專題1.6 整式的乘除章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（北師大版）（解析版）

第=1+1頁共sectionpages28頁專題1.6整式的乘除章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1冪的基本運算】 1【題型2利用冪的運算進行比較大小】 3【題型3利用冪的運算進行簡便計算】 6【題型4冪的運算中的新定義問題】 8【題型5整式乘除的計算與化簡】 13【題型6整式混合運算的應用】 15【題型7整式的乘除中的錯解問題】 19【題型8整式的乘除中的閱讀理解類問題】 21【題型1冪的基本運算】【例1】（2023春·浙江·七年級期中）我們知道下面的結(jié)論：若am=an（a>0，且a≠1），則m=n．利用這個結(jié)論解決下列問題：設(shè)3m=2，3n=6，3p=18．現(xiàn)給出m，n，p三者之間的三個關(guān)系式：①m+p=2n，②3m+n=4p?6，③p2?n【答案】①③/③①【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法運算法則進行變形可得3n=6=3×2=3×3m=3m+1【詳解】∵3m=2，∴n=1+m，即m=n?1，∵3p∴p=1+n=2+m，①m+p=n?1+1+n=2n，故正確；②3m+n=3(p?2)+p?1=4p?7，故錯誤；③p2【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除法，解題的關(guān)鍵是熟練運用同底數(shù)冪的乘除法公式，本題屬于中等題型．【變式1-1】（2023春·河北滄州·七年級?？计谥校┤鬾為正整數(shù)．且a2n=4，則2aA．4 B．16 C．64 D．192【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方以及逆運算對式子進行化簡求解即可．【詳解】解析：2=4=4×4故選D．【點睛】此題考查了冪的有關(guān)運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的有關(guān)運算法則．同底數(shù)冪相乘（除），底數(shù)不變，指數(shù)相加（減）；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；積的乘方，把每個因式分別乘方．【變式1-2】（2023春·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，則a，【答案】a+c=2b【分析】根據(jù)4×9=6【詳解】∵4×9=62，5a=4，5∴5故5∴a+c=2b故答案為：a+c=2b．【點睛】此題主要考查冪的運算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運算法則．【變式1-3】（2023春·河北石家莊·七年級石家莊市第二十一中學?？计谥校┌匆笸瓿上铝懈餍☆}(1)若x2=2，求(2)若m?n=1，求3m(3)若xm?x2n+1=【答案】(1)?14(2)1(3)17【分析】（1）根據(jù)冪的乘方運算法則將代數(shù)式轉(zhuǎn)換為含x2的式子，再將x（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法運算法則將代數(shù)式進行化簡，再將m?n=1代入計算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法運算法則將代數(shù)式進行化簡，根據(jù)等式的性質(zhì)建立兩個等式，將兩個等式相加即可得到答案．【詳解】（1）解：3x=9∵x2∴3x=9×2?4×=18?32=?14；（2）解：3=====1（3）解：∵xm?∴xm+2n+1=∴m+2n+1=11①將①+②得2m+n=17．【點睛】本題考查的代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方運算、同底數(shù)冪的乘法和除法運算，以及掌握等式的性質(zhì)．【題型2利用冪的運算進行比較大小】【例2】（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）比較大?。?1312741．（填>、<或【答案】>【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘整理成以3為底數(shù)的冪，再根據(jù)指數(shù)的大小比較即可．【詳解】解：81312741∵124>123，∴8131故答案為：>．【點睛】本題考查了冪的乘方的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并轉(zhuǎn)換成以3為底數(shù)的冪是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·江蘇·七年級期末）若a3=2，b5=3，比較a，b大小關(guān)系的方法：因為a15=a35=25=32，b15=b5【答案】<【詳解】解：參照題目中比較大小的方法可知，∵x35=(x∴x∴x<y，故答案為：<．