線性代數(shù)與概率論（曹景龍第五版） 課件 第1-3章 行列式-線性方程組

預(yù)備知識-排列組合本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]

掌握加法原理、乘法原理及其區(qū)別。

熟練掌握排列與組合的計算。[能力目標(biāo)]

能熟練解決排列及組合問題。一、基本原理例12從甲村到乙村共有兩類方式:第1類方式是走旱路,有3條路線;第2類方式是走水路,有2條路線,如圖預(yù)-1.問從甲村到乙村共有多少種走法?例13解:完成從甲村到乙村這件事情,走旱路與走水路這兩類方式是并列的,沿著它們中的每一條路線都可以到達(dá)目的地這樣的例子是很多的,概括起來,就得到加法原理因此從甲村到乙村共有3+2=5種走法加法原理4加法原理完成一件事情共有r類方式:第1類方式有m1種方法,第2類方式有m2種方法,…,第r類方式有mr種方法則完成這件事情共有m1+m2+…+mr種方法例25從甲村到丙村必須經(jīng)過乙村,而從甲村到乙村有5條路線,從乙村到丙村有4條路線,如圖0-2.問從甲村到丙村共有多少種走法?例26解:完成從甲村到丙村這件事情,必須依次經(jīng)過兩個步驟:第1個步驟是從甲村到乙村,有5條路線第2個步驟是從乙村到丙村,有4條路線只有這兩個步驟都完成了,才能到達(dá)目的地,缺少哪一個步驟都不行例27由于從甲村到乙村的每一條路線都對應(yīng)從甲村到丙村的4條路線這樣的例子是很多的,概括起來,就得到乘法原理因此從甲村到丙村共有5×4=20種走法乘法原理8乘法原理完成一件事情必須依次經(jīng)過l個步驟:第1個步驟有n1種方法第2個步驟有n2種方法…第l個步驟有nl種方法則完成這件事情共有n1n2…nl種方法加法原理與乘法原理的區(qū)別9在應(yīng)用基本原理時,必須注意加法原理與乘法原理的根本區(qū)別.若完成一件事情有多類方式,其中每一類方式的任一種方法都可以完成這件事情,則用加法原理若完成一件事情必須依次經(jīng)過多個步驟,缺少其中任一個步驟都不能完成這件事情,則用乘法原理例310某班共有26名同學(xué),分成3個組,其中第一組有9名同學(xué),第二組有8名同學(xué),第三組有9名同學(xué),現(xiàn)在全校舉行歌詠比賽,每名同學(xué)都有資格參加.問:(1)若從全班選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽,共有多少種選法?(2)若從每組各選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽,共有多少種選法?例311解:(1)完成從全班選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽這件事情,共有三類方式:第1類方式是從第一組選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽,有9種選法第2類方式是從第二組選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽,有8種選法第3類方式是從第三組選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽,有9種選法例312這三類方式是并列的,其中每一類方式的任一種選法都可以完成這件事情根據(jù)加法原理,所以從全班選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽共有9+8+9=26種選法其實,從全班26名同學(xué)中選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽,當(dāng)然有26種選法例313(2)完成從每組各選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽這件事情,必須依次經(jīng)過三個步驟:第1個步驟是從第一組選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽,有9種選法第2個步驟是從第二組選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽,有8種選法第3個步驟是從第三組選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽,有9種選法例314這三個步驟是必須依次完成的,缺少其中任一個步驟都不能完成這件事情根據(jù)乘法原理,所以從每組各選派1名同學(xué)參加全校歌詠比賽共有9×8×9=648種選法二、元素不重復(fù)的排列例415用3個數(shù)字5,7,9可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)?解:組成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù),必須依次經(jīng)過兩個步驟:第1個步驟是確定十位數(shù),這時數(shù)字5,7,9都可以放在十位上,有3種方法第2個步驟是確定個位數(shù),由于要求個位數(shù)與十位數(shù)不能重復(fù),這時只能從所給3個數(shù)字去掉放在十位上的數(shù)字后剩余2個數(shù)字中取出1個數(shù)字放在個位上,有2種方法例416只有這兩個步驟都完成了,才能組成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù),缺少哪一個步驟都不行根據(jù)乘法原理,所以組成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共有3×2=6種方法即可以組成6個數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù),它們是

57,59,75,79,95,97例417在例4中,數(shù)字5,7,9可以稱為元素,組成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)就是從這3個不同元素中每次取出2個不同元素排隊,排在前面的是十位數(shù),排在后面的是個位數(shù)由于這樣的排列與數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)是一一對應(yīng)的,因此求數(shù)字不重復(fù)兩位數(shù)的個數(shù)等價于求這樣排列的個數(shù)排列數(shù)18定義0.1

如何計算排列數(shù)19

從n個不同元素中取出m個不同元素排成一列,必須依次經(jīng)過m個步驟:第1個步驟是確定排列第1位置上的元素,這時是從n個不同元素中取出1個元素放在這個位置上,有n種方法第2個步驟是確定排列第2位置上的元素,考慮到排列第1位置上已經(jīng)占用了1個元素,這時是從剩余的n-1個不同元素中取出1個元素放在這個位置上,有n-1種方法如何計算排列數(shù)20…第m個步驟是確定排列第m位置上的元素,考慮到排列前m-1個位置上已經(jīng)占用了m-1個元素,這時是從剩余的n-(m-1)=n-m+1個不同元素中取出1個元素放在這個位置上,有n-m+1種方法如何計算排列數(shù)21根據(jù)乘法原理,共有n(n-1)…(n-m+1)種方法由于一種方法對應(yīng)一個排列,所以所有這樣排列的個數(shù)即排列數(shù)

若m<n,則稱排列為選排列

例522根據(jù)排列數(shù)的計算公式,有排列數(shù)

例623從10人中選舉正副組長各1名,問共有多少種選舉結(jié)果?解:從10人中選舉正副組長各1名,意味著從10人中選出2人排隊

值得注意的是:在甲、乙都當(dāng)選的情況下,甲為正組長、乙為副組長與乙為正組長、甲為副組長是兩種選舉結(jié)果.例7246臺不同品牌的洗衣機(jī)擺在展廳內(nèi)排成一列,問:(1)共有多少種排法?(2)若要求其中某一臺洗衣機(jī)擺在中間位置,有多少種排法?解:(1)6臺不同品牌的洗衣機(jī)排成一列,相當(dāng)于從6個不同元素中每次取出6個不同元素的元素不重復(fù)全排列

例725(2)要求6臺不同品牌洗衣機(jī)中某一臺洗衣機(jī)擺在中間位置,必須依次經(jīng)過兩個步驟:第1個步驟是將這臺洗衣機(jī)擺在中間位置中的一個位置,有2種方法

例726根據(jù)乘法原理,有

種方法,即有240種排法例827小趙、小錢、小孫、小李及小周五位青年坐成一排照相,問:(1)若小趙與小錢相鄰,有多少種排法?(2)若小趙與小錢不相鄰且他們之間只安排小李或小周,有多少種排法?(3)若小趙與小錢不相鄰且他們之間只安排小李與小周,有多少種排法?(4)若小趙、小錢在小孫的同一側(cè),共有多少種排法?例828解:(1)完成五位青年坐成一排照相且小趙與小錢相鄰這件事情,必須依次經(jīng)過兩個步驟:

