《信號與系統(tǒng)》課件ch2

1第二章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析2.1常用信號及信號的基本運算

一、常用信號二、信號的基本運算2.2階躍信號和沖激信號

一、階躍信號二、沖激信號2.3零輸入響應(yīng)2.4階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)

一、階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)

二、沖激響應(yīng)的求解2.5卷積積分

一、信號時域分解與卷積二、卷積的圖解三、卷積積分的性質(zhì)

(一)卷積代數(shù)

(二)奇異函數(shù)的卷積特性

(三)卷積的微積分性質(zhì)

(四)卷積的時移特性2.6連續(xù)系統(tǒng)的時域分析點擊目錄，進入相關(guān)章節(jié)22.1常用信號及信號的基本運算

一、常用信號1、實指數(shù)信號f(t)=Keat,a為實數(shù)2、復(fù)指數(shù)信號f(t)=Kest,其中s=σ+jω3、正弦（余弦）信號f(t)=Asin(ωt+φ)4、抽樣函數(shù)2.1常用信號及信號的基本運算32.1常用信號及信號的基本運算（一）、信號的＋、－、×運算

兩信號f1(·)和f2

(·)的相+、－、×指同一時刻兩信號之值對應(yīng)相加、減、乘。如二、信號的時域基本運算42.1常用信號及信號的基本運算（二）信號的時間變換運算

1.翻轉(zhuǎn)

將f

(t)→f

(–t)，f

(n)→f

(–n)稱為對信號f(·)的翻轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標為軸翻轉(zhuǎn)180o。如f(t)to11翻轉(zhuǎn)t

→-tf(-t)-11to52.1常用信號及信號的基本運算

2.平移

將f

(t)→f

(t–t0)，f

(n)→f

(n–n0)稱為對信號f(·)的平移或移位。若t0(或n0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如右移t→t–1左移t→t+162.1常用信號及信號的基本運算平移與翻轉(zhuǎn)相結(jié)合法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再翻轉(zhuǎn)f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先翻轉(zhuǎn)f

(t)→f

(–t)畫出f

(2–t)。②再平移f

(–t)→f

(–t+2)=f[–(t–2)]左移右移注意：是對t的變換！72.1常用信號及信號的基本運算

3.尺度變換（橫坐標展縮）

將f

(t)→f

(at)，稱為對信號f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標壓縮；若0<a<1，則展開。如t→2t

壓縮t→0.5t

展開對于離散信號，由于f

(an)僅在為an

為整數(shù)時才有意義，進行尺度變換時可能會使部分信號丟失。82.1常用信號及信號的基本運算獲得它的方法除了將變量t換為at+b以外，一般按照以下步驟進行：信號的時間變換運算的一般形式是：f(t)平移b>0,左移b<0,右移f(t+b)展、縮:展:縮翻轉(zhuǎn)若a<0f(at+b)92.2階躍信號和沖激信號2.2階躍信號和沖激信號

階躍信號和沖激信號不同于普通函數(shù)，稱為奇異信號。研究奇異信號的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)（或分配函數(shù)）的理論。這里將直觀地引出階躍信號和沖激信號。一、階躍信號1、定義和符號單位階躍信號定義為to1U(t)簡稱階躍信號，右邊為其波形。也常用u(t)與ε(t)表示102.2階躍信號和沖激信號2、階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號f(t)=2U(t)-3U(t-1)+U(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號的作用區(qū)間（3）積分(a)(b)f(t)f(t)U(t)oottot(c)f(t)[U(t-t1)-U(t-t2)]t1t2112.2階躍信號和沖激信號二、沖激信號

單位沖激信號是個奇異函數(shù)，它是對強度極大，作用時間極短的一種物理量的理想化模型。2、定義2（直觀定義）即δ(t)為高度無窮大、寬度無窮小、面積為1的對稱窄脈沖。

1、定義1（由狄拉克最早提出）：兩種定義等價！topn(t)n1n1-2n122.2階躍信號和沖激信號三、沖激信號的性質(zhì)

1.與普通函數(shù)f(t)的乘積——取樣性質(zhì)若f(t)在t=0、t=t0處存在，則

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–t0)=f(t0)δ(t–t0)例2.2.1(1)(2)(3)(4)0132.2階躍信號和沖激信號

2.與U(t)的關(guān)系可見，引入沖激函數(shù)之后，間斷點的導(dǎo)數(shù)也存在。如求導(dǎo)f(t)=2U(t+1)-2U(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)(1)(2)142.2階躍信號和沖激信號

3.δ(t)的尺度變換證明略推論:(1)(2)當a=–1時所以δ(t)為偶函數(shù)152.2階躍信號和沖激信號

4.沖激信號的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱為沖激偶）

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)(1)(2)δ’(–

t)=–

δ’(t)為奇函數(shù)(3)例2.2.2：162.3零輸入響應(yīng)一、概念----何為零輸入響應(yīng)

系統(tǒng)在外加激勵為零，由初始狀態(tài)（儲能）產(chǎn)生的響應(yīng)。需注意的是：系統(tǒng)的初始狀態(tài)指的是激勵出現(xiàn)之前的一組響應(yīng)及其導(dǎo)數(shù)值，通常為0-時刻。

二、零輸入響應(yīng)如何求解設(shè)因果系統(tǒng)的微分方程為：對零輸入,f(t)=0,可知零輸入響應(yīng)與齊次解具有相同形式,取決于以下的特征方程的根（特征根）的情形：2.3零輸入響應(yīng)172.3零輸入響應(yīng)1、所有特征根都是單根，此時yx(t)為：----特征方程t≥0

