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文檔簡介
第04講利用幾何法解決空間角和距離19種常見考法歸類
學(xué)習(xí)目標(biāo)¥
學(xué)會(huì)利用幾何法求空間角及空間距離.
1]旨基礎(chǔ)知識(shí)
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIHIIIII1IIII----------------------
1、異面直線所成的角
(1)定義:已知。,6是兩條異面直線,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線a'〃a,b'//b,把d與加所成的角叫
做異面直線a與b所成的角(或夾角).
(2)范圍:((),2..
注:兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí),容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直
線所成的角,也可能等于其補(bǔ)角.
2、直線和平面所成的角
(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角,一條直線
垂直于平面,則它們所成的角是90。;一條直線和平面平行或在平面內(nèi),則它們所成的角是0°.
匹-
(2)范圍:\_0,2..
3、二面角
(1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①OW/;②OAua,OBu§;③OA_L/,OBLI,則二面角a-/一夕的平面角是/AO2.
(3)二面角的平面角a的范圍:0。3區(qū)180。.
4、點(diǎn)到平面的距離
已知點(diǎn)P是平面a外的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作垂足為A,則PA唯一,則PA是點(diǎn)尸到平面a
的距離。即:一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離)
結(jié)論:連結(jié)平面a外一點(diǎn)p與a內(nèi)一點(diǎn)所得的線段中,垂線段P4最短.
:由解題策略
---------------------IlllllllllllllllllllllllllillUllilllllll''
1、求異面直線所成的角的方法和步驟
(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平
移;利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移.
(2)求異面直線所成角一般步驟:一作、二證、三求
①平移:經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”,通過作三角形的中位線,平行四邊形等進(jìn)行平移,平移異
面直線中的一條或兩條成為相交直線,作出異面直線所成的角.
②證明:證明所作的角是異面直線所成的角.
③尋找:在立體圖形中,尋找或作出含有此角的三角形,并解之.
④取舍:因?yàn)楫惷嬷本€所成角。的取值范圍是(o,,所以所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異
面直線所成的角.
2、求直線與平面所成的角的方法和步驟
(1)垂線法求線面角:
①先確定斜線與平面,找到線面的交點(diǎn)B為斜足;找線在面外的一點(diǎn)A,過點(diǎn)A向平面a做垂線,確
定垂足O;
②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面a上的投影;投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角;
③把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形).
(2)平移法求線面角
是指利用圖形平移變換的性質(zhì),構(gòu)造滿足求解的條件,進(jìn)而得出結(jié)論的方法.在運(yùn)用平移法求解線面角
問題時(shí),我們可以利用圖象平移的性質(zhì):圖形移動(dòng)位置后其大小、形狀、面積等都不改變,將分散的條件
關(guān)聯(lián)起來,以便將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來求解.
(3)等體積法求線面角
通過換底求體積求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離,再求直線與平面所成角的正弦值,如圖,已知平面a與
PO
斜線AP,PO,a,則P0線面角為/PAO,sinNPAO=——,要求線面角,關(guān)鍵是求垂線段PO的長度,而垂
AP
線段P0的長度可看作點(diǎn)P到平面a的距離,在平面a內(nèi)找一個(gè)三角形(點(diǎn)A是其中一個(gè)頂點(diǎn))與點(diǎn)P構(gòu)成三
棱錐,在三棱錐中借助等體積法就可以求P0的長度,從而達(dá)到簡便求解線面角的目的.
3、求二面角的平面角的方法和步驟
(1)求二面角大小的步驟是:
①作:找出這個(gè)平面角;
②證:證明這個(gè)角是二面角的平面角;
③求:將作出的角放在三角形中,解這個(gè)三角形,計(jì)算出平面角的大小.
(2)確定二面角的平面角的方法
①定義法(棱上一點(diǎn)雙垂線法):提供了添輔助線的一種規(guī)律
在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線.
如:“三線合一型”、“全等型”
②三垂線法(面上一點(diǎn)雙垂線法)一一最常用
自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線,再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即斜足),斜足
和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角,即為二面角的平面角
③等體積法
利用三棱錐等體積法求出點(diǎn)A到平面PBC的距離d,如圖,點(diǎn)A到二面角A-PB-C的棱PB的距離為
h(即△PAB中PB邊上的高),則二面角A-PB-C的正弦值為sin6=4.