第2個步驟是將相鄰的小趙與小錢交換位置,有2種方法例829根據(jù)乘法原理,完成五位青年坐成一排照相且小趙與小錢相鄰這件事情,有

種排法例830(2)完成五位青年坐成一排照相且小趙與小錢不相鄰但他們之間只安排小李或小周這件事情,必須依次經(jīng)過三個步驟

第2個步驟是將不相鄰的小趙與小錢交換位置,有2種方法第3個步驟是將不相鄰的小李與小周交換位置,有2種方法例831根據(jù)乘法原理,完成五位青年坐成一排照相且小趙與小錢不相鄰但他們之間只安排小李或小周這件事情,有

種排法例832(3)完成五位青年坐成一排照相且小趙與小錢不相鄰但他們之間只安排小李與小周這件事情,必須依次經(jīng)過三個步驟:

第2個步驟是將不相鄰的小趙與小錢交換位置,有2種方法第3個步驟是將相鄰的小李與小周交換位置,有2種方法例833根據(jù)乘法原理,完成五位青年坐成一排照相且小趙與小錢不相鄰但他們之間只安排小李與小周這件事情,有

種排法例834(4)完成五位青年坐成一排照相且小趙、小錢在小孫的同一側(cè)這件事情,共有三類方式：

例835這三類方式是并列的,其中每一類方式的任一種排法都可以完成這件事情根據(jù)加法原理,所以完成五位青年坐成一排照相且小趙、小錢在小孫的同一側(cè)這件事情,共有

種排法三、元素可重復(fù)的排列36元素可重復(fù)包括元素重復(fù)與元素不重復(fù)兩種情況,元素可重復(fù)的排列是指在排列中允許出現(xiàn)相同元素.例9

北京市電話號碼為八位,問電話局8461支局共有多少個電話號碼?解:由于8461支局的電話號碼前四位為8461,因此只需確定后四位的數(shù)字,就組成8461支局電話號碼.顯然,在電話號碼中允許出現(xiàn)相同數(shù)字例937組成8461支局的電話號碼,必須依次經(jīng)過四個步驟:第1個步驟是確定電話號碼第五位上的數(shù)字,這時是從0至9這10個數(shù)字中取出1個數(shù)字放在這個位置上,有10種方法第2個步驟是確定電話號碼第六位上的數(shù)字,考慮到在電話號碼中允許出現(xiàn)相同數(shù)字,這時也是從0至9這10個數(shù)字中取出1個數(shù)字放在這個位置上,有10種方法例938第3個步驟是確定電話號碼第七位上的數(shù)字,也有10種方法;第4個步驟是確定電話號碼第八位上的數(shù)字,也有10種方法第4個步驟是確定電話號碼第八位上的數(shù)字,也有10種方法例939因此這個問題相當(dāng)于從10個不同元素中每次取出4個元素的元素可重復(fù)排列根據(jù)乘法原理,共有10×10×10×10=10000種方法由于一種方法對應(yīng)一個電話號碼,所以8461支局共有10000個電話號碼可重復(fù)排列數(shù)40定義0.2從n個不同元素中,每次可以重復(fù)地取出m個元素排成一列,所有這樣排列的個數(shù)稱為從n個不同元素中取出m個元素的元素可重復(fù)排列數(shù)可重復(fù)排列數(shù)41如何計算從n個不同元素中取出m個元素的元素可重復(fù)排列數(shù)?從n個不同元素中取出m個元素排成一列,必須依次經(jīng)過m個步驟:第1個步驟是確定排列第1位置上的元素,這時是從n個不同元素中取出1個元素放在這個位置上,有n種方法第2個步驟是確定排列第2位置上的元素,由于在排列中允許出現(xiàn)相同元素,因而這時還是從n個不同元素中取出1個元素放在這個位置上,也有n種方法可重復(fù)排列數(shù)42…第m個步驟是確定排列第m位置上的元素,由于在排列中允許出現(xiàn)相同元素,因而這時仍然是從n個不同元素中取出1個元素放在這個位置上,當(dāng)然有n種方法

由于一種方法對應(yīng)一個排列,所以所有這樣排列的個數(shù)等于nm,即從n個不同元素中取出m個元素的元素可重復(fù)排列數(shù)等于nm.例1043郵政大廳有4個郵筒,現(xiàn)將三封信逐一投入郵筒,問共有多少種投法?解:將三封信逐一投入郵筒,必須依次經(jīng)過三個步驟:第1個步驟是將第一封信投入4個郵筒中的1個郵筒,有4種方法第2個步驟是將第二封信投入4個郵筒中的1個郵筒,也有4種方法第3個步驟是將第三封信投入4個郵筒中的1個郵筒,也有4種方法例1044若以郵筒作為元素,則這個問題相當(dāng)于從4個不同元素中每次取出3個元素的元素可重復(fù)排列根據(jù)乘法原理,共有

4×4×4=43=64種方法,即共有64種投法例1145用3個數(shù)字1,2,3組成三位數(shù),問:(1)可以組成多少個數(shù)字可重復(fù)的三位數(shù)?(2)可以組成多少個數(shù)字一定重復(fù)的三位數(shù)?解:(1)用3個數(shù)字1,2,3組成數(shù)字可重復(fù)的三位數(shù),相當(dāng)于從3個不同元素中每次取出3個元素的元素可重復(fù)排列,這樣的排列共有33個所以可以組成33=27個數(shù)字可重復(fù)的三位數(shù)例1146(2)注意到用3個數(shù)字1,2,3組成的數(shù)字可重復(fù)的三位數(shù)包括兩部分:

另一部分則是數(shù)字一定重復(fù)的三位數(shù)說明所求數(shù)字一定重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)等于數(shù)字可重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)減去數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)的個數(shù)

四、組合例1247從10人中選舉2名代表參加座談會,問共有多少種選舉結(jié)果?解:這個問題同例6中選舉正副組長各1名是不一樣的,盡管都是選出2人,但在選舉正副組長各1名時,這2人須排隊不妨規(guī)定排在前面的是正組長,排在后面的是副組長;而在選舉2名代表時,這2人不需排隊例1248

還可以依次經(jīng)過下面兩個步驟解決這個問題:第1個步驟是從10人中選出2人,相當(dāng)于從10人中選舉2名代表,已設(shè)有x種方法

例1249

得到

所以從10人中選舉2名代表共有45種選舉結(jié)果例1250這是容易理解的,如甲、乙當(dāng)選,對于選舉正副組長各1名,有兩種選舉結(jié)果而對于選舉2名代表,卻只是一種選舉結(jié)果.說明選舉正副組長各1名的每兩種選舉結(jié)果對應(yīng)選舉2名代表的一種選舉結(jié)果由于選舉正副組長各1名共有90種選舉結(jié)果,所以選舉2名代表當(dāng)然共有45種選舉結(jié)果組合數(shù)51定義0.3

如何計算組合數(shù)52

還可以依次經(jīng)過下面兩個步驟解決這個問題:

如何計算組合數(shù)53于是有關(guān)系式

所以得到組合數(shù)

