第十二章全等三角形證明題變式訓(xùn)練(2)2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)人教版上冊

第十二章全等三角形證明題變式訓(xùn)練2問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON=60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．

方法感悟：小芳的思考過程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；

小麗的思考過程是在AB取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；

問題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

變式：（2）如圖2，M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長線上時，請你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

在四邊形ABDC中，AD平分∠BAC，并且∠B+∠C＝180°.

(1)如圖1，當(dāng)∠C＝90°時，求證：BD＝CD；

變式一：(2)如圖2，當(dāng)∠C是鈍角時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的判斷；

變式二：(3)如圖3，在(2)的條件下，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC＝2，BE＝3，△ABD的面積為24，求DE的長.

如圖1，在△ABC中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D.

（1）求證：BD=CD.

變式一：（2）如圖2，若∠BAC的角平分線AE交BC于點(diǎn)E，求證：AB+BE=AC.

變式二：（3）如圖3，若∠BAC的外角平分線AE交CB的延長線于點(diǎn)E，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論.

已知：?ABC中，過B點(diǎn)作BE⊥AD，．

(1)如圖1，點(diǎn)D在BC的延長線上，連AD，作BE⊥AD于E，交AC于點(diǎn)F．求證：；變式一：(2)如圖2，點(diǎn)D在線段BC上，連AD，過A作AE⊥AD，且，連BE交AC于F，連DE，問BD與CF有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；變式二：(3)如圖3，點(diǎn)D在CB延長線上，且AE⊥AD，連接BE、AC的延長線交BE于點(diǎn)M，若，請直接寫出DBBC的值．

在△ABC中，∠ACB=2∠B，如圖1，當(dāng)∠C=90°，AD為∠BAC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．（1）如圖2，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．變式：（2）如圖3，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．

如圖，△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD=BD，點(diǎn)E在CD上，DE=DA，連接BE.

(1)求證:BE=CA；

(2)延長BE交AC于點(diǎn)F，連接DF，求∠CFD的度數(shù)；

變式：(3)過點(diǎn)C作CM⊥CA，CM=CA，連接BM交CD于點(diǎn)N，若BD=12，AD=5，直接寫出△NBC的面積____.

如圖1，等腰直角三角形ABC中，O為斜邊AC的中點(diǎn)，CD為∠ACB的平分線，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為D，交AC于點(diǎn)E，CD與BO交于點(diǎn)F．

（1）求證：△BOE≌△COF；變式：（2）將∠DCB沿CB方向移動至P處，角的一邊分別交BE，BO于點(diǎn)Q，H，如圖2所示，試探究線段BQ和PH的數(shù)量關(guān)系，以及它們所在直線的位置關(guān)系．

等邊△ABC中，點(diǎn)H在邊BC上，點(diǎn)K在邊AC上，且滿足AK＝HC，連接AH，BK交于點(diǎn)F．

（1）如圖1，求∠AFB的度數(shù)；（2）如圖2，連接FC，若∠BFC＝90°，點(diǎn)G為邊AC上一點(diǎn)，且滿足∠GFC＝30°，求證：AG⊥BG；變式：（3）如圖3，在（2）條件下，在BF上取點(diǎn)D使得DF＝AF，連接CD交AH于點(diǎn)E，若△DEF面積為1，則△AHC的面積為__________．

如圖，在△ABC中，∠ABC為銳角，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)，以AD為直角邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．

（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，如圖1，線段CE，BD的位置關(guān)系為________，數(shù)量關(guān)系為________．變式一：②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由．變式二：（2）如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．探究：當(dāng)∠ACB多少度時，CE⊥BC？請說明理由．

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E為AC邊的一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF，交BE于點(diǎn)D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G，

（1）求證：CF＝BG；變式一：（2）延長CG交AB于H，連接AG，過點(diǎn)C作CP//AG交BE的延長線于點(diǎn)P，求證：PB＝CP+CF；變式二：（3）在（2）問的條件下，當(dāng)∠GAC＝2∠FCH時，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的長．

已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時，①求證：△ABD≌△ACE；②直接判斷結(jié)論BC＝DC+CE是否成立（不需證明）．變式：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，請寫出BC，DC，CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．

如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=22，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，在△ABC外取一點(diǎn)E，使DE＝AD，連接DE，AE，BE．（1）求證：AE⊥BE．變式一：（2）如圖2，若點(diǎn)E在直線AB下方，且∠??????＝30°，求CE的長．變式二：（3）若AE：AB＝1：4，求△ACE的面積．

將兩個全等的直角三角形ABC和DBE按圖（1）方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．（1）求證：CF＝EF；變式一：（2）若將圖（1）中的△DBE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角a，且0°＜a＜60°，其他條件不變，如圖（2）．請你直接寫出AF＋EF與DE的大小關(guān)系：AF＋EF________DE．（填“＞”或“＝”或“＜”）變式二：（3）若將圖（1）中△DBE的繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角B，且60°＜β＜180°，其他條件不變，如圖（3）．請你寫出此時AF、EF與DE之間的關(guān)系，并加以證明．

如圖①，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF，連接CF．

???????(1)若AB=AC，∠BAC=90°

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(與點(diǎn)B不重合)，試探究CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．

變式一：②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，①中的結(jié)論是否仍然成立，請?jiān)趫D②中畫出相應(yīng)圖形并直接寫出你的猜想．

變式二：(2)如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，試探究CF與BC的位置關(guān)系，并說明理由．

(1)如圖,已知在△ABC中,AD為中線,求證:AB+AC>2AD;

變式：(2)如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),DE⊥DF分別交AB,AC于點(diǎn)E,F.求證:BE+CF>EF.

???????

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC與△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，則線段AE、BD的數(shù)量關(guān)系為_______，AE、BD所在直線的位置關(guān)系為________；

變式：（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，請判斷∠ADB的度數(shù)及線段CM，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

在△ABC中，A