③垂面法(空間一點(diǎn)垂面法)
過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面,截二面角得兩條射線,這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。
④射影面積法
已知平面a內(nèi)的平面圖形r的面積為5,它在平面?內(nèi)的射影廠的面積為設(shè)平面a與平面6所成二面角
的平面角為6,則當(dāng)8e|o塔時(shí),cos8=*;當(dāng)8e仔同時(shí),cos”J
4、求解點(diǎn)面距的方法和步驟
(1)定義法(直接法):找到或者作出過這一點(diǎn)且與平面垂直的直線,求出垂線段的長度;
(2)等體積法:通過點(diǎn)面所在的三棱錐,利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線距離:
(3)轉(zhuǎn)化法:轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離,常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離.
G考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一:直接平移法求異面直線所成的角
1.(2023春?廣東廣州?高一廣州市第六十五中學(xué)??计谥校┰谡襟wA8CZ)-A8Ca中,E,F分
別為A8,AO的中點(diǎn),則異面直線耳C與族所成角的大小為()
A.30B.45C.60D.90
【答案】C
[分析]由題易得EF//BR,連接8,即可得出為等邊三角形,從而得出所求角的大小為60°.
【詳解】如下圖所示,連接BQBQrRC
EF//DB,DBHD、B\EFHD、B、
則異面直線8c與E廠所成角為WC
。國=BC=AC,即Bg為等邊三角形
ZD,B.C=60°.
故選:C.
變式1.(2023春?山東濱州?高一山東省北鎮(zhèn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖,在長方體ABCO-ABCa中,
AB=AD=\,AAt=2,且E為。。的中點(diǎn),則直線8。與AE所成角的大小為()
【答案】C
【分析】取CG的中點(diǎn)/,可得直線BR與AE所成角即為直線3〃與所所成的NRBF,在.。出尸中由余
弦定理可得答案.
【詳解】取CC,的中點(diǎn)F,連接2尸、BF,所以AE〃8F,
直線B1與AE所成角即為直線BD,與AF所成的ND、BF,
所以£>i尸°=QC:+FC:=2,BF'=BC2+CF2=2,
22222
D.B=DICI+D,A1+DID=l+l+2=6,
在,QB尸中由余弦定理可得cos4D、BF=QB~+BF--。尸一6+2-2
-
2D}BxBF2x>/2x>/62
71TT
因?yàn)镹RBbc0,-,所以/。5尸=一.
6
故選:C.
變式2.(2023春?江蘇南京?高一南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,圓柱的底面直徑A3與母線相等,
E是弧A8的中點(diǎn),則AE與8。所成的角為()
c兀
A-?D.-
-7-72
【答案】C
【分析】作出輔助線,找到異面直線形成的夾角,求出各邊長,利用余弦定理求出夾角.
【詳解】取QC的中點(diǎn)F,連接EF,BF,DF,則EF//AD,且防=4)
故四邊形4)/芯為平行四邊形,所以。/
所以NEDB或其補(bǔ)角為AE與50所成角,
設(shè)/出=1,則40=1,由勾股定理得,
,LCCDF-+BD2-FB-
由余弦定理得cos-DB=FF而-2x也x02
2
JT
t^ZFDB=~,
所以AE與BD所成角為小
故選:c
考點(diǎn)二:中位線平移法求異面直線所成的角
|X]例2.(2023春?全國?高一專題練習(xí))在四棱錐S-43CD中,SA_L平面ABC。,AB=AS=2,底面
ABC3是菱形,NABC=60。,E,F,G分別是SA,SB,8c的中點(diǎn),則異面直線。E與FG所成角的余弦
值為()
A.旦B.亞
33
C.旦D.叵
55
【答案】D
【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)、0,連接OE,說明異面直線柘與DE所成的角為NOED或其補(bǔ)角,計(jì)算出
OE、DE,即可求得cosNOE。,即可得出結(jié)論.
【詳解】連接AC、BD交于點(diǎn)。,連接OE,
因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形,ACBD=O,則。為AC的中點(diǎn),且AC1BD,
因?yàn)镋為SA的中點(diǎn),則。E//SC,
又凡G分別是S3.8c的中點(diǎn),所以FG〃SC,故尸G〃OE
所以,異面直線。E與尸G所成的角為NOED或其補(bǔ)角,
SAJ■平面ABC。,血匚平面4臺(tái)。,../?/),贄,
BD1AC,SAr\AC=A,SA,ACu平面SAC,,8DJ_平面SAC,
:OEu平面SAC,OE±BD,
因?yàn)锳B=BC,ZABC=60,則.ABC為等邊一角形,
同理可知aACD也為等邊三角形,又必=43=2,
/.OD=^ADr-AOr=43-
同理可得OE=JAEFO?,DE=y)AD2+AE2=75-
巾.」、]-_OE_VlO
所以,cos//OriEcDn=-----―產(chǎn)—----.
DE455
因此,異面直線尸G與OE所成的角的余弦值為巫.
