導(dǎo)數(shù)中雙變量的處理策略

培優(yōu)：導(dǎo)數(shù)中雙變量的處理策略

一、方法儲(chǔ)備

第一招：消元法

1、消元的目的：若表達(dá)式所含變量個(gè)數(shù)較多，則表達(dá)式的范圍不易確定（會(huì)

受多個(gè)變量的取值共同影響），所以如果題目條件能夠提供減少變量的方式,

則通常利用條件減少變量的個(gè)數(shù)，從而有利于求表達(dá)式的范圍（或最值），

消元最理想的狀態(tài)是將多元表達(dá)式轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，進(jìn)而可構(gòu)造函數(shù)求得值

域。

2、常見(jiàn)消元的方法：

（1）利用等量關(guān)系消元：若題目中出現(xiàn)了變量間的關(guān)系（等式），則可利用

等式進(jìn)行消元，在消元的過(guò)程中要注意以下幾點(diǎn)：

①要確定主元：主元的選取有這樣幾個(gè)要點(diǎn)：一是主元應(yīng)該有比較明確的范

圍（即稱為函數(shù)的定義域）；二是構(gòu)造出的函數(shù)能夠解得值域（函數(shù)結(jié)構(gòu)不

復(fù)雜）。

②若被消去的元帶有范圍，則這個(gè)范圍由主元承擔(dān)。例如選擇，為主元，且

有x=則r除了滿足自身的范圍外，還要滿足4W〃心。（即解

不等式）。

（2）換元：常見(jiàn)的換元有兩種：

①整體換元：若多元表達(dá)式可通過(guò)變形，能夠?qū)⒛骋粋€(gè)含多變量的式子視為

一個(gè)整體，則可通過(guò)換元轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，常見(jiàn)的如上y-x等，例如在

X

1-2

〃=二中，可變形為〃=_x,設(shè)則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求〃=上1的值域問(wèn)

元+y]+?x1

題。

注意：在整體換元過(guò)程中要注意視為整體的式子是否存在范圍，即要確定新

元的范圍。

②三角換元：已知條件為關(guān)于的二次等式時(shí)，可聯(lián)想到三角公式，從而將

的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)式來(lái)求得范圍。因?yàn)槿呛瘮?shù)公式的變形與

多項(xiàng)式變形的公式不同，所以在有些題目中可巧妙的解決問(wèn)題，常見(jiàn)的三角

換元有:

X=COS^

平方和：聯(lián)想到正余弦平方和等于1,從而有：+/=

y=sin。

22x=acosff、

推廣：r

[y=bsinOL7

平方差：聯(lián)想到正割(一L)與正切(tane=史生)的平方差為1,則有

cos。cos0

x=sec0=---

92。嗎,同0,24),

廠一y1=<

八sme

y=tan6^=------

cos。

x=asec0=--一

推廣:cos。，同0,2萬(wàn))

下『in,八Osin。L7

y=btanu=--------

cos。

注意:若有限定范圍時(shí)，要注意對(duì)。取值的影響，一般地，若(x,y)的取值

范圍僅僅以象限為界，則可用對(duì)應(yīng)象限角的取值刻畫6的范圍

3、消元后一元表達(dá)式的范圍求法：

(1)函數(shù)的值域——通過(guò)常見(jiàn)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得

函數(shù)值域。

(2)均值不等式：若表達(dá)式可構(gòu)造出具備使用均值不等式(a+bN2a等)

的條件，則可利用均值不等式快速得到最值。

（3）三角函數(shù)：

①形如asinO+bcos。的形式：則可利用公式轉(zhuǎn)化為Asin（<w6>+°）的形式解得值

域（或最值）

②形如"sin。）：則可通過(guò)換元Hsin。將其轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行求解

③形如：MW，可聯(lián)想到此式為點(diǎn)（。。5。，如。）和定點(diǎn)（。力）連線的斜率，其

中（cosasin。）為單位圓上的點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可解得分式范圍

第二招：放縮法

在有些多變量表達(dá)式的題目中，所提供的條件為不等關(guān)系，則也可根據(jù)不

等關(guān)系進(jìn)行消元，從而將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一元表達(dá)式，便于求得最值。

1、放縮法求最值的理論基礎(chǔ)：

不等式的傳遞性：若/（x,y）Ng（x）,g（x）Nm,則機(jī)

2、常見(jiàn)的放縮消元手段：

（1）抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個(gè)變量間的不等關(guān)系，則可利用這個(gè)

關(guān)系進(jìn)行放縮消元。

（2）配方法：通過(guò)利用“完全平方式非負(fù)”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方

式，然后令其等于0,達(dá)到消元的效果。

（3）均值不等式：構(gòu)造能使用均值不等式的條件，利用均值不等式達(dá)到消元

的效果。

（4）主元法：將多元表達(dá)式視為某個(gè)變量（即主元）的函數(shù)，剩下的變量視

為常數(shù)，然后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達(dá)到消元的效果。

3、放縮消元過(guò)程中要注意的地方：

(1)在放縮過(guò)程中應(yīng)注意所求最值與不等號(hào)方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如：若求最

