專題1.2定義命題與證明-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【浙教版】

2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【浙教版】專題1.2定義命題與證明姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2021春?鄞州區(qū)期中）說明“若a是實(shí)數(shù)，則a2＞a”是假命題，可以舉的反例是（）A．a(chǎn)＝﹣2 B．a(chǎn)＝﹣0.5 C．a(chǎn)＝0 D．a(chǎn)=【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則求出a2，判斷即可．【解析】當(dāng)a＝0時，a2＝0，此時a2＝a，則“若a是實(shí)數(shù)，則a2＞a”是假命題，故選：C．2．（2021春?西湖區(qū)校級期中）下列命題中正確的是（）A．同位角相等 B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 C．如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等 D．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行【分析】根據(jù)直線平行的判定和性質(zhì)，一一判斷即可．【解析】A、同位角相等，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意．B、過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，是假命題，這個點(diǎn)，不能在直線上．本選項(xiàng)不符合題意．C、如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等，假命題，也可能互補(bǔ)，本選項(xiàng)不符合題意．D、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，是真命題，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．3．（2021?鄞州區(qū)模擬）已知命題：“若兩個角互補(bǔ)，則這兩個角必定一個是銳角，另一個是鈍角”，下列兩個角度可以說明“上述命題是假命題”的反例是（）A．40°和50° B．30°和150° C．90°和90° D．120°和150°【分析】要說明命題“如果兩個角互補(bǔ)，那么這兩個角一個是銳角，另一個是鈍角”為假命題，則兩個角的和為180°，且這兩個角不是一個是銳角，另一個是鈍角，然后根據(jù)此分別對四個選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解析】∵90°+90°＝180°，而這兩個角都是直角，所以D選項(xiàng)可能說明命題“如果兩個角互補(bǔ)，那么這兩個角一個是銳角，另一個是鈍角”為假命題．故選：C．4．（2020秋?織金縣期末）命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的題設(shè)是（）A．垂直 B．兩條直線 C．同一條直線 D．兩條直線垂直于同一條直線【分析】找出已知條件的部分即可．【解析】命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的題設(shè)是兩條直線垂直于同一條直線．故選：D．5．（2021春?江北區(qū)期中）下列命題中，真命題是（）A．相等的角是對頂角 B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等 C．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解析】A、錯誤，對頂角相等但相等的角不一定是對頂角；B、錯誤，當(dāng)被截的直線平行時形成的同位角才相等；C、正確，必須強(qiáng)調(diào)在同一平面內(nèi)；D、錯誤，兩直線平行同旁內(nèi)角才互補(bǔ)．故選：C．6．（2020?浙江自主招生）老師讓4個學(xué)生猜一猜這次考試中4個人的成績誰最好．甲說：“乙最好”：乙說：“丁最好”；丙說：“反正我不是最好”；丁說：“乙說我最好，肯定錯了”．老師告訴他們，只有一個人猜對了，于是，聰明的孩子們馬上知道是誰的成績最好了，你知道嗎？（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】根據(jù)題意，分情況討論：①假設(shè)甲最好；②假設(shè)乙最好；③假設(shè)丁最好；④假設(shè)丙最好，判斷與老師說的無矛盾即可得到答案．【解析】假設(shè)甲最好，則甲說得錯了，則乙說錯了，丙說對了，丁說對了，與老師說的“只有一個人猜對了，”矛盾，因此不是甲最好；假設(shè)乙最好，則甲說對了，則乙說錯了，丙說對了，丁說對了，與老師說的“只有一個人猜對了，”矛盾，因此不是乙最好；假設(shè)丙最好，則甲說錯了，則乙說錯了，丙說錯了，丁說對了，與老師說的“只有一個人猜對了，”不矛盾，因此是丙最好；假設(shè)丁最好，則甲說錯了，則乙說對了，丙說對了，丁說錯了，與老師說的“只有一個人猜對了，”矛盾，因此是丁不是最好；因此丙的成績最好，故選：C．7．（2020秋?玉門市期末）在△ABC中，∠A﹣∠C＝∠B，那么△ABC是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，則∠A+∠B＝180°﹣∠C，由∠A＝∠B﹣∠C變形得∠A+∠B＝∠C，則180°﹣∠C＝∠C，解得∠C＝90°，即可判斷△ABC的形狀．【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C+∠B＝180°﹣∠A，而∠A﹣∠C＝∠B，∴∠C+∠B＝∠A，∴180°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝90°，∴△ABC為直角三角形．故選：D．8．（2020秋?濟(jì)南期末）適合條件∠A=12∠B=13∠CA．