北京市第三十九中學(xué)2024屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

北京市第三十九中學(xué)2024屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個(gè)容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．902．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個(gè)不同的關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．4．中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂(lè)”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動(dòng)；“書(shū)”，指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門(mén)課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（）種.A．408 B．120 C．156 D．2405．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．206．設(shè)集合，，若集合中有且僅有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．7．已知函數(shù)，不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若則（）A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(b)<f(c)<f(a)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)10．對(duì)于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”．若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”，則的最大值為（）A． B． C． D．11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)的平分線與軸交于，則的最大值為A． B． C． D．12．等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，有下列說(shuō)法：（1）四面體EBCD的體積有最大值和最小值；（2）存在某個(gè)位置，使得；（3）設(shè)二面角的平面角為，則；（4）AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓.其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為，那么高三被抽取的人數(shù)為_(kāi)______．14．若直線與直線交于點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)___．15．在中，角的對(duì)邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為_(kāi)___________．16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，角所對(duì)的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.18．（12分）眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過(guò)按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對(duì)改善學(xué)生視力的效果，在應(yīng)屆高三的全體800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.（1）若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)視力在5.0以上的人數(shù)；（2）為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對(duì)年級(jí)不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系？（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，在這8人中任取2人，記堅(jiān)持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87919．（12分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.20．（12分）a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊.已知a＝3，，且B＝60°.（1）求△ABC的面積；（2）若D，E是BC邊上的三等分點(diǎn)，求.21．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（l）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，滿足.有三個(gè)條件：①；②；③.其中三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件完成下面兩個(gè)問(wèn)題：（1）求；（2）設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學(xué)的頻率，再結(jié)合支出在（單位：元）的同學(xué)有34人，即得解【詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學(xué)有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學(xué)的頻率為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點(diǎn)共線可得.【詳解】解：依題：，又三點(diǎn)共線，，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程：三點(diǎn)共線?(為平面內(nèi)任一點(diǎn),)3、D【解析】

根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過(guò)定點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利用過(guò)某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為：原題等價(jià)于與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)由可知，直線恒過(guò)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過(guò)點(diǎn)的曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為由圖象可知，當(dāng)時(shí)，與有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè)，，則，解得：設(shè)，，則，解得：，則本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍的問(wèn)題；涉及到過(guò)某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)稱性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，通過(guò)確定直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)進(jìn)行求解.4、A【解析】

利用間接法求解，首先對(duì)6門(mén)課程全排列，減去“樂(lè)”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的情況，最后還需加上“樂(lè)”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的情況；【詳解】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)有（種），當(dāng)“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí)有（種），當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí)有（種），則滿足“樂(lè)”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門(mén)課程不相鄰的排法有（種），故選：．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意“樂(lè)”的排列對(duì)“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的影響，屬于中檔題．5、C【解析】

利用等差通項(xiàng)，設(shè)出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】

由題意知且，結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的關(guān)系及運(yùn)算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問(wèn)題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

確定函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，不等式轉(zhuǎn)化為，利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，易知均為減函數(shù)，故且在上單調(diào)遞減，不等式，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，即，設(shè)，，故單調(diào)遞減，故，當(dāng)，即時(shí)取最大值，所以.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式，參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

設(shè)，，作為一個(gè)基底，表示向量，，，然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè)，，所以，，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在上遞增，結(jié)合與圖象，判斷出的大小關(guān)系，由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增；在同一坐標(biāo)系中作與圖象，，可得，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、D【解析】

根據(jù)已知有，可得，只需求出的最小值，根據(jù)，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知，與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)”，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.11、A【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，，求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解．【詳解】解：由題意可得，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝?1，

過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，

記∠KPF的平分線與軸交于

根據(jù)角平分線定理可得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，綜上：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．12、C【解析】

解：對(duì)于（1），當(dāng)CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方時(shí)，E到平面BCD的距離最大，當(dāng)CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方時(shí)，E到平面BCD的距離最小，∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值，故（1）正確；對(duì)于（2），連接DE，若存在某個(gè)位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，則AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，進(jìn)一步可得AE＝DE，此時(shí)E﹣ABD為正三棱錐，故（2）正確；對(duì)于（3），取AB中點(diǎn)O，連接DO，EO，則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角，為θ，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正確；對(duì)于（4）AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P，P到BC的距離為：dP﹣BC，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓．（4）正確．故選：C．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對(duì)應(yīng)的特征，以幾何體為載體，考查相關(guān)的空間關(guān)系，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真分析，得到結(jié)果，注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由分層抽樣的知識(shí)可得，即，所以高三被抽取的人數(shù)為，應(yīng)填答案．14、【解析】

根據(jù)題意可知,直線與直線分別過(guò)定點(diǎn),且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點(diǎn)在以為直徑的圓上,結(jié)合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過(guò)定點(diǎn),直線可化為,所以其過(guò)定點(diǎn),且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點(diǎn)在以為直徑的圓上,作圖如下:結(jié)合圖形可知,線段的最大值為,因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn),所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)交點(diǎn)的直線系方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力;根據(jù)圓的定義得到交點(diǎn)在以為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.15、【解析】

轉(zhuǎn)化為，利用二倍角公式可求解得，結(jié)合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，且為銳角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.16、【解析】

求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程，即可求出實(shí)數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為，則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為，所以，該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為.由題意得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù)，涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理到，得到答案.（2）計(jì)算，再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因?yàn)?，所以，所?（2），又因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，?【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、（1）（2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系（3）詳見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意可計(jì)算后三組的頻數(shù)的總數(shù)，由其成等差數(shù)列可得后三組頻數(shù)，可得視力在5.0以上的頻率，可得全年級(jí)視力在5.0以上的的人數(shù)；（2）由題中數(shù)據(jù)計(jì)算的值，對(duì)照臨界值表可得答案；（3）由題意可計(jì)算出這8人中不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的分別有2人和6人，可得X可取0，1，2，分別計(jì)算出其概率，列出分布列，可得其數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由圖可知，第一組有3人，第二組7人，第三組27人，因?yàn)楹笕M的頻數(shù)成等差數(shù)列，共有（人）所以后三組頻數(shù)依次為24，21，18，所以視力在5.0以上的頻率為0.18，故全年級(jí)視力在5.0以上的的人數(shù)約為人（2），因此能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系.（3）調(diào)查的100名學(xué)生中不近視的共有24人，從中抽取8人，抽樣比為，這8人中不做眼保健操和堅(jiān)持做眼保健操的分別有2人和6人，X可取0，1，2，，X的分布列X012PX的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，獨(dú)立性檢測(cè)及離散型隨機(jī)變量的期望與方差等相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)與處理數(shù)據(jù)的能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:（1）因?yàn)?所以又,故,所以,