小值，則對(duì)應(yīng)的不等號(hào)為“2”；若求最大值，則對(duì)應(yīng)的不等號(hào)為“4”。放縮的

方向應(yīng)與不等號(hào)的方向一致。

(2)對(duì)進(jìn)行放縮消元后的式子，要明確是求其最大值還是最小值。放縮法求

最值的基礎(chǔ)是不等式的傳遞性，所以在求最值時(shí)要滿足其不等號(hào)的方向一致。

若將關(guān)于的表達(dá)式/(x,y)進(jìn)行放縮消去y,得到g(x)，例如/(x,y)2g(x),

則下一步需要求出g(x)的最小值(記為加)，即f(x,y)Ng(x)Nm,通過(guò)不等

式的傳遞性即可得到〃x,y)海。同理，若放縮后得到：”x,y)〈g(x),則需

要求出g(x)的最大值(記為M),即/(x,y)Wg(x)WM,然后通過(guò)不等式的傳

遞性得到〃o

(3)在放縮的過(guò)程中，要注意每次放縮時(shí)等號(hào)成立的條件能夠同時(shí)成立，從

而保證在不等式中等號(hào)能夠一直傳遞下去。

二、典型例題

例1：已知函數(shù)/(x)=lnx+d-ar有兩個(gè)極值點(diǎn)"%"，且；/，則

/(〃?)-/(〃)的取值范圍是.

解：2…=2.9+1

XX

為方程2/-ax+1=0的兩個(gè)根

mn=—=>/?=—m+n=巴=>a=2(m+=2m+—

22m2m

/(^)-/(^)=ln/n+m2-am—1nn—n2+an=In——\-m2-n2

n

=ln—4-/n2-n2-2(m4-z?)(m—n)=In--(m2-n2)

nn.7

代入〃二二-可得：/(m)-/(n)=In(2m2)-m24-^y

2m'74m~

設(shè)？=機(jī)2?/me—,1/.tG—,1

_2J|_4_

?：g(/)=ln2r-/+—/.g(t)=--1--(2’1)<0

')4tv7r4/4/

在；/單調(diào)遞減

,?，/€('1'g⑺eg⑴，g[￡|=ln2-|，|-|n2

r33

即Gln2--,-^--ln2

答案：ln2--,--ln2

-44_

例2：已知函數(shù)八月=絲心6，，其中且a>0

X

(1)若a=2,6=l,求函數(shù)〃x)的極值

(2)已知g(x)=a(x-l)e，-/(x),設(shè)g(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若存在x>l使得

g(x)+g'(x)=O成立，求■的取值范圍

解：(1)由已知可得：/3="產(chǎn)=(2+[/

令/(x)>0,即解不等式212+尤一1>0=>(2%一1)(%+1)>0

解得：x<T或

2

??1(九)的單調(diào)區(qū)間為：

（；，+8）

(TO)

X(-00,-1)H)

/,W+——十

//

.?J(X)的極大值為l)=g/(x)的極小值為=

(2)由已知可得：=，-(々+2卜

/.g(x)=axex-^a+———^卜

g(x)+g(x)=0nQ(x_])e"++axex---^-jev=0

即2ax--+-^--3?=0

xx

.\4z(2x—3)x2=Z?(2x—1)

/?_02(2工3)_2尤33工2

a2x-12x-1

設(shè)力3=2；二：

(6x2-6x)(2x-l)-2(2x3-3x2)2x(4f-6x+3)

-(2x-l)2—(2^-I)2

可得當(dāng)X￡(1,+OO)時(shí)，/?(力〉0恒成立

.,./z(x)在(1,-K?)單調(diào)遞增

/./z(x)>/z(l)=—1,BP—e(-l,+oo)

例3:已知函數(shù)/(x)=lnx-or+b,其中

(1)求〃x)的單調(diào)區(qū)間

(2)若Q=1,〃G[0,2],且存在實(shí)數(shù)3使得對(duì)任意實(shí)數(shù)％?1,司，恒有

〃工)2"-田111-1成立，求人-〃的最大值

解：(1)/(x)=--a=—

XX

當(dāng)a￡(-oo,0]時(shí),1—ax>0f(x)>0,/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增；

當(dāng)ae(0,+oo)時(shí)，/(X)在(0」)單調(diào)遞增，Q,+8)單調(diào)遞減。

(2)思路：恒成立的不等式為：Inx-x+bNAx-xlnx-1,即

k<f+Inx-1+,設(shè)g(x)=l!H+]nx_l+^^,可得：g(x)=一/(*)，從

l工X7min'‘IXX

而通過(guò)討論/(x)的符號(hào)確定g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而求出g(x)的最小值(含。的