如何計算組合數(shù)54

組合數(shù)性質(zhì)55性質(zhì)組合數(shù)滿足關(guān)系式

組合數(shù)性質(zhì)56

所以得到關(guān)系式

例1357根據(jù)組合數(shù)的計算公式,有組合數(shù)

例1358根據(jù)組合性質(zhì),有組合數(shù)

對于實際問題,必須正確判別是排列問題還是組合問題,關(guān)鍵在于要不要計較所取出元素的先后順序，即要不要將所取出元素排隊若要排隊,則是排列問題;若不要排隊,則是組合問題例14已知100件產(chǎn)品中有3件是次品,其余97件是合格品,問:若任意抽取3件產(chǎn)品中恰好有1件次品,有多少種取法?解:從100件產(chǎn)品中任意抽取3件產(chǎn)品,并不計較所取產(chǎn)品的次序,從而這個問題是組合問題,從100件產(chǎn)品抽取3件產(chǎn)品中恰好有1件次品,意味著抽取3件產(chǎn)品中有1件次品與2件合格品例1460根據(jù)乘法原理,所以任意抽取3件產(chǎn)品中恰好有1件次品,有

=3×4656=13968種取法完成這件事情必須依次經(jīng)過兩個步驟:

例15617支足球隊進(jìn)行比賽,問:(1)若采用主客場賽制,共有多少場比賽?(2)若采用單循環(huán)賽制,共有多少場比賽?例1562解:(1)采用主客場賽制意味著每兩支球隊之間進(jìn)行兩場比賽,比賽雙方各有一個主場這時從7支球隊中每次挑選2支球隊進(jìn)行比賽,要計較所挑選球隊的順序,即需要將它們排隊,不妨規(guī)定排在前面的球隊是在主場比賽

例1563(2)采用單循環(huán)賽制意味著每兩支球隊之間只進(jìn)行一場比賽這時從7支球隊中每次挑選2支球隊進(jìn)行比賽,不計較所挑選球隊的順序,即不需要將它們排隊,因此這個問題是組合問題

例1664書桌上有11本不同的書,問:(1)從中任取3本書,共有多少種取法?(2)從中任取3本書分給甲、乙、丙三個人,每人一本,共有多少種分法?解:(1)由于從11本不同的書中任取3本書,并不計較所取出書的先后順序,即不需要將它們排隊,因此這個問題是組合問題

例1665(2)由于從11本不同的書中任取3本書分給甲、乙、丙三個人,每人一本,相當(dāng)于從11本不同的書中任取3本不同的書排隊,不妨規(guī)定排在前面、中間、后面位置的書分別分給甲、乙、丙,因此這個問題是排列問題

例1766口袋里裝有5個黑球與4個白球,任取4個球,問:(1)共有多少種取法?(2)其中恰好有1個黑球,有多少種取法?(3)其中至少有3個黑球,有多少種取法?(4)其中至多有1個黑球,有多少種取法?例1767解:由于在取球時不計較所取出球的先后順序,即不需要將它們排隊,因此這個問題是組合問題.

例1768(2)任取4個球中恰好有1個黑球,意味著所取4個球中有1個黑球與3個白球,完成這件事情必須依次經(jīng)過兩個步驟:

例1769(3)任取4個球中至少有3個黑球,包括恰好有3個黑球與恰好有4個黑球兩類情況,完成這件事情有兩類方式:

例1770根據(jù)加法原理,有

=10×4+5×1=45種取法例1771(4)任取4個球中至多有1個黑球,包括恰好有1個黑球與沒有黑球兩類情況,完成這件事情有兩類方式:

例1772根據(jù)加法原理,有

=5×4+1×1=21種取法例1873從3名男生、4名女生中任意挑選4名學(xué)生參加座談會,問:(1)共有多少種選法?(2)其中至少有1名男生,有多少種選法?解:由于在挑選學(xué)生時不計較所挑選學(xué)生的先后順序,即不需要將它們排隊,因此這個問題是組合問題(1)從7名學(xué)生中任意挑選4名學(xué)生,共有

種選法例1874(2)任意挑選4名學(xué)生中至少有1名男生,包括恰好有1名男生、恰好有2名男生及恰好有3名男生三類情況,完成這件事情有三類方式:

例1875

例1876根據(jù)加法原理,有

種選法例1877此題尚有簡便解法:注意到符合要求即任意挑選4名學(xué)生中至少有1名男生包括三類情況由于包括情況比較多,從而直接計算其選法比較麻煩,而不符合要求意味著挑選4名學(xué)生中沒有男生,即所挑選4名學(xué)生中有0名男生與4名女生

例1878顯然,符合要求的選法種數(shù)等于總選法種數(shù)減去不符合要求的選法種數(shù),所以任意挑選4名學(xué)生中至少有1名男生,有

種選法例1879例18說明:若符合要求的情況比較多,從而直接計算符合要求的方法種數(shù)比較麻煩,這時不符合要求的情況一定比較少,計算不符合要求的方法種數(shù)當(dāng)然比較簡單于是應(yīng)該首先計算總方法種數(shù)與不符合要求的方法種數(shù),然后總方法種數(shù)減去不符合要求的方法種數(shù),就得到所求符合要求的方法種數(shù)80本次課程結(jié)束線性代數(shù)與概率論（第五版）8182章節(jié)內(nèi)容線性代數(shù)第一章行列式第二章矩陣第三章線性方程組概率論第四章隨機(jī)事件及其概率第五章隨機(jī)變量及其數(shù)字特征第六章幾種重要的概率分布第一章

行列式第一節(jié)行列式的概念第二節(jié)行列式的性質(zhì)第三節(jié)行列式的展開第四節(jié)克萊姆法則83知識思維導(dǎo)圖84引導(dǎo)案例---谷物稱重問題

《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)方面流傳至今最早也是最重要的一部經(jīng)典著作。以解應(yīng)用題為主，其第八章為方程，就是線性方程組的應(yīng)用問題。第一題即為谷物稱重問題。問題如下：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗；問上、中、下禾實一秉各幾何？”85分析：上述谷物稱重問題是三元一次方程組的求解問題.而行列式的出現(xiàn)是由線性方程組的求解問題引出來的，它是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式。所以本章將從行列式的概念、性質(zhì)、計算出發(fā)，講解行列式的一個重要應(yīng)用—克萊姆法則求解線性方程組。第一節(jié)行列式的概念86本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]了解行列式的概念。熟練掌握二階、三階行列式的計算。

[能力目標(biāo)]能熟練求出二階、三階、四階行列式的值。二階行列式第一節(jié)行列式的概念87考慮由兩個線性方程式構(gòu)成的二元線性方程組

二階行列式第一節(jié)行列式的概念88

為了進(jìn)一步揭示求解公式的規(guī)律,需要引進(jìn)二階行列式的概念.

