高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題六 統(tǒng)計與概率 6.2 概率、統(tǒng)計解答題練習(xí) 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

6.2概率、統(tǒng)計解答題高考命題規(guī)律1.每年必考考題,多以實際問題為背景,閱讀量較大.2.解答題,12分,中檔難度.3.全國高考有4種命題角度,分布如下表:2020年高考必備2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命題角度1隨機事件的頻率與概率、樣本數(shù)字特征1818命題角度2統(tǒng)計圖表與樣本數(shù)字特征的綜合應(yīng)用18191918命題角度3獨立性檢驗191817命題角度4回歸分析及其應(yīng)用191819命題角度1隨機事件的頻率與概率、樣本數(shù)字特征高考真題體驗·對方向1.(2019北京·17)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1000名學(xué)生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人(1)估計該校學(xué)生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù);(2)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人,求該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率;(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結(jié)合(2)的結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.解(1)由題知,樣本中僅使用A的學(xué)生有27+3=30人,僅使用B的學(xué)生有24+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.估計該校學(xué)生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)為40100×1000=400(2)記事件C為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽取1人,該學(xué)生上個月的支付金額大于2000元”,則P(C)=125=0.04(3)記事件E為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機抽查1人,該學(xué)生本月的支付金額大于2000元”.假設(shè)樣本僅使用B的學(xué)生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化,則由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生,一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的.所以無法確定有沒有變化.2.(2017全國Ⅲ·18)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為2+16+3690=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值為900,300,-100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20的頻率為36+25+7+490=0.8,因此Y大于零的概率的估計值為0.8典題演練提能·刷高分1.某產(chǎn)品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個等級A,B,C,D,E,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機抽取20件,對其等級進(jìn)行統(tǒng)計分析,得到頻率分布表如下:等級ABCDE頻數(shù)ab0.45c0.1(1)若所抽取的20件產(chǎn)品中,等級為A的恰有2件,等級為B的恰有4件,求c的值;(2)在(1)的條件下,將等級為A的2件產(chǎn)品記為A1,A2,等級為B的4件產(chǎn)品記為B1,B2,B3,B4,現(xiàn)從A1,A2,B1,B2,B3,B4這6件產(chǎn)品中任取兩件(假定每件產(chǎn)品被取出的可能性相同),寫出所有可能的結(jié)果,并求這兩件產(chǎn)品的等級不相同的概率.解(1)由題意可得:a=220=0.1,b=420=0.2,c=1-(0.1+0.2+0.45+0.1)=0.(2)由題意可得,所有可能的結(jié)果為:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共15種情況,任取兩件產(chǎn)品中等級不同的共有8種情況,所以任取兩件產(chǎn)品等級不同的概率為P=8152.(2019山東淄博一模)某商店銷售某海鮮,統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的需求量x(x∈[10,20],單位:千克),其頻率分布直方圖如圖所示,該海鮮每天進(jìn)貨1次,商店每銷售1千克可獲利50元;若供大于求,剩余的削價處理,每處理1千克虧損10元;若供不應(yīng)求,可從其他商店調(diào)撥,銷售1千克可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14千克,商店的日利潤為y元.(1)求商店日利潤y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式;(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替.①求這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù);②估計日利潤在區(qū)間[580,760]內(nèi)的概率.解(1)商店的日利潤y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式為y=50化簡得y=30(2)①由頻率分布直方圖得:海鮮需求量在區(qū)間[10,12)的頻率是2×0.08=0.16;海鮮需求量在區(qū)間[12,14)的頻率是2×0.12=0.24;海鮮需求量在區(qū)間[14,16)的頻率是2×0.15=0.30;海鮮需求量在區(qū)間[16,18)的頻率是2×0.10=0.20;海鮮需求量在區(qū)間[18,20]的頻率是20×0.05=0.10;這50天商店銷售該海鮮日利潤y的平均數(shù)為:(11×60-14×10)×0.16+(13×60-14×10)×0.24+(15×30+20×14)×0.30+(17×30+20×14)×0.20+(19×30+20×14)×0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元).②由于x=14時,30×14+280=60×14-140=700.