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置，在其他位置作答一律無效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則()A.2 B. C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的模的計算公式計算即可.【詳解】解：因為，所以，所以.故選：B.2.已知直線l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，則實數(shù)m=()A. B.0 C.2 D.±2【答案】A【解析】【分析】由兩直線平行的條件計算．【詳解】由題意，，時，方程是，即，的方程是，兩直線重合，舍去，時，方程可化為，方程化為，平行．故選：A.3.已知雙曲線的焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)根據(jù)焦距求得，從而可得漸近線方程．【詳解】由題意，又，故解得．∴漸近線方程為，故選：C．4.直線與直線關于直線對稱，則直線的傾斜角是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出直線和直線的傾斜角，再求出直線與直線的夾角，再根據(jù)對稱性即可得出答案.【詳解】解：直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則直線與直線的夾角為設直線與直線的夾角為，則，所以直線的傾斜角為.故選：B.5.我們把所有頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，在這兩個平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過高的中點且平行于底面的平面截擬柱體所得的截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為V=h(S+4S0+S')，其中S，S'分別是上?下底面的面積，S0是中截面的面積，h為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩底面是矩形且對應邊平行(如圖)，下底面長20米，寬10米，堆高1米，上底長?寬比下底長?寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運走這堆建筑材料，若用最大裝載量為4噸的卡車裝運，則至少需要運()(注：1立方米該建筑材料約重1.5噸)A.63車 B.65車 C.67車 D.69車【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給條件先計算上底面和中截面的長、寬，進而求出各個面的面積、體積以及重量，進一法求出所需要的車次.【詳解】解：由條件可知：上底長為18米，寬為8米；中截面長19米，寬9米；則上底面積，中截面積，下底面積，所以該建筑材料的體積為V=立方米，所以建筑材料重約(噸)，需要的卡車次為，所以至少需要運65車.故選：B6.已知均為銳角，且，則()A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩角和差的正弦公式，結合商數(shù)關系化簡即可得解.【詳解】解：因為，所以，即，又均為銳角，所以，即.故選：D.7.已知橢圓的上頂點為，左?右焦點分別為，連接并延長交橢圓于另一點，若，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義求得，在中，利用余弦定理求得，在中，再次利用余弦定理即可得解.【詳解】解：由題意可得，因為，所以，因為為橢圓的上頂點，所以，則，在中，，在中，，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：C.8.在矩形中，為線段上的動點，過作的垂線，垂足為，則的最小值是()A.1 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】分別以為軸建立平面直角坐標系，設()，設，由垂直求得，再計算得出關于的表達式，利用基本不等式可得最小值．【詳解】分別以為軸建立平面直角坐標系，，，，，在線段上，設()，，設，則，因為，所以，，，，時，，時，，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值．綜上，的最小值是1.故選：A．二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.甲?乙兩城市某月初連續(xù)7天的日均氣溫數(shù)據(jù)如下圖，則在這7天中，()A.乙城市日均氣溫的極差為3℃B.乙城市日均氣溫的眾數(shù)為24℃C.甲城市日均氣溫的中位數(shù)與平均數(shù)相等D.甲城市的日均氣溫比乙城市的日均氣溫穩(wěn)定【答案】BC【解析】【分析】觀察統(tǒng)計圖，根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)的定義，逐個選項判斷，可得答案.【詳解】對于A，乙城市日均氣溫的極差=最高氣溫-最低氣溫，故所求氣溫的極差為，故A錯；對于B，根據(jù)眾數(shù)的定義，可得乙城市日均氣溫的眾數(shù)為24℃，故B正確；對于C，對甲城市的氣溫進行排列：，則中位數(shù)為：，平均數(shù)為：，故C正確；對于D，從圖中明顯看出乙城市的日均氣溫比甲城市的日均氣溫穩(wěn)定，故D錯；故選：BC10.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線l：y=x-2與拋物線C交于A，B兩點，則()A.