二階行列式第一節(jié)行列式的概念89

行標(biāo)列標(biāo)(1,2)元素主對角線副對角線二階行列式第一節(jié)行列式的概念90如何計算二階行列式？

二階行列式等于主對角線上兩個元素的乘積減去次對角線上兩個元素的乘積。例1計算第一節(jié)行列式的概念91

1×4-2×3=-2三階行列式第一節(jié)行列式的概念92類似地,考慮由三個線性方程式構(gòu)成的三元線性方程組

引進(jìn)三階行列式的概念三階行列式第一節(jié)行列式的概念93如何計算三階行列式？例4第一節(jié)行列式的概念94

=15+(-12)+(-16)-24-(-10)-(-12)=-151×3×5+(-1)×(-3)×(-4)+(-2)×2×4-(-2)×3×(-4)-(-1)×2×5-1×(-3)×4逆序數(shù)第一節(jié)行列式的概念95

考慮由前n個正整數(shù)組成的數(shù)字不重復(fù)的排列j1j2…jn中,若有較大的數(shù)排在較小的數(shù)的前面,則稱它們構(gòu)成一個逆序,并稱逆序的總數(shù)為排列j1j2…jn的逆序數(shù),記作N(j1j2…jn).由1,2這兩個數(shù)字組成排列的逆序數(shù)為

N(12)=0

N(21)=1由1,2,3這三個數(shù)字組成排列的逆序數(shù)為

N(123)=0 N(231)=2 N(312)=2 N(321)=3 N(213)=1 N(132)=1逆序數(shù)第一節(jié)行列式的概念96二階行列式,它是2!=2項的代數(shù)和,每項為來自不同行、不同列的2個元素乘積取正號與取負(fù)號的項各占一半,即各為1項若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為零,則這項前面取正號；若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為奇數(shù),則這項前面取負(fù)號。

若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為零或偶數(shù),則這項前面取正號；若相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)為奇數(shù),則這項前面取負(fù)號對應(yīng)三階行列式二階行列式計算規(guī)律n階行列式第一節(jié)行列式的概念97定義1.1

n階行列式第一節(jié)行列式的概念98n階行列式共有n2個元素,它們排成n行n列,從左上角到右下角的對角線稱為主對角線,從右上角到左下角的對角線稱為次對角線.同一行的元素不可能乘在一起,同一列的元素也不可能乘在一起

總結(jié)：n階行列式規(guī)律例3第一節(jié)行列式的概念99

解:在乘積a34a21a42a23中,元素a21與a23的行標(biāo)同為2,說明這兩個元素皆來自第2行,所以乘積a34a21a42a23不是四階行列式D中的項例4第一節(jié)行列式的概念100

解：適當(dāng)交換所給項中元素的次序,使得它們的行標(biāo)按順序排列,得到

a31a24a43a12=a12a24a31a43這時相應(yīng)列標(biāo)排列逆序數(shù)

N(2413)=3是奇數(shù),因而項a31a24a43a12前面應(yīng)取負(fù)號負(fù)號轉(zhuǎn)置行列式第一節(jié)行列式的概念101定義1.2

轉(zhuǎn)置行列式第一節(jié)行列式的概念102行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT之間有什么關(guān)系?

容易看出:DT=D可以證明這個結(jié)論對于n階行列式也是成立的.轉(zhuǎn)置行列式第一節(jié)行列式的概念103定理1.1轉(zhuǎn)置行列式DT的值等于行列式D的值,即

DT=D定理1.1說明:在行列式中,行與列的地位是對等的即:凡有關(guān)行的性質(zhì),對于列必然成立;凡有關(guān)列的性質(zhì),對于行也必然成立.三角形行列式第一節(jié)行列式的概念104定義1.3若行列式D主對角線以上或以下的元素全為零,則稱行列式D為三角形行列式.如何計算三角形行列式？三角形行列式第一節(jié)行列式的概念105

它當(dāng)然等于n!項代數(shù)和,其中含有零因子的項一定等于零,可以不必考慮,所以只需考慮可能不為零的項在這樣的項中,必然有一個因子來自第1行,只能是元素a11;必然有一個因子來自第2行,有元素a21,a22可供選擇,但元素a21與元素a11同在第1列,不能乘在一起,從而只能是元素a22;…;必然有一個因子來自第n行,有元素an1,an2,…,ann可供選擇,但元素an1與元素a11同在第1列,不能乘在一起,元素an2與元素a22同在第2列,不能乘在一起,…,從而只能是元素ann.這說明可能不為零的項只有一項a11a22…ann三角形行列式第一節(jié)行列式的概念106由于列標(biāo)排列逆序數(shù)

N(12…n)=0所以項a11a22…ann前面應(yīng)取正號.那么,三角形行列式

三角形行列式第一節(jié)行列式的概念107同理,另一種三角形行列式

由此可知:三角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積.例5計算第一節(jié)行列式的概念108

=1×2×3×4=24三角形行列式第一節(jié)行列式的概念109

若行列式D主對角線以外的元素全為零,則稱行列式D為對角形行列式,它是三角形行列式的特殊情況,它的值當(dāng)然等于主對角線上元素的乘積,即

第一節(jié)行列式的概念110本次課程結(jié)束第二節(jié)行列式的性質(zhì)111本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]

熟練掌握行列式的性質(zhì)及推論。[能力目標(biāo)]

能熟練利用性質(zhì)及推論計算三階、四階行列式的值。行列式的性質(zhì)第二節(jié)行列式的性質(zhì)112考慮三階行列式D=交換行第二節(jié)行列式的性質(zhì)113D1==-D若將第1行與第2行交換,得到行列式行乘系數(shù)第二節(jié)行列式的性質(zhì)114D1=若將第1行乘以數(shù)k,得到行列式=kD行加倍數(shù)第二節(jié)行列式的性質(zhì)115D1=若將第1行的k倍加到第2行上去,得到行列式=D行列式性質(zhì)總結(jié)第二節(jié)行列式的性質(zhì)116

從上面觀察得到的結(jié)論,可以證明對于n階行列式在一般情況下也是成立的,行列式具有下列性質(zhì):性質(zhì)1交換行列式的任意兩行(列)，行列式變號性質(zhì)2

行列式的任意一行(列)的公因子可以提到行

列式外面性質(zhì)3

行列式的任意一行(列)的k倍加到另外一行

(列)上去,行列式的值不變行列式性質(zhì)推論第二節(jié)行列式的性質(zhì)117推論1如果行列式有一行(列)的元素全為零,則

行列式的值一定等于零推論2

如果行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素相同,

則行列式的值一定等于零推論3

如果行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素成比例，

則行列式的值一定等于零例1第二節(jié)行列式的性質(zhì)118

例1第二節(jié)行列式的性質(zhì)119解：（1）交換第1行與第2行

（2）交換第2行與第3行

=(-1)2×10=10例2第二節(jié)行列式的性質(zhì)120

例2第二節(jié)行列式的性質(zhì)121解：（1）各行的公因子2提到行列式外

=23×3=24例3第二節(jié)行列式的性質(zhì)122

例3第二節(jié)行列式的性質(zhì)123解：（1）第3列的-1倍加到第2列上去

（2）第2列的-k倍加到第1列上去

=M例4第二節(jié)行列式的性質(zhì)124

例4第二節(jié)行列式的性質(zhì)125解：（1）交換第2行與第3行

例4第二節(jié)行列式的性質(zhì)126解：（2）第1行的公因子4提到行列式外面

（3）第3行的3倍加到第2行上去

例4第二節(jié)行列式的性質(zhì)127解：（4）第2行的公因子2提到行列式外面

=-4×2×1=-8例5第二節(jié)行列式的性質(zhì)128

解：由于所給四階行列式中第4列與第1列的對應(yīng)元素成比例，所以上述四階行列式值為0推論三：如果行列式有兩行(列)的對應(yīng)元素成比例,則行列式的值一定等于零0例6第二節(jié)行列式的性質(zhì)129

