二項式定理教學(xué)設(shè)計【5篇】

二項式定理教學(xué)設(shè)計【5篇】二項式定理教學(xué)設(shè)計二項式定理篇一學(xué)習(xí)必備歡迎下載二項式定理教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：進一步掌握二項式定理和二項展開式的通項公式過程與方法：能解決二項展開式有關(guān)的簡單問題情感、態(tài)度與價值觀：教學(xué)過程中，要讓學(xué)生充分體驗到歸納推理不僅可以猜想到一般性的結(jié)果，而且可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)一般性問題的解決方法。教學(xué)重點：二項式定理及通項公式的掌握及運用教學(xué)難點：二項式定理及通項公式的掌握及運用授課類型：新授課課時安排：3課時教具：多媒體、實物投影儀二項式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運用，是學(xué)習(xí)概率的重要基定內(nèi)容分析：礎(chǔ)．這部分知識具有較高應(yīng)用價值和思維訓(xùn)練價值．理本身，通項公式，楊輝三角，二項式系數(shù)的性質(zhì)等．通過二項式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識，近似計算等方面形成技能或技巧；正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成．二項式定理本身是教學(xué)重點，因為它是后面一切結(jié)果的基礎(chǔ)．殊化方法等意義重大而深遠，所以也應(yīng)該是重點．二項式定理的證明是一個教學(xué)難點．組合數(shù)的性質(zhì)這是因為，證明中符號比較抽象、以發(fā)揮他們的自主精神；需要恰當(dāng)?shù)剡\用2、需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法．盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動以盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識，通項公式，楊輝三角，特同時在求展開式、其通項、證恒等式、重視學(xué)生進一步體會過程分析與特殊化方法等等的運用；中學(xué)教材中的二項式定理主要包括：在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機會讓給學(xué)生，使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí)．教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：⑴(a⑵(a⑶(a的機會，以讓學(xué)生在直接體驗中建構(gòu)自己的知識體系；b)b)b)2aa22abbCa02CabCa03312Cb；CabCab3ab3abb)(abCb3334(ab)(a4b)(ab)的各項都是4次式，24即展開式應(yīng)有下面形式的各項：展開式各項的系數(shù)：上面恰有a，ab，ab，ab，b，00即C4種，a的系數(shù)是C4；4個括號中，每個都不取b的情況有1種，14種，1個取b的情況有C24，恰有ab的系數(shù)是C，恰有2個取b的情況有C1424種，ab的系22數(shù)是C3個取b的情況有C種，ab的系數(shù)是C，有4都取b的情況有C種，b的系數(shù)是C4，4學(xué)習(xí)必備歡迎下載∴(ab)C4a04C4abC4ab222C4abC4b．44二、講解新課：二項式定理：(a⑴(ab)nCa0nnCab1nnCarnnrbrCb(nnnnN)n)b的展開式的各項都是n次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：nra，ab，…，a⑵展開式各項的系數(shù)：每個都不取恰有1個取恰有r個取有n都取∴(annb，…，b，rnb的情況有1種，即C種，a的系數(shù)是C；b的情況有C種，ab的系數(shù)是Cb的情況有Cn種，annrnrr1nn1n，……，0nn0nb的系數(shù)是Cn，……，nrb的情況有Cn種，b的系數(shù)是Cn，Ca0nnb)nCab1nnCarnnrbrCb(n(annnN)，n)b的二項展開式，⑶它有n1這個公式所表示的定理叫二項式定理，項，各項的系數(shù)⑷Cnarnrr右邊的多項式叫C(rrn0,1,n)叫二項式系數(shù)，Tr1表示，即通項Trnb叫二項展開式的通項，用a1,bCaCxrnrnnrb．xnr⑸二項式定理中，設(shè)三、講解范例：x，則(1x)1Cx1nr14例1．展開(1)．x解一：(11x1x)4)4解二：（11C()C()C()xxx14144413()(x1)()xC4xxx2343()xxCx162x43x14．xCx4x6x1x4x31x．例2．展開(2x)．解：(2x1x)1x(2x1)學(xué)習(xí)必備歡迎下載1x[(2x)C(2x)5C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)1]64x192x240x1606012xx4項1x．例3．求(x解：(xa)的展開式中的倒數(shù)第a)的展開式中共13項，它的倒數(shù)第4項是第10項，912912T91Cxa9Cxa312220xa．2a)的展開式中的第3項．39例4．求（1）(2a解：（1）T2（2）T23b)，（2）(3bC(2a)(3b)2160ab，4C(3b)(2a)4860ba．6點評：(2a3b)，(3b2a)的展開后結(jié)果相同，但展開式中的第r項不相同例5．