【點睛】本題考查利用冪的乘方比較未知量的大小，熟練掌握冪的乘方的運算法則（底數(shù)不變，指數(shù)相乘）是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：下面是底數(shù)大于1的數(shù)比較大小的兩種方法：①比較2a，2b的大?。寒攁>b時，②比較340和260的大小：因為340=3220可以將其先化為同指數(shù)，再比較大小，所以同指數(shù)時，底數(shù)越大，值越大．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)比較大?。?20__________915（填“>”或“(2)已知a=344，b=433，c=522，試比較【答案】(1)<(2)c<b<a【分析】（1）根據(jù)冪的乘方的逆運算進行化簡比較即可；（2）根據(jù)題目中的方法，變化成指數(shù)相同時，比較底數(shù)即可．【詳解】（1）因為915=3所以320故答案為：<；（2）因為a=3b=4c=5且25<64<81，所以2511所以c<b<a．【點睛】本題主要考查了冪的乘方的逆運算及有理數(shù)的乘方運算，熟練掌握冪的乘方的逆運算是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）閱讀：已知正整數(shù)a，b，c，若對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪ab和ac(a≠1)，當b>c時，則有ab>ac；若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪ab和c(1)比較大?。?20______420，961(2)比較233與3(3)比較312×5【答案】(1)>，<(2)233<(3)312×【分析】（1）根據(jù)“同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個冪ab和cb，當a>c時，則有ab>cb，”即可比較520和420的大??；根據(jù)“對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪ab和ac(a≠1)，當（2）據(jù)“對于同底數(shù)，不同指數(shù)的兩個冪ab和ac(a≠1)，當b>c時，則有ab>a（3）利用作商法，即可比較312×5【詳解】（1）解：∵5>4，∴520>4∵961=(∴961<27故答案為：>，<；（2）解：∵233=(∴233<3（3）解：∵312∴312×5【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方及有理數(shù)大小比較，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關(guān)鍵．【題型3利用冪的運算進行簡便計算】【例3】（2023秋·湖北荊州·七年級沙市一中校考期中）計算：?0.1255×?2A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】D【分析】根據(jù)積的乘方和冪的乘方的運算法則進行巧算．【詳解】解：?0.125====?2．故選：D．【點睛】本題考查積的乘方和冪的乘方的運算，解題的關(guān)鍵是利用0.125×8=1進行巧算．【變式3-1】（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）計算310×1A．9 B．19 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)積的乘方及冪的乘方的運算法則進行計算即可．【詳解】解：3====9，故選A．【點睛】本題主要考查了冪的乘方和積的乘方，熟練掌握冪的乘方和積的乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·貴州六盤水·七年級統(tǒng)考期中）計算?0.1252020×2【答案】-1【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則進行計算，即可得出答案．【詳解】原式=?0.125===1×=?1故答案為：?1【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期中）下圖是東東同學完成的一道作業(yè)題，請你參考東東的方法解答下列問題．東東的作業(yè)計算：45解：原式=(1)計算：①82022②(12(2)若3×9n×【答案】(1)①1；②25(2)n=4【分析】（1）①根據(jù)積的乘方及冪的乘方的運算法則得到正確結(jié)果；②積的乘方及冪的乘方的運算法則即可得到正確結(jié)果；（2）利用冪的乘方運算法則的逆用及同底數(shù)冪的乘法法則即可得到n的值．【詳解】（1）解：①8===1；②(===1×=25（2）解：∵3×9∴3×3∴31+2n+4n∴36n+1∴6n+1=25，∴n=4．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，積的乘方，冪的乘方的運算法則等相關(guān)知識，熟記對應法則是解題的關(guān)鍵．【題型4冪的運算中的新定義問題】【例4】（2023春·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）對于整數(shù)a、b，我們定義：a▲b=10a×10b，a△b=(1)求2▲1?(2)若x▲3=5△1，求x的值．