顯然y=30xy=580=60x-140,得x=12;y=760=30x+280,得x=16;日利潤y在區(qū)間[580,760]內(nèi)的概率即求海鮮需求量x在區(qū)間[12,16]的頻率:0.24+0.30=0.54.3.某學(xué)校高一、高二、高三三個年級共有300名教師,為調(diào)查他們的備課時間情況,通過分層抽樣獲得了20名教師一周的備課時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時).高一年級77.588.59高二年級78910111213高三年級66.578.51113.51718.5(1)試估計該校高三年級的教師人數(shù);(2)從高一年級和高二年級抽出的教師中,各隨機選取一人,高一年級選出的人記為甲,高二年級選出的人記為乙,求該周甲的備課時間不比乙的備課時間長的概率;(3)再從高一、高二、高三三個年級中各隨機抽取一名教師,他們該周的備課時間分別是8,9,10(單位:小時),這三個數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為x1,表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為x0,試判斷x解(1)抽出的20位教師中,來自高三年級的有8名,根據(jù)分層抽樣方法,高三年級的教師共有300×820=120(人)(2)2935(3)x高一=x高二=x高三=6+6.5+7+8.5+11+13.5+17+18∴x14.某游樂園為吸引游客推出了一項有獎轉(zhuǎn)盤活動.如圖所示,假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻,四個區(qū)域劃分均勻,每個游客憑門票只可以參與一次活動,一次活動需轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,工作人員便會記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y,獎勵規(guī)則如下:①若xy≤3,獎勵玩具一個;②若xy≥8,獎勵水杯一個;③其余情況則獎勵飲料一瓶.(1)求在一次活動中獲得玩具的概率;(2)請比較一次活動中獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.解(1)用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng).因為S中元素個數(shù)是4×4=16,所以基本事件總數(shù)為n=16.記“xy≤3”為事件A.則事件A包含的基本事件共有5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=516,即小亮獲得玩具的概率為5(2)記“xy≥8”為事件B,“3<xy<8”為事件C.則事件B包含的基本事件共有6個,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),P(B)=616則事件C包含的基本事件共有5個,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),所以P(C)=516.因為385.某公司為了準(zhǔn)確把握市場,做好產(chǎn)品計劃,特對某產(chǎn)品做了市場調(diào)查:先銷售該產(chǎn)品50天,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x分布在[50,100]內(nèi),且銷售量x的分布頻率為:f(x)=n(1)求a的值.(2)若銷售量大于等于80,則稱該日暢銷,其余為滯銷,根據(jù)是否暢銷從這50天中用分層抽樣的方法隨機抽取5天,再從這5天中隨機抽取2天,求這2天中恰有1天是暢銷日的概率(將頻率視為概率).解(1)由題意知10n≥50,10(n+1)≤100,n得610-0.5+8(2)滯銷日與暢銷日的頻率之比為(0.1+0.1+0.2)∶(0.3+0.3)=2∶3,則抽取的5天中,滯銷日有2天,記為a,b,暢銷日有3天,記為C,D,E,再從這5天中抽出2天,基本事件有ab,aC,aD,aE,bC,bD,bE,CD,CE,DE,共10個,2天中恰有1天為暢銷日的事件有aC,aD,aE,bC,bD,bE,共6個,則所求概率為6106.全國大學(xué)生機器人大賽是由共青團(tuán)中央,全國學(xué)聯(lián),深圳市人民政府聯(lián)合主辦的賽事,是中國最具影響力的機器人項目,是全球獨創(chuàng)的機器人競技平臺.全國大學(xué)生機器人大賽比拼的是參賽選手們的能力、堅持和態(tài)度,展現(xiàn)的是個人實力以及整個團(tuán)隊的力量.2015賽季共吸引全國240余支機器人戰(zhàn)隊踴躍報名,這些參賽戰(zhàn)隊來自全國六大賽區(qū),150余所高等院校,其中不乏北京大學(xué),清華大學(xué),上海交大,中國科大,西安交大等眾多國內(nèi)頂尖高校,經(jīng)過嚴(yán)格篩選,最終由111支機器人戰(zhàn)隊參與到2015年全國大學(xué)生機器人大賽的激烈角逐之中.某大學(xué)共有“機器人”興趣團(tuán)隊1000個,大一、大二、大三、大四分別有100,200,300,400個,為挑選優(yōu)秀團(tuán)隊,現(xiàn)用分層抽樣的方法,從以上團(tuán)隊中抽取20個團(tuán)隊.(1)應(yīng)從大三抽取多少個團(tuán)隊?(2)將20個團(tuán)隊分為甲、乙兩組,每組10個團(tuán)隊,進(jìn)行理論和實踐操作考試(共150分),甲、乙兩組的分?jǐn)?shù)如下:甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140從甲、乙兩組中選一組強化訓(xùn)練,備戰(zhàn)機器人大賽.①從統(tǒng)計學(xué)數(shù)據(jù)看,若選擇甲組,理由是什么?若選擇乙組,理由是什么?②從乙組中不低于140分的團(tuán)隊中任取兩個團(tuán)隊,求至少有一個團(tuán)隊為144分的概率.解(1)由題意知,大三團(tuán)隊個數(shù)占總團(tuán)隊數(shù)的3001000=310,則用分層抽樣的方法,應(yīng)從大三中抽取20×(2)①甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x甲=130,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x乙=131,甲組數(shù)據(jù)的方差s甲2=104.2,乙組數(shù)據(jù)的方差s乙2=選乙組理由:x甲<②不低于140分的團(tuán)隊共5個,其中140分的團(tuán)隊有3個,分別為a,b,c,144分的團(tuán)隊有2個,分別為E,F,則任取兩個的情況有(a,b),(a,c),(a,E),(a,F),(b,c),(b,E),(b,F),(c,E),(c,F),(E,F),共10個,其中兩個團(tuán)隊都是140分的情況有(a,b),(a,c),(b,c),共3個.故所求概率為1-310命題角度2統(tǒng)計圖表與樣本數(shù)字特征的綜合應(yīng)用高考真題體驗·對方向1.(2019天津·15)2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發(fā)生的概率.解(1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)①從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.