5
故選:D.
變式1.(2023春?廣東深圳?高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)??计谥校┤鐖D,在三棱錐O-A8C中,AC=gBD,
且AC上B£),E,F分別是棱OC,A8的中點(diǎn),則瓦1和AC所成的角等于.
【答案】30。/T£T
6
【分析】取8C的中點(diǎn)G,連接FG、EG,則/EFG為EF與4C所成的角.解&EFG.
【詳解】如圖所示,取8c的中點(diǎn)G,連接FG,EG.
E,F分別是CD,A3的中點(diǎn),
FGAC,EG//BD,iLFG=-AC,EG=-BD.
22
.?.NEFG為Er與AC所成的角(或其補(bǔ)角).
乂QAC=6BD,FG=>/3EG.
乂-A—BD,:.FG工EG,ZFGE=90°,
.?.△EFG為直角三角形,,tanNEFG=£9=^,又/EFG為銳角,
FG3
:.ZEFG=30。,即EF與AC所成的角為30。.
故答案為:30°.
變式2.(2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)??茧A段練習(xí))在四棱錐中,所有側(cè)棱
長都為4夜,底面是邊長為2指的正方形,。是P在平面ABCD內(nèi)的射影,M是PC的中點(diǎn),則異面直線
OP與BM所成角為
【答案】60
【分析】取OC的中點(diǎn)為N,連接MM8N,利用中位線性質(zhì)得OP〃MN,則異面直線夾角轉(zhuǎn)化為求ZBMV,
再利用勾股定理求出相關(guān)線段長,最后求出tanNBMN即可得到答案.
【詳解】由題意可知底面A8CQ是邊長為2面的正方形,所有側(cè)棱長都為40
則四棱錐P-ABCD為正四棱錐,。為正方形的中心,
取OC的中點(diǎn)為N,連接MMBN,又因?yàn)镸是PC的中點(diǎn),則。P//MN,
則ZBMN即為所求,因?yàn)椤JL平面ABCD,
所以W平面AB8,則BN==屈,
MN=Lpo=LyjpB2-BO-=右,貝hanNBMN=處=埠=+,
22MN亞
因?yàn)?<ZBMN<90,所以4BA/N=60.
故答案為:60.
變式3.(2023春?廣東廣州?高一廣州市天河中學(xué)校考期中)如圖,矩形ABCD中,AB=6正方形ADEF
的邊長為1,且平面A3CO工平面ADEF,則異面直線BD與FC所成角的余弦值為()
c75D.f
5
【答案】C
【分析】取A尸的中點(diǎn)G,連接AC交于。點(diǎn),異面直線BD與FC所成角即直線8。與OG所成角.在△O8G
中,分別求得08,0G,BG,利用余弦定理即可求得cosNBOG,從而求得異面直線夾角的余弦值.
【詳解】取AF的中點(diǎn)G,連接AC交8。于。點(diǎn),如圖所示,
異面直線BD與FC所成角即直線BD與OG所成角,
由平面ABC。1平面ADE尸,AFLAD,平面ABCDc平面尸=4),
在尸匚平面4/^尸知,4E_L平面ABCD,又AC,A8u平面A3CD.
所以A/7J_AC,AFJ.AB,由題易知AC=BD=2,
所以B=#7F=&,則OG=2CF=@,OB=^BD=1,
222
BG=出尸+(百了=半,則在△OBG中,由余弦定理知,
OB-OG-BG?
cos/BOG=
WBOG
由兩宜線夾角取值范圍為[0,余,則直線8。4OG所成角即異面直線8。與FC所成角的余弦值為竽.
故選:C
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:將異面直線平移到同一個(gè)平面內(nèi),利用余弦定理解三角形,求得異面直線的夾角.
變式4.(2023春?上海寶山?高一上海市行知中學(xué)校考階段練習(xí))如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正
方形,底面ABC。,AP=A8=A£>=2,E是側(cè)棱尸8的中點(diǎn).
⑴證明A£_L平面P8C.
(2)求異面直線4E與所成的角;
【答案】(1)證明見解析
(2)60°
【分析】(1)利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可得證:
(2)先利用中位線定理證得£O〃P£>,從而得到NAEO或其補(bǔ)角即為異面直線AE與PD所成的角,再確
定△AEO為正三角形,從而得解.
【詳解】(1)因?yàn)镻AL底面ABC。,8Cu平面ABC。,所以以
又A3_L8C,A3cPA=A,A3u平面尸AB,PAu平面BAB,
所以8c工平面上4B,又AEu平面所以A£_L8C,
因?yàn)锳P=A8,E是側(cè)棱PB的中點(diǎn),所以隹,心,
乂BCcPB=B,BCu平面PBC,P8u平面PBC,
所以A£_L平面尸8c.