解：交換第1行與第3行

=-1-1例7第二節(jié)行列式的性質(zhì)130

元素a=（）

例7第二節(jié)行列式的性質(zhì)131解：交換第1行與第4行,交換第2行與第3行

=8a已知8a=1

(d)例8第二節(jié)行列式的性質(zhì)132

解：第1行分別加到第2行至第4行上去

=24例9第二節(jié)行列式的性質(zhì)133

解：（1）第1行的-2倍加到第2行上去,第1行的-3倍加到第3行上去,第1行的-4倍加到第4行上

例9第二節(jié)行列式的性質(zhì)134解：（2）第2行的-2倍加到第3行上去,第2行的-7倍加到第4行上去

=160（3）第3行加到第4行上去例10第二節(jié)行列式的性質(zhì)135

解：

例10第二節(jié)行列式的性質(zhì)136解：（1）第2行至第4行皆加到第1行上去

例10第二節(jié)行列式的性質(zhì)137解：

第二節(jié)行列式的概念138本次課程結(jié)束第三節(jié)行列式的展開139本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]

熟練掌握余子式與代數(shù)余子式概念及計算。

熟練掌握行列式展開定理[能力目標(biāo)]

能運用行列式展開定理進(jìn)行行列式計算。余子式與代數(shù)余子式定義第三節(jié)行列式的展開140定義1.4

則稱剩余元素構(gòu)成的n-1階行列式為元素aij的余子式，記作Mij;

Aij=(-1)i+jMij注：n階行列式共有n2個元素,每一個元素都有其

代數(shù)余子式,因此共有n2個代數(shù)余子式.例1第三節(jié)行列式的展開141

例1第三節(jié)行列式的展開142解：

=28+15+0-0-8-0=35

A23=(-1)2+3M23

代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開143

容易求得第1行各元素的代數(shù)余子式代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開144元素a11的代數(shù)余子式

元素a12的代數(shù)余子式

元素a13的代數(shù)余子式

代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開145三階行列式D的值與這些代數(shù)余子式之間有什么關(guān)系?

代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開146這說明三階行列式D的值等于第1行各元素與其代數(shù)余子式乘積之和,稱為三階行列式D按第1行展開。同理,經(jīng)過類似推導(dǎo),三階行列式D可以按第2行或第3行展開,也可以按第1列或第2列或第3列展開總之,三階行列式D等于任意一行(列)各元素與其代

數(shù)余子式乘積之和.代數(shù)余子式定理1.2n階行列式D等于它的任意一行(列)各元素與其代數(shù)余子式乘積之和,即

=…代數(shù)余子式第三節(jié)行列式的展開148第三節(jié)行列式的展開148定理1.2（續(xù)）注：在計算n階行列式時,只需選擇應(yīng)用定理1.2中

一個關(guān)系式就可以得到所求n階行列式的值=…例2第三節(jié)行列式的展開149已知四階行列式D中第2行的元素自左向右依次為4,3,2,1,它們的余子式分別為5,6,7,8,求四階行列式D的值.解：根據(jù)行列式中元素aij的代數(shù)余子式Aij與余子式Mij之間的關(guān)系A(chǔ)ij=(-1)i+jMij容易得到四階行列式D中第2行各元素的代數(shù)余子式.例2第三節(jié)行列式的展開150解：

A22=(-1)2+2M22=(-1)2+2×6=6

A21=(-1)2+1M21=(-1)2+1×5=-5

A23=(-1)2+3M23=(-1)2+3×7=-7

A24=(-1)2+4M24=(-1)2+4×8=8例2第三節(jié)行列式的展開151解：所以四階行列式D按第2行展開,它的值為

=4×(-5)+3×6+2×(-7)+1×8=-8在具體計算行列式時,注意到零元素與其代數(shù)余子式乘積等于零,這一項可以不必考慮,于是應(yīng)該按零元素比較多的一行(列)展開,以減少計算量.例3第三節(jié)行列式的展開152

解：（1）按第2列展開=0×A12+0×A22+(-1)×A32+0×A42=(-1)×A32=(-1)×(-1)3+2M32

例3第三節(jié)行列式的展開153解：（2）繼續(xù)按第3列展開=0×A13+2×A23+0×A33=2×A23=2×(-1)2+3M23

=2×(-3)=-6例4第三節(jié)行列式的展開154

解：按第1行展開=1×A11+2×A12+0×A13+0×A14=1×A11+2×A12=1×(-1)1+1M11+2×(-1)1+2M12

例4第三節(jié)行列式的展開155解：注意到余子式M11為三角形行列式,其值等于主對角線上元素的乘積余子式M12中第2行與第1行的對應(yīng)元素成比例,其值等于零因此行列式=40+0=40一般地,若行列式中零元素較少時,可以先應(yīng)用§1.2行列式的性質(zhì)將行列式中某一行(列)的元素盡可能多的化為零,然后按這一行(列)展開,化為計算低一階的行列式,如此繼續(xù)下去,直至化為三角形行列式或二階行列式,求得結(jié)果例5第三節(jié)行列式的展開156

解：（1）第1行的-2倍加到第3行上去

例5第三節(jié)行列式的展開157解：（2）按第1列展開

（4）按第3列展開

（3）第3行的-2倍加到第1行上去

例6第三節(jié)行列式的展開158

解：（1）第2行的-1倍加到第1行上去

例6第三節(jié)行列式的展開159解：（2）第1列的-1倍加到第2列上去

（3）按第1行展開例6第三節(jié)行列式的展開160解：（4）按第1列展開

=(-x2)(-y2)=x2y2第三節(jié)行列式的展開161根據(jù)行列式性質(zhì)的推論容易得到重要結(jié)論:n階行列式中任一行(列)元素與其他行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和一定等于零.第三節(jié)行列式的展開162本次課程結(jié)束第四節(jié)克萊姆法則163本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]

熟練掌握克萊姆法則的內(nèi)容。[能力目標(biāo)]

能運用克萊姆法則進(jìn)行方程組的解的判斷及計算?？巳R姆法則第四節(jié)克萊姆法則164對于由兩個線性方程式構(gòu)成的二元線性方程組

用消元法求解,得到結(jié)論:當(dāng)a11a22-a12a21≠0時,此線性方程組有唯一解

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則165這個求解公式可以用行列式表示,以進(jìn)一步揭示它的規(guī)律.引進(jìn)記號

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則166行列式D是由線性方程組中未知量系數(shù)構(gòu)成的行列式,稱為系數(shù)行列式行列式D1是系數(shù)行列式D中第1列元素由線性方程組常數(shù)項對應(yīng)替換后所得到的行列式行列式D2是系數(shù)行列式D中第2列元素由線性方程組常數(shù)項對應(yīng)替換后所得到的行列式克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則167于是上面的結(jié)論可以表達(dá)為:當(dāng)系數(shù)行列式D≠0時,此線性方程組有唯一解