（1）求（x33xr3x)的展開式常數(shù)項；9（2）求（x3)的展開式的中間兩項32解：∵TrC()x9r（3x)rCr92r9x9r，∴（1）當(dāng)3xr0,r6時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為T7C2268；（2）（x3)的展開式共10項，它的中間兩項分別是第1525項、第6項，T5C3x242x3，T6C31099x378x3例6．（1）求(12x)的展開式的第（2）求4項的系數(shù)；(x1x7)9的展開式中x的系數(shù)及二項式系數(shù)3解：(12x)的展開式的第四項是∴（17T31C(2x)280x，32x)的展開式的第四項的系數(shù)是280．學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）∵∴9(x2rx3，r)的展開式的通項是Tr3，3Cxr99r（1x39)r(1)Cxrr992r，∴x的系數(shù)(1)C例7．求(x284，x的二項式系數(shù)C84．3x4)的展開式中x的系數(shù)才可以用二項式分析：要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，定理展開，然后再用一次二項式定理，項式定理展開解：（法一）(x2，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二3xC(x4)[(x3x)4]4C(x043x)3x)4C(xx的項，C3x)C(x3x)4C4，4顯然，上式中只有第四項中含∴展開式中含（法二）：(xx的項的系數(shù)是3x3434)]768(x1)(x1344)Cx[(x1)(xCx4)4(Cx04CxC)(CxC404Cx4CxCx4C4)4∴展開式中含x的項的系數(shù)是2xmC4n768．N)的展開式中含x項的系數(shù)為36，*例8．已知f(x)求展開式中含14x(m,nx項的系數(shù)最小值x項的系數(shù)是關(guān)于2分析：展開式中含可得m,n的關(guān)系式，由展開式中含x項的系數(shù)為36，2m4n36，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于2xmnm或n的二次函數(shù)求解解：114x展開式中含x的項為1nC1m2x1mC1n4x(2C1m4C)x1n∴(2C4C)m36，即m2n18，n12x14xC42n展開式中含x的項的系數(shù)為2t∵C22m2m2m8n8n，m2n18，∴m182n，2(182n)2∴t2(182n)8n8n16n148n612學(xué)習(xí)必備歡迎下載16(n∴153n)，∴當(dāng)n44378時，t取最小值，但nN，5,m8．*n5時，t即x2項的系數(shù)最小，最小值為x12xn272，此時n例9．已知()的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列，（2）求展開式中所有的有理項（1）證明展開式中沒有常數(shù)項；解：由題意：2Cxn112221Cn()，即n22（12x9nr480，∴nr8(n1舍去）∴TrCr88r)r（128r)Cxrr8x1C2r8rx163r40r8rZ163r0，即163r1是常數(shù)項，則4∵rZ，這不可能，∴展開式中沒有常數(shù)項；163r②若Tr1是有理項，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，4①若Tr∴00，r8,rZ，∴r0,4,8，T1x，T54即展開式中有三項有理項，分別是：例10．求0.998的近似值，使誤差小于解：0.998x，T981x2560.001．(10.002)C06C(0.002)C(0.002)，666展開式中第三項為略不計，∴0.998C0.0020.00006，小于0.001，以后各項的絕對值更小，可忽(10.002)Cn06C(0.002)0.998，一般地當(dāng)a較小時(1a)四、課堂練習(xí)：1.求2.求1na2a3b的展開式的第3項。3b2a的展開式的第3項。3663.寫出(x12x3)的展開式的第r+1項。n4.求x32x的展開式的第4項的二項式系數(shù)，并求第4項的系數(shù)。5.用二項式定理展開：學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）(ab)；（2）（5x2（12x).1156.化簡：（1）(17．x)52x)；（2）(2x3x2)4(2x3x2)4xxxlgx5展開式中的第2n3項為10，求x．8．求1x展開式的中間項42答案：1.T22.T2C(2a)(3b)2160abC(3b)rn(2a)4860abC(x)nr（12x3)Crn2rCxrn34.展開式的第4項的二項式系數(shù)35，第4項的系數(shù)C228025.（1）(ax2b)a)5a132xb10axb10ab5ab3bbb；xxxx2（2）（2xx)xx5xxx.6.（1）(1(1124x)220x10x；4（2）(2x3x)(2x3x)192x32lgx432x67.xx2lgx5展開式中的第3項為Cxlgx1052x32lgx52lgx3lgx52n01,lgxx10,x1010008.x1x展開式的中間項為(1)Cnn2n五、小結(jié)：二項式定理的探索思路式的特點:觀察——歸納——猜想——證明；二項式定理及通項公六、課后作業(yè)：P36習(xí)題1.3A組1.2.3.4七、板書設(shè)計（略）二項式定理教學(xué)設(shè)計篇二1．3．1二項式定理一、教學(xué)目標(biāo)1．知識目標(biāo)：掌握二項式定理及其簡單應(yīng)用2．過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學(xué)的思維方式。3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，感受和體驗數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對稱美。