吉林省白山市江源區(qū)2023-2024學年八年級上學期12月期末數(shù)學試題

2023-2024學年吉林省白山市江源區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．2cm，3cm，6cm B．5cm，20cm，20cm C．7cm，1cm，3cm D．5cm，4cm，9cm2．（2分）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)4?a3＝a12 B．a(chǎn)8÷a4＝a2 C．a(chǎn)3+a3＝2a6 D．（a2）4＝a84．（2分）如圖，將兩根鋼條AA'、BB'的中點O連在一起，使AA'、BB'可以繞著點O自由旋轉(zhuǎn)，就做成了一個測量工件，則A'B'的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．（2分）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點應(yīng)是（）A．點M B．點N C．點P D．點Q6．（2分）有一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C，在△ABC中，∠DBA+∠DCA＝45°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．44° C．45° D．50°二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是．8．（3分）因式分解：4a2﹣1＝．9．（3分）（3a2﹣6ab）÷3a＝．10．（3分）若一個多邊形內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是邊形．11．（3分）已知點P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點P1的坐標是．12．（3分）如圖，AB∥CD，AD與BC交于點E，EF是∠BED的平分線，若∠1＝30°，∠2＝40°，則∠BEF＝度．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為點D，若ED＝5，則EC的長為．14．（3分）如圖（1）是長方形紙帶，∠DEF＝m，將紙帶沿EF折疊成圖（2），再沿BF折疊成圖（3），則圖（3）中的∠CFE度數(shù)（用含m的代數(shù)式表示）．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）計算：（﹣5）3÷（）﹣1+（3.14﹣π）0﹣|﹣+1|．16．（5分）先化簡，再求值（+）÷，其中m＝．17．（5分）解方程：＝1．18．（5分）如圖所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均為點C，且AC＝BC，EC＝DC．求證：AE＝BD．四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．（1）若△A'B'C'與△ABC關(guān)于x軸成軸對稱，作出△A'B'C'；（2）若P為y軸上一點，使得△APC周長最小，在圖中作出點P，并寫出P點的坐標為；（3）計算△ABC的面積．20．（7分）如圖，在△ABC中，AD是高，角平分線AE，BF相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大?。?1．（7分）下面是小明設(shè)計的“作一個含30°角的直角三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l上一點A．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如圖2，①在直線l上取點D；②分別以點A，D為圓心，AD長為半徑畫弧，交于點B，E；③作直線BE，交直線l于點C；④連接AB．△ABC就是所求作的三角形．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接BD，EA，ED．∵BA＝BD＝AD，∴△ABD是等邊三角形．∴∠BAD＝60°．∵BA＝BD，EA＝，∴點B，E在線段AD的垂直平分線上（）（填推理的依據(jù)）．∴BE⊥AD．∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAD＝90°（）（填推理的依據(jù)）．∴∠ABC＝30°．22．（7分）如圖，已知某船于上午8點在A處觀測小島C在北偏東60°方向上．該船以每小時40海里的速度向東航行到B處，此時測得小島C在北偏東30°方向上．船以原速度再繼續(xù)向東航行2小時到達小島C的正南方D點．求船從A到D一共走了多少海里？五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）李明到離家2.1千米的學校參加初三聯(lián)歡會，到學校時發(fā)現(xiàn)演出道具還放在家中，此時距聯(lián)歡會開始還有42分鐘，于是他立即勻速步行回家，在家拿道具用了1分鐘，然后立即勻速騎自行車返回學校．已知李明騎自行車到學校比他從學校步行到家用時少20分鐘，且騎自行車的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度（單位：米/分）是多少？