表達(dá)式)，進(jìn)而將女-。放縮成單變量表達(dá)式，求出左-。的最大值。

解：恒成立的不等式為：之丘-xlnx-1

Inx?b+1Inx?.b+1

k<----+lfnx-l+------/.k<----+Inx-1+------

XXxxmin

b+l

設(shè)g(x)=+Inx-1+

xx

■/、1-Inx1b+\l-lnx+x-/?-l\nx-x+b

?二g(X)=---；-+---------=-----------7---------=---------；-----

x~Xx~x~X

即g(x)="

X

由⑴可得:f(x)在(l,e)單調(diào)遞減

：J(xLx=f(l)="—l/()血=/,)=21一6

①若/⑴=b-lW0n"e[0,l]

則/(x)</(l)<0.叫⑺對(duì)即g(x)在[l,e]上單調(diào)遞增

?,"w［g(x)L=g(l)=8???k-bWO

②若/(e)=Z?+l—eNO即Je—l〈Z?W2

則/(%)>/(e)>0g'(x)WO即g(x)在［l,e］上單調(diào)遞減

?.MWg(x)min=g(c)=T

,,b+2,(I,Y2右n"2/1"八2clc

「?k-b<-----h=——1〃+一,而——1/7+—<——1(e-l)+—=2+——e<0

eIeJeye)e\e)ee

/(l)>0

③當(dāng)b?l,e-l)時(shí),(㈤…)=°

g(x)在(1,%)單調(diào)遞減，在(玉,e)上單調(diào)遞增

二2Wg(x)min=g(尤。)=+lnx0+—=In/+—

X。XQ/

/(xo)=lnxo-xo+/?=O

:*k—0WInXQH----/7=2In—H

玉)x0

/z(x)=2\nx+--x/z(x)=———y-1=-f-<0

單調(diào)遞減:.k-b<h(l^=O

綜上所述：攵-8的最大值為0。

例4：已知函數(shù)/(x)=/(l)/T-/(O)x+gx2

(1)求〃x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式+公+3恒成立，求(a+1)Z?的最大值。

解：(1)/.(x)=/''⑴e*T-/⑼+x,代入x=1可得：

/'(1)=/'(1)-/(0)+1=>/(0)=1

/(%)=/(l)eA-'-x+—x2,令x=0可得：f(0)-=>f(1)=e

2e

f(x)=e'_x+-x-

??j'(x)=，+x-l,可知/(O)=O

,.?/(x)在R上單調(diào)遞增(-00,0)時(shí),f(x)<0

X￡(0,+oO)時(shí)，f(x)>0

(x)在(-oo,0)單調(diào)遞減,在(0,4-co)單調(diào)遞增

(2)恒成立的不等式為：ex-x+—x2>-x2+ax+ex-x-ax-h>^

22

設(shè)g(x)=e'-x-ax-b

.?遭⑺由對(duì)

g(x)=，-(〃+1),令g(x)>0,即解不等式e”>Q+1

若a+1〉0,可解得%>In(a+1)

/.g(x)在(-81n(a+1))單調(diào)遞減，在(ln(?+l),+oo)單調(diào)遞增

,?g(x)mm=g[ln(a+l)]=4+l-ln(a+l)-aln(a+l)-62。

二.力Wa+1-(a+l)ln(6f+1)

2

/.(a+l)Z?<(a+1)-(a+1)?In(Q+1)

下面求(a+1)?-(a+1)?In(a+1)的最大值

令，=(a+l)~,設(shè)力⑺=f=f>0)

”(f)=l-；(l+lnf)=g(lTn。

令h⑺>0,可用用得0<r<e

/i?)在(O,e)單調(diào)遞增，在(e,+oo)單調(diào)遞減

???力("皿=%)=1

當(dāng)a+l=O時(shí)，可得(。+1)匕=()</

當(dāng)a+l<0時(shí)，g(x)=e'-(a+\)x-b.，.g(x)為增函數(shù)

且x->ro時(shí)，-(a+l)xf-oo,g(x)—>-oo,與g(x)NO恒成立矛盾

二綜上所述：(a+l)Z?的最大值為］o

例5:已知函數(shù)/(x,r)=e2*-2t(/+x)+x2+2/+l,rwR,xwR,求的最小值

思路：在多元表達(dá)式中不易進(jìn)行變形消元，觀察到變量「存在二次函數(shù)的結(jié)構(gòu),

所以考慮利用“主元法”，將f視為自變量，x視為參數(shù)，通過(guò)配方，并利用完

全平方數(shù)的特征消去/,從而得到關(guān)于x的函數(shù)，然后求得最小值即可。

解：f(xj)=2/—2卜"+x'jt+---——+ge"+—xex+1

t_e>^e2j+^-x2+1

設(shè)g(x)=—elx+y%2-xe'+1

r.g'(x)=e2'+x-ex-xex=(e*-x)(e*-1)