拋物線C的準線方程為B.點F到直線l的距離為C.∠AOBD.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程求得準線、焦點，結合點到直線的距離公式、向量垂直、弦長等知識求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，A選項正確.直線，即，到的距離為，B選項正確.由解得或，不妨設，則，所以，C選項錯誤.，D選項錯誤.故選：AB11.已知正方體的棱長為1，點P為側面內(nèi)一點，則()A.當時，異面直線CP與AD所成角的正切值為B.當時，四面體的體積為定值C.當點P到平面ABCD的距離等于到直線的距離時，點P的軌跡為拋物線的一部分D.當時，四面體BCDP的外接球的表面積為2π【答案】BCD【解析】【分析】A選項，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線線角的余弦值，進而求出正切值；B選項，證明線面平行，進而得到，四面體的體積為定值；C選項，先作出輔助線，得到，PE⊥平面ABCD，故設出，利用列出方程，化簡后得到軌跡方程，得到當點P到平面ABCD的距離等于到直線的距離時，點P的軌跡為拋物線的一部分，C正確；D選項，作出輔助線，找到球心，利用半徑相等列出方程，求出半徑，從而得到外接球的表面積.【詳解】如圖1，以D為坐標原點，分別以為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，設異面直線CP與AD所成角為，則，故，，A錯誤；如圖2，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面，故當點P在上運動時，點P到平面的距離不變，即當時，四面體的體積為定值，B正確；如圖3，過點P作PE⊥BC于點E，連接，因為平面，平面，所以，因為平面，平面，所以AB⊥EP，因為，平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，設，，其中，當時，，整理得：，故當點P到平面ABCD的距離等于到直線的距離時，點P的軌跡為拋物線的一部分，C正確；如圖4，當時，P為的中點，取BD的中點Q，BC的中點N，連接PN，則PN，故PN⊥平面ABCD，因為BC⊥CD，故三角形BCD的外心為點Q，則外接球球心O在過點Q且垂直于平面ABCD的直線上，故OQ⊥平面ABCD，OQPN，連接OP，QN，OB，過點O作OMQN交PN于點M，設四面體BCDP的外接球的半徑為R，則OB=OP=R，，OQ=MN，其中，設OQ=MN=h，則，由勾股定理得，故，解得：，故，，當時，四面體BCDP的外接球的表面積為2π，D正確.故選：BCD.【點睛】立體幾何求外接球的表面積或體積問題，要先找到一個特殊平面，一般為直角三角形，矩形或等邊三角形，找到外心，從而找到球心的位置，設出未知數(shù)，再根據(jù)半徑相等列出方程，求出半徑，進而求出外接球的表面積或體積.12.過原點的直線l與圓M：交于A，B兩點，且l不經(jīng)過點M，則()A.弦AB長的最小值為8B.△MAB面積的最大值為C.圓M上一定存在4個點到l的距離為D.A，B兩點處圓的切線的交點位于直線上【答案】ABD【解析】【分析】A選項，由圓的幾何性質(zhì)得到當弦AB與直線垂直時，弦AB長取得最小值，從而由垂徑定理求出答案；B選項，由三角形面積公式得到，設是中點，研究得到始終為鈍角，且當點與原點重合，取得最小值，由二倍角公式和同角三角函數(shù)關系得到此時，結合在上單調(diào)性，求出面積最大值即可；C選項，舉出反例；D選項，設出，求出四點所在圓的方程，從而求出切點弦方程，結合直線AB過原點，將原點代入后得到滿足的方程.【詳解】對A，變形為，圓心M為，半徑，因為，故原點在圓內(nèi)，故當弦AB與直線垂直時，弦AB長取得最小值，其中，故，A正確；對B，由三角形面積公式得：設是中點，故，當點與原點重合，弦長AB最短，取得最小值，此時，，故，此時.由求得取得最小值時為鈍角，所以始終為鈍角，因為在上單調(diào)遞減，所以當時，面積取得最大值，最大值為，B正確；對C，當弦AB與直線垂直時，圓心M到直線l的距離為，由于半徑為，所以在直線l的左上方有2個點到直線l的距離為，在直線l的右下方，只有1個點到直線l的距離為，此時圓M上存在3個點到l的距離為，C錯誤；對D，設，則四點共圓，且MP為直徑，其中線段MP的中點坐標為，即圓心坐標為，半徑為，故四點所在圓方程為：，化簡得：①，②，①－②得：，則直線AB的方程為，又因為直線AB過原點，將原點代入得：，故A，B兩點處圓的切線的交點位于直線上，D正確.故選：ABD【點睛】已知圓的方程為，為圓上一點，則過點的切線方程為：；若為圓外一點，則表示切點弦所在方程.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知a>0，若圓(x－a)2+y2=2與圓x2+(y－a)2=8外切，則a=__________.【答案】3【解析】【分析】由圓心距等于半徑和求解．【詳解】圓(x－a)2+y2=2的圓心坐標為，半徑為，圓x2+(y－a)2=8的圓心坐標為，半徑為，兩圓外切，則，解得(因為)，故答案為：3.14.某班15名學生在一次測試中的得分(單位：分)如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18.則這組數(shù)據(jù)的70百分位數(shù)是__________.【答案】13【解析】【分析】利用百分位數(shù)的求法即可.【詳解】，所以70百分位數(shù)是第11個數(shù)據(jù)為13.故答案為：1315.