二、教學(xué)重點、難點重點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)的區(qū)別三、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)問題情境：今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？前面幾個問題全班所有學(xué)生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學(xué)生試圖用計算器算，還是覺得很復(fù)雜，學(xué)習(xí)完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾新課講解：問題1abdc的展開式有多少項？有無同類項可以合并？由于這一節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理和排列組合知識之后學(xué)習(xí)的，所以學(xué)生能夠快速的說出答案。問題2abb的ab原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構(gòu)成a的？有規(guī)律嗎？學(xué)生根據(jù)乘法展開式也很快得出結(jié)論問題3abbaa2bab的3原始展開式有多少項？經(jīng)合并后又只能有幾項？是哪幾項？學(xué)生仍然根據(jù)乘法公式算出了答案問題4abbaaba的bab的原始展開式有多少項？44問題5你能準(zhǔn)確快速地寫出ab的原始展開式的16項嗎？經(jīng)合并后，又只能有哪幾項？此時，學(xué)生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現(xiàn)思維的烘熱）啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個括號（袋子）中0（1）若每個括號都不取b，只有一種取法得到a，即C4種1（2）若只有一個括號取b，共有C4種取法得到ab2（3）若只有兩個括號取b，共有C4種取法得到ab3（4）若只有三個括號取b，共有C4種取法得到ab4（5）若每個括號都取b，共有C4種取法得到b4134322引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：原始展開式中確有同類項存在，且確實可省去“合并”04132223344因此ab3C4aC4abC4abC4abC4b4問題6其個數(shù)，為何恰好應(yīng)為該項的系數(shù)？nrr問題7ab在合并后的展開式中，ab的系數(shù)應(yīng)該是多少？有理由嗎？n問題8那么，該如何將ab輕松、清晰地展開？請同學(xué)們歸納猜想學(xué)生們快速地說出nabn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*我們數(shù)學(xué)講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？思路：證明中主要運用了計數(shù)原理?、僬归_式中為什么會有那幾種類型的項？abn是n個ab相乘，展開式中的每一項都是從這n個ab中各任取一個字母相nk乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a②展開式中各項的系數(shù)是怎么來的？bk的形式，k0,1,2,,nkankbk是從n個ab中取k個b，和余下nk個a相乘得到的，有Cn種情況可以得到kankbk，因此，該項的系數(shù)為Cn定義：一般地，對于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabCnabCnbnN*n注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做ab的二項展開式（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數(shù)或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開例：把b換成b，則abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnab1Cnab1CnbnN*kn練習(xí)：令a1,bx，則1xn01122kknnCnCnxCnxCnxCnxnN*問題9二項式定理展開式中項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)特點是什么？哪一項最有代表性公式特征：（1）項數(shù)：共有n1項（2）指數(shù)規(guī)律：①各項的次數(shù)都等于二項式的系數(shù)n（關(guān)于a與b的齊次多項式）②字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到nknkk（3）二項式展開式的通項：Tk1Cnab，k0,1,2,,n012knk（4）二項式系數(shù)：依次為Cn。這里Cn（k0,1,2,,n）稱為二，Cn,Cn,Cn,Cn項式系數(shù)現(xiàn)在同學(xué)們能告訴老師8100天后星期幾嗎？思考了一會兒，馬上有同學(xué)大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數(shù)是多少，就是星期幾老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學(xué)生都明白了，因為一個星期7天，所以n810071展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為Cn1，故100應(yīng)為星期四。1例1求2x的展開式x方法一：直接展開112技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成2xx266方法二：先合并化簡，再展開建議用第二種方法簡單些。變式一：展開式中的常數(shù)項是多少？變式二：展開式中的第3項是多少？