2、特征根中含有重根，不妨設(shè)λ1

為r重根，此時，yx(t)為：t≥0

此方程的根稱為特征根，設(shè)為λ1,λ2,…,λn系數(shù)ck的確定：由n個初始條件來確定182.3零輸入響應(yīng)小結(jié)：特征方程→特征根→yx(t)的形式→代入初始值求系數(shù)。例2.3.1：因果系統(tǒng)微分方程為：初始狀態(tài)為：求零輸入響應(yīng)。解:(1)特征方程：特征根：(2)由特征根可知：,t≥0代入初始條件，有,故零輸入響應(yīng)為或?qū)憺?92.4沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.4沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)

由單位沖激信號δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。二、沖激響應(yīng)的時域求解——沖激平衡法設(shè)因果系統(tǒng)的微分方程為：1、解的形式首先沖激響應(yīng)h(t)

應(yīng)為因果信號且滿足以下方程：202.4沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)其次上述方程當t>0時退化為齊次方程，因此h(t)與其次解形式相同；最后，在t=0處，若m≥n，那么h(t)應(yīng)含有沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)方能使兩邊奇異函數(shù)平衡。故h(t)的最終形式為：(特征根為單根的情形)上式中，如果n＞m，則第二項為零。特征根有重根時，第一項做相應(yīng)修改即可。2、系數(shù)ck和Ak的確定：212.4沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)將h(t)的表達式代入以下方程，比較兩邊沖激及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，即可確定ck和Ak-----沖激平衡法。

例2.4.1

某因果系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。

解：(1)特征方程和特征根：特征根為單根，且左邊最高求導(dǎo)次數(shù)>右邊最高求導(dǎo)次數(shù)222.4沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)(2)系數(shù)計算：將h(t)代入方程：得所以三、階躍響應(yīng)

由單位階躍信號U(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，記為g(t)。g(t)與h(t)的關(guān)系：232.5卷積積分2.5卷積積分一、信號的時域分解與卷積積分1.信號的時域分解從圖中可以看出，折線信號可表示為：其中：所以：242.5卷積積分2.任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)f(t)根據(jù)h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yf(t)--卷積積分故：252.5卷積積分3.卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個函數(shù)f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積；記為

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：卷積結(jié)果是t的函數(shù)！由此得出結(jié)論：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于輸入信號與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，即：262.5卷積積分二、卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(τ)反轉(zhuǎn)→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對乘積項積分。注意：t為參變量。下面舉例說明。272.5卷積積分例2.5.1求yf(t)=h(t)*f(t)

。[解]

采用圖形卷積。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0時,f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0②0≤t≤1

時,f(t-τ)向右移③1≤t≤2時⑤3≤t時f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函數(shù)形式復(fù)雜換元為h(τ)。

f(t)換元f(τ)④2≤t≤3

時0282.5卷積積分圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。確定積分的上下限是關(guān)鍵。例2.5.2：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）292.5卷積積分二、卷積的性質(zhì)

卷積積分是一種數(shù)學運算，它有許多重要的性質(zhì)（或運算規(guī)則），靈活地運用它們能簡化卷積運算。下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。(一）卷積的代數(shù)律滿足乘法的三律：交換律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.

分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.

結(jié)合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]302.5卷積積分與分配律和結(jié)合律有關(guān)的兩個推論：推論1：兩系統(tǒng)并聯(lián)，總的沖激響應(yīng)等于兩系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。即：推論2：兩系統(tǒng)級聯(lián)，總的沖激響應(yīng)等于兩系統(tǒng)沖激響應(yīng)之卷積。即：h1(t)h2(t)+h(t)=h1(t)+h2(t)h2(t)h1(t)h(t)=h1(t)*h2(t)312.5卷積積分（二）奇異函數(shù)的卷積特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)證：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*U(t)U(t)*U(t)=tU(t)322.5卷積積分（三）卷積的微積分性質(zhì)1.證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證：上式=U(t)*[f1(t)*f2(t)]=[U(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)332.5卷積積分例2.5.3：f1(t)=1，f2(t)=e–tU(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得注意：若套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0顯然是錯誤的。例2.5.4：f1(t)如圖,f2(t)=e–tU(t)，求f1(t)*f2(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ

(t)–δ

(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)U(t)–[1-e–(t-2)]U(t-2)f2(t)*f1(t)=342.5卷積積分解：f1(t)=U

(t)–U(t–2)f1(t)*f2(t)=U

(t)*f2(t)–U

(t–2)*f2(t)

U(t)*f2(t)=f2(-1)(t)=（1-e-t)U(t)（四）卷積的時移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，則f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例：f1(t)如圖,f2(t)=e–tU(t)，求f1(t)*f2(t)利用時移特性，有U

(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)U(t)–[1-e–(t-2)]U(t-2)352.5卷積積分例2.5.5：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2U

(t)–2U

(t–1)f2(t)=U

(t+1)–U

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

U(t)*U

(t+1)–2

U

(t)*U

(t–1)–2U

(t–1)*U

(t+1)+2U

(t–1)*U

(t–1)由于U

(t)*U

(t)=tU

(t)據(jù)時移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)U

(t+1)-2(t–1)U

(t–1)–2tU

(t)+2(t–2)U

(t–2)362.5卷積積分（五）卷積的范圍的確定設(shè)f1(t)的定義域為[t1,t2],f2(t)的定義域為[t3,t4]，則f1(t)*f2(t)的范圍為[t1+t3,t2+t4]。

至此，求解卷積的時域方法可歸納為：（1）