②由表格知,符合題意的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種.所以,事件M發(fā)生的概率P(M)=11152.(2018全國Ⅰ·19)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)頻數(shù)1324日用水量[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)頻數(shù)9265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)頻數(shù)1513日用水量[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)頻數(shù)10165(1)在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表.)解(1)(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計值為0.48.(3)該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為x1=150(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為x2=150(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=估計使用節(jié)水龍頭后,一年可節(jié)省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).3.(2018全國Ⅱ·18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①;y^=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:y^=99+17.5(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;(2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.解(1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y^=-30.4+13.5×19=226.1(億元)利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為y^=99+17.5×9=256.5(億元)(2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.理由如下:(ⅰ)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y^=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠(ⅱ)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.4.(2016全國Ⅰ·19)某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進(jìn)機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元),n表示購機的同時購買的易損零件數(shù).(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;(3)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件?解(1)當(dāng)x≤19時,y=3800;當(dāng)x>19時,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y與x的函數(shù)解析式為y=3800,x≤19,500x(2)由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.(3)若每臺機器在購機同時都購買19個易損零件,則這100臺機器中有70臺在購買易損零件上的費用為3800,20臺的費用為4300,10臺的費用為4800,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000若每臺機器在購機同時都購買20個易損零件,則這100臺機器中有90臺在購買易損零件上的費用為4000,10臺的費用為4500,因此這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)為1100(4000×90+4500×10)=4050比較兩個平均數(shù)可知,購買1臺機器的同時應(yīng)購買19個易損零件.典題演練提能·刷高分1.哈師大附中高三學(xué)年統(tǒng)計學(xué)生的最近20次數(shù)學(xué)周測成績(滿分150分),現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)的20次成績?nèi)缦铝星o葉圖所示:(1)根據(jù)莖葉圖求甲、乙兩位同學(xué)成績的中位數(shù),并將同學(xué)乙的成績的頻率分布直方圖填充完整;(2)根據(jù)莖葉圖比較甲、乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均值及穩(wěn)定程度(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可);(3)現(xiàn)從甲、乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任意選出2個成績,設(shè)事件A為“其中2個成績分別屬于不同的同學(xué)”,求事件A發(fā)生的概率.解(1)甲的成績的中位數(shù)是119,乙的成績的中位數(shù)是128,(2)從莖葉圖可以看出,乙的成績的平均分比甲的成績的平均分高,乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績更穩(wěn)定集中.(3)甲同學(xué)的不低于140分的成績有2個,設(shè)為a,b,乙同學(xué)的不低于140分的成績有3個,設(shè)為c,d,e,現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任意選出2個成績有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10種,其中2個成績分屬不同同學(xué)的情況有:(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共6種,因此事件A發(fā)生的概率P(A)=6102.某水產(chǎn)品經(jīng)銷商銷售某種鮮魚,售價為每公斤20元,成本為每公斤15元.銷售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷售.如果當(dāng)天賣不出去,未售出的全部降價處理完,平均每公斤損失3元.