變式三：展開式中的第3項的系數(shù)是多少？變式四：展開式中的第3項二項式系數(shù)是多少？注意：二項式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，二項式系數(shù)就是一個組合數(shù)，與a,b無關(guān)；系數(shù)與a,b有關(guān)。例2（1）求(12x)7的展開式的第4項的系數(shù)和第4項的二項式系數(shù)13（2）x的展開式中x的系數(shù)和中間項x例3求(xa)12的展開式中的倒數(shù)第4項9小結(jié)：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征（2）區(qū)別二項式系數(shù)、項的系數(shù)（3）掌握用通項公式求二項式系數(shù)、項的系數(shù)及項。作業(yè)：P374，5教學(xué)反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設(shè)問題情境，一下子把全班學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都調(diào)動起來了，當(dāng)大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到8100天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設(shè)置這個懸念后，緊接著又進行一系列的問題教學(xué)，讓學(xué)生自己去探究去回答，最后學(xué)生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。二項式定理教學(xué)設(shè)計篇三二項式定理一、教學(xué)目標(biāo)1．知識目標(biāo)：掌握二項式定理及其簡單應(yīng)用2．過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學(xué)的思維方式。3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，感受和體驗數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對稱美。二、教學(xué)重點、難點重點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)的區(qū)別三、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)問題情境：今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？前面幾個問題全班所有學(xué)生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學(xué)生試圖用計算器算，還是覺得很復(fù)雜，學(xué)習(xí)完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾新課講解：問題1abcd的展開式有多少項？有無同類項可以合并？由于這一節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理和排列組合知識之后學(xué)習(xí)的，所以學(xué)生能夠快速的說出答案。問題2abab的ab原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構(gòu)成的？有規(guī)律嗎？學(xué)生根據(jù)乘法展開式也很快得出結(jié)論問題3ababab的ab原始展開式有多少項？經(jīng)合并后又只能有幾項？是哪幾項？學(xué)生仍然根據(jù)乘法公式算出了答案問題4abababab的ab的原始展開式有多少項？問題5你能準(zhǔn)確快速地寫出ab的原始展開式的16項嗎？經(jīng)合并后，又只能有哪幾項？此時，學(xué)生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現(xiàn)思維的烘熱）啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個括號（袋子）中4423問題6其個數(shù)，為何恰好應(yīng)為該項的系數(shù)？問題7ab在合并后的展開式中，annnrbr的系數(shù)應(yīng)該是多少？有理由嗎？問題8那么，該如何將ab輕松、清晰地展開？請同學(xué)們歸納猜想學(xué)生們快速地說出abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabLCnabLCnbnN*我們數(shù)學(xué)講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？思路：證明中主要運用了計數(shù)原理?、僬归_式中為什么會有那幾種類型的項？abn是n個ab相乘，展開式中的每一項都是從這n個ab中各任取一個字母相nk乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a②展開式中各項的系數(shù)是怎么來的？bk的形式，k0,1,2,L,nankbk是從n個ab中取k個b，和余下nk個a相乘得到的，有Cnk種情況可以得到ankbk，因此，該項的系數(shù)為Cnk定義：一般地，對于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有abn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabLCnabLCnbnN*注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做ab的二項展開式（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數(shù)或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開例：把b換成b，則nabn0n1n1n2n22knkknnCnaCnabCnabL1CnabL1CnbnN*kn練習(xí)：令a1,bx，則1xn01122kknnCnCnxCnxLCnxLCnxnN*問題9二項式定理展開式中項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)特點是什么？