第07講 比例線段（4大考點）（原卷版）

第07講比例線段（4大考點）考點考點考向一、成比例線段的概念1．比例的項：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內(nèi)項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．二、比例的性質(zhì)比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當時，.三、黃金分割如圖，若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）四、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行線所截，所得的對應線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．五、平行線分線段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．如圖：如果EF//BC，則，，．六、平行線分線段成比例定理的推論的逆定理若或或，則有EF//BC．【注意】對于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對對邊的中點的連線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行．【小結(jié)】推論也簡稱“A”和“8”，逆定理的證明可以通過同一法，做交AC于點，再證明與F重合即可．考點精講考點精講一．比例的性質(zhì)（共7小題）1．（2022?鄞州區(qū)校級開學）已知＝5，則的值是（）A． B．﹣ C． D．2．（2022?蕭山區(qū)二模）若2m＝3n，則的值是．3．（2021秋?麗水期末）已知2a＝3b，求下列各式的值．（1）；（2）．4．（2021秋?溫州月考）計算：（1）已知3：x＝5：2，求x的值．（2）已知＝，y≠0，求的值．5．（2021秋?余杭區(qū)月考）已知，求的值．6．（2022?鄞州區(qū)校級開學）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．7．（2021秋?江干區(qū)校級期中）根據(jù)條件求值．（1）若，求的值；（2）若，求的值．二．比例線段（共7小題）8．（2021秋?寧波期中）下面四組線段中，成比例的是（）A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝2，d＝4 B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5 C．a(chǎn)＝4，b＝6，c＝8，d＝10 D．a(chǎn)＝9．（2021秋?西湖區(qū)校級月考）已知線段a是線段b，c的比例中項，b＝4cm，c＝9cm，則a為（）cm．A．36 B．﹣36 C．6 D．﹣610．（2021秋?下城區(qū)校級月考）比例尺為1：2000000的地圖上，A、B兩地間的圖上距離為2厘米，則兩地間的實際距離是（）千米．A．0.4 B．4 C．40 D．40011．（2022?錢塘區(qū)一模）已知線段a＝+1，b＝﹣1，則a，b的比例中項線段等于．12．（2021秋?衢江區(qū)期末）在比例尺為1：5000的地圖上，甲、乙兩地相距20cm，則它們的實際距離為．13．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項．（2）已知x：y＝4：3，求的值．14．（2021秋?射陽縣校級期末）已知線段a、b、c滿足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．三．黃金分割（共9小題）15．（2022?富陽區(qū)一模）已知線段AB＝2，點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），則線段AP的長為（）A． B． C．3﹣ D．﹣116．（2021秋?舟山期末）某品牌汽車將汽車倒車鏡設計為整個車身黃金分割點的位置（如圖），若車頭與倒車鏡的水平距離為1.58米，倒車鏡到車尾部分的水平距離較長，則該車車身總長約為（）米．A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.8217．（2021秋?嘉興期末）已知點P是線段AB的黃金分割點，AP＞PB，若AB＝4，則AP的值為．18．（2018秋?長興縣期末）若線段AB＝6cm，點C是線段AB的一個黃金分割點（AC＞BC），則AC的長為cm（結(jié)果保留根號）．19．（2021?金東區(qū)校級模擬）黃金比，這個比用四舍五入法精確到0.01的近似數(shù)是．20．（2022?西湖區(qū)模擬）已知線段AB＝2，點P為線段AB的黃金分割點（AP＞BP），則AP﹣BP＝．21．（2021?西湖區(qū)校級三模）如圖，已知矩形ABCD．（1）作出正方形ABFE，點E，點F分別在線段AD，BC上（尺規(guī)作圖）；（2）若AD＝8，點E為線段AD的黃金分割點且AE＞ED，求AE的長．22．（2021秋?拱墅區(qū)校級期中）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中項，求c．（2）如圖，C是AB的黃金分割點，且AC＞BC，AB＝4，求AC的長．23．（2021?杭州模擬）如圖所示，以長為2的定線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點P，連接PD，在BA的延長線上取點F，使PF＝PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M在AD上．