2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 10-2　事件的相互獨立性 學(xué)案

10.2事件的相互獨立性新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機事件相互獨立的含義數(shù)學(xué)抽象2.結(jié)合古典概型，利用獨立性計算積事件的概率數(shù)學(xué)運算3張獎券只有1張能中獎，3名同學(xué)有放回地抽取.事件A為“第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券”，事件B為“第三名同學(xué)抽到中獎獎券”.問題（1）上述問題中事件A的發(fā)生是否會影響B(tài)發(fā)生的概率？（2）互斥事件與相互獨立事件有什么區(qū)別？

知識點事件的相互獨立性1.相互獨立事件的定義對任意兩個事件A與B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.2.相互獨立事件的性質(zhì)當(dāng)事件A，B相互獨立時，事件A與事件B相互獨立，事件A與事件B相互獨立，事件A與事件B相互獨立.提醒兩個事件獨立與互斥的區(qū)別：兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響.1.已知A，B是相互獨立事件，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，則P（AB）＝（）A.0.9B.0.12C.0.18D.0.7解析：C因為P（B）＝0.4，所以P（B）＝1－P（B）＝0.6，又A，B是相互獨立事件，且P（A）＝0.3，所以P（AB）＝P（A）P（B）＝0.3×0.6＝0.18.故選C.2.甲、乙兩人參加“社會主義核心價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為23和34，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為（A.34 B.23 C.57解析：D根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎即甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是23×1－34＋34×13.甲、乙兩水文站同時作水文預(yù)報，如果甲站、乙站各自預(yù)報的準(zhǔn)確率為0.8和0.7.那么，在一次預(yù)報中，甲、乙兩站預(yù)報都準(zhǔn)確的概率為.

解析：由題意知，兩水文站水文預(yù)報相互獨立，故在一次預(yù)報中甲、乙兩站預(yù)報都準(zhǔn)確的概率為0.8×0.7＝0.56.答案：0.56題型一相互獨立事件的判斷【例1】有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立解析事件甲發(fā)生的概率P（甲）＝16，事件乙發(fā)生的概率P（乙）＝16，事件丙發(fā)生的概率P（丙）＝536，事件丁發(fā)生的概率P（丁）＝16.事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率為0，P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A錯誤；事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率為16×6＝136，P（甲?。絇（甲）P（?。蔅正確；事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為16×6＝136，P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故C答案B通性通法兩個事件是否相互獨立的判斷（1）直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響；（2）定義法：如果事件A，B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨立事件.甲、乙兩名射手同時向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A為“甲擊中目標(biāo)”，事件B為“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B（）A.相互獨立但不互斥 B.互斥但不相互獨立C.相互獨立且互斥 D.既不相互獨立也不互斥解析：A同時對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨立；對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標(biāo)，即事件A與B可能同時發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件.故選A.題型二相互獨立事件概率的計算【例2】甲、乙兩人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為13和14，（1）兩人都譯出密碼的概率；（2）求至少1人譯出密碼的概率；（3）恰有1人譯出密碼的概率.解記“甲獨立地譯出密碼”為事件A，“乙獨立地譯出密碼”為事件B，A，B為相互獨立事件，且P（A）＝13，P（B）＝1（1）兩個人都譯出密碼的概率為P（AB）＝P（A）·P（B）＝13×14＝（2）“至少有1人譯出密碼”的對立事件為“兩人都未譯出密碼”，所以至少有1人譯出密碼的概率為1－P（AB）＝1－P（A）P（B）＝1－23×34（3）恰有1人譯出密碼可以分為兩類，即甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個事件為互斥事件，所以恰有1人譯出密碼的概率為P（AB∪AB）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝13×1－14＋1－（變設(shè)問）若本例條件不變，求至多1人譯出密碼的概率.解：“至多1人譯出密碼”的對立事件為“兩人都譯出密碼”，所以至多1人譯出密碼的概率為1－P（AB）＝1－P（A）P（B）＝1－13×14＝通性通法求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟（1）首先確定各事件之間是相互獨立的；（2）確定這些事件可以同時發(fā)生；（3）求出每個事件的概率，再求積.1.甲盒中有200個螺桿，其中有160個A型的，乙盒中有240個螺母，其中有180個A型的.現(xiàn)從甲、乙兩盒中各任取一個，則恰好可配成A型螺栓的概率為（）A.120 B.1516C.35解析：C設(shè)“從甲盒中任取一螺桿為A型螺桿”為事件M，“從乙盒中任取一螺母為A型螺母”為事件N，則事件M與N相互獨立，P（M）＝160200＝45，P（N）＝180240＝34，則從甲、乙兩盒中各任取一個，恰好可配成A型螺栓的概率為P（MN）＝P（M）P（N）＝452.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個問題，則停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題是否回答正確相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于.