根據(jù)以往的銷售情況,按[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500]進(jìn)行分組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算該種鮮魚日需求量的平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表);(2)該經(jīng)銷商某天購進(jìn)了300公斤這種鮮魚,假設(shè)當(dāng)天的需求量為x公斤(0≤x≤500),利潤為Y元.求Y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并結(jié)合頻率分布直方圖估計利潤Y不小于700元的概率.解(1)x=50×0.0010×100+150×0.0020×100+250×0.0030×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265.(2)當(dāng)日需求量不低于300公斤時,利潤Y=(20-15)×300=1500元;當(dāng)日需求量不足300公斤時,利潤Y=(20-15)x-(300-x)×3=8x-900元;故Y=8由Y≥700得,200≤x≤500,所以P(Y≥700)=P(200≤x≤500)=0.0030×100+0.0025×100+0.0015×100=0.7.3.(2019湖南湘潭一模)近期中央電視臺播出的《中國詩詞大會》火遍全國,下面是組委會在選拔賽時隨機抽取的100名選手的成績,按成績分組,得到的頻率分布表如下所示.題號分組頻數(shù)頻率第1組[160,165)0.100第2組[165,170)①第3組[170,175)20②第4組[175,180)200.200第5組[180,185]100.100第6組[160,185]1001.00(1)請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成如下的頻率分布直方圖;(2)組委會決定在5名(其中第3組2名,第4組2名,第5組1名)選手中隨機抽取2名選手接受A考官面試,求第4組至少有1名選手被考官A面試的概率.解(1)第1組的頻數(shù)為100×0.100=10人,所以①處應(yīng)填的數(shù)為100-(10+20+20+10)=40,從而第2組的頻數(shù)為40100=0.因此②處應(yīng)填的數(shù)為1-(0.100+0.400+0.200+0.100)=0.200.頻率分布直方圖如圖所示.(2)設(shè)第3組的2名選手為A1,A2,第4組的2名選手為B1,B2,第5組的1名選手為C1,則從這5名選手中抽取2名選手的所有情況為(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共10種,其中第4組的2名選手中至少有1名選手入選的有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共7種,所以第4組至少有1名選手被考官A面試的概率為7104.(2019山東青島二模)鯉魚是中國五千年文化傳承的載體之一,它既是拼搏進(jìn)取、敢于突破自我、敢于冒險奮進(jìn)精神的載體,又是富裕、吉慶、幸運的美好象征.某水產(chǎn)養(yǎng)殖研究所為發(fā)揚傳統(tǒng)文化,準(zhǔn)備進(jìn)行“中國紅鯉”和“中華彩鯉”雜交育種實驗.研究所對200尾中國紅鯉和160尾中華彩鯉幼苗進(jìn)行2個月培育后,將根據(jù)體長分別選擇生長快的10尾中國紅鯉和8尾中華彩鯉作為種魚進(jìn)一步培育.為了解培育2個月后全體幼魚的體長情況,按照品種進(jìn)行分層抽樣,其中共抽取40尾中國紅鯉的體長數(shù)據(jù)(單位:cm)如下:5677.588.443.54.54.35432.541.666.55.55.73.15.24.456.43.57433.46.94.85.655.66.53676.6(1)根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)推斷,若某尾中國紅鯉的體長為8.3cm,它能否被選為種魚?說明理由;(2)通過計算得到中國紅鯉樣本數(shù)據(jù)平均值為5.1cm,中華彩鯉樣本數(shù)據(jù)平均值為4.875cm,求所有樣本數(shù)據(jù)的平均值;(3)如果將8尾中華彩鯉種魚隨機兩兩組合,求體長最長的2尾組合到一起的概率.解(1)能被選為種魚;因為200尾中國紅鯉中有10尾能被選為種魚,所以40尾中國紅鯉樣本中有2尾能被選為種魚;樣本數(shù)據(jù)中身長為8.4cm和8cm的中國紅鯉能被選為種魚,身長為7.5cm以下的中國紅鯉不能被選為種魚,由于8.3>8,所以該尾中國紅鯉能被選為種魚.(2)根據(jù)分層抽樣的原則,抽取中華彩鯉樣本數(shù)為32尾,所有樣本數(shù)據(jù)平均值為40×5.(3)記體長最長的2尾中華彩鯉為A1,A2,其他6尾中華彩鯉為B1,B2,B3,B4,B5,B6;隨機兩兩組合,所有可能的結(jié)果為A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A1B5,A1B6,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A2B5,A2B6,B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B1B6,B2B3,B2B4,B2B5,B2B6,B3B4,B3B5,B3B6,B4B5,B4B6,B5B6,共28種.符合題意的僅A1A2一種.所以,體長最長的2尾組合到一起的概率為1285.小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作,該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一單獎勵1元;乙方案:底薪140元,每日前55單沒有獎勵,超過55單的部分每單獎勵12元.(1)請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)(單位:元)與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;(2)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄,發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)與天數(shù)滿足以下表格:日均派送單數(shù)5254565860頻數(shù)(天)2030202010回答下列問題:①根據(jù)以上數(shù)據(jù),設(shè)每名派送員的日薪為X(單位:元),試分別求出這100天中甲、乙兩種方案的日薪X的平均數(shù)及方差;②結(jié)合①中的數(shù)據(jù),根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的思想,幫助小明分析,他選擇哪種薪酬方案比較合適,并說明你的理由.