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【分析】此題隱含的條件是三角形的內(nèi)角和為180°，列方程，根據(jù)已知中角的關(guān)系求解，再判斷三角形的形狀．【解析】∵∠A=12∠B=1∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，即6∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形．故選：B．9．（2020春?昌圖縣期末）已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．50° C．70° D．90°【分析】構(gòu)建方程組求解即可．【解析】由題意∠A+∠B+∠C=180°∠B=3∠A解得∠A=30°∠B=90°故選：A．10．（2020秋?蕪湖期中）如圖，△ABC中，∠A＝20°，沿BE將此三角形對折，又沿BA′再一次對折，點(diǎn)C落在BE上的C′處，此時∠C′DB＝74°，則原三角形的∠C的度數(shù)為（）A．27° B．59° C．69° D．79°【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，則∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，則20°+2∠3+106°＝180°，可計算出∠3＝27°，即可得出結(jié)果．【解答】解如圖，∵△ABC沿BE將此三角形對折，又沿BA′再一次對折，點(diǎn)C落在BE上的C′處，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，即20°+2∠3+106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠ABC＝3∠3＝81°，∠C＝106°﹣27°＝79°，故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2021?寧波模擬）寫出一個能說明命題“若|a|＞|b|，則a＞b”是假命題的反例a＝﹣5，b＝1．【分析】寫出a、b的值滿足|a|＞|b|，不滿足a＞b即可．【解析】因?yàn)閍＝﹣5，b＝1時，滿足|a|＞|b|，不滿足a＞b，所以a＝﹣5，b＝1可作為說明命題“若|a|＞|b|，則a＞b”是假命題的反例．故答案為a＝﹣5，b＝1．12．（2021春?海淀區(qū)校級月考）請舉反例說明命題“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命題，反例可舉：當(dāng)a＝﹣2，b＝2時，a2＝b2，此時a＝﹣b．【分析】代入數(shù)據(jù)a＝﹣2，b＝2說明即可；【解析】當(dāng)a＝﹣2，b＝2時，a2＝b2，此時a＝﹣b；故“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命題，故答案為：當(dāng)a＝﹣2，b＝2時，a2＝b2，此時a＝﹣b13．（2020秋?長春期末）寫出“對頂角相等”的逆命題相等的角是對頂角．【分析】將原命題的條件及結(jié)論進(jìn)行交換即可得到其逆命題．【解析】∵原命題的條件是：如果兩個角是對頂角，結(jié)論是：那么這兩個角相等；∴其逆命題應(yīng)該為：如兩個角相等那么這兩個角是對頂角，簡化后即為：相等的角是對頂角．14．（2020秋?慈溪市期中）寫出一個能說明命題“如果ab＞0，則a＞0且b＞0”是假命題的反例：a＝﹣2，b＝﹣3（答案不唯一）．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則解答即可．【解析】當(dāng)a＝﹣2，b＝﹣3時，ab＞0，但a＜0、b＜0，所以命題“如果ab＞0，則a＞0且b＞0”是假命題，故答案為：a＝﹣2，b＝﹣3（答案不唯一）．15．（2020秋?松山區(qū)期末）在△ABC中，∠A=12∠B=13∠C，則∠B＝【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理．設(shè)∠A為X，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°的等量關(guān)系求解即可．【解析】設(shè)∠A為x．x+2x+3x＝180°?x＝30°．∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．故填60．16．（2020秋?海寧市期中）已知AD、AE分別是△ABC的角平分線和高線，∠B＝50°．若∠DAE＝10°，則∠BAC＝60或100°．【分析】如圖1，根據(jù)垂直的定義得到∠AEB＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠ADE＝80°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝30°，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論，如圖2，由垂直的定義得到∠AED＝90°，求得∠ADE＝80°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAD＝180°﹣∠ADE﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，根據(jù)角平分線的定義得到結(jié)論．【解析】如圖1，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵∠DAE＝10°，∴∠ADE＝80°，∵∠B＝50°，∴∠BAD＝∠ADE﹣∠B＝30°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，如圖2，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∵∠DAE＝10°，∴∠ADE＝80°，∵∠B＝50°，∴∠BAD＝180°﹣∠ADE﹣∠B＝180°﹣80°﹣50°＝50°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAC＝2∠BAD＝100°，綜上所述，∠BAC＝60°或100°，故答案為：60或100．