（2）李明能否在聯(lián)歡會開始前趕到學校？24．（8分）如圖1，將一個長為4a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線均勻分成4個小長方形，然后按圖2形狀拼成一個正方形．（1）圖2的空白部分的邊長是多少？（用含a、b的式子表示）（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求圖2中的空白正方形的面積．（3）觀察圖2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的數(shù)量關(guān)系．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）某茶店用4000元購進了A種茶葉若干盒，用8400元購進了B種茶葉若干盒，所購B種茶葉比A種茶葉多10盒，且B種茶葉每盒進價是A種茶葉每盒進價的1.4倍．（Ⅰ）A，B兩種茶葉每盒進價分別為多少元？（Ⅱ）若第一次所購茶葉全部售完后，第二次購進A，B兩種茶葉共100盒（進價不變），A種茶葉的售價是每盒300元，B種茶葉的售價是每盒400元，兩種茶葉各售出一半后，為慶祝元旦，兩種茶葉均打七折銷售，全部售出后，第二次所購茶葉的利潤為5800元（不考慮其他因素），求本次購進A，B兩種茶葉各多少盒？26．（10分）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC＝，BC＝．我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；【模型應(yīng)用】（2）①如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；②如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（2，4），點B為平面內(nèi)任一點．若△AOB是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形，請直接寫出點B的坐標．

2023-2024學年吉林省白山市江源區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．2cm，3cm，6cm B．5cm，20cm，20cm C．7cm，1cm，3cm D．5cm，4cm，9cm【解答】解：A、2+3＜6，不能組成三角形，不符合題意；B、5+20＞20，能組成三角形，符合題意；C、1+3＜7，不能組成三角形，不符合題意；D、5+4＝9，不能組成三角形，不符合題意．故選：B．2．（2分）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，故本選項正確．故選：D．3．（2分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)4?a3＝a12 B．a(chǎn)8÷a4＝a2 C．a(chǎn)3+a3＝2a6 D．（a2）4＝a8【解答】解：A、a4?a3＝a7，所以A選項計算不正確，不符合題意；B、a8÷a4＝a4，所以B選項計算不正確，不符合題意；C、a3+a3＝2a3，所以C選項計算不正確，不符合題意；D、（a2）4＝a8，所以D選項計算正確，符合題意．故選：D．4．（2分）如圖，將兩根鋼條AA'、BB'的中點O連在一起，使AA'、BB'可以繞著點O自由旋轉(zhuǎn)，就做成了一個測量工件，則A'B'的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：△OAB與△OA′B′中，，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．故選：B．5．（2分）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點應(yīng)是（）A．點M B．點N C．點P D．點Q【解答】解：觀察圖形可知點M在∠AOB的角平分線上，∴點M到∠AOB兩邊距離相等．故選：A．6．（2分）有一塊直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C，在△ABC中，∠DBA+∠DCA＝45°，則∠A的度數(shù)是（）A．40° B．44° C．45° D．50°【解答】解：∵∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠DBA+∠DCA＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝∠ABC+∠ACB﹣90°＝45°，∴∠ABC+∠ACB＝135°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．故選：C．二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是x＞3．【解答】解：由題意得，x﹣3＞0，解得x＞3．故答案為：x＞3．8．（3分）因式分解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．【解答】解：4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）．