貴州名校2022屆高三數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期期末聯(lián)考試卷附答案解析

貴州名校2022屆高三數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期期末聯(lián)考試卷

一、單選題

1.已知集合4=,憶2_7*+6<0},3={可*>3},則4口3=()

A.{x[3<x<6}B,{x|x>6}C,{x|l<x<3}D.{x|x<3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z?=3+4i，則|z|=()

A.5B.4C.亞D.2

3.在等比數(shù)列{4}中，4%+%=8,%=2,則%=()

A.4B.8C.16D.32

4.某工廠為了檢驗(yàn)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種零件的質(zhì)量，從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的這種零件中隨機(jī)抽取2000個(gè),

測(cè)量其長(zhǎng)度（單位:厘米），將所得數(shù)據(jù)分成[2,4）,[4,6）,[6,8）,[8,10）,[10,12]五組,得到如圖所示

的頻率分布直方圖.已知零件長(zhǎng)度在[6,10）內(nèi)的是一等品，則該生產(chǎn)線生產(chǎn)的10000個(gè)零件中，估計(jì)一等

品的數(shù)量是（）

C.4250個(gè)D.6250個(gè)

5.函數(shù)〃x）=/菁的部分圖象可能是

6.青花瓷是中華陶瓷燒制工藝的珍品，也是中國(guó)瓷器的主流品種之一.已知某青花瓷花瓶的外形上下對(duì)

稱，可看成是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，如圖所示.若該花瓶的瓶口直

徑是8,瓶身最小的直徑是4,瓶高是6,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

慝源一

7.已知〃=2一如，b=1.2%c=log43,貝lj()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

8.已知等差數(shù)列｛%｝滿足q+%+20=0,-21=0,數(shù)列也｝滿足a=%。+「?！?2,記數(shù)列也｝的

前〃項(xiàng)和為S.,則當(dāng)5“取得最小值時(shí)，”的值為()

A.4B.5C.6D.7

9.已知函數(shù)/(x)=gsin2x-2cos。，則下列結(jié)論正確的是()

A.的周期為萬的奇函數(shù)B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)信1)對(duì)稱

C.“X)在?，彳上單調(diào)遞增D./(X)的值域是[-1,3]

OJ

22

10.已知橢圓CJ+方=1(">"0)的左、右焦點(diǎn)分別是再，尸2，直線y=H(Z*0)與橢圓C交于A,B

兩點(diǎn)，若1?1=陽(yáng)6|,且四邊形A686的面積為d(C是橢圓C的半焦距)，則橢圓C的離心率是()

A.2B.逅C.-D.-

2334

11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，”等腰四面體''就是其中之一，它是三組對(duì)棱分別相等的

四面體.已知某等腰四面體的三組對(duì)棱長(zhǎng)分別是4,2石，2幣,則該等腰四面體的體積是()

A.4右B.丑叵C.8君D.竺白

33

12.已知函數(shù)/(x)=e"-21nx-/+以，若f(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.g+8)B.(1,+<?)C.]|'，+00)D.(e,+oo)

二、填空題

13.已知向量入B不共線，且(左2-44//(￡一％?,則％=.

14.的展開式中-的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

2

15.很多購(gòu)物網(wǎng)站都有手機(jī)驗(yàn)證碼功能，這樣可以保證購(gòu)物的安全性.一般手機(jī)驗(yàn)證碼由0,1,2,

9中的4個(gè)數(shù)字(數(shù)字可以相同)隨機(jī)組成.已知某人收到一個(gè)四位數(shù)的手機(jī)驗(yàn)證碼，則該驗(yàn)證碼由3個(gè)

不同數(shù)字組成的概率是.

16.在三棱錐P-ABC中，底面是以A8為斜邊的等腰直角三角形，AB=4,PA=PB=PC=4U,則三

棱錐P-ABC外接球的表面積為.

三、解答題

17.在4ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知2c—a=20cosA.

(1)求角2的值；

⑵若a=8,點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，且4。=仞，求b.

18.某6人小組利用假期參加志愿者活動(dòng)，已知參加志愿者活動(dòng)次數(shù)為2,3,4的人數(shù)分別為1,3,2,

現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組的代表參加表彰會(huì).