哪一項最有代表性公式特征：（1）項數(shù)：共有n1項（2）指數(shù)規(guī)律：①各項的次數(shù)都等于二項式的系數(shù)n（關(guān)于a與b的齊次多項式）②字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到nknkk（3）二項式展開式的通項：Tk1Cnab，k0,1,2,L,n012knk（4）二項式系數(shù)：依次為Cn,Cn,Cn,LCnL,Cn。這里Cn（k0,1,2,L,n）稱為二項式系數(shù)現(xiàn)在同學(xué)們能告訴老師8100天后星期幾嗎？思考了一會兒，馬上有同學(xué)大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數(shù)是多少，就是星期幾老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學(xué)生都明白了，因為一個星期7天，所以810071展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為Cnn1，故應(yīng)為星期四。61001例1求2x的展開式x方法一：直接展開11技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成2x2x26方法二：先合并化簡，再展開建議用第二種方法簡單些。變式一：展開式中的常數(shù)項是多少？變式二：展開式中的第3項是多少？變式三：展開式中的第3項的系數(shù)是多少？變式四：展開式中的第3項二項式系數(shù)是多少？注意：二項式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，二項式系數(shù)就是一個組合數(shù)，與a,b無關(guān)；系數(shù)與a,b有關(guān)。例2（1）求(12x)7的展開式的第4項的系數(shù)和第4項的二項式系數(shù)13（2）x的展開式中x的系數(shù)和中間項x例3求(xa)12的展開式中的倒數(shù)第4項小結(jié)：（1）注意二項式定理中二項展開式的特征（2）區(qū)別二項式系數(shù)、項的系數(shù)（3）掌握用通項公式求二項式系數(shù)、項的系數(shù)及項。作業(yè)：P374，5教學(xué)反思：本節(jié)課先用今天星期幾的問題創(chuàng)設(shè)問題情境，一下子把全班學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性都調(diào)動起來了，當(dāng)大家不知道老師葫蘆里賣的什么藥時，老師由淺入深的提問，最后問到81009天后星期幾，從而引出今天的課題：二項式定理。給大家設(shè)置這個懸念后，緊接著又進行一系列的問題教學(xué)，讓學(xué)生自己去探究去回答，最后學(xué)生之間合作交流歸納猜想出二項式定理的展開式，整個過程順理成章地完成。1.知識與技能：(1)理解二項式定理是代數(shù)乘法公式的推廣。(2)理解并掌握二項式定理，能利用計數(shù)原理證明二項式定理。2.過程與方法：通過學(xué)生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式．3.情感、態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識，合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴謹．二、教學(xué)重點、難點重點：用計數(shù)原理分析的展開式，得到二項式定理．難點：用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律。一、說教材1、地位及作用：二項式定理安排在高中數(shù)學(xué)選修2-3第三節(jié)，是排列組合內(nèi)容后的一部分內(nèi)容，其形成過程是組合知識的應(yīng)用，同時也為隨后學(xué)習(xí)的概率知識及概率與統(tǒng)計，作知識上的鋪墊。二項展開式與多項式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識的學(xué)習(xí)，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學(xué)習(xí)的關(guān)于多項式變形的知識。運用二項式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學(xué)問題，例如近似計算、整除問題、不等式的證明等。2、重點難點分析：重點：（1）使學(xué)生參與并深刻體會二項式定理形成過程，掌握二項式系數(shù)的規(guī)律。（2）能夠應(yīng)用二項式定理、對二項式進行展開。難點：運用多項式乘法以及組合知識推導(dǎo)二項式定理的過程。A.知識與技能（1）使學(xué)生參與并探討二項式定理的形成過程，掌握二項式系數(shù)、字母的冪次、展開式項數(shù)的規(guī)律。（2）能夠應(yīng)用二項式定理對所給出的二項式進行正確的展開。B.過程與方法通過二項式定理的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察，猜想，歸納的能力。C.情感態(tài)度與價值觀（1）通過學(xué)生自主參與和探討二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的興趣和信心。