設(shè)〃(x)=e'-x,可知=

/z(x)在(-oo,0)單調(diào)遞減，在(0,+co)單調(diào)遞增

.,./?(%)>/?(0)=1>0e*-x>0恒成立

.?.令g(x)>0,即解不等式，一l〉0=>x>0

二g(x)在(HO,0)單調(diào)遞減，在(0,+oo)單調(diào)遞增

3

.-.g(x)>g(0)=-

.?./(X/)N(X)N|

即〃中)的最小值為m

三、培優(yōu)練習(xí)

1.若對(duì)任意的x,yE(0,+00),不等式ex+y-4+ex~y~4+6>4x1na恒成立,

則正實(shí)數(shù)a的最大值是()

A.VeB.-eC.eD.2e

2

2.已知函數(shù)/(%)=e》一a%有兩個(gè)零點(diǎn)％i，%2，且%i<%2，則下列說(shuō)法

錯(cuò)誤的是()

A.a>e

B.xr+x2>2

C.xrx2>1

D./(%)有極小值點(diǎn)％0，且%I+%2〈2%O

3.已知函數(shù)/(%)=aln(x+1)+1%2—x,其中a為非零實(shí)數(shù).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若y=/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)％J小，且%i<%2，求證：—<J.

2

4.已知函數(shù)/(%)=x2—2x+2+alnx(aeR).

(1)若a=l,求函數(shù)/(%)在4(1,1)處的切線方程；

(2)若函數(shù)y=/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)與，外，且％1<冷，證明:

4

5.設(shè)％=m和％=7i是函數(shù)/(%)=31nx+|x2-(a+l)x的兩個(gè)極值點(diǎn),

其中m<n,a>0.

(1)若a=3時(shí)，求m,ri的值；

(2)求/'(m)+f(rr)的取值范圍.

6.已知/(x)=Inx—x+m(m為常數(shù)).

(1)求/(%)的極值；

(2)設(shè)ni>l,記/(%+m)=g(%),已知％i，%2為函數(shù)。(%)是兩個(gè)

零點(diǎn)，求證：

7.已知函數(shù)/(%)=/+a]n(%+1)有兩個(gè)極值點(diǎn)與，x2,且%

(1)求a的取值范圍，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：/(x2)>

8.已知函數(shù)/(%)=x2—2x+mlnx(mER),g(x)=(%—§e*.

(1)求函數(shù)f(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%i，%2(=1<%2)，求0(%1-￡2)的最小

值.

9.已知函數(shù)/(%)=In：—ax2+%(a>0).

(1)討論f(%)的單調(diào)性；

(2)若f(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)％1，上，證明：f(xi)+/(x2)>3-21n2.

10.設(shè)函數(shù)/(%)=/一一%GR,其中a,beR.

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)存在極值點(diǎn)％°,且f(%i)=/1(a),其中％i0%o，求證:

+2x0=0.

11.已知函數(shù)/(%)=(%-2)ex+a(x-I)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)與，打是/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：xr+x2<2.

12.已知函數(shù)/(%)=a\nx-x+2,其中aWO.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意的％總存在％21l，e],使得/(%1)+/3)=

4,求實(shí)數(shù)a的值.

13.已知f(x)-ln(x+m)—mx.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)與，*為函數(shù)/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：x1+x2<0.

14.已知函數(shù)/(%)=xe~x(xeR).

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于直線x=1

對(duì)稱，證明當(dāng)％>1時(shí)，/(%)>g(x)；

(3)如果％且f(%i)=/(%2)，證明％I+%2>2.

15.已知函數(shù)，(%)=eax,g(x)=—x2+bx+c(^a,b,ceR),且曲線

y=/(%)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(0,c)處具有公共切線.

設(shè)h(x)=f(x)-g(%).

(1)求c的值，及a,b的關(guān)系式；

(2)求函數(shù)以%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)。之0,若對(duì)于任意％1，x2e[0,1]，都有

|八(%1)-九(%2)14e-1,求a的取值范圍.

16.已知函數(shù)/(%)=ln(l+ax')—目(a>0).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求/(%)的極值；

(2)若/(')存在兩個(gè)極值點(diǎn)/，%2，

試比較/(%1)+f(%2)與/(0)的大??；

n(n—1)

(3)證明：e—z—>n!(n>2,neN).

17.已知函數(shù)f(x)=|x2—2alnx+(a—2)%,a6R.

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求函數(shù)/(%)的極值；

(2)當(dāng)aVO時(shí)，討論函數(shù)/(%)單調(diào)性；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的m,ne(O,+8),且mWri,有

地上3>a恒成立?若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明

m-n

理由.

18.已知函數(shù)f(x)=|x2+(1-a)x-a\nx,aER.

(1)若f(%)存在極值點(diǎn)為1,求a的值；

2

(2)若/(%)存在兩個(gè)不同零點(diǎn)％1，x2,求證：%1+%2>-

19.設(shè)函數(shù)f(%)=In%+?,mER.

(1)當(dāng)m=e時(shí)，求函數(shù)f(%)的極小值；

(2)討論函數(shù)g(x)=/'(%)-：零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)若對(duì)任意的b>a>0,叫3)v1恒成立,求實(shí)數(shù)6的取值范

b-a

圍.