(1)求選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率；

(2)記選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)之和為X,求X的分布列和期望.

19.在四棱錐尸—ABCD中，平面4BCD,底面A8CD是直角梯形，BC//AD,AD±AB,E,尸分

別是棱A8,PC的中點(diǎn).

(1)證明：EF〃平面以D.

(2)若PA=A8=BC,AD=2BC,求平面AEF與平面8尸所成銳二面角的余弦值.

20.已知拋物線。：/=2沖(0>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸(/,2)在拋物線C上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OPF是直角

三角形.

(1)求拋物線C的方程.

⑵若點(diǎn)尸在第一象限，直線/與拋物線C交于異于點(diǎn)尸的A8兩點(diǎn)，以線段A8為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P.直

線/是否過定點(diǎn)？若是，求出所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

3

21.已知函數(shù)/(x)=ox2+cosx.

(1)當(dāng)4=g時(shí)，討論/(X)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)xNO時(shí),/(%)>1,求a的取值范圍.

X二-a3--風(fēng)--Z,

22.在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為2”為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正

尸？

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為「飛。$2。-4夕231)20-4=0.

(1)求直線I的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵若直線/與曲線C交于P,。兩點(diǎn)，點(diǎn)M(-3,0),求向+指的值.

23.已知函數(shù)f(x)=|2x+3|+|x-l].

⑴求不等式/(x)>6的解集；

(2)求直線y=6與函數(shù)/(x)的圖象圍成的封閉圖形的面積.

4

解析

1.A

【分析】解一元二次不等式求集合A,再應(yīng)用集合的交運(yùn)算求ACIB即可.

【詳解】由題意可得A={x[l<x<6},則Ac8={x|3<x<6}.故選：A

2.C

【分析】設(shè)z=a+0i(a,0eR),根據(jù)復(fù)數(shù)相等概念即可求解。力，從而解得模.

22

【詳解】設(shè)2=。+歷(a,beR),則z2=q2一從+2"i.因?yàn)閦?=3+4i,所以'一—：b~=3、’

2ab=4,

解得/=4,從=1,貝生|=五2+從=6.故選：C

3.B

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量求出首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求出答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{叫的公比為4,則產(chǎn)解得：％=1，d=2,故％=*=,16=8.

%q=2,22

故選：B

4.D

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求出一等品的頻率，從而可估計(jì)一等品的數(shù)量

【詳解】由圖可知一等品的頻率是(0.18750+0.12500)x2=0.625,

則10000個(gè)零件中一等品的數(shù)量大約是10000x0.625=6250個(gè).故選：D

5.A

【解析】由函數(shù)的奇偶性可排除B、C,再利用特殊值排除D

、sin九

【詳解】由f(x)=MpxeR.

因?yàn)?(-力=弓中?=-格=-”9,所以為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故排除B、C,又由〃1)=答>0,排除D,故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像，考查函數(shù)的奇偶性的圖像性質(zhì)，考查特殊值法處理選擇題

6.B

【分析】由已知得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)該雙曲線的方程為=1(。>0*>0),代入建立方程組,

求解即可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】解：由題意可知該雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為4,點(diǎn)(4,3)在該雙曲線上.設(shè)該雙曲線

22

的方程為￡一方=l(a>0,6>0),

5

2。=4，22

則32解得4=2,b=6,故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是鳥-4=1.故選：B.

--TT=h43

[ab-

7.D

【分析1根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因?yàn)?T°'=我?<[,1.2°,>1,=log42<log43<log44<1,所以。>c>a.

故選：D

8.C

【分析】先求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列也｝的正負(fù)項(xiàng)求解.

【詳解】因?yàn)?+a5+20=。，?9-?2-21=0>所以q=T6,公差d=3,

所以4=3〃-19,

故在數(shù)列也｝中，4，b2,b｝,如"均小于0，也｝中其余項(xiàng)均大于0.

又因?yàn)?=8,%=-10,

所以當(dāng)5“取得最小值時(shí)，〃的值為6.故選：C.

