(第02講)-第二章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

06-7-20控制工程根底1第二講第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型與線性化06-7-20控制工程根底22.1根本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型的建立2.2數(shù)學(xué)模型的線性化2.3拉氏變換及反變換2.4傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.5系統(tǒng)函數(shù)方塊圖及其簡(jiǎn)化2.6系統(tǒng)信號(hào)流圖及梅遜公式本章的主要內(nèi)容06-7-20控制工程根底3

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述控制系統(tǒng)內(nèi)部物理量(或變量)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。可分為：

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：在靜態(tài)條件下〔即變量的各階導(dǎo)數(shù)為零〕，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。如輸入量及變量的初始條件，對(duì)微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。06-7-20控制工程根底4建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此根底上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制工程的根本方法。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型既是分析系統(tǒng)的根底，又是綜合設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。古典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)(TransferFunction，TF)為根底。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間(StateSpace，SS)為根底。而以物理定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最根本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的根底。06-7-20控制工程根底51分析法：對(duì)系統(tǒng)各局部的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理或化學(xué)規(guī)律分別列寫響應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程。如電學(xué)中的基爾霍夫定律，力學(xué)中的牛頓定律，熱力學(xué)定律等。2實(shí)驗(yàn)法：人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。這種方法也稱系統(tǒng)辨識(shí)。建立數(shù)學(xué)模型的方法：06-7-20控制工程根底6分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的步驟：建立物理模型。列寫原始方程。利用適當(dāng)?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量〔僅在建立狀態(tài)空間模型時(shí)要求〕，消去中間變量，建立適當(dāng)?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。06-7-20控制工程根底7實(shí)驗(yàn)法－基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法知識(shí)和辨識(shí)目的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)--選擇實(shí)驗(yàn)條件模型階次--適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次參數(shù)估計(jì)--最小二乘法模型驗(yàn)證—將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近。06-7-20控制工程根底82.1.1質(zhì)量–彈簧–阻尼系統(tǒng)圖2-2組合機(jī)床動(dòng)力滑臺(tái)及其數(shù)學(xué)模型2.1根本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型的建立機(jī)械系統(tǒng)分析中，通常使用三種理想化的要素：質(zhì)量、彈簧和阻尼器，利用這三種要素可以方便地描述各種形式的機(jī)械系統(tǒng)〔P52)。06-7-20控制工程根底9根據(jù)牛頓第二定律:將輸出變量寫在等號(hào)左邊，輸入變量寫在等號(hào)右邊，階次由高到低排列，得到：其中：M為受控質(zhì)量；k為彈性剛度；D為粘性阻尼系數(shù)；為輸出位移。

簡(jiǎn)單質(zhì)量–彈簧–阻尼系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是如上式的二階微分方程。在機(jī)械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度，有些構(gòu)件那么慣性小、柔度較大。將前一類構(gòu)件的彈性將之視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性將之視為無(wú)質(zhì)量彈簧。這樣受控對(duì)象的機(jī)械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量–彈簧–阻尼系統(tǒng)。06-7-20控制工程根底10設(shè)汽車緩振系統(tǒng)〔P52圖2-34)為車箱及架重，為車輪及輪軸重，緩振簧和和充氣輪胎的剛度〔彈性系數(shù)〕分別為和，緩振器粘性阻尼系數(shù)為，以路面函數(shù)為輸入，以車箱位移為輸出，求和之間的運(yùn)動(dòng)方程。解：假設(shè)、、的原點(diǎn)位于系統(tǒng)靜止時(shí)的位置的力平衡方程為：06-7-20控制工程根底11同理可得的力平衡方程為：為消除中間變量記為微分算子，那么上兩式可寫為：06-7-20控制工程根底12上述兩式中消除中間變量即該式即為和之間的運(yùn)動(dòng)方程。06-7-20控制工程根底13

2.1.2電路網(wǎng)絡(luò)