20.已知函數(shù)/(%)=,，其導(dǎo)函數(shù)記為/'(%)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(%)的極大值；

(2)解方程/■(/(%))=%;

(3)若存在實(shí)數(shù)%1，%2(^1W%2)使得f(%l)=f(%2)，

求證：r(包產(chǎn))<o.

21.已知，函數(shù)/(%)=2%—：—alnx(a€R).

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(%)=/(%)-％+2aln%,且g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)％],x2,其中

%i<x2,若gOD-g(、2)>t恒成立，求t的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(%)=alnx+；/一a%(a為常數(shù)).

(1)試討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為％1，不，不等式

/(%1)+/(%2)<A(%1+%2)恒成立，求4的最小值.

23.已知函數(shù)/(%)=Inx—mx+m,meR.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.

(2)若/(%)<0在%€(0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(3)在(2)的條件下，任意的OVaVb,求證：/(b^na)<—-

b-aa(l+a)

24.已知/(x)=/—ax,g(%)=In%,h(x)=f(x)+g(%).

(1)若/i(%)的單調(diào)減區(qū)間是@,1),求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若/(%)之g(%)對(duì)于定義域內(nèi)的任意％恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍；

(3)設(shè)九(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%,x2,且八€(0弓),

若九(%1)—九(%2)>血恒成立，求m的最大值.

25.已知函數(shù)/(%)=In%—=~Y~X2+X'meR,

令F(x)=/(%)+g(%).

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的不等式F(x)4m%-1恒成立，求整數(shù)m的最小值;

(3)若m=—1,且正實(shí)數(shù)不滿足F(%i)=-尸(%2)，

求證：%1+x2>V3—1.

26.已知函數(shù)/(%)=(x2—a)e1-x,g(%)=/(%)+ae1-x—a(%—1).

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，求g(%)在G，2)上的最大值；

(3)當(dāng)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%1，%2時(shí)，總有

42。'(%1)，求實(shí)數(shù)2的值(g'(%)為g(%)的導(dǎo)函數(shù))?

27.已知函數(shù)/(%)=e*—%+a,g(x)=e-x+x+a2,aER.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在%€[0,2],使得/(%)—g(%)V0成立，求a的取值范圍；

(3)設(shè)%1，%2(%1。%2)是函數(shù)/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：

28.已知函數(shù)/(%)=￡+/一%(其中自然對(duì)數(shù)底數(shù)e=2.71828…).

(1)求/(%)在(1,/(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)g(%)=ln[/(x)--+%]一匕的兩個(gè)零點(diǎn)為％],打，

證明：g'(%i)+g'(%2)>g'(審)

29.已知函數(shù)/(%)=%—?—21n%,aER.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)打，%2，且%i<%2，求a的取值范圍;

(3)在(1)的條件下，證明：/(x2)<x2-l.

30.已知函數(shù)/(%)=\x-a\—^Inx,aeR.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)％i，x2,<x2),

2

求證：1<<a<x2<a.

31.設(shè)函數(shù)/(%)=xlnx.

(1)求/(%)的極值；

(2)設(shè)g(x)=/(%+1),若對(duì)任意的％之0,都有g(shù)(x)之成立,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)若Ovavb,證明：0V/(a)+/(b)—2/(手)v(b—a)ln2.

32.設(shè)函數(shù)/(%)=~Y~X2+ax-lnx(aeR).

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)/(%)的極值；

(2)當(dāng)a>l,討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(3)對(duì)任意％1，xG(0,+<?),且％1。久2，有‘出)-“")v2+a恒成

2%2一%1

立，求a的取值范圍.

33.已知函數(shù)/(%)=x2—alnx.

(1)若/(%)在［3,5］上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)記g(%)=/(%)+(2+a)ln%—2(b—1)%,并設(shè)%「％2(/<%2)

是函數(shù)g(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若b之：，求g(%i)-g(%2)的最小值.

34.已知函數(shù)/(%)=Inx,g(x)=ex.

(1)求函數(shù)y=/(%)-％的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：函數(shù)y=/(%)和y=g(x)在公共定義域內(nèi)，

g(%)-/(%)>2；

(3)若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)%1，%2且％1工％2，滿足

e2

/(%2)=CIX2.求證：%1%2>?

35.已知函數(shù)/(%)=(%2—a)ex,aGR.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)fQ)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在區(qū)間(1,2)上存在不相等的實(shí)數(shù)m,n,使/'(m)=/(切成立,

求a的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)％1，g，

-2

求證：/(x1)/(x2)<4e.

36.已知函數(shù)/(%)=a%，一1%2,%w(0,+8),g(%)—

(1)若a>0,求證：

(i)/(%)在/'(%)的單調(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；

(ii)g(%)在(0,+8)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)若a>l,記g(?)的兩個(gè)零點(diǎn)為％i，%2,

求證：4Vxi+冷Va+4.