（2）通過學(xué)生自主參與和探討二項式定理的形成過程，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧對稱美。三﹑說教法和學(xué)法1、教法為了完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生主動探索展開式的由來是關(guān)鍵。本節(jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學(xué)原則，采用多媒體輔助教學(xué)方法，以“引導(dǎo)思考”為核心，設(shè)計課件展示，并引導(dǎo)學(xué)生沿著積極的思維方向，逐步達到即定的教學(xué)目標(biāo)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力；同時，考慮到學(xué)生的個體差異，在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)進行分層施教，實現(xiàn)“有差異”的發(fā)展。2、學(xué)法根據(jù)學(xué)生思維的特點，遵循“教必須以學(xué)為主”的教學(xué)理念，讓每一個學(xué)生自主參與整堂課的知識構(gòu)建。在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生進行類比遷移，對照學(xué)習(xí)。3、教學(xué)手段二項式定理教學(xué)設(shè)計篇四《二項式定理》教學(xué)設(shè)計1．教學(xué)目標(biāo)知識技能：理解二項式定理，記憶二項展開式的有關(guān)特征，能對二項式定理進行簡單應(yīng)用．過程方法：通過從特殊到一般的探究活動，經(jīng)歷“觀察—歸納—猜想—證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識，獲得學(xué)習(xí)和成功的體驗．情感、態(tài)度和價值觀：通過對二項式定理的研究，掌握展開式的結(jié)構(gòu)特點，體驗數(shù)學(xué)公式的對稱美、和諧美，了解楊輝、牛頓等數(shù)學(xué)家做出的巨大貢獻．2.教學(xué)過程探索研究二項式定理的內(nèi)容從學(xué)生比較熟悉的完全平方公式入手，去觀察，猜想02122(ab)2a22abb2C2aC2abC2b三次方的讓學(xué)生按照多項式乘法進行運算在合并，不合并之前是幾項，為什么？（分步乘法計數(shù)原理）0312233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b每一項中字母a，b的指數(shù)和相同，項的個數(shù)有n1項00每個都不取b的情況有1種，即C4種，所以a4的系數(shù)是C4；11恰有1個取b的情況下有C4種，所以a3b的系數(shù)是C4；22恰有2個取b的情況下有C4種，所以a2b2的系數(shù)是C4；33恰有3個取b的情況下有C4種，所以ab3的系數(shù)是C4；444個都取b的情況下有C4種，所以b4的系數(shù)是C4；0413222344因此(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b．歸納、猜想(ab)n0n1n12n22(ab)nCnaCnabCnabknkkCnabnnCnb(nN)設(shè)問：（1）將(ab)n展開，有多少項？（2）每一項中，字母a，b的指數(shù)有什么特點？（3）字母a，b指數(shù)和始終是多少？（4）如何確定ankbk的系數(shù)？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察二項式定理，從以下幾方面強調(diào)：（1）項數(shù)規(guī)律：n1項；（2）次數(shù)規(guī)律：字母a，b的指數(shù)和為n，字母a的指數(shù)由n遞減至0，同時，字母b的指數(shù)由0遞增至n；（3）二項式系數(shù)規(guī)律：下標(biāo)為n，上標(biāo)由0遞增至n；knkk（4）通項：Tk1Cnab指的是第k1項，不是第k項，該項的二項式系k數(shù)是Cn板書以上幾點3.例題處理51例1：（1）在2x的展開式中x（1）請寫出展開式的通項。（2）求展開式的第4項。（3）請指出展開式的第4項的系數(shù)，二項式系數(shù)。3（4）求展開式中含x的項。課件展示解題過程自主探究：在12x的展開式中，求第4項，并指出它的二項式系數(shù)和系數(shù)7是什么？獨立完成，爬黑板01合作探究：設(shè)n為自然數(shù)，化簡Cn2nCn2n11Cnk2nk1Cnnkn分組討論，交流想法4.歸納小結(jié)學(xué)生的學(xué)習(xí)體會與感悟；教師強調(diào)：（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法（2）從特殊情況入手，“觀察——歸納——猜想——證明”的思維方法，是人們發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴謹論證”的良好習(xí)慣．（3）二項式定理每一項中字母a，b的指數(shù)和為n，a的指數(shù)從n遞減至0同時b的指數(shù)由0遞增至n，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美．二項式系數(shù)還有哪些規(guī)律呢？希望同學(xué)們在課下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現(xiàn)．5.作業(yè)（1）鞏固型作業(yè)：課本36頁習(xí)題1.3A組1、3、4（1）（2）5（2）思維拓展型作業(yè)：（查閱相關(guān)資料）查閱有關(guān)楊輝一生的主要成就。012探究二項式系數(shù)Cn,Cn,Cn,n有何性質(zhì)。,Cn3二項式定理教學(xué)設(shè)計篇五二項式定理一、教學(xué)目標(biāo)1．