故答案為：（2a+1）（2a﹣1）．9．（3分）（3a2﹣6ab）÷3a＝a﹣2b．【解答】解：（3a2﹣6ab）÷3a＝3a2÷3a﹣6ab÷3a＝a﹣2b．故答案為：a﹣2b．10．（3分）若一個多邊形內(nèi)角和為900°，則這個多邊形是七邊形．【解答】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°＝900°，解得n＝7．故答案為：七．11．（3分）已知點P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點P1的坐標是（﹣2，﹣3）．【解答】解：點P（﹣2，3）關(guān)于x軸的對稱點P1的坐標是（﹣2，﹣3）．故答案為：（﹣2，﹣3）．12．（3分）如圖，AB∥CD，AD與BC交于點E，EF是∠BED的平分線，若∠1＝30°，∠2＝40°，則∠BEF＝35度．【解答】解：過點E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∵∠1＝30°，∠2＝40°，∴∠3＝∠1＝30°，∠4＝∠2＝40°，∴∠BED＝∠AEC＝∠3+∠4＝70°，∵EF是∠BED的平分線，∴∠BEF＝∠BED＝×70°＝35°．解法二：直接根據(jù)平行可得∠B＝∠2＝40°，再由外角可得∠BED＝∠1+∠B＝70°，∵EF是∠BED的平分線，∴∠BEF＝∠BED＝×70°＝35°．故答案為：35．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于點E，垂足為點D，若ED＝5，則EC的長為10．【解答】解：在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分線交AB于E，ED＝5，∴BE＝CE，∴∠B＝∠DCE＝30°，在Rt△CDE中，∵∠DCE＝30°，ED＝5，∴CE＝2DE＝10．故答案為：10．14．（3分）如圖（1）是長方形紙帶，∠DEF＝m，將紙帶沿EF折疊成圖（2），再沿BF折疊成圖（3），則圖（3）中的∠CFE度數(shù)180°﹣3m（用含m的代數(shù)式表示）．【解答】解：如圖1，∵四邊形ABCD為矩形，∴DE∥CF，∴∠DEF+∠CFE＝180°∴∠CFE＝180°﹣m．如圖2，∵∠EFG＝∠DEF＝m，∴∠CFG＝180°﹣2m．如圖3，∠CFE＝∠CFG﹣∠EFG＝180°﹣3m．故答案為180°﹣3m．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）計算：（﹣5）3÷（）﹣1+（3.14﹣π）0﹣|﹣+1|．【解答】解：原式＝﹣125÷2+1﹣（﹣1）＝﹣62.5+1﹣+1＝﹣60.5﹣．16．（5分）先化簡，再求值（+）÷，其中m＝．【解答】解：原式＝×＝×＝當m＝時，原式＝＝＝﹣17．（5分）解方程：＝1．【解答】解：原方程可變形為：﹣＝1，去分母，得2﹣3＝3x﹣3，整理，得3x＝2，解，得x＝．經(jīng)檢驗，x＝是原方程的解．∴原方程的解為x＝．18．（5分）如圖所示，AC⊥BC，DC⊥EC，垂足均為點C，且AC＝BC，EC＝DC．求證：AE＝BD．【解答】證明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1）、B（4，2）、C（3，5）．（1）若△A'B'C'與△ABC關(guān)于x軸成軸對稱，作出△A'B'C'；（2）若P為y軸上一點，使得△APC周長最小，在圖中作出點P，并寫出P點的坐標為（0，2）；（3）計算△ABC的面積．【解答】解：（1）如圖所示，△A'B'C'即為所求：（2）點P即為所求，P（0，2）；故答案為：（0，2）；（3）△ABC的面積為：．20．（7分）如圖，在△ABC中，AD是高，角平分線AE，BF相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大?。窘獯稹拷猓骸逜D是△ABC的高線，∴∠ADC＝90°，∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵AE，BF分別平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于點O，∴∠BAO＝∠BAC＝25°，∠ABO＝∠ABC＝30°，∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．21．（7分）下面是小明設(shè)計的“作一個含30°角的直角三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l上一點A．求作：△ABC，使得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．作法：如圖2，①在直線l上取點D；②分別以點A，D為圓心，AD長為半徑畫弧，交于點B，E；③作直線BE，交直線l于點C；④連接AB．△ABC就是所求作的三角形．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接BD，EA，ED．∵BA＝BD＝AD，∴△ABD是等邊三角形．∴∠BAD＝60°．∵BA＝BD，EA＝ED，∴點B，E在線段AD的垂直平分線上（與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）（填推理的依據(jù)）．