(參考數(shù)據(jù):0.62=0.36,1.42=1.96,2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)解(1)甲方案中派送員日薪y(tǒng)(單位:元)與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為:y=100+n,n∈N,乙方案中派送員日薪y(tǒng)(單位:元)與送單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式為:y=140(2)①由表格可知,甲方案中,日薪為152元的有20天,日薪為154元的有30天,日薪為156元的有20天,日薪為158元的有20天,日薪為160元的有10天,則x甲=1100(152×20+154×30+156×20+158×20+160×10)s甲2=1100[20×(152-155.4)2+30×(154-155.4)2+20×(156-155.4)2+20×(158-155.4)2+10×(160-155.4)2]乙方案中,日薪為140元的有50天,日薪為152元的有20天,日薪為176元的有20天,日薪為200元的有10天,則x乙=1100(140×50+152×20+176×20+200×10)s乙2=1100[50×(140-155.6)2+20×(152-155.6)2+20×(176-155.6)2+10×(200-155.6)2]②答案一:由以上的計算可知,雖然x甲<x乙,但兩者相差不大,且s答案二:由以上的計算結(jié)果可以看出,x甲<命題角度3獨立性檢驗高考真題體驗·對方向1.(2019全國Ⅰ·17)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量,隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價,得到下面列聯(lián)表:滿意不滿意男顧客4010女顧客3020(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率;(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異?附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)由調(diào)查數(shù)據(jù),男顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為4050=0.8,因此男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.8女顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為3050=0.6,因此女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.6(2)K2=100×(40×20由于4.762>3.841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.2.(2017全國Ⅱ·19改編)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,估計A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.附:,K2=n(解(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62.因此,事件A的概率估計值為0.62.(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466K2=200×(62×66由于15.705>6.635,故在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明:新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間,舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高,因此,可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.典題演練提能·刷高分1.(2019鄭州二模)為推動更多人閱讀,聯(lián)合國教科文組織確定每年的4月23日為“世界讀書日”.設(shè)立目的是希望居住在世界各地的人,無論你是年老還是年輕,無論你是貧窮還是富裕,都能享受閱讀的樂趣,都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻(xiàn)的思想大師們,都能保護(hù)知識產(chǎn)權(quán).為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式,某校興趣小組在全市隨機調(diào)查了200名居民,經(jīng)統(tǒng)計,這200人中通過電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3∶1.將這200人按年齡分組,其中統(tǒng)計通過電子閱讀的居民得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求a的值及通過電子閱讀的居民的平均年齡;(2)把年齡在第1,2,3組的居民稱為青少年組,年齡在第4,5組的居民稱為中老年組,若選出的200人中通過紙質(zhì)閱讀的中老年有30人,請完成下面2×2列聯(lián)表,則是否有97.5%的把握認(rèn)為閱讀方式與年齡有關(guān)?電子閱讀紙質(zhì)閱讀合計青少年中老年合計p(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635K2=n(解(1)根據(jù)頻率分布直方圖知,10×(0.01+0.015+a+0.03+0.01)=1,解得a=0.035,所以通過電子閱讀的居民的平均年齡為20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5.(2)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下,電子閱讀紙質(zhì)閱讀合計青少年9020110中老年603090合計15050200計算K2=200×(90×30-60×所以有97.5%的把握認(rèn)為閱讀方式與年齡有關(guān).2.2018年2月22日上午,山東省委、省政府在濟(jì)南召開山東省全面展開新舊動能轉(zhuǎn)換重大工程動員大會,會議動員各方力量,迅速全面展開新舊動能轉(zhuǎn)換重大工程.某企業(yè)響應(yīng)號召,對現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造,為了分析設(shè)備改造前后的效果,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項質(zhì)量指標(biāo)值,若該項質(zhì)量指標(biāo)值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.如圖是設(shè)備改造前的樣本的頻率分布直方圖,下表是設(shè)備改造后的樣本的頻數(shù)分布表.設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]頻數(shù)4369628324(1)完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān);設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計合格品不合格品合計(2)根據(jù)圖和表提供的數(shù)據(jù),試從產(chǎn)品合格率的角度對改造前后設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較;(3)根據(jù)市場調(diào)查,設(shè)備改造后,每生產(chǎn)一件合格品企業(yè)可獲利180元,一件不合格品虧損100元,用頻率估計概率,則生產(chǎn)1000件產(chǎn)品企業(yè)大約能獲利多少元?