設函數(shù)(a>1)的零點為x0，若x0≥3，則a的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的單調(diào)性和的范圍，可得到的不等式，求解即可得到的最小值.【詳解】解：因為，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，即，解得，即.故答案為：.16.已知拋物線的焦點為，點的坐標為，動點在拋物線上，且，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】設直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立方程組求得點坐標(只要求得橫坐標即可)，然后計算，同理得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得的最小值．【詳解】易知在拋物線上，的斜率都存在且不為0，設的斜率為，直線方程為，由得，是方程的一解，另一解為(不重合，因此)，拋物線的焦點為，，(∵)，同理，，∴時，取得最小值11，此時滿足題意．故答案為：11.【點睛】方法點睛：直線與拋物線相交弦長問題，弦所在直線為，可設，，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后消元，應用韋達定理得,然后由弦長公式計算，本題中由于弦一個端點已知，即方程的一個解已知，因此可由韋達定理求得另一解，從而由兩點間距離公式直接計算．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.問題：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且_________，求△ABC的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【解析】分析】選①：根據(jù)正、余弦定理整理得，進而可求角A和，再運用正弦定理求，即可根據(jù)面積公式求面積；選②：根據(jù)余弦定理整理得，分類討論可求角A和，再運用正弦定理求，即可根據(jù)面積公式求面積；選③：根據(jù)正弦定理整理得，進而可求角A和，再運用正弦定理求，即可根據(jù)面積公式求面積.【詳解】因為，為三角形內(nèi)角，則，選①：，展開得，由正弦定理得，由余弦定理得，因為為三角形內(nèi)角，故，所以，由正弦定理得，即，解得，所以的面積.選②：，由余弦定理得，故，因為為三角形內(nèi)角，故或，當時，，由正弦定理得，即，解得，所以的面積.當時，，由正弦定理得，即，解得，所以的面積，綜上的面積為或.選③：，由正弦定理得，因為為三角形內(nèi)角，所以，從而，顯然，所以，因為為三角形內(nèi)角，所以.所以，由正弦定理得，即，解得，所以的面積.18.如圖，在正三棱柱中，D是棱BC上的點(不與點C重合)，.(1)證明：平面平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【解析】【分析】(1)首先由垂直底面得到，又因為，則由線面垂直的判定定理得到平面，而面，最終證明面面；(2)在平面中，作于點E，由平面得，又因為，可得平面，故為與平面所成的角，再利用等邊三角形三線合一、勾股定理得到的值，最終計算出其正弦值.【小問1詳解】證明：在正三棱柱中，平面，因為平面，所以.又，，，平面，所以平面.又因為面，所以面面.【小問2詳解】在平面中，作于點E.由(1)可知平面，因為平面，所以，又，，平面，所以平面.因此為與平面所成角.因為在正三棱柱中，為正三角形，由平面，平面，得，所以D為BC的中點，.在Rt中，，即，所以與平面所成角的正弦值為.19.已知圓M過原點O，圓心M在直線上，直線與圓M相切.(1)求圓M的方程；(2)過點的直線l交圓M于A，B兩點.若A為線段PB的中點，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)根據(jù)幾何法得到圓心也在直線上，聯(lián)立直線求出圓心坐標，再計算出其半徑長，得出圓標準方程；(2)設點，利用中點公式表示出，將兩點代入圓的方程，則求出點坐標，再計算出直線方程即可.【小問1詳解】因為圓M過原點O，且與直線相切，所以圓心M在直線上，又圓心M也在直線上，聯(lián)立與，解得，故圓心，所以半徑，因此圓M的方程為.【小問2詳解】設，因為A為線段PB的中點，所以.因為A，B在圓M上，所以解得或當時，直線l的方程為；當時，，故直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.20.某籃球場有A，B兩個定點投籃位置，每輪投籃按先A后B的順序各投1次，在A點投中一球得2分，在B點投中一球得3分.設球員甲在A點投中的概率為p，在B點投中的概率為q，其中，，且甲在A，B兩點投籃的結果互不影響.已知甲在一輪投籃后得0分的概率為，得2分的概率為.(1)求p，q的值；(2)求甲在兩輪投籃后，總得分不低于8分的概率.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)甲在一輪投籃后得0分的概率為，得2分的概率為，列出方程，即可求出.(2)甲在兩輪投籃后，總得分不低于8分的情況共3種，第一輪3分，第二輪5分；第一輪5分，第二輪3分；第一輪5分，第二輪5分；求出三種情況概率之和即可得到結果.【小問1詳解】由題意得，解得.【小問2詳解】每輪投籃結束后，甲得分可能為0，2，3，5.記甲第一輪投籃得分為i分的事件為，第二輪投籃得分為i分的事件為，則，相互獨立，記兩輪投籃后甲總得分不低于8分為事件E，則，且，，彼此互斥.易得，，所以.所以兩輪投籃后，甲總得分不低于8分的概率為.21.已知圓A：