37.設(shè)k€R,函數(shù)/(%)=In%—kx.

(1)若k=2,求曲線y=/(%)在P(l,—2)處的切線方程；

(2)若/(%)無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)若/(%)有兩個(gè)相異零點(diǎn)%1，%2?求證：In/+ln%2>2.

38.已知函數(shù)3(%)=(%-l)ex+ax2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)%1，%2是/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：+%2<0?

39.已知函數(shù)/(%)=(x-2)ez+ax(aeR).

(1)試確定函數(shù)f(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)設(shè)%i，%2是函數(shù)f(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)％I+%242時(shí)，求a的取

值范圍.

40.設(shè)函數(shù)/(%)=(jnx+n)lnx.若曲線y=/(%)在點(diǎn)P(e,/(e))處的切線

方程為y=2%-e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若Q,56(0,+8),試比較空儂與/(歲)的大小，并予以證

明.

41.已知函數(shù)/(%)=In%.

(1)證明：當(dāng)%>1時(shí)，％+1—學(xué)U>。；

/(X)

(2)若函數(shù)g(x)=f(%)+%-a/有兩個(gè)零點(diǎn)%],%2

(%iV%2，a>0),證明：g'；久2)V1—a.

42.設(shè)函數(shù)/(%)=In%+三在(0,1)內(nèi)有極值.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若％1€(0,1),%2€(l,+oo).

求證：/(%2)-/(^)>e+2-|.(注：e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

43.已知函數(shù)/(%)=(%2—a)ex,aER.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在區(qū)間(1,2)上存在不相等的實(shí)數(shù)m,九，使/(m)=/5)成立,

求a的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)％1，血，

求證：<4e-2.

44.設(shè)函數(shù)f(%)=%2+a]n(l+%)有兩個(gè)極值點(diǎn)％〉x?,且％]V%2?

(1)求a的取值范圍，并討論/(%)的單調(diào)性；

(2)求f(%2)的取值范圍.

45.已知函數(shù)/(%)=%—￡—21n%,aER.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)冷，且%i<%2，求a的取值范圍;

(3)在(2)的條件下，證明：/(%2)<x2-l.

46.已知/(%)=1ax2+(b-l)x+lnx(a>0,beR).

(1)當(dāng)a=2,b=—2時(shí)，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)與和％2,0<<2<%2<4,

求證：b<2a.

47.已知函數(shù)/(%)=a/—b%+In%,a,bER.

(1)當(dāng)a=b=l時(shí)，求曲線y=/(%)在％=1處的切線方程；

(2)當(dāng)b=2a+l時(shí)，討論函數(shù)7'(%)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a=l,b>3時(shí)，記函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)/'(%)的兩個(gè)零點(diǎn)是打

Q

和-2al<42)，求證：f(%i)-/(%2)>二4一]n2.

48.已知函數(shù)/(%)=ax2+：-21nx(%>0).

(1)若/(%)在［1,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)丫二或%)對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值

打,第2，總有不等式3。(乙)+。(%2)］之9(衛(wèi)產(chǎn))成立，則稱函數(shù)

y=g(x)為區(qū)間D上的"凸函數(shù)".試證當(dāng)a之00寸，/(%)為"凸函

數(shù)".

49.已知函數(shù)/(%)=e",%€R.

(1)求/(')的反函數(shù)的圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程；

(2)證明：曲線y=/(%)與曲線y=+%+1有唯一公共點(diǎn);

(3)設(shè)avb,比較/(手)與伊誓的大小，并說(shuō)明理由.

50.記函數(shù)/(%)=ex的圖象為C,函數(shù)g(x)=kx—k的圖象記為I.

(1)若直線Z是曲線C的一條切線，求實(shí)數(shù)k的值.

(2)當(dāng)％€(1,3)時(shí)，圖象C恒在/上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

(3)若圖象C與/有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4、B,其橫坐標(biāo)分別是％1、血，

且％1<%2，求證：/工2<%1+%2?

51.已知函數(shù)/(%)=^—x+a\nx.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%1，%2,證明：地上3<。一2.

%1一%2

52.已知函數(shù)f(x)=x\nx——x+a(aER)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同

的極值點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為％1，冷，且％已知入>0，若不等式

?%，>ei+'恒成立，求2的取值范圍.

53.已知函數(shù)/(%)=ax+xln%(aeR).

(1)若函數(shù)/(%)在區(qū)間［e,+8)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(%)的圖象在點(diǎn)％=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))處的切線斜

率為3.且k€Z時(shí)，不等式k(%—1)</(%)在％6(1,+8)上恒成

立，求k的最大值；

(3)當(dāng)24時(shí)，證明：(nmn/>(nmM)71.

54.已知函數(shù)/(%)=Inx—%+1.