附:P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635K2=n解(1)根據(jù)圖和表得到2×2列聯(lián)表:設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計合格品172192364不合格品28836合計200200400將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得:K2=n(ad-bc)2(∵12.210>6.635,∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān).(2)根據(jù)圖和表可知,設(shè)備改造后產(chǎn)品為合格品的概率約為192200=96100(3)用頻率估計概率,1000件產(chǎn)品中大約有960件合格品,40件不合格品,180×960-100×40=168800,所以該企業(yè)大約獲利168800元.3.(2019山東濰坊二模)某公司甲、乙兩個班組分別試生產(chǎn)同一種規(guī)格的產(chǎn)品,已知此種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)檢測分?jǐn)?shù)不小于70時,該產(chǎn)品為合格品,否則為次品,現(xiàn)隨機抽取兩個班組生產(chǎn)的此種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測,其結(jié)果如表:質(zhì)量指標(biāo)檢測分?jǐn)?shù)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)71840296乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)81240328(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計甲、乙兩個班組生產(chǎn)該種產(chǎn)品各自的不合格率;(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為該種產(chǎn)品的質(zhì)量與生產(chǎn)產(chǎn)品的班組有關(guān)?甲班組乙班組合計合格品次品合計(3)若按合格與不合格的比例,從甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取4件產(chǎn)品,從乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取5件產(chǎn)品,記事件A:從上面4件甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取2件,且都是合格品;事件B:從上面5件乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取2件,一件是合格品,一件是次品,試估計這兩個事件哪一種情況發(fā)生的可能性大.附:K2=nP(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計算甲班組生產(chǎn)該產(chǎn)品的不合格率為7+18100=乙班組生產(chǎn)該種產(chǎn)品的不合格率為8+12100=20%(2)根據(jù)題意填寫2×2列聯(lián)表如下,甲班組乙班組合計合格品7580155次品252045合計100100200計算K2=200×(75×20-80×所以沒有95%的把握認(rèn)為該種產(chǎn)品的質(zhì)量與生產(chǎn)產(chǎn)品的班組有關(guān).(3)若按合格與不合格的比例,從甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取4件產(chǎn)品,從乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取5件產(chǎn)品,其中甲、乙班組抽取的產(chǎn)品中均含有1件次品,設(shè)甲的這4件產(chǎn)品分別為a,b,c,D,其中a,b,c為合格品,D為次品,從中任取2件,則所有可能的情況為ab,ac,aD,bc,bD,cD共6種,事件A包含3種,所以P(A)=36設(shè)5件乙班組產(chǎn)品分別為e,f,g,h,M,其中e,f,g,h為合格品,M為次品,從中隨機抽取2件,基本事件為ef,eg,eh,eM,fg,fh,fM,gh,gM,hM共10種不同取法,事件B包含4種,所以P(B)=410由P(A)>P(B)知,事件A發(fā)生的可能性大些.4.某興趣小組進(jìn)行“野島生存”實踐活動,他們設(shè)置了200個取水敞口箱.其中100個采用A種取水法,100個采用B種取水法.如圖甲為A種方法:一個夜晚操作一次100個水箱積取淡水量的頻率分布直方圖,圖乙為B種方法:一個夜晚操作一次100個水箱積取淡水量的頻率分布直方圖.圖甲圖乙(1)設(shè)兩種取水方法互不影響,設(shè)M表示事件“A法取水箱水量不低于1.0kg,B法取水箱水量不低于1.1kg”,以樣本估計總體,以頻率分布直方圖中的頻率作為概率,估計M的概率;(2)填寫下面2×2列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為箱積水量與取水方法有關(guān).箱積水量<1.1kg箱積水量≥1.1kg箱數(shù)總計A法B法箱數(shù)總計附:K2=nP(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解(1)設(shè)“A法取水箱水量不低于1.0kg”為事件E,“B法取水箱水量不低于1.1kg”為事件F,P(E)=(2+1+0.3)×0.1=0.33,P(F)=(5+3+0.2+0.1)×0.1=0.83,P(M)=P(EF)=P(E)×P(F)=0.33×0.83=0.2739,故M發(fā)生的概率為0.2739.(2)2×2列聯(lián)表:箱積水量<1.1kg箱積水量≥1.1kg箱數(shù)總計A法8713100B法1783100箱數(shù)總計10496200K2=n(ad-bc)2(a+b能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為箱積水量與取水方法有關(guān).5.(2019山東泰安二模)某社區(qū)為了解居民參加體育鍛煉情況,隨機抽取18名男性居民、12名女性居民對他們參加體育鍛煉的情況進(jìn)行問卷調(diào)查.現(xiàn)按參加體育鍛煉的情況將居民分成3類:甲類(不參加體育鍛煉),乙類(參加體育鍛煉,但平均每周參加體育鍛煉的時間不超過5個小時),丙類(參加體育鍛煉,且平均每周參加體育鍛煉的時間超過5個小時),調(diào)查結(jié)果如表:甲類乙類丙類男性居民3123女性居民633(1)根據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù),完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為參加體育鍛煉與否與性別有關(guān)?