圖2－3的無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)基爾霍夫定律和歐姆定律，有：經(jīng)過(guò)整理，可得其數(shù)學(xué)模型為：06-7-20控制工程根底14運(yùn)算放大器的同相端和反相端為虛地點(diǎn)：經(jīng)過(guò)整理，可以得到其數(shù)學(xué)模型：圖2－4的有源電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，為輸入電壓；為輸出電壓；為運(yùn)算放大器的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)。06-7-20控制工程根底152.1.3電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī)是機(jī)電系統(tǒng)中最常用最重要的執(zhí)行元件。：電機(jī)電樞輸入電壓：電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角：電樞繞組電阻：電樞繞組電感：流過(guò)電機(jī)繞組的電流：電機(jī)感應(yīng)反電動(dòng)勢(shì)06-7-20控制工程根底16：電機(jī)轉(zhuǎn)矩：電機(jī)及負(fù)載折合到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：電機(jī)及負(fù)載折合到電機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)根據(jù)基爾霍夫定律，電機(jī)電樞回路：根據(jù)磁場(chǎng)對(duì)載流線圈的作用定律（2-1）：電機(jī)力矩常數(shù)（2-2）根據(jù)電磁感應(yīng)定律：電機(jī)反電勢(shì)常數(shù)（2-3）06-7-20控制工程根底17當(dāng)電機(jī)電樞電感較小時(shí),通?？梢院雎圆挥?jì)：當(dāng)電機(jī)電樞電感、電阻均較小時(shí),根據(jù)牛頓第二定律即轉(zhuǎn)矩平衡方程：（2-4）將式（2-2)帶入（2-4）得：（2-5）將式〔2-3)、〔2-5〕帶入〔2-1〕并整理得：〔2-6〕（2-7）即電機(jī)轉(zhuǎn)速與電機(jī)電樞電壓成正比。（2-8）06-7-20控制工程根底18對(duì)于較復(fù)雜系統(tǒng)，列寫微分方程的一般步驟：劃分環(huán)節(jié),確定輸入輸出信號(hào)，考慮對(duì)每個(gè)環(huán)節(jié)列寫一個(gè)方程單輸入、單輸出系統(tǒng)的微分方程表示的數(shù)學(xué)模型的一般形式：

每個(gè)環(huán)節(jié)列寫微分方程,并考慮適當(dāng)簡(jiǎn)化、線性化。對(duì)各環(huán)節(jié)方程聯(lián)列，消除中間變量,最后得到只含輸入變量、輸出變量及參量的系統(tǒng)方程式。其中：為輸出變量，為輸入變量（2-8）06-7-20控制工程根底19線性系統(tǒng)—用線性微分方程描述的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的性質(zhì)—適用疊加原理，疊加原理的兩重意義：1.具有可疊加性2.均勻性或齊次性疊加原理說(shuō)明：1.兩個(gè)外作用同時(shí)作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用時(shí)分別產(chǎn)生的輸出之和。06-7-20控制工程根底202.外作用的數(shù)值增大假設(shè)干倍時(shí)，其輸出亦相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)。因此，對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時(shí)，如果有幾個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)，那么可以將它們分別處理，依次求出各個(gè)外作用單獨(dú)參加時(shí)系統(tǒng)的輸出，然后將它們疊加。每個(gè)外作用在數(shù)值上可只取單位值，從而大大簡(jiǎn)化了線性系統(tǒng)的研究工作。06-7-20控制工程根底21

具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或小偏差法進(jìn)行線性化處理。在一個(gè)小范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來(lái)代替。

設(shè)非線性函數(shù)在x0處連續(xù)可微，那么可將它在該點(diǎn)附近用臺(tái)勞〔Taylor)級(jí)數(shù)展開(kāi)：設(shè)非線性函數(shù)，在其平衡狀態(tài)工作點(diǎn)A，有當(dāng)時(shí)，有非線性函數(shù)的線性化06-7-20控制工程根底22那么有為比例系數(shù)，即函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)切線的斜率。令增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，那么有：06-7-20控制工程根底23同樣可在某工作點(diǎn)附近用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)為：略去二級(jí)以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并令兩個(gè)變量的非線性函數(shù)的線性化06-7-20控制工程根底24

輸入力矩輸出擺角單擺質(zhì)量單擺擺長(zhǎng)根據(jù)牛頓第二定律：將非線性項(xiàng)在附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，當(dāng)很小時(shí)，可忽略高次項(xiàng)，得到近似的線性化方程：例1單擺的微分方程數(shù)學(xué)模型的線性化：〔2-9〕〔2-10〕06-7-20控制工程根底25解：由于研究的區(qū)域?yàn)?≤x≤7、10≤y≤12，應(yīng)選擇工作點(diǎn)x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66。求在點(diǎn)x0=6，y0=11，z0=66附近非線性方程的線性化表達(dá)式。將非線性方程在點(diǎn)x0,y0,z0處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)，并忽略其高階項(xiàng)，那么有例2試把非線性方程z=xy在區(qū)域5≤x≤7、10≤y≤12上線性化。并求用線性化方程來(lái)計(jì)算當(dāng)x=5，y=10時(shí)z值所產(chǎn)生的誤差。06-7-20控制工程根底26z-66=11(x-6)+6(y-11)即：z=11x+6y-66當(dāng)x=5,y=10時(shí)，z的精確值為：z=xy=5×10=50由線性化方程求得的z值為z=11x+6y-66=55+60-66=49因此，誤差為50-49=1，表示成百分?jǐn)?shù)因此，線性化方程式為：

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這種小偏差線性化方法對(duì)于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的，在平衡點(diǎn)附近，偏差一般不會(huì)很大，都是“小偏差點(diǎn)”。

系統(tǒng)線性化過(guò)程中，需注意的地方：(1)