9.C

【分析1由題可得f(x)=2sin(2xq)-l,然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】由題意可得/(x)=gsin2x-cos2x-l=2sin(2x-7)-l.

因?yàn)閒(-x)=2sin(-2x-')-l=-2sin(2x+d-lN-『(x),所以f(x)不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)榭?2sin(2x/=卜=-1,所以“X)的圖象不關(guān)于點(diǎn)、1,1)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

2k7T-^<2x-^<2k/i+(Z;eZ),解得)%+,當(dāng)2=1時(shí)，,則C

正確；

因?yàn)?14sin[2x-￡|41,所以-242sin(2x-￡|w2,所以-342sin(2x-^卜41,即〃x)的值域是

[-3,1],故D錯(cuò)誤.故選：C.

10.B

【分析】由橢圓的對(duì)稱性和|A3|=|耳閭，易知四邊形4耳8曲為矩形,設(shè)|A周=加，|A段=”，利用橢圓

的定義，結(jié)合勾股定理和矩形的面積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知四邊形AKB玲是平行四邊形.因?yàn)閨AB|=|6名|,所以平行四邊形A耳8乙是

矩形.

6

m9+n~2=4c，~1,

設(shè)=|A居上〃，則m+〃=2a,整理得4c?+2c?=4〃，所以￡=2,解得￡=堂，故橢圓C的

2a~3a3

mn—c,

離心率為好.故選：B.

3

11.B

【分析】將等腰四面體ABC。補(bǔ)成長(zhǎng)方體求解.

,將等腰四面體ABC。補(bǔ)成長(zhǎng)方體,

，/+/=4,

設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是。，b,c,則、廬芯=2退，解得〃=26，b=2,c=4,

則該等腰四面體的體積為：

丫=2石x2x4」xk2Gx2x4x4=i^.故選：B

323

12.C

【分析】依題意可得e"+族〉f+21nx=e2m+21nx，進(jìn)而可得a>?在xe((),”)上恒成立，構(gòu)造函

數(shù)/?。)="，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可求出參數(shù)的取值范圍.

X

【詳解】f(x)>0等價(jià)于6"+以>￥+2山》=婢-*+2山底

令函數(shù)g(x)=e，+x,則g'(x)=e*+l>0,故g(x)是增函數(shù).

泮+q>623+21nx等價(jià)于以>21nx(x>0),即。>生”.

X

八"皿、21nxE、2-21nx

令函數(shù)/z(x)=----,則〃。)=----7--

XX

當(dāng)xc(O,e)時(shí)，hr(x)>0,入(X)單調(diào)遞增：當(dāng)xe(e,+8)時(shí)，”(幻<0,九(工)單調(diào)遞減.

力(X)皿=/?(e)=|?故實(shí)數(shù)”的取值范圍為1|，+8).故選：C.

13.±2

【分析】根據(jù)平面共線向量的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

7

【詳解】因?yàn)橄蛄?B不共線，且,￡-昉）〃（￡-朝卜

k=A,

所以有卜￡-45）=幾（￡一比=則解得％=±2.故答案為:±2

-4=-U,

14.-448

【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可.

【詳解】（2五-￡）7的展開式的第什1項(xiàng)為為J=C；（26廠卜￡]'=（—1）'.2』3善.

7-3r

令一^—=2,得廠=1,貝|7；=—2'（12=-64'7》2=-448*2故答案為：-448

54

15.—0.432

125

【分析】利用分步相乘原理算出總數(shù)，再利用排列組合算出滿足3個(gè)不同數(shù)字所組成的情況.

【詳解】從0,1,2,9中隨機(jī)取出4個(gè)數(shù)字（可以相同），共有10■1種情況；其中有3個(gè)不同數(shù)字的

情況為：先選出3個(gè)數(shù)字，然后其中一個(gè)需要用2次，對(duì)其全排列后再除去兩個(gè)相同數(shù)子的順序，即

C；）x3x%種

UXRXN10X9X8.Ix2x3x4S4

故所求概率p=">-A；=-]x2x3x-x=54.故答案為：—

―io3—u?—T25

,,169TI169

16.it

99

【分析】取AB的中點(diǎn)?？傻糜墒?。2+82=小2得燈UCD,根據(jù)線面垂直的判斷定理得

平面ABC,得三棱錐P-MC外接球的球心。在線段尸￡>上，由史=（/>￡>-?！?gt;）2=。/）2+4￡>2可得

答案.