男性居民女性居民總計不參加體育鍛煉參加體育鍛煉總計(2)從抽出的乙類、丙類女性居民中再隨機抽取2人進(jìn)一步了解情況,求所抽取的2人中乙類、丙類各有1人的概率.附:K2=nP(K2≥k0)0.100.050.01k02.7063.8416.635解(1)根據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù),填寫列聯(lián)表如下:男性居民女性居民總計不參加體育鍛煉369參加體育鍛煉15621總計181230計算K2=30×(3×6-15×所以有90%的把握認(rèn)為參加體育鍛煉與否與性別有關(guān).(2)記三名乙類女性居民為A,B,C,三名丙類居民為d,e,f,從抽出的6名女性居民中隨機抽取2人,基本事件為AB,AC,Ad,Ae,Af,BC,Bd,Be,Bf,Cd,Ce,Cf,de,df,ef共15個;抽出的2人中乙類、丙類各1人的基本事件為Ad,Ae,Af,Bd,Be,Bf,Cd,Ce,Cf共9種,所以所抽取的2人中乙類、丙類各有1人的概率為P=9156.“微信運動”是手機APP推出的多款健康運動軟件中的一款,楊老師的微信朋友圈內(nèi)有600位好友參與了“微信運動”.他隨機選取了40位微信好友(女20人,男20人),統(tǒng)計其在某一天的走路步數(shù).其中,女性好友的走路步數(shù)數(shù)據(jù)記錄如下:5860852073266798732584303216745311754986087536450729048501022397637988917664215980男性好友走路的步數(shù)情況可分為五個類別:A(0~2000步)(說明:“0~2000”表示大于等于0,小于等于2000.下同),B(2000~5000步),C(5001~8000步),D(8001~10000步),E(10001步及以上),且B,D,E三種類別人數(shù)比例為1∶3∶4,將統(tǒng)計結(jié)果繪制如圖所示的條形圖.男性好友各類別人數(shù)的條形統(tǒng)計圖若某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)認(rèn)定為“衛(wèi)健型",否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“進(jìn)步型”.(1)若以楊老師抽取的好友當(dāng)天行走步數(shù)的頻率分布來估計所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,請估計楊老師的微信好友圈里參與“微信運動”的600名好友中,每天走路步數(shù)在5001~10000步的人數(shù);(2)請根據(jù)選取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“認(rèn)定類型”與“性別”有關(guān).衛(wèi)健型進(jìn)步型總計男20女20總計40(3)若從楊老師當(dāng)天選取的步數(shù)大于10000的好友中按男女比例分層選取5人進(jìn)行身體狀況調(diào)查,然后再從這5位好友中選取2人進(jìn)行訪談,求至少有一位女性好友的概率.附:K2=n(P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635解(1)在樣本數(shù)據(jù)中,男性朋友B類別設(shè)為x人,則由題意可知1+x+3+3x+4x=20,可知x=2,故B類別有2人,D類別有6人,E類別有8人,走路步數(shù)在5001~10000步的包括C、D兩類別共計9人;女性朋友走路步數(shù)在5001~10000步共有16人.用樣本數(shù)據(jù)估計所有微信好友每日走路步數(shù)的概率分布,則有600×9+1640=375人(2)根據(jù)題意抽取的40個樣本數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表:衛(wèi)健型進(jìn)步型總計男14620女81220總計221840得:K2的觀測值k=40×(14×12-6×8)220×20×(3)在步數(shù)大于10000的好友中分層選取5位好友,男性有5×88+2=4人,記為A,B,C,D,女性1人記為e從這5人中選取2人,基本事件是AB,AC,AD,Ae,BC,BD,Be,CD,Ce,De共10種,這2人中至少有一位女性好友的事件是Ae,Be,Ce,De共4種,故所求概率P=410命題角度4回歸分析及其應(yīng)用高考真題體驗·對方向1.(2017全國Ⅰ·19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件,并測量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸:抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x(1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小).(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(x-3s,x+3s)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.①從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?②在(x-3s,x+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值,估計這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01)附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相關(guān)系數(shù)r=∑i0.008≈0.解(1)由樣本數(shù)據(jù)得(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)為r=∑=-2.780.212由于|r|<0.25,因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.(2)①由于x=9.97,s≈0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(x-3s,x+3s)以外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.②剔除離群值,即第13個數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115(16×9.97-9.22)=10.這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.∑i=116xi2=16×0.2122+16×9.剔除第13個數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計值為0.008≈0.2.(2016全國Ⅲ·18)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.注:年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2008-2014.