【答案】(1)0(2)x=1【分析】（1）根據(jù)題干中新定義進行轉(zhuǎn)化，再計算同底數(shù)冪的乘法和除法，然后合并同類項，即可計算求值；（2）根據(jù)題干中新定義進行轉(zhuǎn)化，再計算同底數(shù)冪的乘法和除法，得到x+3=4，即可求出x的值．【詳解】（1）解：2▲1===0；（2）解：∵x▲3=5△1，∴10∴10∴x+3=4，∴x=1【點睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法和同底數(shù)冪的除法，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023秋·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）定義：如果一個數(shù)的平方等于?1，記為i2=?1，那么這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實數(shù)）的數(shù)叫做復數(shù)，其中a例如計算：(2+i根據(jù)以上信息，下列各式：①i3②i4③1+i④i+i其中正確的是（填上所有正確答案的序號）．【答案】①②③④【分析】理解i的含義以及運算，再對選項逐個判斷即可．【詳解】解：i3i41+i+∵i+i∴i5∴i+i故答案為：①②③④【點睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，乘方運算，本題是閱讀型題目，理解并熟練應用其中的定義與公式是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·江蘇無錫·七年級統(tǒng)考期中）對于整數(shù)a、b定義運算：a※b=(ab)m+(ba(1)填空：當m=1，n=2023時，2※?1(2)若?1※4=10，2※?2=【答案】(1)3(2)9【分析】（1）把相應的值代入進行運算即可；（2）把相應的值代入運算求得4m，4【詳解】（1）解：當m=1，n=2023時，2※?1===3故答案為：32（2）解：∵?1※4=10，∴[(?1)4整理得：14n=9，14m∴=====9【點睛】本題主要考查冪乘方與積的乘方，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握．【變式4-3】（2023秋·北京海淀·七年級?？计谥校┰趯W習平方根的過程中，同學們總結(jié)出：在ax=N中，已知底數(shù)a和指數(shù)x，求冪N的運算是乘方運算；已知冪N和指數(shù)x，求底數(shù)a的運算是開方運算．小明提出一個問題：“如果已知底數(shù)a和冪N，求指數(shù)小明課后借助網(wǎng)絡查到了對數(shù)的定義：如果N=ax（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)（logarithm），記作：x=logaN小明根據(jù)對數(shù)的定義，嘗試進行了下列探究：(1)∵2∵2∵2∵2計算：log2(2)計算后小明觀黎（1）中各個對數(shù)的真數(shù)和對數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)一些對數(shù)之間有關(guān)系，例如：log2(3)于是他猜想：logaM+logaN=__________（a>0且a≠1(4)根據(jù)之前的探究，直接寫出loga【答案】(1)4，5；(2)log2(3)loga(4)loga【分析】（1）根據(jù)對數(shù)與乘方之間的關(guān)系求解可得答案；（2）利用對數(shù)的定義結(jié)合（1）中結(jié)果求解可得答案；（3）根據(jù)（2）中結(jié)果進行猜想，設(shè)logaM=x，logaN=y，可得ax（4）根據(jù)（3）中的探究可得logaM?logaN=logaMN，設(shè)log【詳解】（1）解：∵24∴l(xiāng)og2∵25∴l(xiāng)og2故答案為：4，5；（2）解：log2故答案為：log2（3）解：loga證明：設(shè)logaM=x，logaN=y，則∴ax∴l(xiāng)oga∴l(xiāng)oga故答案為：loga（4）根據(jù)之前的探究，可得loga設(shè)logaM=x，logaN=y，則∴ax∴l(xiāng)oga∴l(xiāng)oga故答案為：loga【點睛】本題考查了新定義，有理數(shù)的乘方，同底數(shù)冪的乘除運算，解題的關(guān)鍵是弄清對數(shù)與乘方之間的關(guān)系，并熟練運用．【題型5整式乘除的計算與化簡】【例5】（2023秋·上海金山·七年級校聯(lián)考期末）已知：a+b=32，ab=1，化簡a?2b?2【答案】2【分析】先把所求式子化簡為ab?2a+b【詳解】解：a?2b?2=ab?2a?2b+4=ab?2a+b∵a+b=32，∴原式=1?2×3故答案為：2．【點睛】本題主要考查了多項式乘以多項式——化簡求值，正確計算是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·陜西西安·七年級?？计谥校┮阎猰滿足3m?20152(1)求2015?3m2014?3m(2)求6m?4029的值．