∴BE⊥AD．∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAD＝90°（直角三角形的兩個銳角互余）（填推理的依據(jù)）．∴∠ABC＝30°．【解答】（1）解：如圖，即為補全的圖形；（2）證明：如圖，連接BD，EA，ED．∵BA＝BD＝AD，∴△ABD是等邊三角形．∴∠BAD＝60°．∵BA＝BD，EA＝ED，∴點B，E在線段AD的垂直平分線上（與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）．∴BE⊥AD．∴∠ACB＝90°．∴∠ABC+∠BAD＝90°（直角三角形的兩個銳角互余）．∴∠ABC＝30°．故答案為：ED；與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；直角三角形兩個銳角互余．22．（7分）如圖，已知某船于上午8點在A處觀測小島C在北偏東60°方向上．該船以每小時40海里的速度向東航行到B處，此時測得小島C在北偏東30°方向上．船以原速度再繼續(xù)向東航行2小時到達小島C的正南方D點．求船從A到D一共走了多少海里？【解答】解：由題意知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，在△BCD中，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，∵船從B到D走了2小時，船速為每小時40海里，∴BD＝80海里，∴BC＝160海里，由∠CBD＝60°，得∠ABC＝120°，∵∠CAD＝30°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝BC，∴AB＝160海里，∵AD＝AB+BD，∴AD＝160+80＝240（海里）．因此船從A到D一共走了240海里．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）李明到離家2.1千米的學校參加初三聯(lián)歡會，到學校時發(fā)現(xiàn)演出道具還放在家中，此時距聯(lián)歡會開始還有42分鐘，于是他立即勻速步行回家，在家拿道具用了1分鐘，然后立即勻速騎自行車返回學校．已知李明騎自行車到學校比他從學校步行到家用時少20分鐘，且騎自行車的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度（單位：米/分）是多少？（2）李明能否在聯(lián)歡會開始前趕到學校？【解答】解：（1）設(shè)步行速度為x米/分，則自行車的速度為3x米/分，根據(jù)題意得：，解得：x＝70，經(jīng)檢驗x＝70是原方程的解，即李明步行的速度是70米/分．（2）根據(jù)題意得，李明總共需要：．即李明能在聯(lián)歡會開始前趕到．答：李明步行的速度為70米/分，能在聯(lián)歡會開始前趕到學校．24．（8分）如圖1，將一個長為4a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線均勻分成4個小長方形，然后按圖2形狀拼成一個正方形．（1）圖2的空白部分的邊長是多少？（用含a、b的式子表示）（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求圖2中的空白正方形的面積．（3）觀察圖2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）圖2的空白部分的邊長是2a﹣b（2）由圖21﹣2可知，小正方形的面積＝大正方形的面積﹣4個小長方形的面積，∵大正方形的邊長＝2a+b＝7，∴大正方形的面積＝（2a+b）2＝49，又∵4個小長方形的面積之和＝大長方形的面積＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，∴小正方形的面積＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25（3）由圖2可以看出，大正方形面積＝空白部分的正方形的面積+四個小長方形的面積即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）某茶店用4000元購進了A種茶葉若干盒，用8400元購進了B種茶葉若干盒，所購B種茶葉比A種茶葉多10盒，且B種茶葉每盒進價是A種茶葉每盒進價的1.4倍．（Ⅰ）A，B兩種茶葉每盒進價分別為多少元？（Ⅱ）若第一次所購茶葉全部售完后，第二次購進A，B兩種茶葉共100盒（進價不變），A種茶葉的售價是每盒300元，B種茶葉的售價是每盒400元，兩種茶葉各售出一半后，為慶祝元旦，兩種茶葉均打七折銷售，全部售出后，第二次所購茶葉的利潤為5800元（不考慮其他因素），求本次購進A，B兩種茶葉各多少盒？【解答】解：（I）設(shè)A種茶葉每盒進價為x元，則B種茶葉每盒進價為1.4x元，依題意，得：﹣＝10，解得：x＝200，經(jīng)檢驗，x＝200是原方程的解，且符合題意，∴1.4x＝280．答：A種茶葉每盒進價為200元，B種茶葉每盒進價為280元．（II）設(shè)第二次購進A種茶葉m盒，則購進B種茶葉（100﹣m）盒，依題意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，解得：m＝40，∴100﹣m＝60．答：第二次