(2)連AC,8。,兩直線交丁點(diǎn)。,連EO,
因?yàn)榈酌鍭BCO是正方形,所以。是。8的中點(diǎn),
乂E分別是心的中點(diǎn),所以EO〃PD,
所以NAEO或其補(bǔ)角就是異面直線AE與陽所成的角,
因?yàn)锳BC。為正方形,且===
所以P8=JPAi+AB?=20,PD=y/PA2+AD2=242>AC=yjAB2+BC2=272-
故AE=LpB=e,EO=LpD=叵AO=LAC=五,即△AEO是正三角邊,
222
所以NAEO=60。.
所以異面直線AE與P。所成的角為60'.
變式5.(2023春?甘肅定西?高一甘肅省臨洲中學(xué)??计谥校┤鐖D,四棱錐尸-他CD中,PAL平面A8CD,
底面ABCD是邊長為1的正方形,PA=AD,E為El的中點(diǎn),F(xiàn)為PO的中點(diǎn).
⑴求證:人尸,平面尸£心;
(2)求異面直線BE與尸。所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
⑵巫
10
【分析】(1)證明出CD_L平面R4D,可得出M_LCD,利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出AF_LP£>,
再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立:
(2)取A。的中點(diǎn)G,連接EG、BG,分析可知異面直線BE與尸。所成角為/BEG或其補(bǔ)角,計(jì)算出BEG
三邊邊長,即可求得N8EG的余弦值,即為所求.
【詳解】(1)證明:因?yàn)樗倪呅?BC。為正方形,則C0J.A。,
因?yàn)镻AL平面ABC。,CDu平面ABC。,所以,CDLPA,
因?yàn)?4cA£>=A,PA,AOu平面PAO,所以,CD_L平面PAD,
因?yàn)锳Fu平面上A£),所以,AF_LC£>,
因?yàn)镽4=A£>,尸為P£>的中點(diǎn),所以,AFLPD-
因?yàn)镃OPD=D,CD、PDu平面尸CD,所以,AFJ?平面PCD.
(2)解:取AD的中點(diǎn)G,連接EG、BG,
因?yàn)镋、G分別為始、AD的中點(diǎn),所以,EGMPDREG=;PD,
所以,異面直線5E與所成角為/8EG或其補(bǔ)角,
因?yàn)镽4=M>=1,四邊形ABC£>是邊長為1的正方形,且PA1"平面ABCD,
且AOu平面A3C£>,所以,PAA.AD,則PD=JPA?+AD?=夜,故EG=;PD=^
因?yàn)锽G=>W+AG2+=與,同理可得BE=乎,
取EG的中點(diǎn)H,連接8”,則故/BEG=里=之=立3=叵,
BEBG4石10
因此,異面直線BE與PO所成角的余弦值為?.
10
考點(diǎn)三:平行四邊形平移法求異面直線所成的角
(2023春?上海奉賢?高一上海市奉賢中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,在長方體中,
AB=AD^4,C£=5,M、N分別是G。、AC的中點(diǎn),則異面直線DN和CM所成角的余弦值為()
3場
29
【答案】D
【分析】取的中點(diǎn)為P,將MC平移到NP即可知異面直線DN和CM所成的角的平面角即為ZDNP,
再利用余弦定理即可解得cosNLWP=沙.
29
【詳解】取AR的中點(diǎn)為P,連接MP,DP,NP,如下圖所示:
M是GR的中點(diǎn),的中點(diǎn)為P,所以MP//4G,且MP=;AG;
由N分別是AC的中點(diǎn),所以NC=〈AC,由正方體性質(zhì)可得4C〃AG,AC=AG,
所以可得MP〃NC,MP=NC,即四邊形MPNC是平行四邊形,
則異面直線DN和C例所成的角的平面角即為NDNP,
易知。N=2五,PN=P。=炳,
29+8-29
所以cosNDNP=
2x272x729V2929
故選:D
變式1.(2023春?江西南昌?高一南昌十中??茧A段練習(xí))如圖,在正三棱柱ABC-A4G中,2881=3AB,。
是棱8c的中點(diǎn),E在棱CG上,且CG=3CE,則異面直線AQ與用芯所成角的余弦值是()
C.-亞
4D-T
【答案】B
【分析】取棱靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)F,取棱8c的中點(diǎn)”,取8尸的中點(diǎn)G,連接A",OH,AF,。工
證明力尸//8田,得幺。尸是異面直線AQ與BE所成的角(或補(bǔ)角).設(shè)鉆=4,用余弦定理計(jì)算出余弦值.