一般地,對于由n個線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組,有克萊姆(Cramer)法則.克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則168克萊姆法則已知由n個線性方程式構(gòu)成的n元線性方程組

由未知量系數(shù)構(gòu)成的行列式稱為系數(shù)行列式,記作D,即

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則169克萊姆法則（續(xù)）在系數(shù)行列式D中第1列元素,第2列元素,…,第n列元素分別用線性方程組常數(shù)項對應(yīng)替換后所得到的行列式,分別記作D1,D2,…,Dn,即

…

…

克萊姆法則第四節(jié)克萊姆法則170克萊姆法則（續(xù)）那么:(1)如果系數(shù)行列式D≠0,則此線性方程組有唯一解

(2)如果系數(shù)行列式D=0,則此線性方程組無唯一解即有無窮多解或無解例1第四節(jié)克萊姆法則171

(1)判別有無唯一解;(2)若有唯一解,則求唯一解.解：(1)計算系數(shù)行列式

所以此線性方程組有唯一解例1第四節(jié)克萊姆法則172(2)再計算行列式解：

所以此線性方程組的唯一解為

例2第四節(jié)克萊姆法則173

判別有無唯一解計算系數(shù)行列式解：

=1+(-4)+3-1-6-(-2)=-5≠0所以此線性方程組有唯一解齊次線性方程組第四節(jié)克萊姆法則174常數(shù)項為零的線性方程式稱為齊次線性方程式對于齊次線性方程組,顯然所有未知量取值皆為零是它的一組解,這組解稱為零解此外,若未知量的一組不全為零取值也是它的解,則稱這樣的解為非零解齊次線性方程組一定有零解,也可能有非零解對于由n個齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組,根據(jù)克萊姆法則,如果系數(shù)行列式D≠0,則有唯一解,意味著僅有零解,說明無非零解在什么條件下,它一定有非零解？齊次線性方程組第四節(jié)克萊姆法則175定理1.3已知由n個齊次線性方程式構(gòu)成的n元齊次線性方程組

那么:(1)如果系數(shù)行列式D=0,則此齊次線性方程組有非零解;(2)如果此齊次線性方程組有非零解,則系數(shù)行列式D=0.例3第四節(jié)克萊姆法則176

判別有無非零解.例3第四節(jié)克萊姆法則177解：計算系數(shù)行列式

第1行加到第4行上去

注意到第4行與第3行的對應(yīng)元素相同=0所以此齊次線性方程組有非零解.

第2行加到第3行上去例4第四節(jié)克萊姆法則178

有非零解,求系數(shù)k的值.例4第四節(jié)克萊姆法則179解：計算系數(shù)行列式

第1行的公因子k+2提到行列式外面

第2行與第3行皆加到第1行上第1行的-1倍分別加到第2行與第3行上去例4第四節(jié)克萊姆法則180解：

=(k+2)(k-1)2由于此齊次線性方程組有非零解,因而系數(shù)行列式D=0即(k+2)(k-1)2=0,所以系數(shù)k=-2或k=1第四節(jié)克萊姆法則181本次課程結(jié)束第二章矩陣與向量第一節(jié)矩陣的概念與基本運算第二節(jié)矩陣的秩第三節(jié)方陣的冪與伴隨矩陣第四節(jié)方陣的逆矩陣182本章思維導(dǎo)圖183引導(dǎo)案例---生產(chǎn)成本計算問題184

分析：總的成本的計算涉及向量的數(shù)乘運算、加法運算等。本章將從矩陣的概念、向量的概念與基本運算出發(fā)，講解矩陣的相關(guān)知識和應(yīng)用。第一節(jié)矩陣的概念與基本運算185本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]

理解矩陣的概念。

熟練掌握矩陣的加減、數(shù)乘、矩陣相乘的運算。[能力目標(biāo)]

能進(jìn)行矩陣的加、減、數(shù)乘及矩陣的乘法運算。矩陣的概念186第一節(jié)矩陣的概念與基本運算考慮由兩個線性方程式構(gòu)成的二元線性方程組

其解的情況取決于未知量系數(shù)與常數(shù)項,因此將它們按照順序組成一個矩形表進(jìn)行研究

矩陣的概念187第一節(jié)矩陣的概念與基本運算定義2.1

行數(shù)列數(shù)第m行第1列元素矩陣的概念188第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

只有一列的矩陣稱為列矩陣,也稱為列向量只有一行的矩陣稱為行矩陣,也稱為行向量列向量與行向量統(tǒng)稱為向量,通常用小寫黑體希臘字母表示向量.所有元素皆為零的矩陣稱為零矩陣,記作O或Om×n;至少有一個元素不為零的矩陣稱為非零矩陣,非零矩陣A記作A≠O.矩陣的概念189第一節(jié)矩陣的概念與基本運算定義2.2已知矩陣A,B,它們的行數(shù)相同且列數(shù)也相同,若對應(yīng)元素皆相等,則稱矩陣A等于矩陣B,記作A=B

則稱它為n階方陣或n階矩陣主對角線次對角線矩陣的概念190第一節(jié)矩陣的概念與基本運算注意:n階方陣與n階行列式是兩個不同的概念n階方陣是由n2個元素組成的n行n列的正方形表n階行列式是代表由n2個元素根據(jù)行列式運算法則計算得到的一個數(shù)值舉例：三階方陣三階方陣的9個元素按照原來的順序作一個三階行列式則為

矩陣的概念191第一節(jié)矩陣的概念與基本運算單位矩陣在n階方陣中,若主對角線上元素皆為1,其余元素皆為零

矩陣的基本運算包括下列四種運算1.矩陣與矩陣的加、減法192第一節(jié)矩陣的概念與基本運算定義2.3

值得注意的是:只有行數(shù)相同且列數(shù)也相同的兩個矩陣才能相加、減矩陣與矩陣的加、減法同數(shù)與數(shù)的加、減法在運算規(guī)律上是完全一致的例1193第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

解：A+B

2.數(shù)與矩陣的乘法194第一節(jié)矩陣的概念與基本運算定義2.4

容易知道,數(shù)與矩陣的乘法同數(shù)與數(shù)的乘法在運算規(guī)律上是完全一致的例2195第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

解:2A

注意：

對于行列式則有

例3196第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

若矩陣X滿足關(guān)系式2X-A=4B，求矩陣X解:從關(guān)系式2X-A=4B得到矩陣

3.矩陣與矩陣乘法197第一節(jié)矩陣的概念與基本運算定義2.5

3.矩陣與矩陣乘法198第一節(jié)矩陣的概念與基本運算注意：只有矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù),積AB才有意義積AB第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對應(yīng)元素乘積之和積AB的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù),積AB的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)，即

