普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試臨考沖刺卷（三）文科數(shù)學

普通高等學校2018年招生全國統(tǒng)一考試臨考沖刺卷(三)文科數(shù)學注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，∴，∴．選C．2．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位．特別是當時，被認為是數(shù)學上最優(yōu)美的公式，數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】由已知有，因為，所以在第三象限，所以，，故表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第三象限，選C．3．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形（陰影部分）圍成一個大正方形，中間空出一個小正方形組成的圖形，若在大正方形內(nèi)隨機取一點，該點落在小正方形的概率為，則途中直角三角形中較大銳角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)小正方形的邊長為，直角三角形的直角邊分別為，，，由幾何概型可得，解得，（舍），所以直角三角形邊長分別為，，，直角三角形中較大銳角的正弦值為，選B．4．下列命題中：①“”是“”的充分不必要條件②定義在上的偶函數(shù)最小值為5；③命題“，都有”的否定是“，使得”④已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為．正確命題的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】①或，所以“”是“”的充分不必要條件；②因為為偶函數(shù)，所以，因為定義區(qū)間為，所以，因此最小值為5；③命題“，都有”的否定是“，使得”；④由條件得，，；因此正確命題的個數(shù)為①②④，選C．5．《九章算術(shù)》中的玉石問題：“今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176兩），問玉、石重各幾何？”其意思為：“寶玉1立方寸重7兩，石料1立方寸重6兩，現(xiàn)有寶玉和石料混合在一起的一個正方體，棱長是3寸，質(zhì)量是11斤（即176兩），問這個正方體中的寶玉和石料各多少兩？”如圖所示的程序框圖給出了對此題的一個求解算法，運行該程序框圖，則輸出的，分別為（）A．90，86 B．94，82 C．98，78 D．102，74【答案】C【解析】執(zhí)行程序：，，；，，；，，；，，，故輸出的，分別為，．故選：C．6．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由三視圖可知：該幾何體由兩部分構(gòu)成，一部分側(cè)放的四棱錐，一部分為四分之一球體，∴該幾何體的體積是，故選：D．7．已知實數(shù)，滿足：，則的最大值（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】根據(jù)不等式組畫出可行域是封閉的四邊形區(qū)域，對目標函數(shù)進行分類，當時，令，，這時可行域為直線下方的部分，當目標函數(shù)過點時有最大值．當時，令，，這時可行域為直線上方的部分，這時當目標函數(shù)過點時有最大值，代入得到最大值為．故答案為：D．8．設(shè)，函數(shù)的圖象向右平移個單位后與原圖象重合，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將的圖象向右平移個單位后對應(yīng)的函數(shù)為，∵函數(shù)的圖象向右平移個單位后與原圖象重合，所以有，即，又，，故，故選A．9．已知函數(shù)與其導函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)導函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可知，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，由圖象可知：當時，函數(shù)的圖象在圖象的下方，滿足；當時，函數(shù)的圖象在圖象的下方，滿足；所以滿足的解集為或，故選D．10．若正項遞增等比數(shù)列滿足，則的最小值為（）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】因為，所以，當且僅當時取等號，即的最小值為，選D．11．設(shè)正三棱錐的高為，且此棱錐的內(nèi)切球的半徑，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】取線段中點，設(shè)在底面的射影為，連接，，設(shè)，則，設(shè)，則正三棱錐的表面積，由體積得，，，，，，，選D．12．已知，若函數(shù)恰有三個零點，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，可知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，如下圖，，，，令，則，因為要有三個零點，∴有解，設(shè)為，，由，根據(jù)圖象可得：當時，，，符合題意，此時，當時，可求得，不符合題意．綜上所述，，故選D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．向量，滿足，，與的夾角為，則________．【答案】【解析】由可得，即，代入可得，整理可得，解得，故答案為．14．拋物線的焦點為，點，為拋物線上一點，且不在直線上，則周長的最小值為____________．【答案】【解析】由拋物線定義，拋物線上的點到焦點的距離等于這點到準線的距離，即．所以周長，填．15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，且，則面積的最大值為________．【答案】【解析】由已知有，，由于，，又，則，，當且僅當時等號成立．故面積的最大值為．16．過雙曲線的焦點與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段的長稱為雙曲線的通徑，其長等于(、分別為雙曲線的實半軸長與虛半軸長)．