【答案】(1)?2(2)±3【分析】（1）原式利用完全平方公式化簡，計算即可確定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式變形，計算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)a=3m?2015，b=2014?3m，可得a+b=?1，a2∵（∴1=5+2ab，即ab=?2，則2015?3m2014?3m（2）解：設(shè)a=3m?2015，b=2014?3m，可得6m?4029=3m?2015∵a?b∴6m?4029則6m?4029=±3．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式及運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·遼寧沈陽·七年級校考期中）（1）運用乘法公式計算：999（2）先化簡，再求值：2x+y2x?y?3x+yx?2y?【答案】（1）?1994；（2）?2y?10x，6【分析】（1）把原式化為1000?12（2）先計算括號內(nèi)的整式的乘法運算，再合并同類項，最后計算多項式除以單項式，再把x=?1，y=2【詳解】解：（1）999===?1994；（2）2x+y===?2y?10x；當x=?1，y=2原式=?2×2?10×?1【點睛】本題考查的是整式的化簡求值，整式的混合運算，完全平方公式與平方差公式的靈活運用，熟記運算公式與運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）為了比較兩個數(shù)的大小，我們可以求這兩個數(shù)的差，若差為0，則兩數(shù)相等；若差為正數(shù)，則被減數(shù)大于減數(shù)．若M=a+3a?4，N=a+2(1)求M?N，要求化簡為關(guān)于a的多項式；(2)比較M，N的大?。敬鸢浮?1)?(2)M<N【分析】（1）先計算多項式乘多項式，再合并同類項即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果進行判斷即可．【詳解】（1）解：M?N===?a（2）∵a為有理數(shù)，∴a2∴?a∴M<N．【點睛】本題考查整式的混合運算．熟練掌握相關(guān)運算法則，是解題的關(guān)鍵．【題型6整式混合運算的應用】【例6】（2023秋·重慶大渡口·七年級重慶市第三十七中學校校聯(lián)考開學考試）閱讀材料：材料1：將一個三位數(shù)或三位以上的整數(shù)分成左中右三個數(shù)，如果滿足：中間數(shù)=左邊數(shù)的平方+右邊數(shù)的平方，那么我們稱該整數(shù)是平方和數(shù)，比如，對于整數(shù)251，它的中間數(shù)是5，左邊數(shù)是2，右邊數(shù)是1，因為22+1材料2：將一個三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分成左中右三個數(shù)，如果滿足：中間數(shù)=2×左邊數(shù)×右邊數(shù)，那么我們稱該整數(shù)是雙倍積數(shù)；比如：對于整數(shù)163，它的中間數(shù)是6，左邊數(shù)是1，右邊數(shù)是3，因為2×1×3=6，所以163是雙倍積數(shù)；再比如，對于整數(shù)3305，因為2×3×5=30，所以3305是一個雙倍積數(shù)，顯然，361，5303這兩個數(shù)也肯定是雙倍積數(shù)．請根據(jù)上述定義完成下面問題：(1)如果一個三位整數(shù)既是平方和數(shù)，又是雙倍積數(shù)，則該三位整數(shù)是_____．（直接寫出結(jié)果）(2)如果我們用字母a表示一個整數(shù)分出來的左邊數(shù)，用字母b表示一個整數(shù)分出來的右邊數(shù)，則a585b為一個平方和數(shù)，a504b為一個雙倍積數(shù)，求a2【答案】(1)121，282(2)287【分析】（1）根據(jù)平方和數(shù)的定義、雙倍積數(shù)的定義即可求解；（2）根據(jù)平方和數(shù)的定義可得a2+b【詳解】（1）解：設(shè)該三位整數(shù)是mcn，由題意得：m2+n∴m2∴m2+n2?2mn=0∴c=2∴m=1或2，∴該三位整數(shù)是121，282；（2）解：∵a585b為一個平方和數(shù)，∴a2∵a504b為一個雙倍積數(shù)，∴2ab=504，∴a2+b∴a+b=33,a?b=9，∴a2【點睛】本題考查了因式分解的應用，學生的閱讀理解能力與知識的遷移能力，理解平方和數(shù)與雙倍積數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023秋·貴州遵義·七年級?？计谥校┤鐖D，學校操場主席臺前計劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米）(1)用含a，b的整式表示花壇的面積；(2)若a=2,b=1，工程費為500元/平方米，求建花壇的總工程費為多少元?【答案】(1)花壇的面積是4a(2)建花壇的總工程費為11500元．【分析】（1）用大長方形的面積減去一個小長方形面積即可；（2）將a和b的值代入（1）中的結(jié)果，求出面積即可．【詳解】（1）解：a+3b+a2a+b=4=4a答：花壇的面積是4a（2）當a=2，b=1時，4=4×=16+4+3=23（平方米）23×500=11500（元）答：建花壇的總工程費為11500元．