17．（2020秋?拱墅區(qū)校級期末）如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高線，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，則∠ADC的度數(shù)為85°．【分析】根據(jù)角平分線定義求得∠BAD=12∠BAC，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求得∠ABE＝90°﹣∠BAC，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得∠【解析】∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，∴∠BAD=12∠BAC＝25°，∠ABE＝∵∠EBC＝20°，∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．故答案為：85°．18．（2020秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是三角形∠BAC的角平分線，若∠EAD＝5°，∠B＝50°，則∠C的度數(shù)為60°．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠AED，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BAE，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠BAC，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解．【解析】∵AD是BC邊上的高，∠EAD＝5°，∴∠AED＝85°，∵∠B＝50°，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝85°﹣50°＝35°，∵AE是∠BAC的角平分線，∴∠BAC＝2∠BAE＝70°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣70°＝60°．故答案為60°．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2019秋?拱墅區(qū)校級期中）判斷下列命題的真假，并給出證明（1）兩個銳角的和是鈍角；（2）若a＞b，則a2＞b2；【分析】（1）根據(jù)銳角和鈍角的概念，舉一個反例即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方法則證明；【解析】（1）兩個銳角的和是鈍角，是假命題，例如，一個角是30°，另一個是40°，則這兩個角的和是70°，70°不是鈍角，∴兩個銳角的和是鈍角，是假命題；（2）若a＞b，則a2＞b2，是假命題，例如：a＝﹣1，b＝﹣2，a2＝1，b2＝4，則a2＜b2，∴a＞b，則a2＞b2，是假命題．20．（2018秋?西湖區(qū)校級月考）指出下列命題的條件和結(jié)論，并改寫成”如果……那么……”的形式．（1）絕對值相等的兩個數(shù)相等．（2）直角三角形的兩個銳角互余．【分析】根據(jù)任何一個命題都可以寫成“如果…，那么…”的形式，如果后面是題設(shè)，那么后面是結(jié)論，進(jìn)而得出答案即可．【解析】（1）條件：絕對值相等的兩個數(shù)，結(jié)論：兩個數(shù)相等；改寫成：”如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等”；（2）條件：直角三角形，結(jié)論：兩個銳角互余；改寫成：”如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余”．21．（2020春?椒江區(qū)期末）如圖，在三角形ABC中，AB∥DE，∠BDE＝2∠A，求證∠A＝∠C．證明：作∠BDE的角平分線交AB于點(diǎn)F．∵DF平分∠BDE，∴∠1＝∠2．∵∠BDE＝2∠A，∴∠1＝∠2＝∠A，∵AB∥DE，∴∠A＝∠3（兩直線平行，同位角相等），∴∠3＝∠A＝∠1，∴AC∥DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠2＝∠C，∴∠A＝∠C＝∠2．【分析】作∠BDE的角平分線交AB于點(diǎn)F．證明DF∥AC可得結(jié)論．【解答】證明：作∠BDE的角平分線交AB于點(diǎn)F．∵DF平分∠BDE，∴∠1＝∠2．∵∠BDE＝2∠A，∴∠1＝∠2＝∠A，∵AB∥DE，∴∠A＝∠3（兩直線平行，同位角相等），∴∠3＝∠A＝∠1，∴AC∥DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠2＝∠C，∴∠A＝∠C＝∠2．故答案為：∠A，兩直線平行，同位角相等，∠1，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，∠C．22．（2021春?蕭山區(qū)月考）如圖，在四邊形ABCD中，AE，BE分別平分∠BAD和∠ABC，點(diǎn)E在CD上，∠1+∠2＝90°（1）完成下面的說理過程解：解：∵AE平分∠BAD（已知），∴∠BAD＝2∠1（角平分線的定義），∵BE平分∠ABC（已知），∴∠ABC＝2∠2（角平分線的定義），∴∠BAD+∠ABC＝2∠1+2∠2（等量代換），∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．（2）若AE平分∠DEF，試說明BE平分∠CEF．【分析】（1）根據(jù)題目中的證明過程很容易能補(bǔ)全括號內(nèi)的理由；（2）利用等角的余角相等證明∠BEF＝∠CEB即可．【解析】（1）∵AE平分∠BAD（已知），∴∠BAD＝2∠1（角平分線的定義），∵BE平分∠ABC（已知），∴∠ABC＝2∠2（角平分線的定義），∴∠BAD+∠ABC＝2∠1+2∠2（等量代換），∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義；角平分線的定義；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（2）∵∠1+∠2+∠AEB＝180°，∠1+∠