Am×lBl×n=(AB)m×n例4199第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

(1)積AB有無意義?(2)若有意義,積C=AB為幾行幾列矩陣?積C=AB第1行第2列的元素c12等于多少?例4200第一節(jié)矩陣的概念與基本運算解:容易看出,矩陣A為2行3列矩陣,矩陣B為3行4列矩陣由于矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù),所以積AB有意義.(1)(2)根據(jù)積AB的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù),積AB的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)于是積C=AB為2行4列矩陣.例4201第一節(jié)矩陣的概念與基本運算解:積C=AB第1行第2列的元素c12等于矩陣A的第1行元素與矩陣B的第2列對應(yīng)元素乘積之和,即c12=1×2+2×3+0×4=8應(yīng)該注意的是:由于矩陣B的列數(shù)不等于矩陣A的行數(shù),因而積BA無意義例5202第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

解:AB

BA

例6203第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

解:AB

BA

從例4至例6可以看出:盡管積AB有意義,但積BA不一定有意義;即使積AB,BA都有意義,積AB與BA也不一定相等.這說明在一般情況下,矩陣與矩陣的乘法運算不滿足交換律.例7204第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

解:AB

BA

例8205第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

解:AB

AC

發(fā)現(xiàn)從例7可以看出:盡管矩陣A,B都不是零矩陣,但積BA卻可以是零矩陣.從例8可以看出:盡管矩陣A不是零矩陣,矩陣B與C不相等,但積AB與AC卻可以相等這說明在一般情況下,矩陣與矩陣的乘法運算不滿足消去律.第一節(jié)矩陣的概念與基本運算矩陣之間乘法運算性質(zhì)207第一節(jié)矩陣的概念與基本運算性質(zhì)1滿足結(jié)合律,即(AB)C=A(BC)性質(zhì)2滿足分配律,即(A+B)C=AC+BCA(B+C)=AB+AC矩陣之間乘法運算性質(zhì)208第一節(jié)矩陣的概念與基本運算矩陣與矩陣的乘法運算不滿足一些數(shù)與數(shù)的乘法運算規(guī)律,主要體現(xiàn)在哪里？不滿足交換律，即在一般情況下,積AB不一定等于積BA不滿足消去律,即在一般情況下,僅從AB=O,不能得到A=O或B=O;僅從A≠O,AB=AC,不能得到B=C209第一節(jié)矩陣的概念與基本運算一般地,對于單位矩陣有ImAm×n=Am×nAm×nIn=Am×n說明單位矩陣在矩陣與矩陣乘法中的作用相當(dāng)于數(shù)1在數(shù)與數(shù)乘法中的作用由于矩陣與矩陣的乘法運算不滿足交換律,因而矩陣與矩陣相乘時必須注意順序積AB稱為用矩陣A左乘矩陣B,或稱為用矩陣B右乘矩陣A例9210第一節(jié)矩陣的概念與基本運算

(1)差2B-3C;(2)積A(2B-3C).例9211第一節(jié)矩陣的概念與基本運算解:(1)差2B-3C

例9212第一節(jié)矩陣的概念與基本運算解:(2)積A(2B-3C)

例10213第一節(jié)矩陣的概念與基本運算解:

(a)-2 (b)2(c)-1 (d)1計算積

根據(jù)已知關(guān)系式,有(6

2+x)=(6

1)從而得到關(guān)系式2+x=1,因此元素x=-1c4.矩陣的轉(zhuǎn)置214第一節(jié)矩陣的概念與基本運算定義2.6已知m行n列矩陣

將行列依次互換,所得到的n行m列矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作

例11215第一節(jié)矩陣的概念與基本運算解:

ABT+4C

矩陣的轉(zhuǎn)置運算性質(zhì)216第一節(jié)矩陣的概念與基本運算性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(kA)T=kAT

(k為數(shù))217本次課程結(jié)束第一節(jié)矩陣的概念與基本運算第二節(jié)矩陣的秩218本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]

理解階梯形矩陣及簡化階梯形矩陣的概念。

熟練掌握矩陣的三種初等行變換。

理解矩陣的秩的概念及性質(zhì)[能力目標(biāo)]

能熟練計算矩陣的秩的運算。階梯型矩陣219第二節(jié)矩陣的秩在矩陣中,若一行的元素皆為零,則稱這行為零行若一行的元素不全為零,則稱這行為非零行在非零行中,從左往右數(shù),第一個不為零的元素稱為首非零元素階梯型矩陣220第二節(jié)矩陣的秩定義2.7已知矩陣A,若它同時滿足:(1)各非零行首非零元素分布在不同列;(2)當(dāng)有零行時,零行在矩陣的最下端.則稱矩陣A為階梯形矩陣.例1221第二節(jié)矩陣的秩

階梯型矩陣222第二節(jié)矩陣的秩定義2.8已知階梯形矩陣A,若它同時還滿足:(1)各非零行首非零元素皆為1(2)各非零行首非零元素所在列的其他元素全為零則進(jìn)而稱階梯形矩陣A為簡化階梯形矩陣.例2223第二節(jié)矩陣的秩

矩陣的初等行變換224第二節(jié)矩陣的秩定義2.9對矩陣施以下列三種變換:(1)交換矩陣的任意兩行(2)矩陣的任意一行乘以非零數(shù)k(3)矩陣任意一行的數(shù)k倍加到另外一行上去稱為矩陣的初等行變換.矩陣的初等行變換225第二節(jié)矩陣的秩考慮矩陣

若將第1行與第3行交換,有

→

矩陣的初等行變換226第二節(jié)矩陣的秩

→

容易看出,積B1A

=A1這說明:交換矩陣A的第1行與第3行相當(dāng)于用矩陣B1左乘矩陣A矩陣的初等行變換227第二節(jié)矩陣的秩若將第2行乘以非零數(shù)k,有

→

→矩陣的初等行變換228第二節(jié)矩陣的秩容易看出,積B2A

=A2這說明:用非零數(shù)k乘矩陣A的第2行相當(dāng)于用矩陣B2左乘矩陣A.矩陣的初等行變換229第二節(jié)矩陣的秩若將第1行的k倍加到第2行上去,有

→

矩陣的初等行變換230第二節(jié)矩陣的秩

→

容易看出,積B3A

=A3這說明:矩陣A第1行的k倍加到第2行上去相當(dāng)于用矩陣B3左乘矩陣A.矩陣的初等行變換231第二節(jié)矩陣的秩定理2.1對任何矩陣A作若干次初等行變換得到矩陣C,相當(dāng)于用單位矩陣I作同樣若干次初等行變換所得到的矩陣B左乘矩陣A,即BA=C矩陣的初等行變換232第二節(jié)矩陣的秩

首先觀察第1列元素中有多少個非零行首非零元素,若不超過一個,則已符合要求;

矩陣的初等行變換233第二節(jié)矩陣的秩然后再用同樣方法依次觀察和處理其他各列,直至使得非零行首非零元素在不同列為止在對矩陣作初等行變換的過程中,若有零行出現(xiàn),則適時將零行移至矩陣的最下端.矩陣的秩234第二節(jié)矩陣的秩定義2.10已知矩陣A,當(dāng)矩陣A為階梯形矩陣,或矩陣A雖非階梯形矩陣但可經(jīng)過若干次初等行變換化為階梯形矩陣.若階梯形矩陣非零行為r行,則稱矩陣A的秩為r,記作r(A)=r例3235第二節(jié)矩陣的秩已知矩陣

，則秩r(A)=

.

