2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 8-1　第二課時(shí)　圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球和簡(jiǎn)單組合體 學(xué)案

第二課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球和簡(jiǎn)單組合體新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象如圖，觀察下列實(shí)物圖.問(wèn)題（1）上述三個(gè)實(shí)物圖抽象出的幾何體與多面體有何不同？（2）上述實(shí)物圖抽象出的幾何體中能否由某些平面圖形旋轉(zhuǎn)而成？（3）如何形成上述幾何體的曲面？

知識(shí)點(diǎn)一圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體提醒對(duì)圓柱的再理解：①圓柱的底面是兩個(gè)半徑相等的圓面，兩圓面所在平面互相平行；②通過(guò)軸的各個(gè)截面叫做軸截面，軸截面是全等的矩形；③母線平行且相等，它們都垂直于底面，它們的長(zhǎng)等于圓柱的高.如圖，在圓柱中任取不重合的兩條母線，如AB，CD，它們有何關(guān)系？過(guò)它們的截面是怎樣的圖形？連接AC，AC還是母線嗎？提示：ABCD，截面ABCD是矩形.AC不是母線.知識(shí)點(diǎn)二圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖示及相關(guān)概念軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體提醒圓錐具有的性質(zhì)：①通過(guò)軸的各個(gè)截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰三角形；②過(guò)頂點(diǎn)和底面相交的截面是等腰三角形；③母線都過(guò)頂點(diǎn)且相等，各母線與軸的夾角相等.以Rt△ABC任一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體就是圓錐，這句話對(duì)嗎？提示：不對(duì).必須以直角邊所在直線為軸.若以斜邊所在直線為軸，形成的幾何體是同底面的兩個(gè)圓錐的組合體.知識(shí)點(diǎn)三圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)圖示及相關(guān)概念軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體提醒圓臺(tái)具有的性質(zhì)：①通過(guò)軸的各個(gè)截面是軸截面，各軸截面是全等的等腰梯形；②任意兩條母線確定的平面截圓臺(tái)所得的截面是等腰梯形；③母線長(zhǎng)都相等，各母線延長(zhǎng)后都相交于一點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)四球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球圖示及相關(guān)概念球心：半圓的圓心叫做球的球心；半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑球能否由圓面旋轉(zhuǎn)而成？提示：能.圓面以直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)半周形成的旋轉(zhuǎn)體即為球.知識(shí)點(diǎn)五簡(jiǎn)單組合體1.定義：由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.2.簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成.1.下列命題中正確的是（）A.以等腰三角形的底邊上的中線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)半周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B.以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C.圓柱、圓錐、圓臺(tái)都有兩個(gè)底面D.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑解析：A以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺(tái)，所以選項(xiàng)B不正確；圓錐僅有一個(gè)底面，所以選項(xiàng)C不正確；圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，所以選項(xiàng)D不正確.很明顯選項(xiàng)A正確.2.下面幾何體的截面一定是圓面的是（）A.圓臺(tái) B.球C.圓柱 D.棱柱解析：B在A中，當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，得到的截面不是圓面，故A錯(cuò)誤；在B中，球的截面一定是圓面，故B正確；在C中，當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，得到的截面不是圓面，故C錯(cuò)誤；在D中，棱柱的任何截面都不是圓面，故D錯(cuò)誤.故選B.3.軸截面是直角三角形的圓錐的底面半徑為r，則其軸截面面積為.

解析：由圓錐的結(jié)構(gòu)特征可知，軸截面為等腰直角三角形，其高為r，所以S＝12×2r2＝r2答案：r2題型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】下列說(shuō)法正確的是（填序號(hào)）.

①圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；②一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)；③圓錐、圓臺(tái)中過(guò)軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；④到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球.解析①錯(cuò).由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸.②錯(cuò).直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)單組合體，如圖所示.③正確.④錯(cuò).應(yīng)為球面.答案③通性通法判斷簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的解題策略（1）準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的形成過(guò)程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問(wèn)題的關(guān)鍵；（2）解題時(shí)要注意明確兩點(diǎn)：①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.有下列命題：①圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；②在圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；③圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的.其中正確的有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)解析：C①圓錐頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線，正確；②在圓臺(tái)上、下底面圓周上各取一點(diǎn)，兩點(diǎn)的連線不一定是圓臺(tái)的母線，錯(cuò)誤；③圓柱的任意兩條母線所在的直線是平行的，正確.故選C.題型二簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征【例2】請(qǐng)描述如圖所示的幾何體是如何形成的：解①是由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體；②是由一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體；③是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體.通性通法判斷組合體構(gòu)成的方法（1）判定實(shí)物圖是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的問(wèn)題時(shí)，首先要熟練掌握簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征；其次要善于將復(fù)雜的組合體“分割”為幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體；（2）組合體是由簡(jiǎn)單幾何體拼接、截去或挖去一部分構(gòu)成的.要仔細(xì)觀察組合體的構(gòu)成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，先分割，后驗(yàn)證.1.如圖所示的幾何體是由下面哪一個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而形成的（）解析：A該幾何體自上而下由圓錐、圓臺(tái)、圓臺(tái)、圓柱組合而成，故應(yīng)選A.2.將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括（）A.一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B.兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓錐C.兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 D.一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐解析：D圖①是一個(gè)等腰梯形，CD為較長(zhǎng)的底邊，以CD邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個(gè)組合體，如圖②，包括一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐.題型三旋轉(zhuǎn)體中與截面有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【例3】?jī)善叫衅矫娼匕霃綖?的球，若截面面積分別為9π和16π，則這兩個(gè)平面間的距離是.

解析由已知得兩個(gè)截面圓半徑分別為3和4，如圖①所示，兩個(gè)平行平面在球心同側(cè)，則CD＝52－32－52－42＝4－3＝1；如圖②所示，兩個(gè)平行截面在球心兩側(cè)，則CD＝5答案1或7通性通法旋轉(zhuǎn)體截面問(wèn)題的解題策略（1）畫(huà)出旋轉(zhuǎn)體的軸截面或相關(guān)截面；（2）在截面中借助直角三角形或三角形相似關(guān)系建立高、母線長(zhǎng)、底面圓或截面圓的半徑長(zhǎng)的等量關(guān)系即可求解.若底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，則截得的截面圓的面積為（）A.π B.2π C.3π D.4π解析：A由題意，底面半徑為2且底面水平放置的圓錐被過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，如圖所示，設(shè)截面圓的半徑為r，底面圓半徑為R，易知△SA1O1∽△SAO，故O1A1OA＝rR＝SO1SO＝12，可得r＝12R＝1，所以截得的截面圓的面積為1.如圖所示的幾何體是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（）解析：DA中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱，不合題意；B中圖形旋轉(zhuǎn)得到兩個(gè)相同底面的圓錐，不合題意；C中圖形旋轉(zhuǎn)得到相同底面的圓柱與圓錐，不合題意；D中圖形旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)圓臺(tái)與一個(gè)圓錐，符合題意.故選D.2.下列說(shuō)法中正確的是（）A.將正方形旋轉(zhuǎn)不可能形成圓柱B.夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C.圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)D.通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線解析：C將正方形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)可以形成圓柱，所以A錯(cuò)誤；B中沒(méi)有說(shuō)明這兩個(gè)平行截面的位置關(guān)系，當(dāng)這兩個(gè)平行截面與底面平行時(shí)正確，其他情況下結(jié)論不一定正確，所以B錯(cuò)誤；通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線，所以D錯(cuò)誤.3.關(guān)于圖中的組合體的結(jié)構(gòu)特征有以下幾種說(shuō)法：①由一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一