已知雙曲線（）的左、右焦點分別為、，若點是雙曲線上位于第四象限的任意一點，直線是雙曲線的經(jīng)過第二、四象限的漸近線，于點，且的最小值為，則雙曲線的通徑為__________．【答案】【解析】如圖所示：連接，由雙曲線的定義知，，當且僅當，，三點共線時取得最小值，此時，由到直線的距離，，由定義知通徑等于，故答案為．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：60分，每個試題12分．17．設(shè)是數(shù)列的前項和，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，∴當時，，得；····1分當時，，∴當時，，即，····3分又，····4分∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列．····5分∴數(shù)列的通項公式為．····6分（2）由（1）知，，····7分，····8分當為偶數(shù)時，；····10分當為奇數(shù)時，，∴．····12分18．2018年為我國改革開放40周年，某事業(yè)單位共有職工600人，其年齡與人數(shù)分布表如下：年齡段人數(shù)（單位：人定：此單位45歲~59歲為中年人，其余為青年人，現(xiàn)按照分層抽樣抽取30人作為全市慶祝晚會的觀眾．（1）抽出的青年觀眾與中年觀眾分別為多少人？（2）若所抽取出的青年觀眾與中年觀眾中分別有12人和5人不熱衷關(guān)心民生大事，其余人熱衷關(guān)心民生大事．完成下列列聯(lián)表，并回答能否有的把握認為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)？熱衷關(guān)心民生大事不熱衷關(guān)心民生大事總計青年12中年5總計30（3）若從熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾（其中1人擅長歌舞，3人擅長樂器）中，隨機抽取2人上臺表演節(jié)目，則抽出的2人能勝任才藝表演的概率是多少？0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828．【答案】（1），；（2）列聯(lián)表見解析，沒有的把握認為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)；（3）．【解析】（1）抽出的青年觀眾為18人，中年觀眾12人····2分（2）列聯(lián)表如下：熱衷關(guān)心民生大事不熱衷關(guān)心民生大事總計青年61218中年7512總計131730····4分，····6分∴沒有的把握認為年齡層與熱衷關(guān)心民生大事有關(guān)．····7分（3）熱衷關(guān)心民生大事的青年觀眾有6人，記能勝任才藝表演的四人為，，，，其余兩人記為，，則從中選兩人，一共有如下15種情況：，，，，，，，，，，，，，，，····10分抽出的2人都能勝任才藝表演的有6種情況，····11分所以．····12分19．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，平面平面，，，在棱上運動．（1）當在何處時，平面；（2）已知為的中點，與交于點，當平面時，求三棱錐的體積．【答案】（1）當為中點時，平面；（2）．【解析】（1）如圖，設(shè)與相交于點，當為的中點時，平面，····2分證明∵四邊形是菱形，可得：，又∵為的中點，可得：，∴為的中位線，····3分可得，····4分

又∵平面，平面，∴平面．····6分（2）為的中點，，則，又，，且，又，．．．····9分又，點為的中點，到平面的距離為．····11分．····12分20．在平面直角坐標系中，點，圓，點是圓上一動點，線段的中垂線與線段交于點．（1）求動點的軌跡的方程；（2）若直線（斜率存在）與曲線相交于，兩點，且存在點（其中，，不共線），使得被軸平分，證明：直線過定點．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，，圓的半徑為，依題意有：，····1分····3分故點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，即，，．故點的軌跡的方程為．····5分（2）令，，因，，不共線，故的斜率不為0，可令的方程為：，則由，得則，①····7分被軸平分，，即，亦即②····8分而代入②得：③····9分①代入③得：····10分∵直線的斜率存在，∴，∴，此時的方程為：，過定點，綜上所述，直線恒過定點．····12分21．設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當時，，求的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）由題意得，．····1分當時，當，；當時，；∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增····2分當時，令得，，①當時，，；當時，；當時，；所以f(x)在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減····3分②當時，，所以在單調(diào)遞增····4分③當時，，；當時，；當時，；∴在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．····5分（2）令，有．····6分令，有，當時，，單調(diào)遞增．∴，即．····7分①當，即時，，在單調(diào)遞增，，不等式恒成立····9分②當，時，有一個解，設(shè)為根．∴有，，單調(diào)遞減；當時，；單調(diào)遞增，有．∴當時，不恒成立；····11分綜上所述，的取值范圍是．····12分（二）選考題（共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做第一題計分）22．【選修44：坐標系與參數(shù)方程】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，），將曲線經(jīng)過伸縮變換：得到曲線．（1）以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，求的極坐標方程；（2）若直線（為參數(shù)）與，相交于，兩點，且，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）的普通方程為，把，代入