【詳解】取棱8用靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)尸,取棱86的中點(diǎn)H,取的中點(diǎn)G,連接A",DH,AF,DF.
由己知CE=gcG=:8與=B£,又CE〃BQ,所以CEBQ是平行四邊形,BtE//CG,同時(shí)可得尸是8G中
點(diǎn),而。是BC中點(diǎn),所以DF/7CG.
所以。尸〃用E,則4Q尸是異面直線與所成的角(或補(bǔ)角).
乂?!?/CC|,CG,平面4月£,則D〃_L平面A&G,A”U平面A4G,則/汨,4”,
設(shè)A8=4,貝1]84=6,從而AH=26,DH=6,BD=2,BF=2,B,F=AB]=4,
故4尸=4夜,4。=4后,£>F=20.在,AQF中,
由余弦定理可得cos/ADF==V'
所以異面直線與旦E所成的角的余弦值為四.
4
故選:B.
變式2.(2023春?浙江?高一路橋中學(xué)校聯(lián)考期中)在直三棱柱4BC-48£中,AC=AAt=2,BC=],
NACB=12O。,E是B片的中點(diǎn),則異面直線CE與AQ所成的角的余弦值是()
【答案】B
【分析】根據(jù)異面百.線所成角的定義,取CG中點(diǎn)M,AC中點(diǎn)N,連接MN,MB\,NB\,NB,可得NNM瓦為
異面直線CE與AG所成的角或其補(bǔ)角,結(jié)合余弦定理求解即可得答案.
【詳解】如圖,取CG中點(diǎn)M,AC中點(diǎn)N,連摟MN,MB、,NB\,NB
在直三棱柱4BC-Aga中,AC=AAi=2,BC=\,所以明,平面AAG,有AGu平面AB|G,所以
M1AC,則AC,=JAV+AC:=25/2
因?yàn)镸,N分別為CG,4c中點(diǎn),所以MN//AC,,MN=;AC[=尬
又可得MCUB\E,MC=BtE,則四邊形為平行四邊形
所以CE//加瓦,則NNMB、為異面直線CE與AG所成的角或其補(bǔ)角
由cel.平面AAG,。|耳匚平面4耳弓,可得CG1.C4,所以知4=Jq"+c&;=6,
在岫田中,ZACB=120°,NC=l,BC=T,由余弦定理得
NB=VNC2+BC2-2NCBC-cos120°=11+1-2x[-g)=6,
所以NB]=ylNB2+BBf=y/3+4=y/7,
.,.,..../-i......7XTAAnMN~+MB:—N母2+2—73
所以在."N耳中,由余弦定理得cos/NMB]=;;3---=---7=__/=-=--
2MN,MB、2xV2x5/24
所以異面直線CE與AC;所成的角的余弦值1.
4
故選:B.
考點(diǎn)四:補(bǔ)形法求異面直線所成的角
(2023?全國?高一專題練習(xí))在長方體ABC。-AqCQ中,AD=DC^2,A4,=2后,則異
面直線8G與所成角的正弦值為()
1B,正D,巫
A.-L.-----
5552
【答案】B
【分析】作圖,構(gòu)造三角形,將8G與。的夾角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蝺?nèi)角,運(yùn)用余弦定理求解.
依題意作上圖,延長至4,入,6,。2,
使得AA2=BB2=CC2=DD2=AiA,連接BD2,C(D2,
耳3=。。2,g,???四邊形3/2。是平行四邊形,
BtD//BD2,異面直線用。與8G的夾角就是與BD?的夾角,
12
BD2=^BC+CD+BB^=,2?+2?+(2石丫=2石,
BC、=JBC'+CC:=4,
〈2=Jcz)2+(2CCj=2加,
由余弦定理得cosZC,BD2=g,
2BC[,BD、5
.QvgBD?〈兀,sinNCR2="1-cos?NC\班=詈;
故選:B.
變式1.(2023春?浙江寧波?高一效實(shí)中學(xué)校考期中)如圖,在正三棱臺(tái)ABC-A4G中,底面ABC是邊長
為4的正三角形,且AA=AG=2.
⑴證明:M1BC;
(2)求異面直線4田、8(所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【分析1(1)將正三棱臺(tái)ABC-A冉G補(bǔ)成正三棱錐O-ABC,取5c的中點(diǎn)E,連接AE、DE,證明出
BC/平面ADE,可得出5CJ_AO,即可得出結(jié)論;
(2)
【詳解】(1)證明:將正三棱臺(tái)ABC-AB£補(bǔ)成正三棱錐。-ABC,取BC的中點(diǎn)E,連接A£、DE,
因?yàn)?3c為等邊三角形,E為5c的中點(diǎn),則5CLAE,
在正三棱錐D-ABC中,BD=CD,E為8c的中點(diǎn),則
因?yàn)锳EDE=E,AE、DEu平面A£>E,所以,BC1平面ADE,
因?yàn)锳£>u平面ADE,所以,AD1BC,即AA_LBC.