(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注:參考數(shù)據(jù):∑i=17yi=9.32,∑i=17tiyi=40.17,∑i=17(y參考公式:相關(guān)系數(shù)r=∑i回歸方程y^=b^解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t=4,∑i=17(ti-t)2=28,∑i=1∑i=17(ti-t)(yi-y)=∑i=17tiyi-t∑i=17yi=40.17-r≈2.890.55因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.(2)由y=9.32b^=∑ia^=y-b^t≈1.331-0.103所以,y關(guān)于t的回歸方程為:y^=0.92+0.10t將2016年對應(yīng)的t=9代入回歸方程得:y^=0.92+0.10×9=1.82所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸.典題演練提能·刷高分1.(2019山西運城二模)近年來,共享單車在我國各城市迅猛發(fā)展,為人們的出行提供了便利,但也給城市的交通管理帶來了一些困難,為掌握共享單車在C省的發(fā)展情況,某調(diào)查機構(gòu)從該省抽取了5個城市,并統(tǒng)計了共享單車的A指標(biāo)x和B指標(biāo)y,數(shù)據(jù)如表所示:城市1城市2城市3城市4城市5A指標(biāo)24568B指標(biāo)34445(1)試求y與x間的相關(guān)系數(shù)r,并說明y與x是否具有較強的線性相關(guān)關(guān)系(若|r|≥0.75,則認(rèn)為y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系,否則認(rèn)為沒有較強的線性相關(guān)關(guān)系).(2)建立y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測當(dāng)A指標(biāo)為7時,B指標(biāo)的估計值.(3)若某城市的共享單車A指標(biāo)x在區(qū)間(x-3s,x+3s)的右側(cè),則認(rèn)為該城市共享單車數(shù)量過多,對城市的交通管理有較大的影響,交通管理部門將進(jìn)行治理,直至A指標(biāo)x在區(qū)間(x-3s,x+3s)內(nèi).現(xiàn)已知C省某城市共享單車的A指標(biāo)為13,則該城市的交通管理部門是否需要進(jìn)行治理?試說明理由.參考公式:回歸直線y=b^x+ab^相關(guān)系數(shù)r=∑參考數(shù)據(jù):s=15∑i=15(xi-x)2=解(1)由題得x=2+4+5+6+85=5,所以∑i=15(xi-x)(yi-y)=6,∑i=15(xi-x)2=20,∑i=15(y則r=625×2=因為r>0.75,所以y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.(2)由(1)得b^=620=0.3,a^=4-0.3×所以線性回歸方程為y^=0.3x+2.5當(dāng)x=7時,y^=0.3×7+2.5=4.即當(dāng)A指標(biāo)為7時,B指標(biāo)的估計值為4.6.(3)由題得(x-3s,x+3s)=(-1,11),因為13>11,所以該城市的交通管理部門需要進(jìn)行治理.2.大連市某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.xyw∑∑∑i=18xi∑i=18wi46.65736.8289.81.6215083.431280表中wi=x,w=(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x、y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:①年宣傳費x=64時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?②年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?附:對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),……,(un,vn),其回歸直線v=α^+β^解(1)由散點圖可以判斷y=c+dx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.(2)令w=x,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程d=∑=∑i=1c^=y-d^w=573-68×所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y^=110.6+68w,所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y^=110.6+68(3)①由(2)知,當(dāng)x=64時,年銷售量y的預(yù)報值為y^=110.6+6864=654.年利潤z的預(yù)報值為z^=654.6×0.2-64=66.92②根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤z的預(yù)報值z^=0.2×(110.6+68x)-x=-x+13.6x+22.12=-(x-6.8)2+68.當(dāng)x=6.8,即x=46.24時,年利潤的預(yù)報值最大,故年宣傳費為46.24千元時,年利潤預(yù)報值最大.3.(2019山東濟(jì)寧二模)某大型超市公司計劃在A市新城區(qū)開設(shè)分店,為確定在新城區(qū)開設(shè)分店的個數(shù),該公司對該市已開設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得到下列信息(其中x表示在該區(qū)開設(shè)分店的個數(shù),y表示這x個分店的年收入之和):分店個數(shù)x(個)23456年收入y(萬元)250300400450600(1)該公司經(jīng)過初步判斷,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求y關(guān)于x的回歸方程;(2)假設(shè)該公司每年在新城區(qū)獲得的總利潤w(單位:萬元)與x,y之間的關(guān)系為w=y-5x2-140,請根據(jù)(1)中的線性回歸方程,估算該公司在新城區(qū)開設(shè)多少個分店時,才能使新城區(qū)每年每個分店的平均利潤最大.參考公式:回歸方程y^=b^解(1)x=4,y=400.由公式:b^(2×a^=400-85×4=∴y^=85x+60(2)由題意:w=-5x2+85x-80,所以,年平均利潤wx=-5x+85-80x=85-5x+16x當(dāng)且僅當(dāng)x=4時,取得等號,所以,該公司在新城區(qū)開設(shè)4個分店時,新城區(qū)每年每個分店的平均利潤最大為45萬元.4.為了研究黏蟲孵化的平均溫度x(單位:℃)與孵化天數(shù)y之間的關(guān)系,某課外興趣小組通過試驗得到如下6組數(shù)據(jù):組號123456平均溫度15.316.817.41819.521孵化天數(shù)