【詳解】如圖，取A8的中點(diǎn)。，連接產(chǎn)。，CD.由題意可得AD=B￡>=CD=2,

因?yàn)镻A=PB,所以PZ5_LAB,

因?yàn)镻A=Ji5,所以P￡>=3,所以=pc2,所以ZPDC=90」,

即P￡）_LC￡>.因?yàn)锳BnS=。，所以PD1,平面ABC,

設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為0,

由題意易得三棱錐P-43c外接球的球心。在線段尸。上，如下圖

8

則三棱錐P-ABC外接球的半徑R滿足R2=(P￡>-On1=OD2+AD2,

解得0￡>=二，所以R=3-3=*=苧：

66636

若三棱錐P-ABC外接球的球心。在線段PO的延長(zhǎng)線上，如下圖，

則三棱錐尸—ABC外接球的半徑R滿足齊=(PD+OD)1=OD2+AD2,

(3+OD)2=OD2+22,無解；所以，三棱錐P-45C外接球的表面積$=4兀店=等

,,L1697t

故答案為：—

17.(1)1(2)7

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換即可求出；

(2)分別在△M。和4ABC中使用余弦定理即可求解.

【詳解】(1)?:2c-a=2bcosA,2sinC-sinA=2sinBcosA,

又sinC=sin[7i-(A+8)]=sin(4+B),

2sin(A+fi)-sinA=2sinBcosAf/.2sinAcosB-sinA=0,

VsinA^O,；.cos8=L,又?.?()<兀，AB=

23

(2)在△ABD中，BD=ga=4,AD=E，B=],

由余弦定理得AD2=BD2+AB2-2BD-ABCOSB,

整理得C2-4C-5=0,解得C=5(c=—l舍去)

在△ABC中，由余弦定理得62=4+c2—2accos8,即尸=64+25-40=49,解得b=7.

4IQ

18.⑴行；(2)分布列見解析,—.

【分析】(1)利用古典概率公式即求；

(2)由題可知X的可能取值為5,6,7,8,然后利用求分布列的步驟及期望公式即得.

9

【詳解】(1)從這6人中隨機(jī)選出2人，共有C：=15種選法，

其中這2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的選法有+=4種.，

4

故選出的2人參加志愿者活動(dòng)次數(shù)相同的概率為1.

⑵由題可知，X的可能取值分別為5,6,7,8,

P(X=5)=]=g,P(X=6)=管=；,P(X=7)=警=|,P(X=8)=[$

故X的分布列為：

X5678

21

p

53515

19.(1)證明見解析(2)立

6

【分析】(1)線面平行、線線平行、面面平行的判定和性質(zhì)；

(2)向量法求二面角的余弦值.

【詳解】(1)證明：取CO的中點(diǎn)G,連接EG,FG.

因?yàn)镕,G分別是PC,CZ)的中點(diǎn)，F(xiàn)G是ACDP的中位線，所以FG〃尸。，又因?yàn)槠矫嬉?。，PDu

平面以。，所以FG||平面尸4).

因?yàn)?C〃A￡>,且E、G分別是棱A8,CD的中點(diǎn)，EG是梯形ABCD的中位線，所以EG〃A。，又因?yàn)?/p>

召Ga平面附。，A￡)u平面孫。所以見川平面249.

因?yàn)镋G,FGu平面EFG,且EGflFG=G,所以平面EFG||平面尸4。.

因?yàn)镋Fu平面EFG,所以EFP平面PAZ).

⑵解：以A為原點(diǎn)，分別以通，AD，麗的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，

如下圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz.

設(shè)AB=2,則A(0,0,0),C(2,2,0),。(0,4,0),E(1,0,0),P(0,0,2).

因?yàn)椤甘抢釶C的中點(diǎn)，所以尸(1,1,1),所以通=(1,0,0),赤=(1,1,1),

CD=(-2,2,0),CF=(-1,-1,1).