(2)解:取4。的中點(diǎn)〃,連接Bm、48、B。、CM,如下圖所示:
C
因?yàn)樵谌馀_(tái)ABC-4冉&中,AA=B?=2,且3C=4,則4G=;BC,
又因?yàn)?G〃BC,所以,用、q分別為8。、c0的中點(diǎn),同理,A為的中點(diǎn),
所以,45=8=4=AC,故正三棱錐O-ABC的每個(gè)面都是邊長為4的等邊三角形,
因?yàn)锳為A。的中點(diǎn),則AB=ABsin60=4x#=26,同理4c=28,
因?yàn)橛?、M分別為80、A。的中點(diǎn),所以,B、M"AB,且=
所以,異面直線48、8。所成角為NCg用或其補(bǔ)角,
在VCDM中,8=4,DMZCDM=60,
由余弦定理可得CM=-JCD2+DM2-2CD-DMcos6016+l-2x4xlx1=V13,
B,C2+BM--CM212+3-131
由余弦定理可得cos=y
2B.CB.M2x2+x叢一飛
因此,異面直線AB、8c所成角的余弦值為!.
6
變式2.(2023?全國?高一專題練習(xí))在正方體ABCO-AMGA中,E為4。的中點(diǎn),平面A&B與平面CEC;
的交線為1,則1與A8所成角的余弦值為()
3D-T
【答案】D
【分析】延長84,CE交直線于點(diǎn)M,延長GE,4A交于點(diǎn)N,連接則直線即為交線
I,從而可得NMGR即為/與A8所成的角,解即可得解.
【詳解】解:延長BA-CE交直線于點(diǎn)M,延長交于點(diǎn)N,連接
則直線MG即為交線/,
乂A8〃CQ,
則NMCR即為/與A8所成的角,設(shè)正方體棱長為1,
因?yàn)镋為A2的中點(diǎn),\E//BiCX//BC,
所以A為MB的中點(diǎn),A為NB1的中點(diǎn),點(diǎn)£為的中點(diǎn),E為NG的中點(diǎn),
則EM=EC,EN=EC,,
又乙MEN=NCEC\,
所以EMN=ECG,
所以MN=CG=1,^MNE=ZCC]E=90°,
則CQ=1,C、M=娓,MD\=6,
CM+CM-MD;R
所以cosNMCQ=
2C}DtC}M
即/與A8所成角的余弦值為四.
3
故選:D.
考點(diǎn)五:通過證線面垂直證異面直線所成的角為90°
|、]例5.(2023春?廣東廣州?高一廣州四十七中??计谥校┤鐖D,在正四面體ABC。中,
M是的中
點(diǎn),P是線段A用上的動(dòng)點(diǎn),則直線。尸和BC所成角的大?。ǎ?/p>
A.一定為90°B.一定為60°C.一定為45。D.與P的位置有關(guān)
【答案】A
【分析】連接DM,可以證到,BCYPM,從而證到8C1平面。MP,所以8C_LDP,即可得
解.
【詳解】解:連接。W,
:四面體A8CD是正四面體,M是8c的中點(diǎn),
:.ADBC、.A3C是等邊三角形,
.\BC1DM.BCVPM.
DWu平面OWP,PMu平面DA/P,DM[PM=M,
8CJ■平面,又。Pu平面DMP,
:.BCLDP,
直線DP與BC所成角為90二
故選:A.
變式1.(2023秋?河南鶴壁?高一鶴壁高中??茧A段練習(xí))三棱錐S-ABC中,NS8A=NSC4=90。,AABC
是斜邊相=。的等腰直角三角形,則以下結(jié)論中:
s
①異面直線SB與AC所成的角為90°;②直線S3,平面ABC;
③平面SBC,平面MC;④點(diǎn)C到平面S48的距離是:a.
其中正確的個(gè)數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【分析】由題意證明AC,平面S8C,可判斷①;通過ABLSB結(jié)合①即可證明②;根據(jù)②可證明③;取AB的
中點(diǎn)E,連接CE.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷④.
【詳解】由題意,NSCA=90°則ACLSC
由AABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形,可得AC23c
且SCcBC=C
所以AC,平面S8C,即AC1SB,故①正確;
由①得AC_LS3.