【點睛】本題主要考查了整式的混合運算，熟練掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·貴州銅仁·七年級統(tǒng)考期中）在矩形ABCD內(nèi)，將一張邊長為a的正方形紙片和兩張邊長為b的正方形紙片（a>b），按圖1，圖2兩種方式放置（兩個圖中均有重疊部分），矩形中未被這三張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當AD?AB=2時，A．2a B．2b C．?2b+b2 【答案】C【分析】根據(jù)圖形和題目中的數(shù)據(jù)，可以表示出S1和S【詳解】解：由圖可得，S1S2S==AD·AB?=?b·AD+ab+=?b∵AD?AB=2，∴?bAD?AB即S1故選：C．【點睛】本題考查整式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運算的計算方法．【變式6-3】（2023秋·浙江·七年級期中）正方形ABCD中，點G是邊CD上一點（不與點C，D重合），以CG為邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三點在同一條直線上，設(shè)正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為a和b（a>b）．(1)求圖1中陰影部分的面積S1（用含a，b(2)當a=5，b=3時，求圖1中陰影部分的面積(3)當a=5，b=3時，請直接寫出圖2中陰影部分的面積【答案】(1)S(2)19(3)21【分析】（1）利用兩個正方形的面積減去空白部分的面積列式即可；（2）把a=5，b=3代入（3）延長AD和EF，交于點H．即可由S2=S長方形ABEH?S【詳解】（1）S==1（2）∵a=5，∴S==19（3）如圖，延長AD和EF，交于點H．∴S=a(a+b)?=ab?1∵a=5，∴S2【點睛】本題考查列代數(shù)式，代數(shù)式求值，整式的混合運算．求得兩個陰影部分的面積是解決問題的關(guān)鍵．【題型7整式的乘除中的錯解問題】【例7】（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）某同學計算一個多項式乘?3x2時，因抄錯符號，算成了加上?3x2，得到的答案是【答案】?12【分析】先用錯誤的結(jié)果減去已知多項式求得原式，再乘以?3x【詳解】解：這個多項式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1，正確的計算結(jié)果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=?12x故答案為?12x【點睛】本題考查了單項式與多項式相乘，熟練掌握單項式與多項式相乘運算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）小林同學把9(M?5)錯抄為9M?5，抄錯后算得的答案為a，則正確答案為．【答案】a?40【分析】將錯就錯根據(jù)9M?5=a求出M，代入正確式子計算．【詳解】解：由題意可得：9M?5=a，∴9M=a+5，∴9(M?5)=9M?45=a+5?45=a?40，故答案為：a?40．【點睛】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023秋·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學?？奸_學考試）在計算x+ax+b時，甲把b錯看成了6，得到結(jié)果是：x2+8x+12；乙把a錯看成?a(1)求出a，b的值；(2)在（1）的條件下，計算x+ax?b【答案】(1)a=2，b=3(2)x【分析】（1）根據(jù)題意得出(x+a)(x+6)=x2+(6+a)x+6a=x2+8x+12，(x?a)(x+b)=x2+(?a+b)x?ab=（2）把a、b的值代入，再根據(jù)多項式乘以多項式法則求出即可．【詳解】（1）根據(jù)題意得：x+ax+6x?ax+b所以6+a=8，?a+b=1，解得：a=2，b=3；（2）當a=2，b=3時，x+ax?b【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，能正確運用多項式乘以多項式法則進行計算是解此題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·湖南永州·七年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩人共同計算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄錯了a的符號，得到的結(jié)果是2x2?7x+3，乙漏抄了第二個多項式中(1)求?2a+ba+b(2)若整式中的a的符號不抄錯，且a=3，請計算這道題的正確結(jié)果．【答案】(1)-14．(2)x【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a和b的代數(shù)式的值，直接代入計算即可；（2）先求出b的值，再代入計算．