河南省鄭州市管城外國語2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期 數(shù)學(xué)入學(xué)考試題【含答案】

2023-2024學(xué)年上學(xué)期八年級數(shù)學(xué)開學(xué)練習(xí)題一、選擇題（每小題3分，共30分）1.計算的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】所求式子表示個的乘積，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：，故選：．【點睛】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵．2.已知的三邊分別是a、b、c，下列條件中不能判斷為直角三角形的是（）A. B. C. D.，，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、，是直角三角形，故A不符合題意；B、，，，不是直角三角形，故B符合題意；C、，，，，，是直角三角形，故C不符合題意；D、，，，是直角三角形，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．3.下列說法中，正確的是（）A.是的平方根之一 B.是的算術(shù)平方根C.的平方根是的算術(shù)平方根 D.的平方是【答案】B【解析】【分析】利用平方根、算術(shù)平方根和有理數(shù)的乘方逐項判斷即可．【詳解】、的平方根為，即有是的平方根之一，故此選項說法錯誤；、的算術(shù)平方根是，即有是的算術(shù)平方根，故此選項說法正確；、的平方根是，的算術(shù)平方根是，故此選項說法錯誤；、，故此選項說法錯誤；故選：．【點睛】此題考查了平方根、算術(shù)平方根和有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)的有關(guān)概念和運算法則．4.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運算法則對各選項逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、為無理數(shù)，不能與有理數(shù)進(jìn)行加減運算，故錯誤，不符合題意；B、根據(jù)二次根式計算法則，同類二次根式相減時，系數(shù)相減，應(yīng)該為，故錯誤，不符合題意；C、根據(jù)二次根式乘法法則，計算正確，符合題意；D、根據(jù)二次根式除法法則，應(yīng)該為，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查二次根式的四則運算，解決本題的關(guān)鍵是熟悉二次根式計算法則．5.已知直角三角形的斜邊長為10，兩直角邊的比為3：4，則較短直角邊的長為（）A3 B.6 C.8 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方即可求解．【詳解】解：設(shè)這兩條直角邊分別為3x，4x，則由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=102，即9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=±2，負(fù)值舍去，所以x=2，所以較短直角邊為3×2=6．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點C到斜邊AB的距離是（）A. B. C.9 D.6【答案】A【解析】【分析】設(shè)點C到斜邊AB的距離是h，根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點C到斜邊AB的距離是h，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，∴，∵，，故A正確．故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方，是解答此題的關(guān)鍵．7.如圖，五個正方形放在直線MN上，正方形A、C、E面積依次為3、5、4，則正方形B、D的面積之和為（）A.11 B.14 C.17 D.20【答案】C【解析】【分析】如圖：由題意可得,,，再根據(jù)全等三角形和勾股定理可得，同理可得，最后求正方形B、D的面積之和即可．【詳解】解：如圖：由題意可得：,,∴∴，∴,∴,∵，∴，∴,即,同理：;∴．故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)各正方形之間的面積關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．8.如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分以的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（）A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤l3【答案】A【解析】【分析】最短距離就是飲料罐的高度，最大距離可根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：a的最小長度顯然是圓柱的高12，最大長度根據(jù)勾股定理，得：=13．即a的取值范圍是12≤a≤13．故選：A．9.等腰三角形一腰長為5，這一腰上的高為3，則這個等腰三角形底邊長為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】此題要分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)?shù)妊切雾斀鞘氢g角時，腰上的高在三角形的外部，先在Rt△ACO中由勾股定理求出AO=4，于是OB=AB+AO=9，然后在Rt△BCO中利用勾股定理即可求出BC即可；（2）當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時，腰上的高在三角形的內(nèi)部，在Rt△ACO中由勾股定理求出AD=4，于是DB=AB-AD=1，然后在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC即可．【詳解】解：分兩種情況：（1）頂角是鈍角時，如圖1所示：在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，∴BC==3；（2）頂角是銳角時，如圖2所示：在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt△BCD中，由勾股定理，得，∴BC=；綜上可知，這個等腰三角形的底的長度為3或．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中，分情況討論是解題的關(guān)鍵．10.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC為直徑的圓恰好過點B，AB=8，BC=6，則陰影部分的面積是（）A.100π﹣24 B.100π﹣48C.25π﹣24 D.25π﹣48【答案】C【解析】【詳解】∵中,∴∴AC為直徑的圓的半徑為5，∴S陰影=S圓﹣S△ABC故選C．二、填空題（每小題3分，共15分）11.某種花粉的直徑是毫米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為_____．【答案】【解析】【分析】絕對值小于1的數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查絕對值小于1的數(shù)的科學(xué)記數(shù)法，負(fù)指數(shù)的求解是關(guān)鍵12.81的平方根是_____．【答案】±9【解析】【分析】直接根據(jù)平方根的定義填空即可．【詳解】解：∵（±9）2＝81，∴81的平方根是±9．故答案為：±9．【點睛】本題考查了平方根，理解平方根的定義是解題的關(guān)鍵．13.直角三角形的兩邊長分別為1和2，則第三邊長為_________【答案】或【解析】【分析】由題意，分類討論2是斜邊和2是直角邊兩種情況，用勾股定理計算即可．