(1)求曲線y=/(%)在％0=1處切線的斜率；

(2)如果關(guān)于x的不等式/(%)<^x2—(2—a)x—Ina+1恒成立，求

a的取值范圍；

(3)如果正數(shù)％1，小滿足/(%1)+/(%2)++%2+I)?-％1%2=3,

求證：/+%2>

55.己知/(x)=ex—alnx—a,其中常數(shù)a>0.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)/(%)的極值；

(2)若函數(shù)y=/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)％1，%2(。<%1<%2)，

求證：-<<1<x2<a；

(3)求證：e2x~2—ex-1lnx—%>0.

56.已知函數(shù)/(%)=(%—2)ez+a(x-l)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)％1，久2是/(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：%1+%2<2.

57.設(shè)函數(shù)/(%)=In%+?，m€R.

(1)當(dāng)zn=e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求/(%)的極小值；

(2)討論函數(shù)g(%)-g零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)若對(duì)任意b>a>0,/⑹7(a)v1恒成立,求機(jī)的取值范圍.

b-a

58.已知函數(shù)g(x)=.；：：；；；,/(x)=Inx+g(x).

(1)若函數(shù)g(%)過(guò)點(diǎn)(—2,-3),求函數(shù)/(%)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;

(2)若函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

-IFr

(3)設(shè)％求證：exi+x2<—.

x2

59.已知函數(shù)/(%)=a—1—lnx(aeR).

(1)若a=2,求函數(shù)/(%)在(l,e2)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(e為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù))；

(2)若/(%)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值集合；

(3)若/(%)有兩零點(diǎn)%1，%2(%1<%2)，

求證：2V%+%2V3ea-1—1.

60.已知函數(shù)，(%)=Inx+mx2(mER).

(1)求函數(shù)f(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若血=0,4(a,f(a)),是函數(shù)/(%)圖象上不同的兩點(diǎn),

且a>b>0,/''(%)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，

求證：r股)v'9二⑵vr(b).

61.已知函數(shù)/(%)=竽的圖象為曲線C,函數(shù)g(%)=ax+b的圖象為直

線I.

(1)當(dāng)a=2,b=-3時(shí)，求F(x)=/(%)-g(x)的最大值；

(2)設(shè)直線/與曲線C的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為與，%2,且%1。％2，

求證：(%1+%2)0(%1+%2)>2.

62.已知函數(shù)/(%)=Inx—+x,aER.

(1)若/(1)=0,求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若關(guān)于x的不等式/(%)<a%-1恒成立，求整數(shù)a的最小值;

(3)若a=-2,正實(shí)數(shù)%1，%2滿足/(%i)+/(%2)+%i%2=。，

證明：x1+x2>與口.

63.已知函數(shù)f(x)=In(%+a)-x有且只有一個(gè)零點(diǎn)，其中a>0.

(1)求a的值；

(2)若對(duì)任意的％W(0,+8),有/(%)之Ze/成立，求實(shí)數(shù)k的最大值;

(3)設(shè)九(%)=/(%)+%,對(duì)任意%1，%2€(―1，+8)(%1H%2)，

證明：不等式[一：；>九v％2+/+為2+1恒成立.

/i(x1)-h(x2)

64.設(shè)函數(shù)/(%)=x3+c,g(x)=8x2-20x,方程/(%)=g(x)有三個(gè)不

同實(shí)根%1，%2，%3(%1V%2V%3)?

(1)求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；

(2)求c的取值范圍；

(3)求證：>4.

65.已知函數(shù)/(%)=(Inx—k—l)x(/ceR).

(1)當(dāng)K>1時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間和極值.

(2)若對(duì)于任意％€[e,e2],都有/(%)V41nx成立，求上的取值范圍.

(3)若%1。%2，且/(%i)=f(%2)，證明：/型Ve2k.

66.已知函數(shù)/(%)=In—a%,其中a￡R且aHO.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若不等式/(%)Va%恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若方程/(%)=0存在兩個(gè)異號(hào)實(shí)根％1，小，求證：%i+%2>0?

67.已知函數(shù)/(%)=皆.

(1)若關(guān)于x的不等式f(x)<zn恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值;

(2)對(duì)任意的％1，x2G(0,2),已知存在€(%i，%2)，

使得/'(&)='3)一"巧),求證：％。<后花.

%2一%1

68.6知函數(shù)/(%)=石垣眇.

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明:當(dāng)f(%i)=W)2)時(shí)，

69.已知函數(shù)f(%)=[a/+in%,g(x)=—bx,其中a,b€R.

設(shè)h(x)=/(%)-g(x).

(1)若/(%)在％=子處取得極值，且r(l)=g(—l)—2,

求函數(shù)九(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a=0時(shí)，函數(shù)%(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)%1，

①求b的取值范圍；

②求證：警>1.

e2

70.已知函數(shù)/'(%)=Inx—：—ax,aER.

(參考數(shù)據(jù)，e?2.7,取ln2《0.7,V2?1.4,)

(1)若函數(shù)/(%)在［1,+8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若/(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)與，外，試比較％i%2與2e2的大小.