1I>7.ApY=01

設(shè)平面AEF的法向量為〃=(芭,加4)則｛一=1:_仆，令y=1，得〃=(0,1,-1).

設(shè)平面CQF的法向量為正=伉，必必)，

10

inCD=-2X+2y=0,

22令W=l,得利=(1,1,2).

tn-CF=-x2-y24-z2=0

1=6

設(shè)平面AEF與平面CDF所成的銳二面角為巴則cose=|cos^/n,4=二=

m\\nR*4一6

20.⑴/=8y；(2)過定點(diǎn)(T10).

【分析】(1)當(dāng)/OPF為直角時(shí)，由七°/叩=-1和P在拋物線上可構(gòu)造方程組求得?<0,不合題意；

當(dāng)NOFP為直角時(shí)，由=2可求得P,從而得到拋物線方程；

(2)設(shè)/：>=丘+機(jī)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式；由⑸.麗=0,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)

算，代入韋達(dá)定理的形式進(jìn)行整理化簡(jiǎn)可得加=4女+1()或m=TA+2,代回直線驗(yàn)證即可得到所求定點(diǎn)坐

標(biāo).

【詳解】(1)由題意知：/尸。/不是直角.

z-

①當(dāng)NOP尸為直角時(shí)，kOP-kPF=-\,則2i即/=p-4.

----------------——1

tt

???點(diǎn)P(r,2)在拋物線C上，：.t2=4p,:Ap=p-A,解得：p=-^<0,

與p>0矛盾，不符合題意；

②當(dāng)NO卬為直角時(shí)，1=2,解得：p=4,符合題意.

拋物線C的方程為:x2=8y.

⑵設(shè)直線/：丫="+相，A(x，yJ,8(馬,必)，

聯(lián)立仁,。整理得：*2一86一8機(jī)=0,則4=64父+32機(jī)>0,即公>-：〃？，

[x-=8y2

則x,4-x2=Sk,x}x2=一8〃？.

由(1)可知：2(4,2),則向=&-4,乂-2),麗=(%-4,%-2).

,?,以線段A8為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P,r.R4_LPB,即麗.廂=0，

11

則a—4)(出-4)+(x-2)(%-2)=0,

2

即(&2+1)中2+(切?'—2/一4)(3+x2)+m-4m+20=0.

2

將Xi+々=8%,x,x2=-Srn代入得：,+1)-(—8>n)+(km—2^—4)-8^+/n—4m+20=0,

整理得：16A:2+32k=-12m+20>即16(Z+1)~=(m—6)~,

解得：m=4Z+10或0j=TZ:+2.

當(dāng)加=4+10時(shí),直線/:y=A(x+4)+10,過定點(diǎn)(T,10),

經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)A>0,符合題意；

當(dāng)m=YZ+2時(shí)，直線/：y=A(x-4)+2,此時(shí)點(diǎn)P在直線/上，則點(diǎn)尸與點(diǎn)A或點(diǎn)8重合，與A8異于點(diǎn)

P矛盾，不符合題意.

綜上所述：直線/過定點(diǎn)(T/0).

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思

路如下：

①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；

②利用A>0求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；

③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線方程；

④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.

21.⑴在(9,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增⑵；,+8)

【分析】(1)研究當(dāng)。時(shí)〃x)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可討論得到,f(x)的單調(diào)性；

(2)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)。的范圍分類討論即可得出答案.

［詳解］(1)當(dāng)a=g時(shí)，f'(x)=x-sinx,

令g(x)=x-sinx,貝ijg，(x)=l-cosxNO,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí)，r(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，r(x)>o,

所以〃x)在(y,o)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

⑵/'(x)=2o￥-sinx,且/(())=1.

①當(dāng)azg時(shí)，由(I)可知當(dāng)x20時(shí)/''(xhx-sinxNO,所以在(0,+8)上單調(diào)遞增，則

/(x)可(0)=1,符合題意.

②當(dāng)時(shí),/圖="曰<1,不符合題意，舍去.

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③當(dāng)0<〃<；時(shí)、4*F(x)=2ar-sinx,則F\x)=2a-CQSX,

則孫￡（0