【詳解】當(dāng)2是斜邊時，第三邊長；當(dāng)2是直角邊時，第三邊長；故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，要熟悉勾股定理的計算同時要注意分類討論．14.如圖，圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行最短路程（π取3）是_____cm．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)兩點之間線段最短的知識將圓柱的側(cè)面展開并連接AB即可得解.【詳解】解：如下圖所示：將圓柱的側(cè)面展開，連接AB即可得到爬行的最短路程．∵π取3，∴底面圓周長，底面半圓弧長為，∴根據(jù)題意，展開得，∴根據(jù)勾股定理得，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了立體圖形的展開和兩點之間線段最短，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出展開圖，畫曲面問題為平面問題．15.如圖，由圖中的信息可知點表示的數(shù)是__________．【答案】【解析】【分析】如圖，利用勾股定理求出GH即可．【詳解】解：由題意得GP=GH=，∴點P表示的數(shù)是，故答案為：．【點睛】此題考查了勾股定理的計算，熟練掌握勾股定理的計算公式是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16.計算：（1）（2）【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）先計算算術(shù)平方根，立方根，然后計算加減法即可；（2）先計算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后根據(jù)含乘方的有理數(shù)混合計算法則求解即可．【小問1詳解】解：原式；【小問2詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了實數(shù)的混合計算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，含乘方的有理數(shù)混合計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．17.如圖：正方形網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1，且點A、B、C均為格點．（1）求△A的面積．（2）通過計算判斷的形狀．【答案】（1）5；（2）是直角三角形．【解析】【分析】（1）根據(jù)割補(bǔ)法，結(jié)合三角形面積公式即可解題；（2）根據(jù)勾股定理，分別解得的長，再利用勾股定理的逆定理解題即可．【詳解】解：（1）=16-6-4-1=5，；（2）是直角三角形，理由如下：由勾股定理得，即是直角三角形．【點睛】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、勾股定理的逆定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．18.地表以下巖層的溫度/與所處深度/有如下關(guān)系：深度/12345溫度/5590125160195（1）上表中自變量x是______，因變量y是_______．（2）請寫出y與x的關(guān)系式．（3）根據(jù)（2）中的關(guān)系式，估計地表以下7處巖層的溫度．【答案】（1）深度，溫度（2）（3）【解析】【分析】（1）由表格可知，上表中自變量x是深度，因變量y是溫度；（2）由表格可知，當(dāng)深度增加1，溫度增加35，可得，整理即可；（3）將代入，計算求解即可．【小問1詳解】解：由表格可知，上表中自變量x是深度，因變量y是溫度，故答案為：深度，溫度；【小問2詳解】解：由表格可知，當(dāng)深度增加1，溫度增加35，∴，∴y與x的關(guān)系式為；【小問3詳解】解：將代入得，∴地表以下7處巖層的溫度為．【點睛】本題考查了自變量、因變量，用關(guān)系式表示變量間的關(guān)系，求函數(shù)值．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．19.如圖，，，，C是直線l上一動點，請你探索當(dāng)C離B多遠(yuǎn)時，是一個以為斜邊的直角三角形？【答案】當(dāng)C離點B時，是以為斜邊的直角三角形【解析】【分析】設(shè)時，是以為斜邊的直角三角形，在中，，在中，，得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)時，是以為斜邊的直角三角形，∵，∴，在中，，在中，，∴，解得．∴當(dāng)C離點B時，是以為斜邊的直角三角形．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．20.明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，隨板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千靜止的時候，踏板離地高一尺，將它往前推進(jìn)兩步（兩步=10尺），此時踏板升高離地五尺，求秋千繩索的長度．【答案】秋千繩索的長度是尺．【解析】【分析】設(shè)尺，用表示出的長，在直角三角形中，利用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)尺，尺，尺，尺，尺，在Rt中，尺，尺，尺，根據(jù)勾股定理得，，解得：，答：秋千繩索的長度是尺．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．21.閱讀下面計算過程：；；．試求：（1）的值；（2）（為正整數(shù)）的值；（3）的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）先找出有理化因式，最后求出即可；（2）先找出有理化因式，最后求出即可；（3）先分母有理化，再合并即可．【小問1詳解】，【小問2詳解】原式，【小問3詳解】原式，，，．【點睛】此題考查了分母有理化，能正確分母有理化是解題的關(guān)鍵．22.如圖，長方體的長，寬，高，點M在上．且．（1）求線段的長；（2）一只螞蟻如果耍沿著長方體的表面從點A爬到點M，需要爬行的最短距離是多少?【答案】（1）（2）螞蟻爬行的最短距離是【解析】【分析】（1）根據(jù)長方體的性質(zhì)求出，利用勾股定理即可求解；（2）將立體圖形展開成平面圖形,然后根據(jù)兩點之間線段距離最短,利用根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解,根據(jù)立體展開成平面圖形情況分類討論進(jìn)行進(jìn)行比較．【小問1詳解】解：，，，線段的長為．【小問2詳解】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖∵長方體的寬為，高為，點B離點C的距離是要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：∴螞蟻爬行的最短距離是．【點睛】本題考查了勾股定理的拓展應(yīng)用,“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．23.公元3世紀(jì)初，我國學(xué)家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點、點、點三點共線）進(jìn)行了勾股定理的證明．與是一樣的直角三角板，兩直角邊長為，，斜邊是．請用此圖1證明勾股定理．?dāng)U展應(yīng)用1：如圖2，以的邊和邊為邊長分別向外作正方形和正方形，過點分別作的垂線段，那么的數(shù)量關(guān)系是怎樣?說明理由．?dāng)U展應(yīng)用2：如圖3，在兩平行線之間有一正方形，已知點和點分別在直上，過點作直線，已知之間距離為，之間距離為2．直接出正方形的面積是．【答案】證明勾股定理見解析；拓展1：，理由見解析；拓展2：5【解析】【分析】首先說明，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得是等腰直角三角形；用，，表示三角形與梯形的面積，再根據(jù)梯形的面積等于三個直角三角形的面積和便可得結(jié)論；拓展1：過作于點，再證明三角形全等即可得結(jié)論；拓展2：