71.已知函數(shù)/'(%)=11一￡一2),其定義域?yàn)?0,+oo)

(其中常數(shù)e=2.71828…，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)求函數(shù)/(%)的遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)為定義域上的增函數(shù)，且/(匕)+/(%2)=—4e,

證明：與+g之2.

72.設(shè)函數(shù)f(%)=a/+b(ln%-g(x}=-|^2+(1-b)x.已知曲線

y=/(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與直線％-y+1=0垂直.

(1)求a的值；

(2)求函數(shù)〃%)的極值點(diǎn);

(3)若對(duì)于任意be(1,+8),總存在％],%2w(1,。),使得

/(%1)-f(%2)-1>g(%i)-g(%2)+m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

73.已知函數(shù)/(%)=x+alnx在％=1處的切線1與直線x+2y=0垂直,

函數(shù)g(%)=/(%)+~x2-bx.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)g(%)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

(3)設(shè)/，%2(%1<%2)是函數(shù)。(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若b之：，

求g(》D-g(%2)的最小值.

74.設(shè)/(%)=%-ae“(a€R),%eR.已知函數(shù)y=/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)％i,

%2且%1V%2.

(1)求a的取值范圍；

(2)證明：包隨著a的減小而增大；

(3)證明：/+%2隨著a的減小而增大.

75.已知函數(shù)/(%)=/+$+a]nx(%>0),/(%)的導(dǎo)函數(shù)是/'(%).對(duì)任

意兩個(gè)不相等的正數(shù)%1、%2,證明：

(1)當(dāng)aMO時(shí)，八，1)7出)

(2)當(dāng)a24時(shí),1/'(%!)-f(%2)l>ki-%2|.

76.已知常數(shù)a>0,函數(shù)/(%)=ln(l+ax')—鳥(niǎo).

(1)討論/(%)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性；

(2)若/(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%],%2，且/(%i)+f(%2)>。，求a的取

值范圍.

77.設(shè)函數(shù)/(%)=—+Inx在［1,+8)上是增函數(shù).

(1)求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)b>O,a>1,求證：—<In—<—.

a+bbb

78.已知函數(shù)/(%)=V%—In%.

⑴若f(%)在%=H%2)處導(dǎo)數(shù)相等,

證明：/(%1)+/(%2)>8-81n2；

(2)若a<3—41n2,證明：對(duì)于任意k>0,直線y=k%+a與曲線

y=/(%)有唯一公共點(diǎn).

參考答案，僅供參考。

1.A【解析】設(shè)/(%)=eX+y-4+e“y-4+6,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式

4x1na<f(%)恒成立.

又因?yàn)閒(x)=eA4(ey+e-y)+626+21-4(當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)取等號(hào))，

QInX-4

所以4xlna<6+2e久-3即有21na<-----在％>0時(shí)恒成立，

X

記。(%)=『，則。口)=44(：”一3,

令g'(%)=0,即(％—l)ex-4=3,

記h(x)=(%—l)e*—4,則/i'(x)=xex~4,

因?yàn)椋?gt;0,ex-4>0,所以九'>)>0,

所以h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?i(4)=3,即有(x-l)ex-4=3的根為4,

所以當(dāng)%>4時(shí)g(%)遞增，當(dāng)0V%V4時(shí)g(%)遞減，

所以當(dāng)％=4時(shí)，g(x)取得最小值g(4)=1,

所以21na<l,Ina<

所以。〈?！捶?當(dāng)％=2,y=0時(shí)，a取得最大值泥).

2.C【解析】因?yàn)?'(%)=e》—a,則當(dāng)a<0時(shí)，恒成立，

所以/(%)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)/(%)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(%)>0,得％>Ina,有/'(%)V0,得％Vina,

所以/(%)在(-oo,lna)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(、)=e*-ax有兩個(gè)零點(diǎn)％1，%2?且%i<%2，

所以/(Ina)vO,即e】na—alnaV0,解得a>e,

所以A正確.

X1

因?yàn)閑=axx,e*2=ax2>

所以e%2Tl=2

設(shè)[=建，則t>Le(i)x】=3得％]=空，

%1t-1

因此/+&-2=(t+I)/-2=詈(int-2x統(tǒng))=詈(\nt—2+3).

令。⑴=Int—2+-,貝Ug'(t)=-—4=W2>0,

t+i'v'Jt(t-l)2t(t+l)2

所以gQ)為增函數(shù)，則g⑴>g(l)=0,

因此勺+牝-2>0,%]+牝>2,

所以B正確.

X1x2-l=txl-l=(代/-1)(4署+1)=9(1。一停)(限1

令Mt)=lnt—黃，則"《)=?一^=—

所以九⑴為減函數(shù)，則h(t)</i(l)=0,

因此—1<0,/工2V1，

所以C不正確.

又在/(%)上(-oo,Ina)單調(diào)遞減,在(Ina,+oo)上單調(diào)遞增，

所以/(%)有極小值點(diǎn)x0=Ina,

X1

由e=axx,e久2=ax2得