根據(jù)ZSBA=90°,即AB±SB
且ACc/W=A
所以S3,平面ABC,故②正確
因?yàn)镾Bu平面SBC
所以平面SBC,平面SAC,故③正確;
取A3的中點(diǎn)E,連接CE
可證得CEL平面SAB,
故CE的長度即為C到平面SAB的距離,所以④正確.
2
綜上可知,正確的為①②③④
故選:D
【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直與面面垂直判定,直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
變式2.(2023?高一課時(shí)練習(xí))如圖,正方體A8CO-A8C"中,AB的中點(diǎn)為。。的中點(diǎn)為N,則
異面直線B.M與CN所成角的大小為
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】D
【分析】取CO中點(diǎn)E,連GE,ME,可證轉(zhuǎn)化為求GE,CN所成的角,利用平面幾何關(guān)系,證
明C£_LCN即可.
【詳解】取以>中點(diǎn)£,連GE,ME,在正方體ABCQ-AMGA中,
M為A8中點(diǎn),,MEHBCHBG,ME=BC=B£,
四邊形用GEM為平行四邊形,.,
???異面直線BM與CN所成角為直線C\E,CN所成的角,
在正方形CCQ]£>中,/?/AC,C£=Rt/\CDN,
NCC[E=ZDCN,NCGE+ZC,£C=NDCN+ZCtEC=90°,
.■.C,£lCN,.?.直線與CN所成角的大小為90。.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系,證明異面直線垂直,考查直觀想象、邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.
變式3.(2023春?重慶九龍坡?高一重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校??茧A段練習(xí))如圖,三棱柱ABC-ABg中,底
面三角形A4C是正三角形,E是BC的中點(diǎn),則下列敘述正確的是()
4
A.直線CG與直線8區(qū)相交
B.CG與AE共面
C.AE與SC是異面直線但不垂直
D.平面垂直于平面CBBC
【答案】A
【分析】在三棱柱ABC-中,根據(jù)線線,線面關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.
【詳解】在三棱柱ABC-A與£中,CE//BC,RCE=;B£,所以四邊形CEBG為梯形,直線C&與直
線BE相交,故A正確;
由幾何圖形易知CG與AE為異面直線,故B錯(cuò)誤;
4E與8c是異面直線,且三角形ABC是正三角形,AE1BC,
乂8C//8G,則AEL8G,故C錯(cuò)誤;
在三棱柱中未給出側(cè)面C84G與上下底面的關(guān)系,不能判斷AE是否與平面。581G垂直,故無法判斷平面
A8£與平面C8gG的關(guān)系,故D錯(cuò)誤;
故選:A
考點(diǎn)六:由異面直線所成的角求其他量
(2023春?湖北武漢?高一武漢市第六中學(xué)校考階段練習(xí))在長方體A3。-ABC。中,BQ與
CG和G2所成的角均為60。,則下面說法正確的是()
A.AB=y[2AAyB.AD=AB
C.AC=—BCD.AC.=-BD
3,3
【答案】D
【分析】根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征,可得B山與CC,和CA所成的角即為四。與8月和A4所成的角,從而設(shè)
=2,由此可求得長方體的棱長,即可一一判斷各選項(xiàng),即得答案.
【詳解】在長方體A8CQ-ABCA中,CC\〃BB\,C\D、/IA、B\、
則8Q與CC,和CQ所成的角即為用。與BB、和A4所成的角,
即N£>818=NA81O=60。,
連接。仇AQ,
易得_L面ABC。,■面且跳)u面/WC£>,4Ou面AORA,
則,830,8/3為直角三角形,
故48=44,=1,故A錯(cuò)誤:
由,耳BD為直角三角形,可得BD=y/BQ2-B出2=sf^i=6,
則AD=dBD1-AB[=&,故B錯(cuò)誤;
由以上解答可知4c=B4=6,BC=4力=&,
故AC=X^8C,C錯(cuò)誤;
2
在長方體ABCO-ABC。中,AG=Q4=2,BD=6
故4€;=子8。,D正確,
故選:D
變式1.(2023?高一單元測試)在空間四邊形ABC。中,E,F,G,"分別是48,BC,CD,的
中點(diǎn).若AC=BD=2,且AC與3。所成的角為60°,則EG的長為()
A.1B.72C.1或6D.&或百
【答案】C
【分析】連接“E,4G,可得N£HG=6O?;?20。,求解三角形即可求出.