（1）求AM，DM的長；（2）點M是AD的黃金分割點嗎？為什么？四．平行線分線段成比例（共10小題）24．（2021秋?溫州期末）如圖，l1，l2，l3是一組平行線，直線AC，DF分別與這組平行線依次相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)．若，則的值為（）A． B． C． D．25．（2021秋?越城區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于點D、E，若AE＝4，EC＝2，則的值為（）A． B． C． D．26．（2022?拱墅區(qū)校級開學）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝EC，BD＝4，AE＝3，則AB的長為．27．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級開學）如圖，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2，則BD的長為．28．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且，，射線ED和CB的延長線交于點F，則的值為．29．（2021?西湖區(qū)校級三模）正方形紙片ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CB上的點，且AE＝CF，CE交AF于M．若E為AB中點，則＝；若∠CMF＝45°，則＝．30．（2021秋?拱墅區(qū)月考）如圖，直線a∥b∥c，＝5，則＝．31．（2021秋?定海區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．求證：AF：FD＝AD：DB．32．（2021秋?下城區(qū)校級期中）如圖，直線l1∥l2∥l3，若AB＝6，BC＝10，EF＝9，求DE的長．33．（2021秋?嵊州市校級月考）如圖：AD∥EG∥BC，EG分別交AB，DB，AC于點E，F(xiàn)，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB＝12．求EG，F(xiàn)G的長．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·溫州市實驗中學九年級月考）如圖，已知AB∥CD∥EF且AC∶CE＝3∶4，BF＝14，則DF的長為（）A．8 B．7 C．6 D．32．（2021·溫州市實驗中學九年級月考）若＝，則的值為（）A． B． C． D．3．（2019·浙江溫州·九年級期末）如圖，在中，E，F(xiàn)，G依次是對角線上的四等分點，連結(jié)并延長交于點M，連結(jié)并延長交于點H．若，的長為（）A．4 B．6 C．7 D．84．（2020·浙江九年級期末）已知如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則下列結(jié)論中正確的是（）A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC?BAC． D．5．（2021·浙江九年級期末）有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點O處開始依次在兩軸上畫出單位相同的標度，再作兩軸交角的角平分線OP，OP上的標度與縱軸上的標度在同一水平線上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且OA=a，OB=b，讀出直尺與OP的交點C的標度就可以求出OC的長度．當a=4，b=6時，讀得點C處的標度為（）A． B． C． D．二、填空題6．（2021·杭州市采荷中學九年級二模）線段，點為線段的黃金分割點（），則的長為______．7．（2021·浙江九年級月考）如圖，在△ABC中，點D在AC邊上，AD：DC=1：2，點E是BD的中點，連接AE并延長交BC于點F，BC=12，則BF=_________．8．（2021·浙江衢江·九年級期末）數(shù)2和8的比例中項是___．9．（2021·溫州市實驗中學九年級月考）若線段a＝4，b＝9，則線段a，b的比例中項為____________．10．（2020·浙江拱墅·樹蘭中學九年級月考）如圖，在中，是邊上的一點，為的中點，聯(lián)結(jié)并延長交于點，則__________11．（2021·浙江衢州·）將一副三角板如圖放置在平面直角坐標系中，頂點A與原點O重合，AB在x軸正半軸上，且，點E在AD上，，將這副三角板整體向右平移_______個單位，C，E兩點同時落在反比例函數(shù)的圖象上．三、解答題12．（2019·浙江溫州·九年級期末）（1）已知，求的值．（2）已知線段，求線段a，b的比例中項．13．（2021·浙江杭州·）如圖，AD平分，過點D作于點M，的延長線于點N，且．（1）求證：．（2）若，求BD的長．14．（2020·浙江九年級期末）已知：正方形中，為邊中點，為邊中點，交于，交于，連接．（1）求證：；（2）求的值；15．（2021·浙江婺城·）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點A、B在格點上，點C是線段AB與格線的交點．利用網(wǎng)格和無刻度的直尺按下列要求畫圖．（1）在圖1中，過點B作AB的垂線．（2）在圖2中，過點C作AB的垂線．16．（2021·浙江寧波·九年級一模）如圖①，在的方格圖中，矩形的頂點均在格點上，已知，，點為的中點，連結(jié)．（1）求的長；（2）請用無刻度的直尺在邊上找一點，使得，并求的長；（3）如圖②，在（2）的條件下，點為線段上一動點，過作，分別交，于點，，連結(jié)和，求的