解析：若該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪，則必有第二個問題回答錯誤，第三、四個回答正確，第一個問題可對可錯，因為每個問題回答是否正確相互獨立，故所求概率為1×0.2×0.8×0.8＝0.128.答案：0.128題型三概率的綜合問題【例3】有甲、乙、丙三支足球隊互相進(jìn)行比賽，每場都要分出勝負(fù)，已知甲隊勝乙隊的概率是0.4，甲隊勝丙隊的概率是0.3，乙隊勝丙隊的概率是0.5，現(xiàn)規(guī)定比賽順序：第一場甲隊對乙隊，第二場是第一場中的勝者對丙隊，第三場是第二場中的勝者對第一場中的敗者，以后每一場都是上一場中的勝者對上一場的上一場中的敗者，若某隊連勝四場，則比賽結(jié)束，求：（1）第四場結(jié)束比賽的概率；（2）第五場結(jié)束比賽的概率.解（1）因為甲連勝四場的概率P1＝0.4×0.3×0.4×0.3＝0.0144，乙連勝四場的概率P2＝0.6×0.5×0.6×0.5＝0.09，所以第四場結(jié)束比賽的概率P＝P1＋P2＝0.0144＋0.09＝0.1044.（2）第五場結(jié)束比賽即某隊從第二場起連勝四場，只有丙隊有可能.甲勝第一場，丙連勝四場的概率P3＝0.4×0.7×0.5×0.7×0.5＝0.049，乙勝第一場，丙連勝四場的概率P4＝0.6×0.5×0.7×0.5×0.7＝0.0735，所以第五場結(jié)束比賽的概率P5＝P3＋P4＝0.1225.通性通法求較復(fù)雜事件的概率的方法（1）列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎?；?）厘清事件之間的關(guān)系（兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立），列出關(guān)系式；（3）根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計算；（4）當(dāng)直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率.1.如圖，已知電路中4個開關(guān)閉合的概率都是12，且每個開關(guān)是否閉合是相互獨立的，則燈亮的概率為（A.316 B.C.1316 D.解析：C記“A開關(guān)閉合”“B開關(guān)閉合”“C開關(guān)閉合”“D開關(guān)閉合”分別為事件A，B，C，D，則題圖中含開關(guān)的三條線路同時斷開的概率為P（C）P（D）[1－P（AB）]＝12×12×（1－12×12）＝316，所以燈亮的概率為1－32.甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，這些小球除顏色外完全相同.從每袋中任取1個球，則取得同色球的概率為.