【詳解】如圖,連接HE,HG,在中,因?yàn)椤?E為中點(diǎn),所以HE//BD,HE=1,
在,AC£>中,因?yàn)椤?G為中點(diǎn),所以“G//AC,HG=\,
因?yàn)锳C與3。所成的角為60°,所以NEHG=60?;?20。,
當(dāng)乙EHG=60°時(shí),EHG為等邊三角形,所以EG=1,
當(dāng)NE”G=120。,由余弦定理可得£G2=1+1-2X1X1X(-;)=3,即EG=X/5,
所以EG的長為I或
故選:C.
變式2.(2023春?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末)在空間四邊形48co中,AB=CD,E,F分別為BC,AD的
中點(diǎn),若AB與C£>所成的角為40。,則EF與A3所成角的大小為()
A.20°B.70°
C.20°或70°D.40°或140°
【答案】C
【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義轉(zhuǎn)化為相交直線所成角,利用幾何圖形求E尸與A8所成角的大小.
【詳解】取AC的中點(diǎn)〃,8。的中點(diǎn)N,連接ME,EN,NF,FM,EF,
.KE,N,F分別是AC,3C,B£>,A£>的中點(diǎn),.?.ME〃AB,NF//AB,
ME//NF,同理EN//MF,
,四邊形MENF是平行四邊形,
乂?,AB=CD,
:.ME=EN,四邊形MEN/是菱形,
48與CD所成的角為40,;.NMEN=40或140,
E尸與A8所成角是NMEF=g/MEN=20或70.
故選:C
變式3.(2023?高一課時(shí)練習(xí))如圖,在三棱錐。一ABC中,ADAC=ZBCA=ZBCD=90°,DC=曬,AB=3,
且直線AB與DC所成角的余弦值為膽,則該三棱錐的外接球的體積為()
【答案】C
【分析】由題意,將三棱錐放入對(duì)應(yīng)的長方體中,根據(jù)已知條件建立關(guān)于長方體的長、寬、高的邊
長a,b,c,的方程組,求解得/+從+°2=25,進(jìn)而可得外接球的直徑即為長方體的體對(duì)角線長,從而根據(jù)
球的體積公式即可求解.
【詳解】解:由題意知4C13C,DCVBC,則BC上平面AQC,所以8C,A£>,
又ADLAC,ACBC=C,所以ADJ.平面ABC,將三棱錐O-ABC放入對(duì)應(yīng)的長方體中,如圖:
易知EB//DC,所以/ABE為直線AB與DC所成的角,
所以=6+BE2-2AB-BEcosZABE,解得4E=夜.
設(shè)長方體的長、寬、高分別為“,b,c,則〃+/=22
9,〃+°2=22,Z>+C=19,
三式相加得/+從+。2=25,所以長方體的外接球的半徑為'+'2=5,
22
所以該三棱錐的外接球的體積為V==也.
3⑵6
故選:C.
考點(diǎn)七:垂線法求直線與平面所成的角
,'例7.(2023春?海南?高一海南華僑中學(xué)校考期末)如圖所示,四棱錐S-438的底面為正方形,
平面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是()
B.AB//平面SCO
C.直線SA與平面S3。所成的角等于30
D.直線SA與平面SBD所成的角等于直線SC與平面SBD所成的角.
【答案】C
【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可推出A正確;根據(jù)線面平行的判定定理可推出B正確;根
據(jù)直線與平面所成角的定義,可推出C不正確;D正確.
【詳解】對(duì)于A,因?yàn)镾£>_L平面ABC。,ACu平面A8C7),所以SD_LAC,
因?yàn)锳BCD為正方形,所以80_LAC,
又S£),8Ou平面SB。,SDBD=D,所以AC_L平面S8D,
因?yàn)镾Bu平面SBD,所以ACLS3,故A正確;
對(duì)于B,因?yàn)锳8//CD,A6O平面SQD,CDu平面SCD,
所以AB〃平面SCD,故B正確;
對(duì)于C,設(shè)AC,8。交于。,連S。,由A知,A。,平面580,則NASO是直線SA與平面S3。所成的角,
1SAB=x,PD=y,則SA=[x2+y?,OA=^~x,只有當(dāng)SA=204,即Jx?+y?=0x,即*=?時(shí),才
有NASO=30,故C不正確;
對(duì)于D,由C知,NASO是直線SA與平面S3。所成的角,NCSO是直線SC與平面S3。所成的角,因?yàn)?/p>
OA=OC,SO=SO,SA=SC,
所以△ASO與!CSO全等,所以NASO=NCSO,故D正確.
變式1.(2023春?山西?高一統(tǒng)考階段練習(xí))如圖,在圓柱0P中,底面圓的半徑為2,高為4,AB為底面
圓0的直徑,C為AB上更靠近A的三等分點(diǎn),則直線PC與平面PAB所成角的正弦值為()
A而口底「后V10
A.--------Jt>.--------V.--------
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