【詳解】（1）解：甲抄錯了a的符號的計算結(jié)果為：x?a2x+b因為對應的系數(shù)相等，故?2a+b=?7，ab=?3乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，計算結(jié)果為：x+ax+b因為對應的系數(shù)相等，故a+b=2，ab=?3，∴?2a+b（2）解：乙漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果得出：a+b=2，故3+b=2，∴b=-1，把a=3，b=-1代入x+a2x+b得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3，故答案為：2x2+5x-3．【點睛】此題考查了多項式乘多項式；解題的關(guān)鍵是根據(jù)多項式乘多項式的運算法則分別進行計算，是常考題型，解題時要細心．【題型8整式的乘除中的閱讀理解類問題】【例8】（2023春·湖南益陽·七年級校考期中）若x滿足60?xx?40=20，求解：設(shè)60?x=a，x?40=b，則ab=20，a+b=60?x+x?40=20．∴60?x====360．(1)若x滿足70?xx?20=?30，求(2)若x滿足3?4x2x?5=92，求3?4x2(3)若x滿足2023?x2+2020?x【答案】(1)2560(2)31(3)1026【分析】本題考查了完全平方公式的運用．（1）根據(jù)例題的解題思路進行計算，即可解答；（2）將3?4x2x?5=92轉(zhuǎn)化為（3）根據(jù)例題的解題思路進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)70?x=m,x?20=n，則mn=?30，m+n=70?x∵m∴m2（2）解：∵3?4x2x?5∴3?4x22x?5=9設(shè)3?4x=s,4x?10=t，則s+t=?7,st=9，∵3?4x∴3?4x===31；（3）解：設(shè)2023?x=p,2020?x=q，則p?q=3,p∴2pq==2061?=2052，∴pq=1026，∴2023?x【變式8-1】（2023春·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料；楊輝三角，又稱賈憲三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，西方人帕斯卡發(fā)現(xiàn)時，已比宋代楊輝要遲393年．如圖，根據(jù)你觀察的楊輝三角的排列規(guī)律，完成下列問題．(1)判斷a+b5的展開式共有______項；寫出a+b(2)計算與猜想：①計算：2②猜想：2x?16的展開式中含x(3)運用：若今天是星期五，過7天仍是星期五，那么再過86【答案】(1)6，15(2)①1；②?160(3)六【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確理解楊輝三角是解題關(guān)鍵．（1）觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律補充楊輝三角，據(jù)此即可得到答案；（2）①根據(jù)楊輝三角化簡求值即可；②將2x?16展開，即可得到含x（3）由86【詳解】（1）解：觀察可知，展開項中的的項數(shù)比二項式乘方的次數(shù)多1，展開式中的a是按其冪的指數(shù)由高到低排列，b是按其冪的指數(shù)由低到高排列，首項a的次數(shù)與末項b的次數(shù)相同，都等于二項式乘方的次數(shù)，每一行首末兩項的次數(shù)都是1，中間各項的系數(shù)等于它上一行相鄰的兩個系數(shù)之和，∴a+b5的展開式共有6項，a+b故答案為：6，15；（2）解：①25②2x?16∴含x3項的系數(shù)是?20×故答案為：?160；（3）解：∵8∴除了末項為1，其他項均為7的倍數(shù)，∴若今天是星期五，那么再過86故答案為：六．【變式8-2】（2023秋·上海靜安·七年級上海市風華初級中學?？计谥校┪覀円呀?jīng)學習過多項式除以單項式，多項式除以多項式一般可用豎式計算，步驟如下：①把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊；②用被除式的第一項除以除式第一項，得到商式的第一項；③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），消去相等項；④把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式為零，說明這個多項式能被另一個多項式整除．例如：計算6x所以6x4?7x3根據(jù)閱讀材料，請回答下列問題：(1)x2(2)計算：x3(3)x3+ax2+bx?2能被x【答案】(1)x+3(2)x(3)a=1,b=0【分析】（1）（2）模仿例題，可用豎式計算；（3）設(shè)商式為(x+m)，則有x3【詳解】（1）x2（2）x3（3）設(shè)商式為(x+m)，則有x∴?2=2m,∴m=?1,∴a=2+m=1,b=2+2m=0．【點睛】本題考查整式的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握整式的乘除法運算法則，學會模仿解題，屬于中考?？碱}型．【變式8-3】（2023春·湖南懷化·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，解決相應問題：“友好數(shù)對”已知兩個兩位數(shù)，將它們各自的十位數(shù)字和個位數(shù)字交換位置后，得到兩個與原兩個兩位數(shù)均不同的新數(shù)，若