解:容易看出,所給矩陣A中4行都是非零行,第1行首非零元素1在第3列,第2行首非零元素1在第1列,第3行首非零元素1在第2列,第4行首非零元素1在第4列,它們在不同列,因而矩陣A為階梯形矩陣.又由于其非零行為4行,說明秩r(A)=44例4236第二節(jié)矩陣的秩

解:容易看出,所給矩陣A中3行都是非零行,其中第2行與第3行的首非零元素同在第2列,因而矩陣A不為階梯形矩陣,對矩陣A作初等行變換,化為階梯形矩陣,有例4237第二節(jié)矩陣的秩

第2行乘以3,第3行乘以2

第2行的-1倍加到第3行上去

由于階梯形矩陣非零行為3行,于是秩r(A)=3例5238第二節(jié)矩陣的秩

容易看出,所給矩陣A中4行都是非零行,它們的首非零元素同在第1列,因而矩陣A不為階梯形矩陣,對矩陣A作初等行變換,化為階梯形矩陣.有解:例5239第二節(jié)矩陣的秩

第1行的-2倍加到第2行上去第1行的-3倍加到第3行上去第1行的-1倍加到第4行上去

第2行的-1倍分別加到第3行與第4行上去例5240第二節(jié)矩陣的秩

由于階梯形矩陣非零行為2行,于是秩r(A)=2.例6241第二節(jié)矩陣的秩

對矩陣A作初等行變換,化為階梯形矩陣.有解:

例6242第二節(jié)矩陣的秩第1行的-3倍加到第3行上去第1行的-5倍加到第4行上去

第2行分別加到第3行與第4行上去

注意到第1行與第2行都是非零行,第4行是零行,欲使得秩r(A)=2,第3行必須是零行.所以元素x=0,使得秩r(A)=2.矩陣的秩的性質(zhì)243第二節(jié)矩陣的秩矩陣的秩具有下列性質(zhì):性質(zhì)1

r(A)≤min{m,n}矩陣的秩的性質(zhì)244第二節(jié)矩陣的秩性質(zhì)2對于m行矩陣A,如果存在m列元素構(gòu)成m階行列式不為零,則秩r(A)=m矩陣的秩的性質(zhì)245第二節(jié)矩陣的秩性質(zhì)3轉(zhuǎn)置矩陣AT的秩等于矩陣A的秩,即秩r(AT)=r(A)例7246第二節(jié)矩陣的秩

容易看出,矩陣A為階梯形矩陣,由于其非零行為3行,于是秩r(A)=3.又因為r(AT)=r(A),所以秩r(AT)=3.解:247本次課程結(jié)束第二節(jié)矩陣的秩第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣248本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]

了解方陣的冪的概念。

熟練掌握方陣的行列式的性質(zhì)。

理解方陣的伴隨矩陣的概念及計算方法[能力目標(biāo)]

能熟練計算方陣的伴隨矩陣。方陣的冪249第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣說明：下面討論只針對方陣的有關(guān)運算定義2.11已知n階方陣A,將k個n階方陣A連乘,所得到的積仍是n階方陣,稱為n階方陣A的k次冪,記作

例1250第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣

解:代數(shù)和A2-5A+3I=AA-5A+3I

=O例2251第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣

解:和A2+AAT=AA+AAT

例2252第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣

方陣的冪253第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣考慮n階方陣A,B,由于矩陣與矩陣的乘法運算滿足結(jié)合律與分配律,于是得到(AB)2=(AB)(AB)=ABAB(A+B)2=(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B)=A2+AB+BA+B2(A+B)(A-B)=A(A-B)+B(A-B)=A2-AB+BA-B2方陣的冪254第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣由于矩陣與矩陣的乘法運算不滿足交換律,即在一般情況下,積BA不一定等于積AB,所以有下列結(jié)論:(1)冪(AB)2不一定等于積A2B2(2)冪(A+B)2不一定等于和A2+2AB+B2(3)積(A+B)(A-B)不一定等于差A(yù)2-B2上述討論說明:對于數(shù)運算成立的積的平方公式、兩項和的平方公式及平方差公式對于方陣運算是不適用的方陣的行列式255第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣定義2.12

將構(gòu)成n階方陣A的n2個元素按照原來的順序作一個n階行列式,這個n階行列式稱為n階方陣A的行列式,記作

方陣的行列式性質(zhì)256第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣可以證明,方陣的行列式具有下列性質(zhì):性質(zhì)1已知方陣A,則行列式|AT|=|A|性質(zhì)2如果方陣A為n階方陣,k為數(shù),則行列式|kA|=kn|A|性質(zhì)3如果方陣A,B為同階方陣,則行列式|AB|=|A||B|例3257第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣已知方陣A為3階方陣,且行列式|A|=3,求下列行列式的值:(1)|3AT|

(2)|-A|解:(1)根據(jù)方陣的行列式性質(zhì)2與性質(zhì)1,得到行列式|3AT|=33|AT|=33|A|=33×3=81(2)根據(jù)方陣的行列式性質(zhì)2,得到行列式|-A|=(-1)3|A|=(-1)3×3=-3伴隨矩陣258第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣定義2.13

它的行列式為

伴隨矩陣259第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣將行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式Aij放在第i行第j列位置上(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),組成n階方陣后再轉(zhuǎn)置所得到的這個n階方陣稱為n階方陣A的伴隨矩陣,記作

伴隨矩陣260第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣

計算每個元素的代數(shù)余子式A11=(-1)1+1d=dA12=(-1)1+2c=-cA21=(-1)2+1b=-bA22=(-1)2+2a=a伴隨矩陣261第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣于是得到二階方陣A的伴隨矩陣

根據(jù)上述結(jié)論,容易得到求二階方陣A的伴隨矩陣A*的規(guī)律:將二階方陣A中主對角線上兩元素交換,次對角線上兩元素變號,所得到的二階方陣就是二階方陣A的伴隨矩陣A*例4262第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣

解:根據(jù)上面的規(guī)律,因而伴隨矩陣

例5263第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣

解:三階方陣A的行列式

例5264第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣計算行列式|A|中9個元素的代數(shù)余子式

例5265第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣

例5266第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣

例5267第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣于是三階方陣A的伴隨矩陣

268本次課程結(jié)束第三節(jié)方陣的冪與逆矩陣第四節(jié)方陣的逆矩陣269本節(jié)主要學(xué)習(xí)目標(biāo)：[知識目標(biāo)]

理解方陣的逆矩陣的概念。

理解伴隨矩陣法計算矩陣的逆矩陣。

熟練掌握初等行變換方法計算矩陣的逆矩陣。[能力目標(biāo)]

能熟練計算矩陣的逆矩陣。逆矩陣270第四節(jié)方陣的逆矩陣定義2.14已知n階方陣A,若存在n階方陣B,使得AB=BA=I則稱n階方陣A可逆,并稱n階方陣B為n階方陣A的逆矩陣,記作A-1=B逆矩陣271如果n階方陣A可逆,它的逆矩陣是否唯一?設(shè)n階方陣B1與B2都是n階方陣A的逆矩陣,則有AB1=B1A=IAB2=B2A=I于是得到n階方陣B1=B1I=B1(AB2)=(B1A)B2=IB2=B2這說明n階方陣A的逆矩陣是唯一的那么