知識目標(biāo)：掌握二項式定理及其簡單應(yīng)用2．過程與方法：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想能力，發(fā)現(xiàn)問題，探求問題的能力，邏輯推理能力以及科學(xué)的思維方式。3．情感態(tài)度和價值觀：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，勇于創(chuàng)新的個性品質(zhì)，感受和體驗數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美和對稱美。二、教學(xué)重點、難點重點：二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項公式難點：展開式中某一項的二項式系數(shù)與該項的系數(shù)的區(qū)別三、教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)問題情境：今天是星期三，15天后星期幾，30天后星期幾，8100天后星期幾呢？前面幾個問題全班所有學(xué)生都大聲地回答出來了，最后一個問題大家都很迷惑，有些學(xué)生試圖用計算器算，還是覺得很復(fù)雜，學(xué)習(xí)完這節(jié)課我們就知道答案了，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾新課講解：問題1abdc的展開式有多少項？有無同類項可以合并？由于這一節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理和排列組合知識之后學(xué)習(xí)的，所以學(xué)生能夠快速的說出答案。問題2abb的ab原始展開式有多少項？有幾項是同類項？項是怎樣構(gòu)成a的？有規(guī)律嗎？學(xué)生根據(jù)乘法展開式也很快得出結(jié)論問題3abbaa2bab的3原始展開式有多少項？經(jīng)合并后又只能有幾項？是哪幾項？學(xué)生仍然根據(jù)乘法公式算出了答案問題4abbaaba的bab的原始展開式有多少項？44問題5你能準(zhǔn)確快速地寫出ab的原始展開式的16項嗎？經(jīng)合并后，又只能有哪幾項？此時，學(xué)生能說出其中的一兩項，并不能全部回答出來所有的項，思維覺察到麻煩，困難，易出錯——借此“憤悱”之境，有效的實現(xiàn)思維的烘熱）啟發(fā)類比：4個袋中有紅球a，白球b各一個，每次從4個袋子中各取一個球，有什么樣的取法？各種取法有多少種？在4個括號（袋子）中問題6其個數(shù)，為何恰好應(yīng)為該項的系數(shù)？問題7ab在合并后的展開式中，annnrbr的系數(shù)應(yīng)該是多少？有理由嗎？問題8那么，該如何將ab輕松、清晰地展開？請同學(xué)們歸納猜想學(xué)生們快速地說出abn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnCnbnN*我們數(shù)學(xué)講究邏輯地嚴密性和知識的嚴謹性，大家猜想地很正確，那么我們怎么來證明呢？思路：證明中主要運用了計數(shù)原理?、僬归_式中為什么會有那幾種類型的項？abn是n個ab相乘，展開式中的每一項都是從這n個ab中各任取一個字母相nk乘得到的，每一項都是n次的。故每一項都是a②展開式中各項的系數(shù)是怎么來的？bk的形式，k0,1,2，nankbk是從n個ab中取k個b，和余下nk個a相乘得到的，有Cnk種情況可以得到ankbk，因此，該項的系數(shù)為Cnk定義：一般地，對于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也成立，即有abn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnCnbnN*注：（1）公式左邊叫做二項式，右邊叫做ab的二項展開式（2）定理中的a,b僅僅是一種符號，它可以是任意的數(shù)或式子什么的，只要是兩項相加的n次冪，就能用二項式定理展開例：把b換成b，則nabn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkk1Cnabknn1CnbnN*n練習(xí)：令a1,bx，則1xn01122CnCnxCnxkkCnxnnCnxnN*問題9二項式定理展開式中項數(shù)、指數(shù)、系數(shù)特點是什么？哪一項最有代表性公式特征：（1）項數(shù)：共有n1項（2）指數(shù)規(guī)律：①各項的次數(shù)都等于二項式的系數(shù)n（關(guān)于a與b的齊次多項式）②字母a按降冪排列，次數(shù)由n遞減到0；字母b按升冪排列，次數(shù)由0遞增到nknkk（3）二項式展開式的通項：Tk1Cnab，k0,1,2，n,n）稱為二（4）二項式系數(shù)：依次為Cn,Cn,Cn,012kCnnk,Cn。這里Cn（k0,1,2,項式系數(shù)現(xiàn)在同學(xué)們能告訴老師8100天后星期幾嗎？思考了一會兒，馬上有同學(xué)大聲喊：把8寫成7+1，再進行展開，余數(shù)是多少，就是星期幾老師故意問：為什么要寫成7+1，這時，所有學(xué)生都明白了，因為一個星期7天，所以810071展開式中除了最后一項外，其余的項都是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為Cnn1，故應(yīng)為星期四。61001例1求2x的展開式x方法一：直接展開11技巧：將根式先化成冪的形式，再進行計算，要簡單很多。即原式變成2x2x26方法二：先合并化簡，再展開建議用第二種方法簡單些。變式一：展開式中的常數(shù)項是多少？變式二：展開式中的第3項是多少？變式三：展開式中的第3項的系數(shù)是多少？變式四：展開式中的第3項二項式系數(shù)是多少？注意：二項式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，二項