解析：設(shè)從甲袋中任取1個球，事件A為“取得白球”，則事件A為“取得紅球”；從乙袋中任取1個球，事件B為“取得白球”，則事件B為“取得紅球”.∵事件A與B相互獨立，∴事件A與B相互獨立，∴從每袋中任取1個球，取得同色球的概率為P（AB∪AB）＝P（AB）＋P（AB）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝23×12＋13答案：11.若P（AB）＝16，P（A）＝13，P（B）＝14，則事件A與B的關(guān)系是A.互斥 B.相互獨立C.互為對立 D.無法判斷解析：B因為P（A）＝13，所以P（A）＝23，又P（B）＝14，所以事件A與事件B不對立，又因為P（AB）＝16，所以有P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A與B2.甲、乙兩人練習(xí)射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為0.9，乙擊中目標(biāo)的概率為0.7，若兩人同時射擊一目標(biāo)，則他們都擊中的概率是（）A.0.3 B.0.63C.0.7 D.0.9解析：B設(shè)甲擊中為事件A，乙擊中為事件B，則P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.9×0.7＝0.63.故選B.3.一臺機床有13的時間加工零件A，其余時間加工零件B.加工零件A時，停機的概率為310，加工零件B時，停機的概率是25，則這臺機床停機的概率為A.1130B.730 C.710解析：A由題意知，加工零件A停機的概率是13×310＝110，加工零件B停機的概率是23×25＝415，即這臺機床停機的概率是1104.（多選）甲、乙兩家公司獨立研發(fā)疫苗A，甲成功的概率為13，乙成功的概率為12，丙獨立研發(fā)疫苗B，研發(fā)成功的概率為35.則A.甲、乙都研發(fā)成功的概率為1B.疫苗A研發(fā)成功的概率為5C.疫苗A與疫苗B均研發(fā)成功的概率為2D.僅有一款疫苗研發(fā)成功的概率為7解析：ACD用A，B，C分別表示事件“甲成功”“乙成功”“丙成功”，則：A.根據(jù)概率公式有：P（AB）＝P（A）P（B）＝16；B.由概率的性質(zhì)可得：疫苗A研發(fā)成功的概率P1＝1－P（AB）＝23；C.兩疫苗的研發(fā)相互獨立，所以所求概率為P2＝P1·P（C）＝25；D.所求概率為P＝（1－P1）P（C）＋（1－P（C））P1＝715.故選5.某班準(zhǔn)備到郊外野營，為此向商店訂了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準(zhǔn)時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨.則他們淋雨的概率是.

解析：由題意，A表示下雨，B表示準(zhǔn)時收到帳篷，且P（A）＝P（B）＝12，所以淋雨的可能性為P（A）P（B）＝12×12答案：1互斥與獨立事件關(guān)系的判斷1.互斥事件與獨立事件的區(qū)別與聯(lián)系從互斥事件和獨立事件的概念我們可以看出，互斥事件即互不相容，是不可能同時發(fā)生的事件，交集為空，但會產(chǎn)生相互影響（比如A發(fā)生，B就一定不發(fā)生了）；獨立事件A和B的發(fā)生互不影響，可能會同時發(fā)生.簡單的說就是互斥必相互影響，獨立必相容.2.互斥事件與獨立事件的運算性質(zhì)已知事件A，B發(fā)生的概率分別為P（A），P（B），則有事件表示概率（A，B互斥）概率（A，B相互獨立）A，B中至少有一個發(fā)生P（A∪B）P（A）＋P（B）1－P（A）P（B）或P（A）＋P（B）－P（AB）A，B都發(fā)生P（AB）0P（A）P（B）A，B都不發(fā)生P（AB1－[P（A）＋P（B）]P（A）P（B）A，B恰有一個發(fā)生P（AB∪AB）P（A）＋P（B）P（A）P（B）＋P（A）P（B）A，B中至多有一個發(fā)生P（AB∪AB∪AB11－P（A）P（B）【例1】某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時被接的概率是0.1；響第2聲時被接的概率是0.2；響第3聲時被接的概率是0.3；響第4聲時被接的概率是0.35.（1）打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？（2）打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？解（1）設(shè)事件“電話響第k聲時被接”為Ak（k∈N），那么事件Ak彼此互斥，設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件A，根據(jù)互斥事件概率加法公式，得：P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＋P（A4）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.（2）事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件A的對立事件，記為A，根據(jù)對立事件的概率公式，得P（A）＝1－P（A）＝1－0.95＝0.05.【例2】甲、乙兩名射擊運動員分別對一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：（1）兩人都射中的概率；（2）兩人中恰有一人射中的概率；（3）兩人中至少有一人射中的概率.解設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B.事件A與B是相互獨立的.（1）兩人都射中的概率為P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72，（2）兩人中恰有一人射中的概率為P（AB）＋P（AB）＝0.8×（1－0.9）＋（1－0.8）×0.9＝0.26.（3）兩人中至少有一人射中的概率等于1減去兩個人都沒有射中的概率，∴所求的概率等于1－P（AB）＝1－P（A）·P（B）＝1－0.2×某社區(qū)舉辦“環(huán)保我參與”有獎問答比賽活動，某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是34，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的